Bài 2 Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ A Lý thuyết 1 Bảng số liệu Dựa vào các thông tin đã biết và sử dụng mối liên hệ toán học giữa các số liệu, ta có thể phát hiện ra được số liệu[.]
Bài Mô tả biểu diễn liệu bảng biểu đồ Quan sát biểu đồ ta đưa nhận xét số liệu thống kê Ví dụ: Biểu đồ cột dây cho biết thông tin kết học lực học sinh khối A Lý thuyết 10 trường THPT Quang Trung Bảng số liệu Dựa vào thông tin biết sử dụng mối liên hệ toán học số liệu, ta phát số liệu khơng xác số trường hợp Ví dụ: Bảng dây thống kê số trồng lớp khối 10 trường Trung học phổ thông đợt tham gia phong trào “Trồng xanh phủ đồi núi” Lớp 10A 10B 10C Số trồng 51 72 65 Cho biết bạn học sinh trồng Biết rằng, bảng có Hãy cho biết phát biểu sau hay sai? a) Số học sinh lớn tổng số học sinh giỏi, trung bình yếu lớp bị thống kê sai, tìm lớp b) Số học sinh gấp lần số học sinh giỏi Hướng dẫn giải Hướng dẫn giải Vì bạn học sinh trồng nên số trồng lớp a) Quan sát biểu đồ ta thấy: phải số chia hết cho Số học sinh khối 10 140 học sinh Quan sát bảng số liệu ta thấy số 51, 72 chia hết cho 3, số 65 không chia hết cho Tổng số học sinh giỏi, trung bình yếu là: 38 + 52 + 13 = 103 học sinh Vì 140 > 103 Vậy số liệu lớp 10C bị thống kê sai Biểu đồ Do số học sinh lớn tổng số học sinh giỏi, trung bình yếu Vậy phát biểu a) Ta biểu diễn số liệu thống kê dạng biểu đồ b) Ta có số học sinh giỏi 38 học sinh Một số dạng biểu đồ thường gặp: biểu đồ cột, biểu đồ cột kép, biểu đồ quạt, biểu đồ tranh,… Vì 140 3,68 < 38 Vậy số học sinh gấp khoảng 3,68 lần số học sinh giỏi Vậy phát biểu b) sai B Bài tập tự luyện Bài Một đội gồm 15 thợ điêu khắc chia vào tổ Trong ngày, người thợ làm sản phẩm Cuối ngày, đội trưởng thống kê lại số sản phẩm mà tổ làm bảng sau: Tổ Số sản phẩm 10 15 17 Đội trưởng thống kê chưa? Tại sao? Hướng dẫn giải a) Hãy cho biết phát biểu sau hay sai: Mỗi tổ có 15 : = người thợ i Sản lượng nuôi tôm năm tỉnh Tiền Giang cao tỉnh Cà Mau Trong ngày, người thợ làm sản phẩm nên tổ làm ii Ở tỉnh Cà Mau, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp lần so với năm từ 10 đến 15 sản phẩm Do đó, bảng ghi Tổ làm 17 sản phẩm khơng 2008 xác iii Ở tỉnh Tiền Giang, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp 2,5 lần so với Vậy đội trưởng thống kê chưa năm 2008 Bài Sản lượng nuôi tôm phân theo địa phương tỉnh Cà Mau Tiền b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm hai tỉnh Cà Mau Tiền Giang, ta nên sử dụng Giang thể hai biểu đồ sau (đơn vị: tấn): loại biểu đồ nào? Hướng dẫn giải a) i Quan sát biểu đồ ta thấy: Sản lượng nuôi tôm năm Tiền Giang thấp 30 000 tấn, sản lượng nuôi tôm năm Cà Mau cao 75 000 Do sản lượng nuôi tôm năm tỉnh Cà Mau cao nhiều so với Bài Hoa vẽ biểu đồ biểu thị tỉ lệ chi phí xây dựng nhà gia đình theo bảng tỉnh Tiền Giang thống kê đây: Vậy phát biểu i sai ii Ở tỉnh Cà Mau: - Sản lượng nuôi tơm năm 2018 175 000 Loại chi phí Số tiền (triệu đồng) Tiền công 250 Gỗ 100 Giám sát thi công 150 Thép 150 Gạch 200 Xi măng 150 - Sản lượng nuôi tôm năm 2008 khoảng 90 000 Vì 175000 90000 Do sản lượng nuôi tôm năm 2018 tỉnh Cà Mau tăng khoảng gần lần so với năm 2008 Vậy phát biểu ii sai iii Ở tỉnh Tiền Giang: - Sản lượng nuôi tôm năm 2018 khoảng 29 000 - Sản lượng nuôi tôm năm 2008 10 000 Vì 29000 = 2,9 10000 Do sản lượng nuôi tôm năm 2018 tỉnh Tiền Giang tăng gấp khoảng 2,9 (> 2,5) lần so với năm 2008 Vậy phát biểu iii b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm hai tỉnh Cà Mau Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ cột ghép Bạn cho biết biểu đồ Hoa vẽ xác chưa Nếu chưa cần điều chỉnh lại cho đúng? Hướng dẫn giải Theo bảng thống kê loại chi phí giám sát thi công, thép xi măng nên biểu đồ quạt, hình quạt biểu diễn tỉ lệ giám sát thi công, thép xi măng phải Do biểu đồ bạn Hoa vẽ chưa xác Ta cần đổi chỗ phần chữ thích biểu đồ xi măng cho gạch biểu đồ Chương VI Thống kê xác Bài Số gần sai số A Lý thuyết Số gần Trong thực tế sống khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta khơng thể xác định giá trị xác Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo khác cho kết khác Vì kết thu thường số gần Ví dụ: - Chiều cao cau vườn nhà - Tốc độ tàu hỏa chạy thời điểm - Giá trị số π làm tròn 3,14, ta nói 3,14 số gần số π Sai số tuyệt đối sai số tương đối 2.1 Sai số tuyệt đối Nếu a số gần số a a = a − a gọi sai số tuyệt đối số gần a Ví dụ: Ta có: 10 ≈ 17,32 Suy a = 10 số đúng; a = 17,32 số gần Khi ta có: a = a − a = 17,32 − 10 0,0005 Vậy ∆a = 0,0005 sai số tuyệt đối số gần a = 17,32 Ví dụ: Bao bì chai nước suối có ghi thể tích thực 500 ml, biết sai số tuyệt đối ml Tìm sai số tương đối chai nước suối * Độ xác: Trên thực tế ta thường số a nên khơng thể tính xác ∆a Khi đó, ta thường tìm cách khống chế sai số tuyệt đối ∆a không vượt mức d > Hướng dẫn giải Ta có a = 500 (ml) ∆a = (ml), sai số tương đối là: cho trước: a = a = a − a d hay a – d ≤ a ≤ a + d a = = 0,6% a 500 Khi đó, ta nói a số gần số a với độ xác d Số quy tròn Quy ước viết gọn: a = a d 3.1 Quy tắc làm trịn số Ví dụ: Quy tắc làm trịn số đến hàng (gọi hàng quy trịn): Trên gói kẹo có ghi khối lượng tịnh 100g ± 2g + Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ ta thay chữ số bên phải + Khối lượng thực tế gói kẹo a số Tuy khơng biết a ta xem khối lượng gói kẹo 100g nên 100 số gần cho a Độ xác d = (g) + Giá trị a nằm đoạn [100 – 2; 100 + 2] hay [98; 102] chữ số + Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn ta làm cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng quy trịn 2.2 Sai số tương đối Ví dụ: Hãy quy tròn số a = Sai số tương đối số gần a, kí hiệu δa, tỉ số sai số tuyệt đối ∆a tương đối |a|, tức a = a |a| Hướng dẫn giải Nếu a = a d ∆a ≤ d Do a d d Nếu δa hay nhỏ chất lượng |a| |a| Quy trịn số a = = 1,66666 đến hàng phần trăm ước lượng sai số = 1,66666 đến hàng phần trăm, ta số gần a = phép đo đạc hay tính tốn cao 1,67 Chú ý: Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm Do a a 1,675 nên sai số tuyệt đối a = a − a 0,005 Sai số tương đối a 0,005 0,3% 1,67 Để tìm số gần a số a với độ xác d, ta thực bước sau: Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d Chú ý: Bước 2: Quy tròn a đến hàng tìm + Khi thay số số quy tròn đến hàng sai số tuyệt đối số quy trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng quy trịn Ta nói độ xác Ví dụ: Cho a = − 11 = −1,31662479 Hãy xác định số gần a với độ số quy tròn nửa đơn vị hàng quy trịn xác d = 0,0001 + Khi quy trịn số a đến hàng ta nói số gần a nhận Hướng dẫn giải xác đến hàng Ví dụ số gần π xác đến hàng phần trăm 3,14 3.2 Xác định số quy tròn số gần với độ xác cho trước Các bước xác định số quy tròn số gần a với độ xác d cho trước: Hàng chữ số khác bên trái d = 0,0001 hàng phần chục nghìn Quy trịn a đến hàng phần chục nghìn ta số gần a a = – 1,3166 B Bài tập tự luyện Bài Các nhà vật lý sử dụng ba phương pháp đo số Hubble cho kết Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d sau: Bước 2: Quy trịn số a hàng gấp 10 lần hàng tìm Bước 67,31 ± 0,96; Ví dụ: Cho số gần a = 2032 với độ xác d = 50 Hãy viết số quy tròn số a Hướng dẫn giải Hàng lớn độ xác d = 50 hàng chục, nên ta quy tròn a đến hàng phần trăm Vậy số quy tròn a 2000 3.3 Xác định số gần số với độ xác cho trước 67,90 ± 0,55; 67,74 ± 0,46 Phương pháp xác tính theo sai số tương đối? Hướng dẫn giải Với phương pháp đo thứ nhất: a1 = 67,31 d1 = 0,96, sai số tương đối là: 1 d1 0,96 = 1,4% a1 67,31 Với phương pháp đo thứ hai: a2 = 67,90 d2 = 0,55, sai số tương đối là: 2 d2 0,55 = 0,81% a 67,90 Với phương pháp đo thứ ba: a3 = 67,74 d3 = 0,46, sai số tương đối là: 3 d3 0,46 = 0,68% a 67,74 Bài Hãy viết số quy tròn số gần trường hợp sau: a) 3678008 ± 1000; Vì 0,68% < 0,81% < 1,4% nên δ3 < δ2 < δ1 Do phương pháp đo thứ ba xác tính theo sai số tương đối Bài Cho số = 2,236067977 a) Hãy quy tròn đến hàng phần trăm b) 21,02345 ± 0,001 Hướng dẫn giải a) 3678008 ± 1000 Hàng lớn độ xác d = 1000 hàng nghìn, nên ta quy trịn đến hàng b) Hãy tìm số gần với độ xác 0,005 Hướng dẫn giải a) Quy trịn số Vậy phần chục nghìn Vậy số quy tròn trường hợp 3680000 đến hàng phần trăm ta số gần 2,24 2,24 (quy tròn đến hàng phần trăm) b) 21,02345 ± 0,001 Hàng lớn độ xác d = 0,001 hàng phần nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần trăm b) Hàng chữ số khác bên trái độ xác 0,005 hàng phần nghìn Quy trịn đến hàng phần nghìn ta số gần 2,236 Vậy số quy trịn cần tìm 21,02 Bài Một tam giác có ba cạnh đo sau: a = 5,4 cm ± 0,2 cm; b = 7,2 cm ± Vậy 2,236 với độ xác 0,005 Bài Làm tròn số 4372,8 đến hàng chục 8,125 đến hàng phần trăm tính sai số tuyệt đối số quy tròn 0,2 cm c = 9,7 cm ± 0,1 cm Tính chu vi tam giác Hướng dẫn giải Chu vi tam giác là: Hướng dẫn giải P = a + b + c = (5,4 ± 0,2) + (7,2 ± 0,2) + (9,7 ± 0,1) + Số quy tròn số 4372,8 đến hàng chục 4370 Sai số tuyệt đối = (5,4 + 7,2 + 9,7) ± (0,2 + 0,2 + 0,1) ∆ = |4370 − 4372,8| = 2,8 = 22,3 ± 0,5 (cm) + Số quy tròn số 8,125 đến hàng phần trăm 8,13 Sai số tuyệt đối ∆' = |8,13 – 8,125| = 0,005 Vậy chu vi tam giác cho P = 22,3 cm ± 0,5 cm Ôn tập chương VI A Lý thuyết Nếu a = a d ∆a ≤ d Do a d d Nếu δa hay nhỏ chất lượng phép |a| |a| đo đạc hay tính tốn cao Số gần Chú ý: Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm Trong thực tế sống khoa học kĩ thuật, có nhiều đại lượng mà ta khơng thể xác định giá trị xác Mỗi dụng cụ hay phương pháp đo khác cho kết khác Vì kết thu thường số gần Số quy tròn 3.1 Quy tắc làm tròn số Quy tắc làm trịn số đến hàng (gọi hàng quy tròn): Sai số tuyệt đối sai số tương đối + Nếu chữ số sau hàng quy trịn nhỏ ta thay chữ số bên phải 2.1 Sai số tuyệt đối chữ số Nếu a số gần số a a = a − a gọi sai số tuyệt đối số gần + Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn ta làm cộng a thêm đơn vị vào chữ số hàng quy trịn * Độ xác: Chú ý: Trên thực tế ta thường số a nên khơng thể tính xác ∆a Khi đó, ta thường tìm cách khống chế sai số tuyệt đối ∆a không vượt mức d > cho trước: a = a − a d hay a – d ≤ a ≤ a + d Khi đó, ta nói a số gần số a với độ xác d + Khi thay số số quy trịn đến hàng sai số tuyệt đối số quy trịn khơng vượt nửa đơn vị hàng quy tròn Ta nói độ xác số quy trịn nửa đơn vị hàng quy tròn + Khi quy trịn số a đến hàng ta nói số gần a nhận xác đến hàng Ví dụ số gần π xác đến hàng phần trăm 3,14 Quy ước viết gọn: a = a d 2.2 Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a, kí hiệu δa, tỉ số sai số tuyệt đối ∆a |a|, tức a = a |a| 3.2 Xác định số quy trịn số gần với độ xác cho trước Các bước xác định số quy tròn số gần a với độ xác d cho trước: Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d Bước 2: Quy tròn số a hàng gấp 10 lần hàng tìm Bước 3.3 Xác định số gần số với độ xác cho trước Tần số n1 n2 … nk Để tìm số gần a số a với độ xác d, ta thực bước sau: Khi đó, cơng thức tính số trung bình trở thành Bước 1: Tìm hàng chữ số khác bên trái d x= Bước 2: Quy trịn a đến hàng tìm n1x1 + n x + + n k x k n Trong n = n1 + n2 + … + nk Ta gọi n cỡ mẫu Bảng số liệu Dựa vào thông tin biết sử dụng mối liên hệ tốn học số liệu, ta phát số liệu khơng xác số trường hợp Chú ý: Nếu kí hiệu f k = nk tần số tương đối (hay gọi tần suất) xk mẫu n số liệu số trung bình cịn biểu diễn là: x = f1x1 + f x + + f k x k Biểu đồ 6.2.Ý nghĩa số trung bình Ta biểu diễn số liệu thống kê dạng biểu đồ Số trung bình mẫu số liệu dùng làm đại diện cho số liệu mẫu Nó Một số dạng biểu đồ thường gặp: biểu đồ cột, biểu đồ cột kép, biểu đồ quạt, biểu đồ số đo xu trung tâm mẫu tranh,… Trung vị tứ phân vị Quan sát biểu đồ ta đưa nhận xét số liệu thống kê 7.1 Trung vị Số trung bình 7.1.1 Định nghĩa cách tính số trung vị 6.1 Cơng thức tính số trung bình Khi số liệu mẫu số liệu chênh lệch lớn, ta dùng đặc trưng khác • Giả sử ta có mẫu số liệu x1, x2, …, xn mẫu số liệu, gọi trung vị để so sánh mẫu số liệu với Số trung bình (hay số trung bình cộng) mẫu số liệu này, kí hiệu x , tính Trung vị định nghĩa sau: công thức Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x + x + + x n x= n x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn Trung vị mẫu, kí hiệu Me, giá trị dãy x1, x2, …, xn Cụ thể: • Giả sử mẫu số liệu cho dạng bảng tần số Giá trị x1 x2 … xk - Nếu n = 2k + 1, k (tức n số tự nhiên lẻ), trung vị mẫu Me = xk + - Nếu n = 2k, k (tức n số tự nhiên chẵn), trung vị mẫu Me = ( x k + x k +1 ) Tứ phân vị thứ Q1 gọi tứ phân vị đại diện cho nửa mẫu số liệu phía Tứ phân vị thứ ba Q3, cịn gọi tứ phân vị đại diện cho nửa mẫu số liệu phía 7.1.2 Ý nghĩa số trung vị Trung vị dùng để đo xu trung tâm mẫu số liệu Trung vị giá trị nằm mẫu số liệu theo nghĩa: ln có 50% số liệu mẫu lớn trung vị 50% số liệu mẫu nhỏ trung vị Khi mẫu xuất thêm giá trị lớn nhỏ số trung bình bị thay đổi đáng kể trung vị thay đổi Mốt Cho mẫu số liệu dạng bảng tần số Giá trị có tần số lớn gọi mốt mẫu số liệu kí hiệu Mo 7.2 Tứ phân vị Ý nghĩa mốt: Mốt đặc trưng cho giá trị xuất nhiều mẫu • Trung vị chia mẫu thành hai phần Trong thực tế người ta quan tâm đến trung vị phần Ba trung vị gọi tứ phân vị mẫu Chú ý: Một mẫu số liệu có nhiều mốt Khi tất giá trị mẫu số liệu có tần số xuất mẫu số liệu khơng có mốt Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: Khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn 9.1 Khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị Tứ phân vị mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi tứ phân vị thứ nhất, thứ hai thứ ba (lần lượt kí hiệu Q1, Q2, Q3) Ba giá trị chia tập hợp liệu xếp thành bốn phần Cụ thể: - Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q2, số trung vị mẫu - Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q1, trung vị nửa số liệu xếp bên trái Q2 (không bao gồm Q2 n lẻ) - Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q3, trung vị nửa số liệu xếp bên phải Q2 (không bao gồm Q2 n lẻ) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x1 ≤ x2 ≤ … ≤ x n • Khoảng biến thiên mẫu số liệu, kí hiệu R, hiệu giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu đó, tức là: R = xn – x1 • Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ∆Q, hiệu Q3 Q1, tức là: ∆Q = Q3 – Q1 • Ý nghĩa tứ phân vị 9.2 Ý nghĩa khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị: Các điểm tứ phân vị Q1, Q2, Q3 chia mẫu số liệu xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán toàn mẫu số liệu thành bốn phần, phần chia khoảng 25% tổng số liệu thu thập Số trung bình: x = 6+8+3+ 4+5+6+7 + 2+ = Điểm thi Cộng Tần số 18 10 40 Phương sai mẫu số liệu là: a) Tính số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn mẫu số liệu cho 10 S2 = (62 + 82 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 22 + 42) – 52 = b) Xét xem kết làm thi mơn Tốn lớp đồng hơn? Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: S = S2 = Hướng dẫn giải 10 30 = 3 a) * Lớp 10A: Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: (3 + + 12 + 14 + + 10) = 7,25 40 2; 3; 4; 4; 5; 6; 6; 7; Số trung bình: x A = Khoảng biến thiên mẫu là: R = – = Phương sai mẫu số liệu: Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai Q2 = S2A = Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 2; 3; 4; Do Q1 = 3,5 (3 52 + 62 + 12 72 + 14 82 + 92 + 102) – 7,252 = 1,2875 40 Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 6; 6; 7; Do Q3 = 6,5 Độ lệch chuẩn: SA = Khoảng tứ phân vị mẫu là: ∆Q = 6,5 – 3,5 = * Lớp 10B: Ta có: Q3 + 1,5∆Q = 6,5 + 1,5 = 11 Q1 – 1,5∆Q = 3,5 – 1,5 = – Số trung bình: x B = Do mẫu số liệu khơng có giá trị ngoại lệ Bài 13 Hai lớp 10A, 10B trường Trung học phổ thông đồng thời làm thi mơn Tốn theo đề thi Kết thi trình bày hai bảng phân bố tần số sau đây: 10 Cộng Tần số 12 14 40 (8 + 18 + 10 + 9) = 7,25 40 Phương sai mẫu số liệu: S2B = Điểm thi Toán lớp 10A Điểm thi S2A = 1,2875 1,135 (8 62 + 18 72 + 10 82 + 92) – 7,252 = 0,7875 40 Độ lệch chuẩn: SB = S2B = 0,7875 0,887 b) Vì 0,887 < 1,135 nên SB < SA hay độ lệch chuẩn mẫu số liệu lớp 10B nhỏ lớp 10A Điểm thi Toán lớp 10B Vậy kết làm thi học sinh lớp 10B đồng Bài 14 Kết điều tra mức lương tháng số công nhân hai nhà máy A S2A = 196 = 14 + Độ lệch chuẩn: SA = B cho bảng sau (đơn vị: triệu đồng): * Nhà máy B: + Số trung bình mức lương hàng tháng: x B = + + + + 10 + + + 11 + 8,4 + Giá trị có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu nhà máy B a) Hãy tìm số trung bình, mốt, tứ phân vị độ lệch chuẩn hai mẫu số liệu lấy từ nhà máy A nhà máy B b) Hãy tìm giá trị ngoại lệ mẫu số liệu Công nhân nhà máy có mức + Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 2; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 11 lương cao hơn? Tại sao? Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai Q2B = Hướng dẫn giải Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 2; 8; 9; Do Q1B = 8,5 a) Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 9; 9; 10; 11 Do Q3B = 9,5 * Nhà máy A: + Phương sai mẫu: + Số trung bình mức lương hàng tháng: x A = + + + 47 + + + + = 10 + Giá trị có tần số lớn nên mốt mẫu số liệu nhà máy A + Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: S2B = (22 + 82 + 92 + 92 + 92 + 92 + 92 + 102 + 112) – 8,42 = 6,55 + Độ lệch chuẩn: SB = S2B = 6,55 2,6 b) 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 47 + Khoảng tứ phân vị mẫu số liệu nhà máy A là: ∆QA = 5,5 – = 1,5 Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai Q2A = Ta có: Q3A + 1,5∆QA = 5,5 + 1,5 1,5 = 7,75 Q1A – 1,5∆QA = – 1,5 1,5 = 1,75 Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 4; 4; 4; Do Q1A = Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 5; 5; 6; 47 Do Q3A = 5,5 + Phương sai mẫu: S2A = (42 + 52 + 52 + 472 + 52 + 62 + 42 + 42) – 102 = 196 Do giá trị ngoại lệ mẫu số liệu nhà máy A 47 + Khoảng tứ phân vị mẫu số liệu nhà máy B là: ∆QB = 9,5 – 8,5 = Ta có: Q3B + 1,5∆QB = 9,5 + 1,5 = 11 Q1B – 1,5∆QB = 8,5 – 1,5 = Do giá trị ngoại lệ mẫu số liệu nhà máy B + Quan sát số liệu tính câu a), ta thấy Bài Các số đặc trưng đo mức độ phân tán mẫu số liệu - Số trung bình mức lương hàng tháng cơng nhân nhà máy A cao nhà máy B A Lý thuyết - Phương sai mẫu độ lệch chuẩn mẫu số liệu nhà máy A cao nhà máy B nên mức lương tháng công nhân nhà máy A có độ phân tán cao nhà máy B, Khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị mức lương công nhân nhà máy B ổn định nhà máy A 1.1 Khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị - Mức lương xuất nhiều mẫu A triệu đồng, nhà máy B triệu Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: đồng Do đó, ta khẳng định cơng nhân nhà máy A có mức lương cao (đều ổn định hơn) x1 ≤ x2 ≤ … ≤ x n • Khoảng biến thiên mẫu số liệu, kí hiệu R, hiệu giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu đó, tức là: R = xn – x1 • Khoảng tứ phân vị, kí hiệu ∆Q, hiệu Q3 Q1, tức là: ∆Q = Q3 – Q1 Ví dụ: Hãy tính khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị mẫu số liệu: 10; 3; 5; 7; 20; 1; 4; Hướng dẫn giải Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 3; 4; 5; 7; 9; 10; 20 - Khoảng biến thiên mẫu số liệu R = 20 – = 19 - Cỡ mẫu n = 8, số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai Q2 = - Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 10; 3; 5; Do Q1 = - Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 7; 9; 10; 20 Do Q3 = 9,5 - Khoảng tứ phân vị mẫu là: ∆Q = 9,5 – = 5,5 1.2 Ý nghĩa khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị: Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán toàn mẫu số liệu + Cỡ mẫu n = 12 số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: Q2 = Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán nửa số liệu, có giá trị ( 21,0 + 22,7 ) = 21,85 thuộc đoạn từ Q1 đến Q3 mẫu + Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0 Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng giá trị lớn bé Do Q1 = mẫu Ví dụ: Dưới bảng số liệu thống kê Biểu đồ nhiệt độ trung bình tháng năm 2019 hai tỉnh Lai Châu