Chương II Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bài 1 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn A Lý thuyết 1 Khái niệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y[.]
Chương II Bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài Bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Khái niệm bất phương trình bậc hai ẩn - Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng ax + by + c < 0; ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0, a, b, c số cho trước, a, b không đồng thời 0, x y ẩn Với x = ‒1, y = ‒2 ta có: 5.(‒1) + 2.(‒2) = ‒9 < nên (‒1; ‒2) nghiệm bất phương trình 5x + 2y < Với x = 0, y = ta có: + = < nên (0; 0) nghiệm bất phương trình 5x + 2y < + Bất phương trình bậc hai ẩn x ‒ 2y ≥ có cặp nghiệm (4; ‒1); (4; 0); bởi: Với x = 4, y = ‒1 ta có: – (‒1) = ≥ nên (4; ‒1) nghiệm bất phương trình x ‒ 2y ≥ Với x = 4, y = ta có: ‒ = ≥ nên (4; 0) nghiệm bất phương trình x ‒ 2y ≥ Ví dụ: 5x + 2y < bất phương trình bậc hai ẩn bất phương trình chứa hai ẩn x, y bậc Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 5x + 2y – 3z > khơng bất phương trình bậc hai ẩn bất phương trình chứa ẩn x, y, z bậc Nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Xét bất phương trình ax + by + c < Mỗi cặp số (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0 + c < gọi nghiệm bất phương trình cho Chú ý: Nghiệm bất phương trình ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ định nghĩa tương tự Ví dụ: + Bất phương trình bậc hai ẩn 5x + 2y < có cặp nghiệm (-1; -2); (0; 0); bởi: - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm (x0; y0) cho ax0 + by0 + c < gọi miền nghiệm bất phương trình ax + by + c < - Người ta chứng minh được: Mỗi phương trình ax + by + c = (a, b không đồng thời 0) xác định đường thẳng ∆ Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa mặt phẳng, nửa (khơng kể bờ ∆) tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c > 0, nửa cịn lại (khơng kể bờ ∆) tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < Ta biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn ax + by + c < sau: Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = Bước 2: Lấy điểm (x0; y0) khơng thuộc ∆ Tính ax0 +by0 + c + Nếu ax0 + by0 + c < miền nghiệm bất phương trình cho nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) chứa điểm (x0; y0) + Nếu ax0 + by0 + c > miền nghiệm bất phương trình cho nửa mặt phẳng (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x0; y0) Bài Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? a) 3x + 5y ‒ < Chú ý: Đối với bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax + by + c ≤ (hoặc ax + by + b) 2x2 – y ‒ > c ≥ 0) miền nghiệm miền nghiệm bất phương trình ax + by + c < (hoặc ax + by c) 4y2 – ≤ + c > 0) kể bờ d) 4x – < 3y Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình x + 2y – > mặt phẳng tọa độ: e) 2x – 5y + 6t ≥ Hướng dẫn giải Ta có: 3x + 5y ‒ < có dạng ax + by + c < với a = 3, b = c = ‒ Do bất Bước 1: Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – = mặt phẳng tọa độ Oxy phương trình a) bất phương trình bậc hai ẩn Bước 2: Lấy điểm O (0; 0) không thuộc ∆ thay x = y = vào biểu thức x + 2y – Ta có: 2x2 – y ‒ > có chứa x2 nên bất phương trình b) khơng bất phương trình bậc ta + 2.0 – = ‒2 > mệnh đề sai hai ẩn Ta có: 4y2 – ≤ có chứa ẩn y2 nên bất phương trình c) khơng bất phương trình bậc Do miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng bờ ∆ (không kể bờ ∆) không chứa điểm O (miền nghiệm miền không bị gạch hình) hai ẩn Ta có 4x – < 3y ⇔ 4x – 3y ‒ < có dạng ax + by + c < với a = 4, b = ‒ c = ‒ Do bất phương trình d) bất phương trình bậc hai ẩn Ta có 2x – 5y + 6t ≥ bất phương trình bậc ba ẩn x, y, t Do bất phương trình e) khơng bất phương trình bậc hai ẩn Vậy 3x + 5y ‒ < 0; 4x – < 3y bất phương trình bậc hai ẩn Bài Bất phương trình sau có phải bất phương trình bậc hai ẩn khơng? Nếu có biểu diễn miền nghiệm trục tọa độ Oxy: 2x + y – ≤ 0? Hướng dẫn giải Bất phương trình 2x + y – ≤ bất phương trình bậc hai ẩn có dạng ax + by + c ≤ với a = 2, b = c = ‒ - Biểu diễn miền nghiệm trục tọa độ Oxy: + Vẽ đường thẳng ∆: 2x + y – = mặt phẳng tọa độ Oxy B Bài tập tự luyện + Lấy điểm O(0;0) không thuộc ∆ thay vào bất phương trình ta có: + – = ‒ ≤ Thay (x; y) = (11; 12) vào bất phương trình ta có: 11 + 12 = 45 < 20 mệnh đề sai Do mệnh đề cặp số (11;12) khơng nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm bất phương trình cho trục tọa độ Oxy nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể bờ ∆) chứa gốc tọa độ O Miền nghiệm biểu diễn trục tọa độ Oxy: Vậy ta có cặp nghiệm (x; y) là: (2; 5); (4; 7) Bài Cho bất phương trình bậc hai ẩn: x + 4y ≤ 20 a) Chỉ hai nghiệm bất phương trình b) Với x = có giá trị y thỏa mãn bất phương trình c) Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy Hướng dẫn giải a) Chọn (x; y) = (0; 0) Thay x = y = vào bất phương trình cho ta + 4.0 = ≤ 20 mệnh đề Do cặp (0; 0) nghiệm bất phương trình Bài Cho bất phương trình bậc hai ẩn: 3x + y < 20 Cặp số (x; y) cặp số (2; 5), (4; 8), (5; 6), (4; 7), (11; 12) nghiệm bất phương trình trên? Chọn (x; y) = (0; 1) Thay x = y = vào bất phương trình cho ta + 4.1 = ≤ 20 mệnh đề Do cặp (0; 1) nghiệm bất phương trình Hướng dẫn giải Vậy hai cặp số (0; 0) (0; 1) nghiệm bất phương trình cho Thay (x; y) = (2; 5) vào bất phương trình ta có: + = 11 < 20 mệnh đề Do b) Với x = bất phương trình trở thành: 4y ≤ 20 ⇔ y ≤ có vơ số giá trị y thỏa cặp số (2;5) nghiệm bất phương trình cho mãn bất phương trình Thay (x; y) = (4; 8) vào bất phương trình ta có: + = 20 < 20 mệnh đề sai Do cặp số (4;8) khơng nghiệm bất phương trình cho c) - Biểu diễn miền nghiệm trục tọa độ Oxy: + Vẽ đường thẳng ∆: x + 4y – 20 = mặt phẳng tọa độ Oxy + Lấy điểm O(0;0) không thuộc ∆ thay vào bất phương trình ta có: + – 20 = ‒ 20 ≤ Thay (x; y) = (5; 6) vào bất phương trình ta có: + = 21 < 20 mệnh đề sai Do mệnh đề cặp số (5;6) không nghiệm bất phương trình cho Vậy miền nghiệm bất phương trình cho trục tọa độ Oxy nửa mặt phẳng bờ Thay (x; y) = (4; 7) vào bất phương trình ta có: + = 19 < 20 mệnh đề Do ∆ (kể bờ ∆) chứa gốc tọa độ O cặp số (4;7) nghiệm bất phương trình cho Miền nghiệm biểu diễn trục tọa độ Oxy: Bài Hệ bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Khái niệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn - Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung tất bất phương trình gọi nghiệm hệ bất phương trình cho - Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm (x 0; y0) có tọa độ nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn gọi miền nghiệm hệ bất phương trình Ví dụ: x + 2y hệ bất phương trình hai ẩn x, y gồm hai bất phương trình x + 2y < y − 2x y – 2x > x + y2 hệ bất phương trình bậc hai ẩn x + y2 < bất x − y phương trình bậc hai hai ẩn x + y - Cho hệ bất phương trình hai ẩn x − y 10 Thay x = 10 y = vào bất phương trình x + y > ta có: 10 + = 12 > mệnh đề nên cặp số (x; y) = (10; 2) nghiệm bất phương trình x + y > Thay x = 10 y = vào bất phương trình x – y < 10 ta có: 10 – = < 10 mệnh đề nên cặp số (x; y) = (10; 2) nghiệm bất phương trình x – y < 10 Cặp (x; y) = (10; 2) nghiệm bất phương trình x + y > nghiệm bất phương trình x – y < 10 Nên cặp (x; y) = (10; 2) nghiệm hệ bất phương trình cho Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng tọa độ Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực sau: - Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ Bước 3: Miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 150: - Vẽ đường thẳng d: x + y = 150 - Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 150 mệnh đề nên tọa độ điểm O (0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150 Do đó, miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 150 nửa mặt phẳng bờ d (kể bờ d) chứa gốc tọa độ O Từ ta có miền nghiệm khơng bị gạch giao miền nghiệm bất phương trình hệ - Phần giao miền nghiệm miền nghiệm hệ bất phương trình Chú ý: Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm đa giác lồi phần nằm bên đa giác gọi miền đa giác x Ví dụ: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn: y : x + y 150 Trên mặt phẳng Oxy: Bước 1: Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ gạch bỏ phần miền lại - Đường thẳng x = trục tọa độ Oy - Miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy nằm bên phải trục Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F = ax + by miền Oy đa giác Bước 2: Tương tự, miền nghiệm D2 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox Người ta chứng minh F = ax + by đạt giá trị lớn nhỏ nằm bên trục Ox đỉnh đa giác x y Ví dụ: Cho hệ bất phương trình bậc hai ẩn: x + y 100 2x + y 120 + Miền nghiệm D3 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy (kể trục Oy) nằm bên phải trục Oy - Tương tự, miền nghiệm D4 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox nằm bên trục Ox Và F(x; y) = 3,5x + 2y Tìm giá trị lớn F(x; y) Từ ta có miền nghiệm khơng bị gạch giao miền nghiệm bất phương Hướng dẫn giải: trình hệ Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình Miền nghiệm miền tứ giác OABC với O(0;0), A(0;100), B(20;80) C(60;0) - Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x + y ≤ 100: + Vẽ đường thẳng d1: x + y = 100 + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 100 mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100 Do đó, miền nghiệm D1 bất phương trình x + y ≤ 100 nửa mặt phẳng bờ d (kể bờ d1) chứa gốc tọa độ O - Miền nghiệm D2 bất phương trình 2x + y ≤ 120: + Vẽ đường thẳng d2: 2x + y = 120 + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 120 mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120 Bước 2: Tính giá trị biểu thức F(x; y) = 3,5x + 2y đỉnh tứ giác: Do đó, miền nghiệm D2 bất phương trình 2x + y ≤ 120 nửa mặt phẳng bờ d2 (kể Tại O(0; 0): F = 3,5.0 + 2.0 = 0; bờ d2) chứa gốc tọa độ O - Xác định miền nghiệm D3 bất phương trình x ≥ + Đường thẳng x = trục tọa độ Oy Tại A(0; 100): F = 3,5.0 + 2.100 = 200; Tại B(20; 80): F = 3,5.20 + 2.80 = 230; Tại C(60; 0): F = 3,5.60 + 2.0 = 210; Bước 3: So sánh giá trị thu Bước 2, kết luận giá trị lớn F (x; y) 230 B Bài tập tự luyện Bài Hệ bất phương trình sau hệ bất phương trình bậc hai ẩn? x a) y − x + y b) y − x c) y – 2x < 2x − y d) 10 4x + 3y 10 Hướng dẫn giải x - Hệ bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn có hai bất phương y − trình x < y - > bất phương trình bậc hai ẩn 2x − y x Vậy có hệ hệ bất phương trình bậc hai ẩn 10 y − 4x + 3y 10 x + 5y Bài Cho hệ bất phương trình Hỏi có phải hệ bất phương trình bậc 5x − 4y hai ẩn không? Khi cho y = 0, x nhận giá trị nguyên nào? Hướng dẫn giải x + 5y hệ bất phương trình bậc hai ẩn có bất phương trình x + 5y < 5x − 4y 5x – 4y > bất phương trình bậc hai ẩn x x Khi y = 0, hệ trở thành: (vơ lí) 5x x Vậy giá trị nguyên x thoả mãn để y = x y Bài Cho hệ bất phương trình x + y 80 2x + y 120 x + y - Hệ bất phương trình khơng hệ bất phương trình bậc hai ẩn có bất y − x a) Tìm hai nghiệm hệ phương trình x2 + y < khơng bất phương trình bậc hai ẩn b) Cho F (x; y) = 2x + 2y Tìm giá trị lớn F (x; y) - y – 2x < không hệ bất phương trình bậc hai ẩn có bất phương trình Hướng dẫn giải bậc hai ẩn a) Chọn (x; y) = (1; 1) 2x − y Hệ bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn có hai bất 10 4x + 3y 10 Thay x = y = vào bất phương trình x ≥ ta ≥ mệnh đề Do cặp phương trình 2x – y < 4x + 3y > 1010 bất phương trình bậc hai ẩn (1; 1) nghiệm bất phương trình x ≥ Thay x = y = vào bất phương trình y ≥ ta ≥ mệnh đề Do cặp (1; 1) nghiệm bất phương trình y ≥ Thay x = y = vào bất phương trình x + y ≤ 80 ta + = ≤ 80 mệnh đề Do đó, miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 80 nửa mặt phẳng bờ d1 (kể Do cặp (1; 1) nghiệm bất phương trình x + y ≤ 80 bờ d1) chứa gốc tọa độ O Thay x = y = vào bất phương trình 2x + y ≤ 120 ta + = ≤ 120 mệnh đề Do cặp (1; 1) nghiệm bất phương trình 2x + y ≤ 120 - Miền nghiệm D4 bất phương trình 2x + y ≤ 120: x y Vậy (x; y) = (1; 1) nghiệm hệ bất phương trình x + y 80 2x + y 120 + Vẽ đường thẳng d2: 2x + y = 120 x y Tương tự ta chọn (x; y) = (2; 2) nghiệm hệ bất phương trình x + y 80 2x + y 120 Do đó, miền nghiệm D4 bất phương trình 2x + y ≤ 120 nửa mặt phẳng bờ d2 (kể Vậy hai cặp số (1; 1), (2; 2) nghiệm hệ bất phương trình hệ + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 120 mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y ≤ 120 bờ d2) chứa gốc tọa độ O Từ ta có miền nghiệm không bị gạch giao miền nghiệm bất phương trình b) - Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ + Đường thẳng x = trục tọa độ Oy + Miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy (kể trục Oy) nằm bên phải trục Oy - Tương tự, miền nghiệm D2 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox (kể trục Ox) nằm bên trục Ox - Miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 80: + Vẽ đường thẳng d1: x + y = 80 + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: + = ≤ 80 mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 80 Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OABC với: O(0; 0), A(0; 80), B(40; 40), C(60; 0) Tại O(0; 0): F = 2.0 + 2.0 = 0; Tại A(0; 80): F = 2.0 + 2.80 = 160; Tại B(40; 40): F = 2.40 + 2.40 = 160; Tại C(60; 0): F = 2.60 + 2.0 = 120; Vậy giá trị lớn F (x; y) 160 (x; y) = (0; 80) (x; y) = (40, 40) Bài Bác An cần phải làm nến vịng khơng q để bán Nến loại A cần 30 phút để làm xong cây, nến loại B cần để làm xong Gọi x, y số nến loại A, B bác An làm Lập hệ bất phương trình mơ tả điều kiện x y biểu diễn miền nghiệm hệ Tìm số nến nhiều mà bác An làm Hướng dẫn giải + Miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy (kể trục Oy) nằm bên phải trục Oy - Tương tự, miền nghiệm D2 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox (kể trục Ox) nằm bên trục Ox - Miền nghiệm D3 bất phương trình 0,5x + y ≤ 8: + Vẽ đường thẳng ∆: 0,5x + y = + Xét gốc toạ độ O(0; 0) có: 0,5 + = ≤ mệnh đề nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình 0,5x + y ≤ Do đó, miền nghiệm D3 bất phương trình 0,5x + y ≤ nửa mặt phẳng bờ ∆ (kể bờ ∆) chứa gốc tọa độ O Số bác An làm xong x nến loại A là: 0,5x (giờ) Số bác An làm xong y nến loại B là: y (giờ) Tổng số để bác An làm x nến loại A y nến loại B là: 0,5x + y (giờ) Do bác An cần phải làm nến vịng khơng q nên 0,5x + y ≤ Số nến bạn An làm không âm nên x ≥ 0, y ≥ x Ta có hệ bất phương trình sau: y 0,5x + y Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: - Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ + Đường thẳng x = trục tọa độ Oy Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OAB với: O(0; 0), A(0; 8), B(16; 0) Số nến bác An làm là: F (x; y) = x + y Tại O(0; 0): F = + = 0; Tại A(0; 8): F = + = 8; Tại B(16; 0): F = 16 + = 16; Do giá trị lớn F(x; y) 16 x = 16 y = Vậy bác An làm nhiều 16 nến bác làm 16 nến loại A không làm nến loại B Bài Ôn tập chương II A Lý thuyết Khái niệm bất phương trình bậc hai ẩn - Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng ax + by + c < 0; ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0, a, b, c số cho trước, a, b không đồng thời 0, x y ẩn Nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Xét bất phương trình ax + by + c < Mỗi cặp số (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0 + c < gọi nghiệm bất phương trình cho Nghiệm bất phương trình ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ định nghĩa tương tự Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm (x0; y0) cho ax0 + by0 + c < gọi miền nghiệm bất phương trình ax + by + c < - Người ta chứng minh được: Mỗi phương trình ax + by + c = (a, b không đồng thời 0) xác định đường thẳng ∆ Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành nửa mặt phẳng, nửa (khơng kể bờ ∆) tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c > 0, nửa cịn lại (khơng kể bờ ∆) tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < Ta biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn ax + by + c < sau: Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = Bước 2: Lấy điểm (x0; y0) không thuộc ∆ Tính ax0 + by0 + c + Nếu ax0 + by0 + c < miền nghiệm bất phương trình cho nửa mặt phẳng (khơng kể bờ ∆) chứa điểm (x0; y0) + Nếu ax0 + by0 + c > miền nghiệm bất phương trình cho nửa mặt phẳng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F = ax + by miền đa giác Người ta chứng minh F = ax + by đạt giá trị lớn nhỏ đỉnh đa giác (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x0; y0) B Bài tập tự luyện Chú ý: Đối với bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax + by + c ≤ (hoặc ax + by + Bài Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? c ≥ 0) miền nghiệm miền nghiệm bất phương trình ax + by + c < (hoặc ax + by + c > 0) kể bờ Khái niệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn - Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung tất bất phương trình gọi nghiệm hệ bất phương trình cho a) 3x + 5y ‒ < b) 2x2 – y2 ‒ > c) 4y2 – > d) 4x – 5y < e) 2x – 5y – ‒ 6t ≥ Hướng dẫn giải Ta có: 3x + 5y ‒ < có dạng ax + by + c < với a = 3, b = c = ‒ Do bất - Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm (x 0; y0) có tọa độ nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn gọi miền nghiệm hệ bất phương trình phương trình a) bất phương trình bậc hai ẩn Ta có: 2x2 – y ‒ > có chứa x2 nên bất phương trình b) khơng bất phương trình bậc Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng hai ẩn tọa độ Ta có: 4y2 – ≤ có chứa ẩn y2 nên bất phương trình c) khơng bất phương trình bậc hai ẩn Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn mặt phẳng tọa độ Oxy, ta thực sau: - Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ - Phần giao miền nghiệm miền nghiệm hệ bất phương trình Chú ý: Miền mặt phẳng tọa độ bao gồm đa giác lồi phần nằm bên đa giác gọi miền đa giác Ta có 4x – 5y < ⇔ 4x – 5y ‒ < có dạng ax + by + c < với a = 4, b = ‒ c = ‒ Do bất phương trình d) bất phương trình bậc hai ẩn Ta có 2x – 5y ‒ 6t ≥ bất phương trình bậc ba ẩn x, y, t Do bất phương trình e) khơng bất phương trình bậc hai ẩn Vậy 3x + 5y ‒ < 0; 4x – 5y < bất phương trình bậc hai ẩn Bài Bất phương trình sau có phải bất phương trình bậc hai ẩn khơng? Nếu có biểu diễn miền nghiệm trục tọa độ Oxy: 2x + y – ≤ 0? Hướng dẫn giải Bất phương trình 2x + y – ≤ bất phương trình bậc hai ẩn có dạng ax + by + x + 2y hệ bất phương trình bậc hai ẩn có hai bất phương trình x + 2y < x − 3y c ≤ với a = 2, b = c = ‒ 1 x – 3y ≥ bất phương trình bậc ẩn - Biểu diễn miền nghiệm trục tọa độ Oxy: + Vẽ đường thẳng ∆: 2x + y – = mặt phẳng tọa độ Oxy + Lấy điểm O(0;0) khơng thuộc ∆ thay vào bất phương trình ta có: 2.0 + ‒ = ‒1 ≤ x Khi y = 0, hệ trở thành: ⇔0≤x có chứa x2 nên bất phương trình b) khơng bất phương trình bậc. .. nghiệm bất phương trình cho Miền nghiệm biểu diễn trục tọa độ Oxy: Bài Hệ bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Khái niệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn - Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai