Phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 10 khi dạy học bài tập hàm số bậc hai và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

A SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MƠ HÌNH HĨA TỐN HỌC CHO HỌC SINH LỚP 10 KHI DẠY HỌC BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC HAI VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Người thực hiện: Lê Thị Hương Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Quy trình mơ hình hóa tốn học 2.3.2 Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh dạy học tập hàm số bậc hai 2.3.3 Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh dạy 11 học tập hàm hệ bất phương trình bậc hai ẩn 2.4 Hiệu sáng kiến 19 Kết luận, kiến nghị 19 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Lịch sử hình thành phát triển cho thấy tốn học có nguồn gốc từ thực tế, phát triển thực tiễn có tác dụng lớn nội dung toán học Thực tiễn sở để nảy sinh, phát triển hồn thiện lý thuyết tốn học Tốn học khơng phải sản phẩm túy trí tuệ mà phát sinh phát triển nhu cầu thực tế sống, trở lại, toán học lại xâm nhập vào thực tiễn thúc đẩy thực tiễn phát triển với vai trị cơng cụ, tốn học giúp giải tốn thực tiễn đặt Một lí mà tốn học ln chiếm thời lượng lớn chương trình giáo dục hầu giới lợi ích tốn học thực tiễn; toán học áp dụng nhiều cách khác nhiều mơn học vật lí, hóa học, sinh học, địa lí, kĩ thuật, cơng việc sống ngày người Chính điều mà dạy học toán bên cạnh việc cung cấp cho học sinh kiến thức kỹ liên quan đến tốn học khái niệm, định lí, cơng thức, quy tắc giáo viên cần phải giúp học sinh phát triển kỹ kết nối kiến thức để giải vấn đề thực tiễn Khi sử dụng tốn học để giải vần đề ngồi lĩnh vực tốn học mơ hình tốn học q trình hóa tốn học cơng cụ cần thiết Mơ hình hóa tốn học q trình chuyển đổi từ vấn đề thực tế sang vấn đề toán học cách thiết lập giải mơ hình tốn học Cụ thể, mơ hình hóa tốn học tồn q trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học ngược lại, với yếu tố liên quan đến q trình như: từ bước xây dựng lại tình thực tiễn, lựa chọn mơ hình tốn học phù hợp, làm việc mơi trường tốn học, giải thích, đánh giá kết liên quan đến tình thực tiễn điều chỉnh mơ hình có kết hợp lí Trong chương trình sách giáo khoa mơn Tốn phổ thơng, q trình mơ hình hóa thơng qua ngơn ngữ tốn học như: hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểu tượng, kí hiệu, cơng thức hay chí mơ hình ảo máy vi tính… [10] Chiến lược phát triển giáo dục đào tạo giai đoạn 2011 – 2020 nêu rõ “ lực cần hình thành phát triển cho người học dạy học mơn Tốn trường phổ thơng lực mơ hình hóa tốn học.” Đối với học sinh, mơ hình hóa tốn học cần thiết lí sau đây: - Mơ hình hóa tốn học cho phép học sinh hiểu toán học với sống môi trường xung quanh môn khoa học khác, giúp cho việc học toán trở nên ý nghĩa - Mơ hình hóa tốn học trang bị cho học sinh khả sử dụng toán học công cụ để giải vấn đề xuất tình ngồi tốn, từ giúp học sinh thấy tính hữu ích tốn học thực tế, khả sử dụng tốn học vào tình ngồi tốn khơng phải kết tự động thành thạo tốn học túy mà địi hỏi phải có chuẩn bị rèn luyện - Mơ hình hóa tốn học góp phần tạo nên tranh đầy đủ, toàn diện phong phú tốn học, giúp học sinh thấy khơng ngành khoa học mà phần lịch sử văn hóa lồi người - Các nội dung tốn học hình thành củng cố ví dụ thực tiễn, điều giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu chủ đề phát triển thài độ tích cực em tốn học, từ tạo động thúc đẩy việc học tốn - Mơ hình hóa tốn học phương tiện phù hợp để phát triển lực toán học học sinh suy luận, khám phám, sáng tạo, giải vấn đề Vì lí trên, thực đề tài “Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh lớp 10 dạy học tập hàm số bậc hai hệ bất phương trình bậc hai ẩn” Thơng qua đề tài phát huy khả tìm lời giải cho tập có nội dung thực tế liên quan đến kiến thức chương chương trình đại số 10, hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, tư sáng tạo lực vận dụng kiến thức học vào thực tiễn cho học sinh 1.2 Mục đích nghiên cứu Thơng qua đề tài phát huy khả tìm lời giải cho số tập có nội dung thực tế liên quan đến kiến thức chương II chương IV đại số lớp 10 từ hình thành hứng thú học tập, phát huy tính tích cực, chủ động, tư sáng tạo, phát triển lực mơ hình hóa tốn học lực vận dụng kiến thức học vào thực tiễn cho học sinh Giúp học sinh thấy tốn học có nhiều ứng dụng thực tế, qua kích thích niềm đam mê, hứng thú học toán em 1.3 Đối tượng nghiên cứu + Các quan điểm mô hình hóa tốn học, quy trình mơ hình hóa tốn học + Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh lớp 10 thơng qua việc tìm lời giải cho số tập có nội dung thực tế liên quan đến hàm số hệ bất phương trình bậc nhiều ẩn + Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi hiệu đề tài 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết + Phương pháp nghiên cứu thực nghiệm, điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin + Phương pháp thống kê, xử lí số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong học tập mơn Tốn tư giải tập hoạt động chủ đạo thường xun học sinh, thơng qua hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ lực thực tiễn Mục tiêu cụ thể giáo dục phổ thông tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, lực công dân, phát bồi dưỡng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, lực kỹ thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn Phát triển khả sáng tạo, tự học, khuyến khích học tập suốt đời [7] Vì vậy, giảng dạy tốn muốn tăng cường rèn luyện khả ý thức ứng dụng toán học vào sống cho học sinh thiết phải ý lồng ghép toán thực tế vào q trình dạy hoc qua góp phần tăng cường thực hành gắn với thực tiễn làm cho học sinh có hứng thú với mơn tốn, cảm thấy tốn học khơng khơ khan nhàm chán Học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải trực tiếp số vấn đề sống ngược lại Các dạng tập chương chương trình đại só lớp 10 phong phú, nhiều toán hay, xâu chuỗi mảng kiến thức khác lồng hoạt động thực tiễn xây dựng, đo đạc, sản xuất vào nội dung toán Do dạy học phần giáo viên cần lưu ý tạo điều kiện để học sinh tiếp cận với số tốn có nội dung liên quan đến thực tiễn, từ tạo hứng thú học tập phát huy tính tích cực, chủ động em đồng thời phát triển lực mơ hình hóa tốn học, rèn luyện cho em khả giải tình đời sống thực tế, vận dụng toán học vào đời sống thực tiễn Cơng việc xây dựng mơ hình hóa tốn học để giải tốn có nội dung thực tiễn Trong giai đoạn q trình vận dụng tốn học vào thực tiễn bước lập mơ hình tốn học chiếm vị trí đặc biệt quan trọng phương pháp tốn học thực mơ hình tốn học Rõ ràng, khơng thiết lập mơ hình tốn học tập tốn học có nội dung thực tiễn khơng thể giải Do phát triển lực mơ hình hóa HS thơng qua chủ đề 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong chương trình đại số 10, nội dung sách giáo khoa đề cập đến số tốn có nội dung thực tế liên quan đến thực tiễn Tuy nhiên trình dạy học trường THPT nhiều giáo viên trọng rèn luyện cho học sinh vận dụng tri thức toán học để giải vấn đề nội mơn tốn chủ yếu cịn kỹ vận dụng tri thức tốn học vào mơn học khác vào đời sống thực tiễn chưa ý mức thường xun Dẫn đến học sinh khơng có nhiều kỹ giải tốn có nội dung liên hệ trực tiếp với đời sống lao động sản xuất không thấy ứng dụng tri thức học vào sống Chính điều làm cho học sinh thấy ý nghĩa việc học toán thực tiễn chưa có thói quen áp dụng kiến thức học vào thực tiễn sống, em học tốn để làm ngồi vấn đề “học để thi” dẫn đến nhiều học sinh học theo cách đối phó mà chưa thực có hứng thú, có niềm đam mê mơn tốn nói chung mơn học khác nói riêng Năm học 2019- 2020 chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy Sau dạy xong hàm số tổ chức ôn tập, rèn kỹ giải tập tiết dạy tự chọn buổi dạy thêm nhà trường Tôi cho học sinh lớp 10B2 làm kiểm tra nội dung kiến thức, kỹ mà học sinh cần phải nắm chương Kết sau: Giỏi Khá TB Yếu, SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) SL TL(%) 10B2 42 4,7 15 35,7 20 47,6 12 Sau thấy kết học tập học sinh chưa mong muốn tơi tiến hành tìm hiểu thái độ học tập học sinh làm tập phần hàm số bậc hai thu số liệu sau: Lớp Số HS Số lượng học sinh 10 Tỉ lệ % 23,8 15 35,7 17 40,5 Thái độ, hứng thú học tập Khơng muốn học nội dung mơn học khó khơng biết học để dùng vào việc thực tế sống? Cảm thấy bình thường mục tiêu em thi đậu tốt nghiệp THPT Quốc gia mà để đậu em không thiết phải tư giải tập vận dụng, vận dụng cao Cảm thấy cần phải học để tích lũy tri thức để đạt điểm cao kì thi THPT Quốc gia Từ kết đó, năm học 2020 - 2021, dạy học tập phần hàm số bậc hai hệ bất phương trình bậc hai ẩn tơi tiến hành đổi cách lồng ghép số ứng dụng thực tiễn vào nội dung tập trình dạy học lớp 10C6 (lớp 10C6 có chất lượng tương đương với lớp 10B2) nhằm phát triển lực mơ hình hóa tốn học, tạo hứng thú cho em trình học tập từ nâng cao kết học tập em rèn luyện lực vận dụng kiến thức học vào thực tiễn 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải số tốn có nội dung thực tiễn qua số buổi học có hướng dẫn giáo viên tổ chức buổi cho học sinh thực hành đo đạc, thực hành hình thức ngoại khóa Khi dạy tập giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số, tơi thường chọn lọc số tập có nội dung thực tế liên quan đến nội môn học khác liên quan đến thực tế đời sống để tạo hứng thú học tập cho học sinh, phát triển mơ hình hóa tốn học rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức học vào thực tiễn 2.3.1 Quy trình mơ hình hóa tốn học Mơ hình hóa tốn học: q trình thành lập cải thiện mơ hình tốn học để biểu diễn giải vấn đề giới thực tiễn Thơng qua Mơ hình hóa tốn học, học sinh học cách lựa chọn áp dụng loạt kiểu liệu, phương pháp công cụ toán học phù hợp việc giải vấn đề giới thực tiễn Cơ hội để xử lí liệu thực tế sử dụng cơng cụ tốn học để phân tích liệu nên phần việc học tập toán học tất cấp Quy trình mơ hình hóa toán học gồm giai đoạn chủ yếu sau [10]: - Giai đoạn 1: Quan sát tượng thực tiễn, phác thảo tình phát yếu tố (như biến số tham số) quan trọng, có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn - Giai đoạn 2: Lập giả thuyết mối quan hệ yếu tố tốn sử dụng ngơn ngữ tốn học.Từ đó, thiết lập mơ hình tốn học tương ứng -Giai đoạn 3: Áp dụng phương pháp cơng cụ tốn học phù hợp để mơ hình hóa tốn phân tích mơ hình -Giai đoạn 4: Thơng báo kết quả, đối chiếu mơ hình với thực tiễn đưa kết luận Q trình mơ hình hóa coi khép kín dùng để mơ tả tình nảy sinh từ thực tiễn, kết dùng để giải thích cải thiện cácvấn đề thực tiễn Có thể minh họa q trình sơ đồ khép kín sau [10]: Để vận dụng linh hoạt trình trên, trình dạy học Tốn, tơi tổ chức cho học sinh nắm yêu cầu cụ thể bước q trình mơ hình hóa tốn: Bước Tốn học hóa: Hiểu tình thực tiễn Mơ hình thực tiễn tốn học hóa, nghĩa thơng dịch sang ngơn ngữ tốn học để dẫn đến mơ hình tốn học tình ban đầu Mô tả diễn đạt vấn đề công cụ ngơn ngữ tốn học hàm số, hình vẽ, đồ thị, cơng thức tốn học, phương trình, bất phương trình tốn học Ứng với vấn đề xem xét, có nhiều mơ hình tốn học khác nhau; q trình đưa mơ hình phụ thuộc vào việc đánh giá yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng quan trọng Bước Giải toán: Sử dụng cơng cụ tốn học để khảo sát giải tốn hình thành bước thứ Căn vào mơ hình xây dựng, cần chọn xây dựng phương pháp giải phù hợp Bước Thông hiểu: Hiểu ý nghĩa lời giải toán tình thực tiễn (bài tốn ban đầu) Bước Đối chiếu, kiểm định kết quả: Phân tích kiểm định lại kết thu Ở đây, cần xác định mức độ phù hợp mơ hình kết tính tốn với thực tiễn Đây bước quan trọng, giúp người thực nhận giải pháp liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh Ở bước xảy hai khả năng: Khả 1: Mơ hình kết tính tốn phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mơ hình toán học xây dựng, thuật toán sử dụng, kết thu Khả 2: Mơ hình kết không phù hợp với thực tiễn Khi đó, cần tìm ngun nhân Có thể đặt số câu hỏi sau: - Các kết tính bước thứ hai có xác khơng? (để trả lời, cần kiểm tra lại q trình tính tốn thực hiện); - Mơ hình tốn học xây dựng phù hợp, thỏa đáng chưa, có phản ánh đầy đủ thực tiễn sống không? Nếu chưa, cần xây dựng lại; - Các số liệu ban đầu có phản ánh thực tiễn hay không? (nếu không phù hợp, cần điều chỉnh lại cho xác) 2.3.2 Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh dạy học tập hàm số bậc hai Khi dạy học tập phần thường lồng ghép, tổ chức cho học sinh tìm lời giải chon tốn có nội dung liên thực tiễn liên quan đến hàm số bậc hai xác định hàm ssó bậc hai, tọa độ đỉnh prabol hay giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số bậc hai… để phát triển lực mơ hình hóa cho em Đối với dạng tập thường học sinh tìm hướng giải theo quy trình sau Quy trình thực hiện: - Chọn ẩn, đặt điều kiện cho ẩn - Dùng điều kiện toán để thiết lập hàm số quy u cầu tốn việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số miền Bài tốn Dây truyền đỡ cầu treo có dạng Parabol ACB hình vẽ Đầu cuối dây gắn chặt vào điểm A B trục AA' BB' với độ cao 30m Chiều dài nhịp A ' B '  200m Độ cao ngắn dây truyền cầu OC  5m Xác định chiều dài dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối cầu với dây truyền)? Định hướng cách giải: Ở có nhiều cách để gán hệ trục tọa độ vào ưu tiên gán đỉnh parapol Lúc dễ dàng tìm tọa độ điểm xung quanh, sau tìm dạng parabol đến tìm chiều dài dây cáp treo Lời giải: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng Parabol, trục Ox nằm cầu Hình vẽ Khi ta có A  100; 30  , C  0;  , ta tìm phương trình Parabol có dạng y  ax  bx  c Parabol có đỉnh C qua A nên ta có hệ phương trình: b � �   a � � 2a 400 � � �� b0 � a.0  b.0  c  � � a.1002  b.100  c  30 c 5 � � � � x  Bài tốn đưa việc xác định Suy Parabol có phương trình y  400 chiều dài dây cáp treo tính tung độ điểm M , M , M Parabol Ta dễ dàng tính tung độ điểm có hồnh độ x1  25, x2  50, x3  75 suy y1  6,56  m  , y2  11,25  m  , y3  19,06  m  Đó độ dài dây cáp treo cần tính Bài tốn Cầu University Saskatoon Canada cầu đỡ vòm parabol Mỗi nhịp cầu rộng 92 feet Bên vịm đó, người ta xây dựng đường có với lề đường rộng 10 feet hình vẽ Biết khoảng cách từ chân vòm parabol đến mặt đất feet vòm parabol cách mặt đất 11m vị trí ngăn cách lề lòng đường Bạn cho biết chiều cao tối đa phương tiện giao thông qua vịm Định hướng cách giải Bài toán yêu cầu học sinh sử dụng kiến thức liên quan đến hàm số bậc hai ẩn để xác định chiều cao chân vòm parabol nhằm đưa khuyến cáo chiều cao an toàn mà phương tiện giao thơng chân vịm Học sinh cần lựa chọn thơng tin tốn học cần thiết để tìm kiếm phương án giải vấn đề đặt toán nhịp cầu rộng 92 feet đỡ vòm parabol Lề đường rộng 10 feet, khoảng cách từ chân vòm parabol đến mặt đất feet chiều cao từ vịm parabol đến vị trí ngăn cách lề lòng đường 11 feet Học sinh cần xây dựng mơ hình tốn học cách chọn hệ trục tọa độ Ohx Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Ohx với O vị trí chân vòm parabol, Oh trụ cầu ox nằm đường thẳng nối hai chân vịm parabol Lúc đó, vịm parabol qua hai điểm A  36,  B  92,  Hàm số biểu thị hình dạng vịm parabol có dạng h( t )  at  b Thay tọa độ điểm A vào phương trình hàm số h( t )  at  b thu 1296a  b  Tiếp tục thay tọa độ điểm B vào phương trình hàm số h( t )  at  bt thu 2116a  b  Từ suy ra: a  1 / 108 b  19 nên hàm số h( t )   1 / 108  t  19 Hàm số đạt giá trị lớn t  h    19 Vậy chiều cao tối đa phương tiện qua vòm parabol cầu 23 feet Bài tốn 3: Một cơng ty bất động sản có 50 hộ cho thuê Biết cho thuê hộ với giá 2.000.000 đồng tháng hộ có người th tăng thêm giá cho thuê hộ 100.000 đồng tháng có hộ bị bỏ trống Hỏi muốn có thu nhập cao cơng ty phải cho thuê hộ với giá tháng Lời giải 2x Nếu tăng giá th hộ x (đồng/tháng) có hộ bỏ 100000 trống Khi số tiền cơng ty thu là: 2x � � S =  2.000.000 + x  � 50 � Xét hàm số � 100.000 � 2x � � f(x)=  2.000.000 + x  � 50 � � 100.000 � f  x   x  10 x +10000000, x > 50000 Ta thấy hàm số f  x  đạt giá trị lớn x  250000 Vậy giá tiền thuê hộ là: 2.250.000 đồng Bài tốn 4: Một cơng ty đào taọ quản lý cung cấp khóa đào tạo quản lý với chi phí 400 $ người, với chi phí có 100 người tham gia khóa học Cơng ty ước tính rằng, lần giảm giá $ có thêm 20 người tham gia khóa học Hỏi cơng ty phải đưa giá cho khóa học để thu doanh thu lớn ? Doanh thu lớn ? Hướng dẫn giải Gọi x số lần giảm giá USD Khi ta có: + Giá khóa học là: 400  5x + Số người tham gia khóa học là: 1000  20x Tổng doanh thu là: Q  x   (400  x)(1000  20 x)  100x + 3000x + 400000 �x �80 Doanh thu lớn Q  x  đạt giá trị lớn x  15 Từ suy để doanh thu lớn công ty nên định giá 325 USD cho người tham gia lớp học doanh thu lớn 422500 USD Bài tốn Khi ni cá thí nghiệm hồ, nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu đơn vị diện tích mặt hồ có n cá trung bình cá sau vụ cân nặng p  n   480  20n (gam) Hỏi phải thả cá đơn vị diện tích mặt hồ để sau vụ thu hoach nhiều cá Hướng dẫn giải Gọi n số cá đơn vị diện tích mặt hồ  n   Số lượng cá thu hoach sau vụ là: f  n   n  480  20n   20n  480n Ta phải tìm n cho f  n   20n 480n  n � 0; �  đạt giá trị lớn Lập bảng biến thiên f  n  ta f  n  đạt giá trị lớn n  12 Vậy đơn vị diện tích mặt hồ nên thả 12 cá Bài toán Người ta muốn rào quanh mảnh vườn với số vật liệu cho trước 100m thẳng hàng rào Tại người ta tận dụng bờ giậu có sẵn để làm cạnh hàng rào Vậy làm để rào mảnh vườn theo hình chữ nhật cho diện tích lớn ? Lời giải Gọi x chiều dài cạnh song song với bờ giậu y chiều dài y cạnh vng góc với bờ giậu Theo ta có : x  y  100 Diện tích miếng đất s  y  100  y  S cực đại s  y  100  y  cực đại x Lúc s  y  100  y  có đỉnh I  25;1250  , bề lõm parabol hướng xuống nên giá trị lớn đỉnh, s cực đại y  25, x  50 Vậy khu đất có diện tích lớn rào mảnh vườn thành hình chữ nhật với chiều dài x = 50m chiều rộng y = 25m Bài tốn đưa vào dạy bất đẳng thức Cô-si sau : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm 2y 100 - 2y �2 y  100  y � 1002 ta có: S � � � 2� � Dấu xảy � 2y = 100 - 2y � y = 100 100  25 Suy x =  50 Bài toán Cần phải làm cửa sổ mà, phía hình bán nguyệt, phía hình chữ nhật, có chu vi a( m) ( a chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chữ nhật trừ độ dài cạnh hình chữ nhật dây cung hình bán nguyệt) Hãy xác định kích thước để diện tích cửa sổ lớn nhất? Hướng dẫn giải S1 Gọi x bán kính hình bán nguyệt Ta có chu vi hình bán nguyệt  x , tổng ba cạnh hình chữ nhật a   x Diện tích cửa sổ là: S π x2 a -π x- 2x π S = S1 +S2 = +2x = ax - ( + 2)x Dễ thấy S có 2x 2 a dạng hàm số bậc hai lớn x = ( Có thể dùng bất +π đẳng thức cauchy để tìm giá trị lớn S ) Bài tốn Bạn An có đoạn dây dài 20m Bạn chia đoạn dây thành hai phần Phần đầu uốn thành tam giác Phần cịn lại uốn thành hình vng Hỏi độ dài phần đầu để tổng diện tích hai hình nhỏ 40 180 120 60 m m m m A B C D 94 94 94 94 Hướng dẫn giải Gọi phần đầu sợi dây x   x  20  Khi x2 Diện tích tam giác là: Phần lại sợi dây 20-x Diện tích hình 36 2 �20  x � � x �  � Tổng diện tích hai phần là: vng � � � � � � 4� x � x � � �2 S �  � �  �x  x  25 36 � � �36 16 � 10 180 x   S nhỏ �3 � 94 2�  � �36 16 � Bài tập tương tự: Câu Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy loại Hiện nay, doanh nghiệp tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào 28 (triệu đồng) bán với giá 32 (triệu đồng) Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua năm là 600 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán ước tính giảm (triệu đồng) số lượng xe bán năm tăng thêm 200 Vậy doanh nghiệp phải định bán với giá bán triệu đồng để sau thức giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? Câu Một xe bus có sức chứa tối đa 60 hành khách Nếu xe chở x x� � 30000  �đồng Hỏi xe thu hành khách giá tiền cho hành khách � 10 � � nhiều lợi nhuận chở hành khách? Câu Khi du lịch đến thành phố Lui (Mĩ) ta thấy cổng lớn dạng Parabol bề lõm quay xuống Đó cổng Acxơ ( hình vẽ ) Làm để tính chiều cao cổng ? (khoảng cách từ điểm cao cổng đến mặt đất) 2.3.3 Phát triển lực mơ hình hóa tốn học dạy học tập hệ bất phương trình bậc ẩn ( ứng dụng giải toán kinh tế) Vấn đề tìm miền nghiệm hệ bất phương trình bậc có liên quan chặt chẽ đến quy hoạch tuyến tính Đó ngành tốn học có nhiều ứng dụng đời sống kinh tế Trước giải toán cụ thể, giáo viên tổ chức cho học sinh nắm vững phương pháp tìm cực trị biểu thức F = ax + by miền đa giác nêu sách giáo khoa lớp 10 trang 98 phần đọc thêm 11 Bài tốn: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F  ax  by (a, b hai số cho không đồng thời 0), x, y tọa độ điểm thuộc miền đa giác A1 A2 Ai Ai 1 An Xác định x, y để F đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Lời giải Ta minh họa cách giải trường hợp n = tức xét ngũ giác lồi xét trường hợp b > trường hợp ngược lại tương tự Giả sử M ( xO ; yO ) điểm thuộc miền đa giác Qua điểm M đỉnh đa giác, kẻ đường thẳng song song với đường thẳng ax  by  Khi ta có đường thẳng qua M có phương trình ax  by  ax0  by0 cắt axO  byO � � Vì b > nên ax0  by0 đạt giá trị lớn b � � � trục tung điểm N �0; ax0  by0 lớn Từ ta kết tốn b Tổng qt hóa Ta ln giả thiết b > 0, b < ta nhân hai vế với -1 tốn tìm giá trị nhỏ (hay lớn nhất) F ( x; y) trở thành tốn tìm giá trị lớn (hay nhỏ nhất)  F ( x; y )  ax  b ' y , b '  b  y ax  by  A2 A1 A3 O x M  x0 ; y0  A5 N A4 Tập điểm ( x; y ) để F ( x; y ) nhận giá trị p đường thẳng ax  by  p ; a b p a Đường thẳng có hệ số góc  cắt trục tung b b p điểm M (0; m) với m  b hay y   x  12 Ký hiệu đường thẳng (d m ) Vì b > nên việc tìm giá trị nhỏ (hay lớn nhất) P( x; y )  p với ( x; y ) miền đa giác quy việc tìm giá trị nhỏ p , tức tìm điểm M vị trí thấp (hay cao b nhất) trục tung cho đường thẳng (d m ) có điểm chung với a (S) Từ ý (d m ) có hệ số góc  khơng đổi Ta đến cách làm b (hay lớn nhất) m  sau: Khi tìm giá trị nhỏ F ( x; y) , ta cho đường thẳng (d m ) chuyển động song song với từ vị trí phía miền đa giác lên (d m ) lần qua điểm  x0 ; y0  miền đa giác Khi đó, m đạt giá trị nhỏ tương ứng với giá trị nhỏ F ( x; y ) Đó F ( x0 ; y0 )  ax0  by0 Khi tìm giá trị lớn F ( x, y) , ta cho đường thẳng (d m ) với hệ số a chuyển động song song với từ vị trí miền đa b giác xuống (d m ) lần qua điểm  x0 ; y0  góc  miền đa giác Khi đó, m đạt giá trị lớn tương ứng với giá trị lớn F ( x, y ) Đó F  x0 ; y0   ax0  by0 Vậy giá trị lớn (nhỏ nhất) biểu thức F = ax + by đạt đỉnh miền đa giác Sau tơi hướng dẫn học sinh tìm hướng giải số tốn có nội dung thực tiễn dạy hệ bất phương trình để phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho em Bài tốn 1: Một cơng ty kinh doanh thương mại chuẩn bị cho đợt khuyến mại nhằm thu hút khách hàng cách tiến hành quảng cáo sản phẩm cơng ty hệ thống phát truyền hình Chi phí cho phút quảng cáo sóng phát 800.000 đồng, sóng truyền hình 4.000.000 đồng Đài phát nhận phát chương trình quảng cáo dài phút Do nhu cầu quảng cáo truyền hình lớn nên đài truyền hình nhận phát chương trình dài tối đa phút Theo phân tích, thời lượng phút quảng cáo, truyền hình có hiệu gấp lần sóng phát Cơng ty dự định chi tối đa 16.000.000 đồng cho quảng cáo Cơng ty cần đặt thời lượng quảng cáo sóng phát truyền để hiệu nhất? Lời giải 13 Phân tích tốn: Gọi thời lượng cơng ty đặt quảng cáo sóng phát x (phút), truyền hình y (phút) Chi phí cho việc là: 800.000 x  4.000000 y (đồng) Mức chi không phép vượt qúa mức chi tối đa, tức:  800.000 x  4.000.000 y  �16.000.000 hay  x  5y  20 �0 Do điều kiện đài phát thanh, truyền hình đưa ra, ta có: x �5, y �4 Đồng thời x, y thời lượng nên x �0, y �0 Hiệu chung quảng cáo là: x  y Bài toán trở thành: Xác định x, y cho: M  x; y   x  y đạt giá trị lớn � x  5y  20 �0 � Với điều kiện �x �5 � �y �4 � (*) Trước tiên ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (*) Trong mặt phẳng tọa độ vẽ đường thẳng  d  : x  y  20  0,  d '  : x  5,  d ''  : y  Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) phần mặt phẳng(tam giác) khơng tơ màu hình vẽ Giá trị lớn M  x; y   x  y đạt điểm  5;3 ,  5;0  ,  20;0  Ta có M  5;3  23, M  5;0   5, M  20;0   20 suy giá trị lớn M  x; y  23  5;3 tức đặt thời lượng quảng cáo sóng phát phút truyền hình phút đạt hiệu Bài toán 2: Trong thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, lít nước 21g đường để pha chế nước cam nước táo Để pha chế lít nước cam cần 30g đường, lít nước 1g hương liệu; pha chế lít nước táo cần 10g đường, lít nước 4g hương liệu Mỗi lít nước cam nhận 60 điểm thưởng, lít nước táo nhận 80 điểm thưởng Hỏi cần pha chế lít nước trái loại để số điểm thưởng lớn nhất? Lời giải: Đối với toán này, ta phải đọc thật kỹ, xem đề yêu cầu làm chuyển tốn mơ hình tốn học mà học? Ở đây, yêu cầu đề bài: “cần pha chế lít nước trái loại” Như vậy, ta gọi ẩn x, y tương ứng số lít nước trái tương ứng loại Mà lít nước cam nhận 60 điểm thưởng x lít nước cam nhân 60x điểm thưởng; lít nước táo nhận 80 điểm thưởng y lít 14 nước táo nhận 80y điểm thưởng Khi ta có số điểm thưởng nhận sau pha chế x, y lít nước trái loại 60x + 80y Gọi x, y số lít nước cam táo đội pha chế ( x, y �0) Khi số điểm thưởng nhận đội chơi F = 60x + 80y Để pha chế x lít nước cam cần 30x g đường, x lít nước x(g) hương liệu Để pha chế y lít nước cam cần 10y g đường, y lít nước 4y (g) hương liệu Do đó, ta có: Số gam đường cần dùng là: 30x + 10y Số lít nước cần dùng là: x + y Số gam hương liệu cần dùng là: x + 4y Vì thi pha chế, đội chơi sử dụng tối đa 24g hương liệu, lít nước 210g đường nên x, y thỏa mãn hệ bất phương trình: 30 x  10 y �210 x  y �21 � � �x  y �9 �x  y �9 � � �� � �x  y �24 �x  y �24 � � �x, y �0 �x, y �0 (*) Khi toán trở thành: Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x  x0 , y  y0 ) cho F  60 x  80 y lớn Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M ( x, y ) thỏa mãn (*) Khi miền nghiệm hệ bất phương trình (*) ngũ giác OABCD kể miền tam giác (như hình vẽ) Biểu thức F  60 x  80 y đạt giá trị lớn đỉnh ngũ giác OABCD Tại đỉnh O(0; 0), A(7; 0), B(6; 3), C(4; 5), D(0; 6) Ta thấy F đạt giá trị lớn x = 4, y = Khi F  60.4  80.5  640 Vậy cần pha chế lít nước cam lít nước táo số tiền thưởng lớn 640 Bài tốn : Một hộ nơng dân dự định trồng đậu cà diện tích 800m Biết 100m2 trồng đậu cần 10 công lãi triệu đồng 100m trồng cà cần 15 công lãi triệu đồng Hỏi cần trồng loại diện tích để thu tiền lãi cao tổng số công không vượt 90 Gọi x, y diện tích trồng đậu trồng cà (đơn vị 100m 2) Ta có x �0; y �0; x  y �8 Do tổng số công không vượt 90 nên 10 x  15 y �90 � x  y �18 15 Tổng số tiền lãi T  x  y (triệu đồng) Đến học sinh thực thao tác tư tương tự toán toán 2, tìm miền nghiệm hệ gồm bất phương trình nói trêb xác định biểu thức T lớn x  2; y  Chú ý: Ngồi cách trên, ta tìm giá trị lớn T phương pháp đánh sau: x �0; y �0; x  y �8 x  y �18 � T  x  y   x  y    x  y  �3.8  2.18  60 �x  y  �x  �� Đẳng thức xảy � x  y  18 �y  � Vậy cần trồng đậu diện tích 600m trồng cà diện tích 200m tổng số tiền lãi cao Bài tốn [8] Một gia đình cần 900g chất prơtein 400g chất lipit thức ăn ngày Biết thịt bò chứa 80% prôtein 20% lipit Thịt lợn chứa 60% prôtein 40% lipit Biết gia đình mua nhiều 1600g thịt bò 1100g thịt lợn, giá tiền 1kg thịt bị 45 nghìn đồng, 1kg thịt lợn 35 nghìn đồng Hỏi gia đình phải mua kg thịt loại để chi phí nhất? Lời giải: Giả sử gia đình mua x (kg) thịt bò y (kg) thịt lợn ( x, y �0 ) Khi chi phí mua x (kg) thịt bò y (kg) thịt lợn T  45 x  35 y (nghìn đồng) Theo giả thuyết, x y thỏa mãn điều kiện x �1, 6; y �1,1 Khi lượng prơtein có 80 60 x y lượng lipit có 100 100 20 x y 100 100 Vì gia đình cần 0,9kg chất prơtein 0,4kg chất lipit thức ăn ngày nên điều kiện tương ứng 80 60 x y �0,9 100 100 20 x y �0,4 hay 4x + 3y ≥ 4,5 100 100 x + 2y ≥ 16 �x �1, � � �y �1,1 � Vậy x, y thỏa mãn hệ bất phương trình: � x  y �4,5 � � �x  y �2 (*) Khi toán trở thành: Trong nghiệm hệ bất phương trình (*), tìm nghiệm ( x  x0 , y  y0 ) cho T  45 x  35 y nhỏ Trong mặt phẳng tọa độ, ta biểu diễn phần mặt phẳng chứa điểm M ( x, y ) thỏa mãn (*) Miền nghiệm hệ (*) miền bên tứ giác lồi ABCD biên (như hình vẽ) T đạt giá trị nhỏ đỉnh tứ giác ABCD Ta có: A(1, 6;1,1), B(1, 6;0, 2), C (0, 6; 0, 7), D(0,3;1) Kiểm tra x = 0,6; y = 0,7 T = 51,5 (nghìn đồng) nhỏ Vậy gia đình mua 0,6 kg thịt bị 0,7 kg thịt lợn chi phí Cụ thể phí 51,5 nghìn đồng Bài tốn 5: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm ký hiệu I II Một sản phẩm loại I lãi triệu đồng, sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng Muốn hoàn thành sản phẩm loại I phải dùng máy M1 máy M2 Muốn hoàn thành sản phẩm loại II phải dùng máy M1 máy M2 Một máy dùng đồng thời để sản xuất hai loại sản phẩm Trong ngày máy M1 không làm giờ, máy M2 không làm Hãy tính sản lượng sản phẩm loại I II để có mức lãi cao Gọi x số sản phẩm loại I y số sản phẩm loại II x  ;y  0.Thời gian làm việc máy àthời gian làm việc máy M2 : x  y , theo đề ta có x  y �4 3x  y �6 Gọi L tiền lãi: L = 2x +1,6y Ta có hệ �x �0 �y �0 � � 3x  y �6 � � �x  y �4 Gọi  d1  : 3x + y - =  d  : x+y-4=0 17 Miền nghiệm hệ bất phương trình tứ giác OABC với A(2;0) B(1;3) C(0;4) Bằng cách thay trực tiếp giá trị  x; y  đỉnh miền nghiệm ta thấy L đạt giá trị lớn x  1; y  Vậy để có tổng lãi cao xí nghiệp sản xuất sản phẩm loại I loại II Bài tập tương tự Bài 1: Nhân dịp tết Trung Thu, xí nghiệp sản xuất bánh Trăng muốn sản xuất hai loại bánh: Đậu xanh, Bánh dẻo nhân đậu xanh Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: Đường, Đậu, Bột, Trứng, Mứt, Giả sử số đường chuẩn bị 300 kg, đậu 200 kg, nguyên liệu khác có Sản xuất bánh đậu xanh cần 0,06 kg đường, 0,08 kg đậu cho lãi ngàn đồng Sản xuất bánh dẻo cần 0,07 kg đường, 0,04 kg đậu cho lãi 1,8 ngàn đồng Cần lập kế hoạch để sản xuất loại bánh để không bị động đường, đậu tổng số lãi thu lớn (nếu sản xuất bán hết)? Bài Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có gam thức ăn A, B giá mua kg thức ăn loại cho bảng sau: Chất dinh dưỡng A B Đạm 0,1g 0,2g Đường 0,3g 0,4g Khoáng 0,02g 0,01g Giá mua 3000 4000 Hãy lập mơ hình tốn học toán xác định khối lượng thức ăn loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng ngày Bài Có hai loại sản phẩm A, B gia công máy I, II, III Thời gian gia công loại sản phẩm máy cho bảng: Loại sản phẩm A B Máy I II III Thời gian cho phép máy I, II, II 100, 300, 50 Một đơn vị sản phẩm A lãi 6000 đ, sản phẩm B lãi 4000 đ Vậy cần phải sản xuất sản phẩm loại để lãi tối đa Hãy lập mơ hình tốn học tốn 18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong trình thực sáng kiến lớp 10C6 nhận thấy: - Các em học sinh chăm nghe giảng, tìm hiểu tốn giải tập, bước đầu hình thành nên lối tư khoa học hơn, sâu sắc - Giờ học sôi nổi, nhiều học sinh tỏ có hứng thú với tiết dạy, tinh thần học tập học sinh lớp nâng lên - Một số học sinh sáng tạo thêm tập dựa vào toán gốc cho lớp làm, phong trào thi đua học tập lớp ngày nâng cao Kết cịn thể rõ rệt qua kiểm tra tiến hành dạy đề tài lớp 10C6 So sánh lớp chưa học lớp học đề tài, cho thấy hiệu đề tài tính thiết thực việc đổi phương pháp dạy học Sau thực trình hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho em tự luyện tập nhà tiến hành cho học sinh lớp 10C6 làm kiểm tra 45 phút (với mức độ đề tương đương với đề cho lớp 10B2 năm học 2019- 2020) Kết làm học sinh thống kê bảng sau Lớp 10C6 Số HS 42 Giỏi SL (%) 19,04 Khá SL 15 (%) 35,71 TB SL 19 (%) 45,42 Yếu SL (%) Bản thân đồng nghiệp trường trung THPT Triệu Sơn nhận thấy áp dụng sáng kiến dạy học tập chương II chương IV hiệu giảng dạy giảng dạy giáo viên nâng lên từ góp phần vào việc nâng cao chất lượng giáo dục lớp mà phụ trách nói riêng nhà trường nói chung KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ - Kết luận Phát triển lực mơ hình hóa tốn học, rèn luyện cho học sinh khả vận dụng kiến thức Toán học để giải tốn có nội dung thực tế vấn đề cấp thiết Làm điều em phát huy hết khả mình, có hứng thú, niềm đam mê với mơn tốn, có ý tưởng hay giải tốn q trình giải vấn đề mà em gặp sống Người thầy cần xác định tầm quan trọng toán học sống khoa học khác từ trang bị cho học sinh tảng kiến cần thiết, tảng có vững vàng em có đủ nội lực để tiếp nhận kiến thức mới, có sở để phát triển, sáng tạo học áp dụng vào thực tế sống - Kiến nghị Việc viết báo cáo SKKN trình dạy học tạo điều kiện để giáo viên trau dồi kiến thức, học hỏi kinh nghiệm để có phương pháp giảng dạy 19 giáo dục tốt Đây thực việc làm bổ ích giáo viên Do năm học tiếp theo, nhiệm vụ bắt buộc trường THPT Sở GD&ĐT Thanh Hóa nên tiếp tục triển khai khuyến khích giáo viên viết sáng kiến kinh nghiệm để chia sẻ kinh nghiệm bổ ích mà tích lũy với đồng nghiệp để thực tốt cơng việc từ nâng cao chất lượng giáo dục Đề tài tích luỹ nhiều năm trực tiếp giảng dạy lớp 10 trường THPT Triệu Sơn 4, ví dụ chọn lọc, tham khảo từ nhiều nguồn tài liệu khác số đề thi thử THPT Quốc Gia số trường THPT, tạp chí Tốn học tuổi trẻ, diễn đàn dạy học toán mạng internet Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn đề tài không tránh khỏi hạn chế Rất mong đóng góp quý báu bạn đọc, đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết Lê Thị Hương 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bài tập trắc nghiệm dạng toán ứng dụng thực tế - Đặng Việt Đông www toanmath.com; [2] Các toán thực tiễn đề thi thử THPT Quốc gia năm 2018 -Trần Văn Tài www.toanmath.com; [3] Đề thi thử đại học số trường THPT năm gần đây; trang mạng liên quan đến dạy học toán www Moon.Vn; Thư viện trực tuyến Violet; www.diendantoanhoc.net; [4] Nguyên hàm tích phân toán thực tế http://tailieugiangday.com [5] Một số biện pháp tạo hứng thú học tập cho học sinh - Giasunhanvan.com [6] Nguyễn Thị Thu Thủy, Trường THPT Trưng Vương Thành phố Hà Nội “Tạo hứng thú học toán 10- Trung học phổ thông thông qua vận dụng tập liên quan đến mơn học khác tốn thực tế”- đề tài khoa học năm 2014; [7] Nghị số 29-NQ/TW đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo; Những điểm mục tiêu đổi bản, toàn diện giáo dục phổ thông – thuvienphapluat.VN; [8] Sách giáo khoa đại số 10 - Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy - Nhà xuất Giáo Dục – tháng năm 2006 [9] Đề thi thử khảo sát chất lượng lớp 12 số trường THPT tỉnh Thanh Hóa – nhóm TỐN THPT THANH HĨA [10] Phát triển mơ hình hóa dạy học mơn Tốn trường phổ thơng – Nguyễn Danh Nam nhà xuất Đại Học Thái nguyên năm 2016 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Thị Hương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Triệu Sơn Kết Cấp đánh đánh giá Năm học giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN xếp loại đánh giá xếp (Phòng, Sở, (A, B, loại Tỉnh ) C) Một số kinh nghiệm Sở GD&ĐT C 2012-2013 công tác chủ nhiệm lớp Thanh Hóa trường THPT Phát triển lực tư cho Sở GD&ĐT C 2015- 2016 học sinh thông qua việc khai Thanh thác tính chất hình học để Hóa tìm lời giải cho số toán tọa độ mặt phẳng -chương III hình học 10 Tạo hứng thú học tập cho học Sở GD&ĐT C 2016- 2017 sinh lớp 10B3 trường THPT Thanh Triệu Sơn thơng qua việc Hóa giải số tốn có nội dung liên quan đến thực tiễn dạy học tập chương III hình học 10” Tạo hứng thú học tập cho học Sở GD&ĐT C 2018-2019 sinh lớp 12C3 trường THPT Thanh Triệu Sơn thơng qua việc Hóa giải số tốn có nội dung liên quan đến thực tiễn dạy học tập chương nguyên hàm, tích phân” 22 ... Quy trình mơ hình hóa tốn học 2.3.2 Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh dạy học tập hàm số bậc hai 2.3.3 Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh dạy 11 học tập hàm hệ bất phương. .. thực đề tài ? ?Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh lớp 10 dạy học tập hàm số bậc hai hệ bất phương trình bậc hai ẩn? ?? Thơng qua đề tài phát huy khả tìm lời giải cho tập có nội dung thực... điểm mô hình hóa tốn học, quy trình mơ hình hóa tốn học + Phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh lớp 10 thơng qua việc tìm lời giải cho số tập có nội dung thực tế liên quan đến hàm số hệ