Lâm Đồng (được đề cập đến hoạt động (18,6 + 18,8) = 18,7 + Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7 Do Q3 = khởi động học) ( 23,6 + 24,2 ) = 23,9 + Khoảng tứ phân vị mẫu là: ∆Q = 23,9 – 18,7 = 5,2 * Tỉnh Lâm Đồng: Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3 a) Hãy tìm khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị nhiệt độ trung bình + Khoảng biến thiên mẫu số liệu là: R' = 20,3 – 16,0 = 4,3 tháng tỉnh Lai Châu Lâm Đồng + Cỡ mẫu n = 12 số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là: b) Hãy cho biết năm, nhiệt độ địa phương thay đổi (18,6 + 18,7 ) = 18,65 Hướng dẫn giải Q'2 = a) + Tứ phân vị thứ trung vị mẫu: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6 * Tỉnh Lai Châu: Do Q'1 = Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7 + Khoảng biến thiên mẫu số liệu là: R = 24,7 – 14,2 = 10,5 (17, + 17,5 ) = 17, 45 + Tứ phân vị thứ ba trung vị mẫu: 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3 Do Q'3 = (19,5 + 19,8 ) = 19,65 + Khoảng tứ phân vị mẫu là: ∆'Q = 19,65 – 17,45 = 2,2 b) Xét khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị nhiệt độ trung bình x số trung bình mẫu số liệu • Căn bậc hai phương sai gọi độ lệch chuẩn, kí hiệu S tháng hai tỉnh, ta thấy: 10,5 > 4,3 hay R > R' 5,2 > 2,2 hay ∆Q > ∆'Q Điều có nghĩa năm, nhiệt độ Lâm Đồng thay đổi Chú ý: Có thể biến đổi cơng thức tính phương sai thành: S2 = 1.3 Giá trị ngoại lệ 2 ( x1 + x 22 + + x n2 ) − x n Khoảng tứ phân vị dùng để xác định giá trị ngoại lệ mẫu, giá trị nhỏ hay lớn so với đa số giá trị mẫu Cụ thể, phần tử x Trong thống kê, người ta quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu s , mẫu giá trị ngoại lệ x > Q3 + 1,5∆Q x < Q1 – 1,5∆Q tính cơng thức: Sự xuất giá trị ngoại lệ làm cho số trung bình phạm vi mẫu s = thay đổi lớn Do đó, mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung mức độ phân tán đa số 2 ( x1 − x ) + ( x − x ) + + ( x n − x ) n −1 * Giả sử mẫu số liệu cho dạng bảng tần số: phần tử mẫu số liệu Ví dụ: Trong ví dụ phần 1.1, ta có: Q1 – 1,5∆Q = – 1,5 5,5 = – 4,25 Q3 + 1,5∆Q = 9,5 + 1,5 5,5 = 17,75 Do đó, mẫu có giá trị ngoại lệ 20 Phương sai độ lệch chuẩn Giá trị x1 x2 … xk Tần số n1 n2 … nk Khi đó, cơng thức tính phương sai trở thành: S2 = 1 2 n1 ( x1 − x ) + n ( x − x ) + + n k ( x k − x ) , n 2.1 Cơng thức tính phương sai độ lệch chuẩn n = n1 + n2 + … + nk * Giả sử ta có mẫu số liệu x1, x2, …, xn Có thể biến đổi cơng thức tính phương sai thành • Phương sai mẫu số liệu này, kí hiệu S2, tính công thức: S2 = 1 2 ( x1 − x ) + ( x − x ) + + ( x n − x ) , n S2 = ( n1x12 + n x 22 + + n k x k2 ) − x n Ví dụ: Tính phương sai độ lệch chuẩn mẫu số liệu sau: ... chất lượng |a| |a| Quy tròn số a = = 1 ,66 666 đến hàng phần trăm ước lượng sai số = 1 ,66 666 đến hàng phần trăm, ta số gần a = phép đo đạc hay tính tốn cao 1 ,67 Chú ý: Người ta thường viết sai số... ( 56 + 45 + 65 + 45 + 56 + 78 + 100 + 78 + 78) 66 ,78 Sắp xếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 45; 45; 56; 56; 65 ; 78; 78; 78; 100 Vì cỡ mẫu 9, số lẻ nên tứ phân vị thứ hai Q2 = 65 ... lệch chuẩn mẫu số liệu lớp 10B nhỏ lớp 10A Điểm thi Toán lớp 10B Vậy kết làm thi học sinh lớp 10B đồng Bài 14 Kết điều tra mức lương tháng số công nhân hai nhà máy A S2A = 1 96 = 14 + Độ lệch chuẩn: