Bài 2 Hàm số bậc hai A Lý thuyết 1 Hàm số bậc hai Hàm số bậc hai theo biến x là hàm số cho bởi công thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a, b, c là các số thực và a khác 0 Tập xác định của hàm số[.]
b + Nếu b = 2b’ (P) có đỉnh S − ; − a a Bài Hàm số bậc hai A Lý thuyết + Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1; x2 đồ thị hàm số bậc hai y = Hàm số bậc hai ax2 + bx + c cắt trục hồnh hai điểm có hồnh độ hai nghiệm - Hàm số bậc hai theo biến x hàm số cho cơng thức có dạng y = f(x) = ax + bx + c Ví dụ: Cho hàm số bậc hai y = x2 + 2x + với a, b, c số thực a khác Ta xác định a = 1; b = 2; c = 1; Δ = b2 – 4ac = Tập xác định hàm số bậc hai ℝ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x + 2x + parabol (P): Ví dụ: +) y = 5x2 + 2x + hàm số bậc hai hàm số cho cơng thức có dạng y + Có đỉnh S với hoành độ x S = − = f(x) = ax2 + bx + c với a = ≠ 0, b = 2, c = +) y = 3x3 + x ‒ hàm số bậc hai hàm số có chứa x 3, không cho công thức dạng y = f(x) = ax2 + bx + c - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax + bx + c (với a ≠ 0) parabol (P): b , tung độ yS = − ; (Δ = b2 – 4ac) 4a 2a + Có trục đối xứng đường thẳng x = − b (đường thẳng qua đỉnh S song song 2a với trục Oy); + Bề lõm quay lên a > 0, quay xuống a < 0; + Cắt trục tung điểm có tung độ c, tức đồ thị qua điểm có tọa độ (0; c) Chú ý: + Có trục đối xứng d đường thẳng x = ‒1 (đường thẳng qua đỉnh S(‒1; 0) song song với trục Oy); + Bề lõm parabol quay lên a = > 0; Đồ thị hàm số bậc hai + Có đỉnh S với hoành độ x S = − b = −1 , tung độ yS = − = ; 2a 4a + Cắt trục tung điểm có tung độ 1, tức đồ thị qua điểm có toạ độ (0; 1) Đối với hàm số bậc hai y = x2 + 2x + ta thấy hệ số b = số chẵn nên tìm + Bề lõm parabol (P) quay lên a = > 0; b toạ độ đỉnh S − ; − với a = 1, b' = 1, c = Δ' = b'2 – ac = a a + Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ 1, tức đồ thị (P) qua điểm có tọa độ (0; 1) Khi ta tìm S(‒1; 0) Ngồi phương trình 2x2 + 3x + = có hai nghiệm phân biệt x1 = ‒1 x = *Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai: Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0): 1 đồ thị hàm số cắt trục hồnh hai điểm có toạ độ (‒1; 0) ;0 2 b - Xác định tọa độ đỉnh S − ; − 2a 4a Ta vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 + 3x + hình vẽ đây: - Vẽ trục đối xứng d đường thẳng x = − nên b 2a - Tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) giao điểm đồ thị với trục hồnh (nếu có) b Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, điểm B − ;c a - Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, qua điểm tìm Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = 2x2 + 3x + Ta có: a = 2; b = 3; c = 1; Δ = b2 – 4ac = Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = 2x2 + 3x + parabol (P): + Có toạ độ đỉnh S với x S = − b 1 = − ; tung độ yS = − = − hay S − ; − ; 2a 4a 8 + Có trục đối xứng đường thẳng x = − (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy); Sự biến thiên hàm số bậc hai - Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt biến thiên hàm số sau: Đỉnh S có tọa độ: x S = − a>0 a 0, hàm số đạt giá trị nhỏ − −b x = hàm số có tập giá trị 4a 2a T = − ; + 4a - Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn +∞ Vậy hàm số đạt giá trị lớn ‒∞ x = 4 Ứng dụng hàm số bậc hai Tầm bay cao bay xa Trong môn cầu lông, phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương khơng cầu rơi ngồi biên − −b x = hàm số có tập giá trị 4a 2a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y 0) điểm xuất phát phương trình quỹ đạo cầu lông rời khỏi mặt vợt là: T = −; − 4a Ví dụ: Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn hàm số y = ‒ x2 + 3x – Hướng dẫn giải Ta xác định tham số: a = ‒1; b = 3; c = ‒2, ∆ = b2 – 4ac = y= −g.x + tan ( ) x + y0 2v0 cos Trong đó: + g gia tốc trọng trường (thường chọn 9,8 m/s2); + α góc phát cầu (so với phương ngang mặt đất); + v0 vận tốc ban đầu cầu; + y0 khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất Chọn hệ trục tọa độ với vị trị trí rơi cầu thuộc trục hồnh vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung Đây hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động cầu lông parabol Với g = 9,8 m/s2, góc phát cầu α = 15o, vận tốc ban đầu cầu v0 = 10 m/s, phương Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu góc phát cầu biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ: trình quỹ đạo cầu là: y= - Đạt vị trí cao đỉnh parabol, gọi tầm bay cao; - Rơi chạm đất vị trí cách nơi đứng phát cầu khoảng, gọi tầm bay xa y= −g.x + tan ( ) x + y0 2v0 cos −9,8.x 2.102 ( cos15 ) + tan15.x + 0,8 Ví dụ: Một người tập chơi cầu lơng có khuynh hướng phát cầu với góc 15 độ so với mặt đất y=− a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt độ cao 0,8 m so với mặt đất vận tốc ban đầu cầu 10 m/s (bỏ qua sức cản ( 49 125 + ) ( ) x + − x + 0,8 (với x ≥ 0) Vị trí cầu rơi chạm đất giao điểm parabol trục hoành nên y = gió quỹ đạo cầu mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường 9,8 m/s 2) b) Giả thiết câu a cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới 4,5 m Lần phát cầu có hỏng khơng? Cho biết mép lưới cách mặt đất 1,524 m Hướng dẫn giải Giải phương trình y = ⇔ − ( 49 125 + ) ( ) x + − x + 0,8 = ta nghiệm x1 ≈ 7,21 (thỏa mãn) x2 ≈ ‒2,11 (không thỏa mãn) Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất 7,21 m b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, bên mặt lưới điểm rơi không +) Hàm số y = x2 + khỏi đường biên phía bên sân đối phương lần phát cầu xem hợp lệ cho công thức dạng y = f(x) = ax + bx + c Ta cần so sánh tung độ điểm quỹ đạo (có hồnh độ khoảng cách từ gốc tọa +) Hàm số y = – x – x2 hàm số bậc hai hàm số cho cơng thức có độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép lưới để tìm câu trả lời dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a = ‒1 ≠ 0, b = ‒1, c = Khi x = 4,5 thay vào y = − y=− ( 49 125 + ) 125 + ( ) ( ) x + − x + 0,8 ta có: ) 4,5 + − 4,5 + 0,8 ≈ 0,942 m < 1,524 m 2 ( 49 Vậy phát cầu không hợp lệ B Bài tập tự luyện Bài Hàm số sau hàm số bậc hai? a) y = 5x2 + 2x – b) y = x3 + x + x +1 hàm số bậc hai hàm số chứa x , khơng Vậy có hàm số y = 5x2 + 2x – 1, y = – x – x2 hàm số bậc hai Bài Tìm điều kiện m để hàm số y = mx2 + 4mx + hàm số bậc hai Khi m = 1, vẽ đồ thị hàm số xét tính đồng biến, nghịch biến hàm số Hướng dẫn giải Để hàm số y = mx2 + 4mx + hàm số bậc hai hệ số x2 phải khác ⇔ m ≠ Khi m = (thỏa mãn m ≠ 0) hàm số trở thành: y = x2 + 4x + hàm số bậc hai Khi đồ thị hàm số parabol (P) Vẽ đồ thị: (các tham số a = 1, b' = 2, c = 3, ∆' = b'2 – ac = 1) + Có tọa độ đỉnh S(‒2; ‒1); + Có trục đối xứng d đường thẳng x = ‒2 (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy); c) y = x2 + x +1 d) y = – x – x2 Hướng dẫn giải +) Hàm số y = 5x2 + 2x – hàm số bậc hai hàm số cho cơng thức có dạng y = f(x) = ax2 + bx + c với a = ≠ 0, b = 2, c = ‒1 +) Hàm số y = x3 + x + hàm số bậc hai hàm số có chứa x3, không cho công thức dạng y = f(x) = ax2 + bx + c + Bề lõm parabol quay lên a = > 0; + Đồ thị cắt trục tung điểm A(0; 3) Điểm B đối xứng với A qua trục đối xứng d có tọa độ B(‒4; 3); Phương trình x2 + 4x + = có hai nghiệm phân biệt x1 = ‒3 x2 = ‒1 nên đồ thị cắt trục hồnh hai điểm có toạ độ (‒3; 0) (‒1; 0) Ta có parabol sau: Suy b = Khi phương trình bậc hai trở thành y = x2 + 4x + b) Xét hàm số y = x2 + 4x + có a = 1, b' = 2, c = ∆' = b'2 – ac = ‒2 Đỉnh S đồ thị hàm số có tọa độ: xS = − b = −2; yS = − = a a Hay S(‒2; 2) Vì hàm số bậc hai có a = > nên ta có bảng biến thiên sau: x Do a = > nên hàm số nghịch biến khoảng (‒∞; ‒2) đồng biến khoảng (‒ 2; + ∞) ‒∞ ‒2 +∞ +∞ +∞ f(x) Bài Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx + c có f(0) = 6, f(1) = 11, f(2) = 18 a) Hãy xác định giá trị hệ số a, b, c Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ x = ‒2 b) Lập bảng biến thiên hàm số tìm câu a Hàm số có giá trị lớn hay giá trị nhỏ khơng? Tìm giá trị Bài Một người tập chơi cầu lơng có khuynh hướng phát cầu với góc 45 độ so với mặt đất Hướng dẫn giải a) Hãy tính khoảng cách từ vị trí người phát cầu đến vị trí cầu chạm đất, biết cầu rời vợt a) +) Với f(0) = 6, thay x = vào hàm số ta có: độ cao 0,9 m so với mặt đất vận tốc ban đầu cầu m/s (bỏ qua sức cản f(0) = a 02 + b + c = ⇔ c = gió quỹ đạo cầu mặt phẳng thẳng đứng, gia tốc trọng trường 9,8 m/s 2) +) Với f(1) = 11, thay x = vào hàm số ta có: b) Giả thiết câu a cho biết khoảng cách từ vị trí phát cầu đến lưới m Lần phát f(1) = a 12 + b + c = 11 ⇔ a + b + c = 11 ⇔ a + b = cầu có hỏng không? Cho biết mép lưới cách mặt đất 1,524 m (1) Hướng dẫn giải +) Với f(2) = 18, thay x = vào hàm số ta có: f(2) = a 22 + b + c = 18 ⇔ 4a + 2b + c = 18 ⇔ 4a + 2b = 12 ⇔ 2a + b = Trừ theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được: a = (2) Chọn hệ trục tọa độ với vị trí rơi cầu thuộc trục hồnh vị trí cầu rời mặt vợt thuộc trục tung Với g = 9,8 m/s2, góc phát cầu α = 45o, vận tốc ban đầu cầu v0 = m/s, phương trình quỹ đạo cầu là: y= = = Ta có: −g.x + tan ( ) x + y0 2v0 cos −9,8.x + tan 45.x + 0,9 2.92.cos 45 −9,8.x 2.9 2 Như lần phát cầu thỏa mãn qua lưới Điểm bên cách vị trí phát: + 1,98 = 4,98m Điểm bên cách vị trí phát: + 6,7 = 9,7 m Do vị trí cầu rơi chạm đất 9,08 m, nằm khoảng điểm điểm nên lần phát cầu hợp lệ Vậy với vận tốc xuất phát cầu m/s lần phát hợp lệ + 1.x + 0,9 Bài Cho vật rơi từ cao xuống với vận tốc ban đầu m/s Viết hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t vẽ đồ thị hàm số đó, lúc t = 5s vật rơi 49 =− x + x + 0,9 (với x ≥ 0) 405 Vị trí cầu rơi chạm đất giao điểm parabol trục hồnh nên y = Giải phương trình y = ⇔ − 49 x + x + 0,9 = ta nghiệm x1 ≈ 9,08 (thỏa 405 mét, biết g = 10m/s2, hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ vật thời điểm bắt đầu rơi Hướng dẫn giải Gọi vận tốc ban đầu vật v0 = m/s mãn) x2 ≈ - 0,82 (không thỏa mãn) Do vật rơi nên vật chuyển động nhanh dần Giá trị nghiệm cho ta khoảng cách từ vị trí người chơi đến vị trí cầu rơi chạm đất 9,08 Suy hàm số biểu thị quãng đường rơi s theo thời gian t là: m s = s0 + v0t + b) Khi cầu bay tới vị trí lưới phân cách, bên mặt lưới điểm rơi không gt khỏi đường biên phía bên sân đối phương lần phát cầu xem hợp lệ Ta thấy hệ trục tọa độ chọn mốc từ lúc vật bắt đầu rơi, gốc tọa độ vật thời điểm bắt Ta cần so sánh tung độ điểm quỹ đạo (có hồnh độ khoảng cách từ gốc đầu rơi nên s0 = 0, thời gian đại lượng không âm nên t ≥ tọa độ đến chân lưới phân cách) với chiều cao mép lưới để tìm câu trả lời Ta vẽ đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t2 Khi x = 3, ta có y = − 49 + + 0,9 ≈ 2,81 m > 1,524 m 405 Đồ thị hàm số s = f(t) = 5t + 5t2 hệ trục tọa độ Oxy (trục Oy thay cho Os, Ox thay cho Ot) Parabol có đỉnh S(-0,5; -1,25), trục đối xứng x = -0,5, qua điểm (0; 0) (-1; 0) Khi t = vật rơi quãng đường là: Đồ thị hàm số: s = f(t) = 5t + 5t2 với t ≥ ta lấy phần x ≥ (P) nên ta có phần đồ thị nét liền hình vẽ s = f(5) = 5 + 52 = 150 (m) Vậy sau 5s vật rơi 150 m Chương III Hàm số bậc hai đồ thị Bài Hàm số đồ thị A Lý thuyết Hàm số Tập xác định tập giá trị hàm số - Giả sử x y hai đại lượng biến thiên x nhận giá trị thuộc tập số D Nếu với giá trị x thuộc D, ta xác định giá trị tương ứng y thuộc tập hợp số thực ℝ ta có hàm số Ta gọi x biến số y hàm số x Với lượng điện tiêu thụ (kWh) có số tiền phải trả tương ứng (nghìn đồng) Ta nói bảng biểu thị hàm số + Hàm số cho cơng thức, ví dụ như: y = 2x – 1, y = x2, … với biến số x y hàm số x Tập hợp D gọi tập xác định hàm số số −2x + + Hàm số cho hai công thức f ( x ) = x + Chú ý: x ≤ ‒3 f(x) = ‒2x + 1, với x > ‒3 f ( x ) = Tập hợp T gồm tất giá trị y (tương ứng với x thuộc D) gọi tập giá trị hàm + Ta thường dùng kí hiệu f(x) để giá trị y tương ứng với x, nên hàm số viết y = f(x) + Khi hàm số cho công thức mà khơng rõ tập xác định ta quy ước: Tập xác định hàm số y = f(x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f(x) có + Với hàm số y = f(x) = x −3 x −3 Nghĩa với x+7 x +1 , tập xác định hàm số tập hợp tất số thực x x−2 cho biểu thức f(x) có nghĩa tức x +1 có nghĩa, hay x ≠ x−2 Vậy tập xác định hàm số D = ℝ\{2} nghĩa Đồ thị hàm số + Một hàm số cho hai hay nhiều công thức - Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D Ví dụ: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) hàm số tập hợp tất điểm M(x; y) với + Hàm số cho bảng đây: x ∈ D y = f(x) Chú ý: Điểm M(xM; yM) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) xM ∈ D yM = f(xM) Ví dụ: + Cho hàm số y = f(x) = 2x – có tập xác định D = ℝ Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị (C) đồ thị hàm số y = f(x) = 2x – Khi thay x = y = ‒1 vào hàm số, ta ‒1 = – mệnh đề nên điểm A(0; ‒1) điểm thuộc đồ thị (C) Khi thay x = 0,5 y = vào hàm số, ta = 0,5 – mệnh đề nên điểm B(0,5; 0) điểm thuộc đồ thị (C) Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến - Với hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b), ta nói: + Hàm số đồng biến khoảng (a; b) ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) + Hàm số nghịch biến khoảng (a; b) ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Nhận xét: + Khi hàm số đồng biến (tăng) khoảng (a; b) đồ thị có dạng lên từ trái sang phải Ngược lại, hàm số nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) đồ thị có dạng xuống từ trái sang phải Ví dụ: + Cho hàm số y = f(x) = 2x – xác định ℝ Xét hai giá trị x1 = x2 = thuộc ℝ, ta có: f(x1) = f(1) = 2.1 – = Ta thấy x1 < x2 f(x1) > f(x2) nên hàm số y = f(x) = ‒ x + hàm số nghịch biến ℝ Ta thấy hàm số y = f(x) = ‒ x + hàm số nghịch biến ℝ nên đồ thị có dạng xuống từ trái sang phải f(x2) = f(2) = 2.2 – = Ta thấy x1 < x2 f(x1) < f(x2) nên hàm số y = f(x) = 2x – hàm số đồng biến ℝ Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định [‒3; 3] có đồ thị hàm số hình vẽ Ta thấy hàm số y = f(x) = 2x – hàm số đồng biến ℝ nên đồ thị có dạng lên từ trái sang phải + Cho hàm số y = f(x) = ‒ x + xác định ℝ Xét giá trị x1 = x2 = thuộc ℝ, ta có: f(x1) = f(1) = ‒1 + = f(x2) = f(2) = ‒ + = Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Hướng dẫn giải Dựa vào đồ thị nhận thấy: - Đồ thị hàm số có dạng lên từ trái sang phải khoảng (‒3; ‒1) (1; 3) nên hàm số đồng biến khoảng (‒3; ‒1) (1; 3); f(x1) = f(1) = ‒2 + = f(x2) = f(2) = ‒2 + = ‒2 - Đồ thị hàm số có dạng xuống từ trái sang phải khoảng (‒1; 1) nên hàm số nghịch biến khoảng (‒1; 1) Ta thấy x1 < x2 f(x1) > f(x2) nên hàm số y = f(x) = ‒2x + hàm số nghịch biến ℝ B Bài tập tự luyện b) Hàm số y = f(x) = x2 xác định ℝ Bài Tìm tập xác định hàm số sau: a) f ( x ) = 2x + ; b) f ( x ) = + x+3 Xét hai giá trị x1 = x2 = thuộc ℝ, ta có: f(x1) = f(1) = 12 = f(x2) = f(2) = 22 = Hướng dẫn giải Ta thấy x1 < x2 f(x1) < f(x2) nên hàm số y = f(x) = x2 hàm số đồng biến ℝ a) Biểu thức f ( x ) = 2x + có nghĩa ⇔ 2x + ≥ ⇔ 2x ≥ ‒ ⇔ x ≥ − Vậy tập xác định D hàm số D = − ; + Bài Tìm tập xác định vẽ đồ thị hàm số: y = f(x) = |2x + 3| Hướng dẫn giải Tập xác định hàm số D = ℝ b) Biểu thức f ( x ) = + có nghĩa ⇔ x + ≠ ⇔ x ≠ ‒3 x+3 Vậy tập xác định D hàm số D = ℝ\ {‒3} Bài Trong hàm số sau đây, hàm số đồng biến, nghịch biến? Tại sao? 2x + Ta có: y = |2x + 3| = −2x − Ta vẽ đồ thị y = 2x + với x − a) y = f(x) = ‒ 2x + 3 x 0, quay xuống a < 0; + Cắt trục tung điểm có tung độ c, tức đồ thị qua điểm có tọa độ (0; c) Chú ý: ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) + Hàm số nghịch biến khoảng (a; b) b + Nếu b = 2b’ (P) có đỉnh S − ; − a a ∀x1, x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) + Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1; x2 đồ thị hàm số bậc hai y = Nhận xét: ax2 + bx + c cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ hai nghiệm + Khi hàm số đồng biến (tăng) khoảng (a; b) đồ thị có dạng lên từ trái *Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai: sang phải Ngược lại, hàm số nghịch biến (giảm) khoảng (a; b) đồ thị có Cách vẽ đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0): dạng xuống từ trái sang phải Hàm số bậc hai - Hàm số bậc hai theo biến x hàm số cho cơng thức có dạng y = f(x) = ax + bx + c với a, b, c số thực a khác Tập xác định hàm số bậc hai ℝ Đồ thị hàm số bậc hai b - Xác định tọa độ đỉnh S − ; − 2a 4a - Vẽ trục đối xứng d đường thẳng x = − b 2a - Tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục tung (điểm A(0; c)) giao điểm đồ thị với trục hồnh (nếu có) b Xác định thêm điểm đối xứng với A qua trục đối xứng d, điểm B − ;c a - Vẽ parabol có đỉnh S, có trục đối xứng d, qua điểm tìm Sự biến thiên hàm số bậc hai - Dựa vào đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c (với a ≠ 0), ta có bảng tóm tắt biến thiên hàm số sau: a>0 a 0, hàm số đạt giá trị nhỏ − −b x = hàm số có tập giá trị 4a 2a T = − ; + 4a - Khi a < 0, hàm số đạt giá trị lớn T = −; − 4a Ứng dụng hàm số bậc hai Tầm bay cao bay xa − −b x = hàm số có tập giá trị 4a 2a Trong môn cầu lông, phát cầu, người chơi cần đánh cầu qua khỏi lưới sang phía sân đối phương khơng cầu rơi biên Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, chọn điểm có tọa độ (0; y 0) điểm xuất phát phương trình quỹ đạo cầu lông rời khỏi mặt vợt là: −g.x y= + tan ( ) x + y0 2v0 cos Trong đó: + g gia tốc trọng trường (thường chọn 9,8 m/s2); + α góc phát cầu (so với phương ngang mặt đất); + v0 vận tốc ban đầu cầu; + y0 khoảng cách từ vị trí phát cầu đến mặt đất B Bài tập tự luyện Bài Tìm tập xác định hàm số sau: a) f ( x ) = 2x + ; b) f ( x ) = + x+3 c) f ( x ) = x + 2022 + x Hướng dẫn giải a) Biểu thức f ( x ) = 2x + có nghĩa ⇔ 2x + ≥ ⇔ 2x ≥ ‒ ⇔ x ≥ − Vậy tập xác định D hàm số D = − ; + b) Biểu thức f ( x ) = + Đây hàm số bậc hai nên quỹ đạo chuyển động cầu lơng parabol có nghĩa ⇔ x + ≠ ⇔ x ≠ ‒3 x+3 Vậy tập xác định D hàm số D = ℝ\ {‒3} c) Biểu thức y = f ( x ) = x + 2022 + có nghĩa khi: x x + 2022 x −2022 x x Vậy tập xác định hàm số D = [‒2022; +) \{0} Xét trường hợp lặng gió, với vận tốc ban đầu góc phát cầu biết, cầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nên sẽ: - Đạt vị trí cao đỉnh parabol, gọi tầm bay cao; - Rơi chạm đất vị trí cách nơi đứng phát cầu khoảng, gọi tầm bay xa Bài Trong hàm số sau đây, hàm số đồng biến, nghịch biến? Tại sao? a) y = f(x) = ‒ 2x + b) y = f(x) = x2 Hướng dẫn giải a) Hàm số y = f(x) = ‒2x + xác định ℝ y = f(x) Xét hai giá trị x1 = x2 = thuộc ℝ, ta có: Suy đồ thị hàm số y = f(x) = 2x + với x − f(x1) = f(1) = ‒2 + = qua điểm A(‒ ; 0) B(0; 3) f(x2) = f(2) = ‒2 + = ‒2 Ta có đồ thị sau: phần đồ thị nằm bên trục Ox Ta thấy x1 < x2 f(x1) > f(x2) nên hàm số y = f(x) = ‒2x + hàm số nghịch biến ℝ b) Hàm số y = f(x) = x2 xác định ℝ Xét hai giá trị x1 = x2 = thuộc ℝ, ta có: f(x1) = f(1) = 12 = f(x2) = f(2) = 22 = Ta thấy x1 < x2 f(x1) < f(x2) nên hàm số y = f(x) = x2 hàm số đồng biến ℝ Tương tự ta có đồ thị hàm số y = f(x) = - 2x - với x < Bài Tìm tập xác định vẽ đồ thị hàm số: trục Ox qua điểm C(-2; 1) D(-3; 3) y = f(x) = |2x + 3| Kết hợp đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| phần đồ thị nét liền nằm trục Ox Hướng dẫn giải Tập xác định hàm số D = ℝ 2x + Ta có: y = |2x + 3| = −2x − Ta vẽ đồ thị y = 2x + với x − phần đồ thị nằm bên 3 x nên hàm số nghịch biến khoảng (‒∞; ‒2) đồng biến khoảng (‒ Khi m = (thỏa mãn m ≠ 0) hàm số trở thành: y = x2 + 4x + hàm số bậc hai 2; + ∞) Khi đồ thị hàm số parabol (P) Bài Cho hàm số bậc hai y = f(x) = ax2 + bx + c có f(0) = 6, f(1) = 11, f(2) = 18 Vẽ đồ thị: (các tham số a = 1, b' = 2, c = 3, ∆' = b' – ac = 1) + Có tọa độ đỉnh S(‒2; ‒1); + Có trục đối xứng d đường thẳng x = ‒2 (đường thẳng qua đỉnh S song song với trục Oy); a) Hãy xác định giá trị hệ số a, b, c b) Lập bảng biến thiên hàm số tìm câu a Hàm số có giá trị lớn hay giá trị nhỏ khơng? Tìm giá trị Hướng dẫn giải + Bề lõm parabol quay lên a = > 0; a) +) Với f(0) = 6, thay x = vào hàm số ta có: + Đồ thị cắt trục tung điểm A(0; 3) Điểm B đối xứng với A qua trục đối xứng d có tọa độ B(‒4; 3); Phương trình x2 + 4x + = có hai nghiệm phân biệt x1 = ‒3 x2 = ‒1 nên đồ thị cắt trục hoành hai điểm có toạ độ (‒3; 0) (‒1; 0) Ta có parabol sau: f(0) = a 02 + b + c = ⇔ c = +) Với f(1) = 11, thay x = vào hàm số ta có: f(1) = a 12 + b + c = 11 ⇔ a + b + c = 11 ⇔ a + b = (1) +) Với f(2) = 18, thay x = vào hàm số ta có: f(2) = a 22 + b + c = 18 ⇔ 4a + 2b + c = 18 ⇔ 4a + 2b = 12 ⇔ 2a + b = Trừ theo vế phương trình (2) cho phương trình (1) ta được: a = (2) ... x3 + x + x +1 hàm số bậc hai hàm số chứa x , khơng Vậy có hàm số y = 5x2 + 2x – 1, y = – x – x2 hàm số bậc hai Bài Tìm điều kiện m để hàm số y = mx2 + 4mx + hàm số bậc hai Khi m = 1, vẽ đồ thị. .. 60) thuộc đồ thị hàm số s = f(t) trục Ox qua điểm C(-2; 1) D( -3; 3) Ta có đồ thị sau: Kết hợp đồ thị ta có đồ thị hàm số y = |2x + 3| phần đồ thị nét liền nằm trục Ox Ta thấy đồ thị hàm số lên... 20), (1; 40), (1,5; 60) thuộc đồ thị hàm số s = f(t) Ta có đồ thị sau: Bài Hàm số sau hàm số bậc hai? Hướng dẫn giải +) Hàm số y = 5x2 + 2x – hàm số bậc hai hàm số cho cơng thức có dạng y = f(x)