Một số bài tập có nội dung thực tiễn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông giúp học sinh phát triển năng lực mô hình hóa toán học

MỤC LỤC Nội dung Trang Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài II Mục đích, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu tính đề tài Mục đích nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Tính đề tài Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Cơ sở khoa học Cơ sở lý luận 1.1 Khái niệm lực 1.2 Năng lực tốn học gì? 1.3 Khái niệm lực mơ hình hóa tốn học Cơ sở thực tiễn 10 II Một số tập có nội dụng thực tiễn “mơ hình hóa tốn học” để giải 11 Bài tập mệnh đề tập hợp 11 Bài tập ứng dụng bất đẳng thức Côsi 15 Bài tập ứng dụng hệ bất phương trình bậc hai ẩn vào toán kinh tế 17 Bài tập ứng dụng Tổ hợp - Xác suất 21 Bài tập ứng dụng cấp số cộng, cấp số nhân 23 Bài tập ứng dụng đạo hàm, tích phân tình thực tiễn mơ hình hóa tốn học 25 Bài tập toán “lãi kép” 31 III Thực nghiệm sư phạm 37 Mục đích thực nghiệm 37 Nội dung thực nghiệm 37 Tổ chức thực nghiệm 37 Đánh giá kết thực nghiệm 38 Phần III KẾT LUẬN 39 Ý nghĩa đề tài 39 Kiến nghị, đề xuất 39 Kết luận khoa học 40 Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ I Lý chọn đề tài: - Nghị số 29 NQ/TW, ngày 04 tháng 11 năm 2013 “Về đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng Xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế” khẳng định “Tiếp tục đổi mạnh mẽ phương pháp dạy học theo hướng đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo vận dụng kiến thức, kỹ người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo sở để người học tự cập nhật đổi tri thức, kỹ năng, phát triển lực Chuyển từ học chủ yếu lớp sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, ý hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin truyền thông dạy học” - Chương trình tổng thể Ban hành theo Thơng tư 32/2018/TT-BGDĐT ngày 26/12/2018 nêu rõ “Giáo dục tốn học hình thành phát triển cho học sinh phẩm chất chủ yếu, lực chung lực toán học với thành tố cốt lõi: lực tư lập luận tốn học, lực mơ hình học tốn học, lực giải vấn đề toán học, lực giao tiếp toán học, lực sử dụng cơng cụ phương tiện học tốn; phát triển kiến thức, kĩ then chốt tạo hội để học sinh trải nghiệm, áp dụng toán học vào đời sống thực tiễn, giáo dục toán học tạo dựng kết nối ý tưởng toán học, tốn học với mơn học khác tốn học với đời sống thực tiễn” - Về phương pháp dạy học Toán: Thực dạy học phù hợp với tiến trình nhận thức học sinh (đi từ cụ thể đến trừu tượng, từ dễ đến khó); Quán triệt tinh thần “lấy người học làm trung tâm”, ý nhu cầu, lực nhận thức, cách thức học tập khác cá nhân học sinh; Tổ chức q trình dạy học theo hướng kiến tạo, học sinh tham gia tìm tịi, phát hiện, suy luận giải vấn đề; Linh hoạt việc vận dụng phương pháp, kĩ thuật dạy học tích cực, kết hợp nhuần nhuyễn, sáng tạo với việc vận dụng phương pháp, kĩ thuật dạy học truyền thống; Kết hợp hoạt động dạy học lớp học với hoạt động thực hành trải nghiệm, vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn - Về đánh giá kết giáo dục mơn Tốn: Mục tiêu đánh giá cung cấp thơng tin xác, kịp thời, có giá trị phát triển lực tiến học sinh sở yêu cầu cần đạt lớp học để điều chỉnh hoạt động dạy học, bảo đảm tiến học sinh nâng cao chất lượng giáo dục môn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung Việc đánh giá thường xuyên giáo viên phụ trách môn học tổ chức, kết hợp với đánh giá giáo viên môn học khác, thân học sinh đánh giá học sinh khác tổ, lớp đánh giá cha mẹ học sinh, liền với tiến trình hoạt động học tập học sinh, bảo đảm mục tiêu đánh giá tiến học tập học sinh Việc đánh giá định kì đánh giá kết giáo dục sau giai đoạn học tập Kết đánh giá định kì sử dụng để chứng nhận cấp độ học tập, cơng nhận thành tích cho người học theo quy định Bộ Giáo dục Đào tạo Khuyến khích vận dụng kết hợp nhiều phương pháp đánh giá (quan sát, ghi lại trình thực hiện, vấn đáp, trắc nghiệm khách quan, tự luận, kiểm tra viết, tập thực hành, dự án học tập, thực nhiệm vụ thực tiễn, ); đồng thời hướng dẫn giáo viên lựa chọn phương pháp, công cụ đánh giá phù hợp với thành phần lực toán học - Hiện kỳ thi học sinh giỏi trường, học sinh giỏi tỉnh kỳ thi tốt nghiệp THPT thường có câu phần liên hệ với thực tiễn mức độ trung bình nên học sinh cần nắm vững kiến thức giải thông qua việc “Mô hình hóa tốn học” - Những ứng dụng Tốn học vào thực tiễn Chương trình sách giáo khoa, thực tế dạy học Toán chưa quan tâm cách mức thường xuyên Trong sách giáo khoa mơn Tốn tài liệu tham khảo Toán thường tập trung ý vấn đề, toán nội Tốn học; số lượng ví dụ, tập Tốn có nội dung thực tế sách giáo khoa Đại số THPT Giải tích để học sinh học rèn luyện cịn Một vấn đề quan trọng thực tế dạy Toán trường phổ thông, giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực ứng dụng Toán học vào thực tiễn dạy theo cách “Thi học đó” mà theo Nguyễn Cảnh Tồn kiểu dạy Toán ''xa rời sống đời thường'' cần phải thay đổi - Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành đổi đồng phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá kết giáo dục theo định hướng phát triển lực người học Đặc biệt phát triển lực tốn học, có lực “Mơ hình hóa tốn học” Vì lí tác giả chọn đề tài: “Một số tập có nội dung thực tiễn dạy học Tốn trường Trung học phổ thơng giúp học sinh phát triển lực mơ hình hóa tốn học” II Mục đích, phương pháp nghiên cứu, đối tượng nghiên cứu tính đề tài Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh biết sử dụng toán học để giải tình thực tiễn, tốn có nội dung thực tiễn kỹ thuật mơ hình hóa tốn học tình thực tiễn - Rèn luyện cho em khả biết vận dụng kiến thức học tốn học chương trình trung học phổ thơng để giải số tình thực tiễn đời sống hàng ngày thường gặp - Hình thành dần cho em thói quen biết đặt (giải quyết) vấn đề sống góc độ tốn học với câu hỏi: Nguồn gốc tốn (hay tình thực tiễn, tốn thực tiễn) xuất phát từ đâu ? Vận dụng kiến thức để giải nó? - Từng bước tạo niềm đam mê xóa bỏ dần tâm lý e ngại em học sinh gặp tốn có nội dung thực tiễn, tình sống hàng ngày liên quan đến kiến thức toán học để giải - Rất nhiều tình thực tiễn, chương trình khuyến mãi, dự đốn tối ưu sản xuất, kinh doanh, thi đấu thể thao… liên quan đến kiến thức toán học chương trình trung học phổ thơng mà cần giúp em biết dùng để phân biệt mặt tốt, mặt không tốt để em biết làm việc có ích cho gia đình xã hội Từ góp phần giáo dục kỹ sống cho em giáo dục cộng đồng Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu vấn đề liên quan đến đề tài sáng kiến kinh nghiệm - Điều tra quan sát: Thực trạng khả mơ hình hóa tốn học học sinh trung học phổ thông - Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất Đối tượng nghiên cứu - Sách giáo khoa Toán lớp 10, 11, 12 Ban - Một số tốn có nội dung thực tiễn tập hợp; bất đẳng thức Cơ si; hệ phương trình bậc hai ẩn; tổ hợp, xác suất; đạo hàm, tích phân; tốn lãi kép Tính đề tài - Góp phần thực thành cơng đổi chương trình phổ thơng 2018 phát triển lực toán học cho học sinh, đặc biệt lực “Mơ hình hóa Tốn học” - Giúp giáo viên hiểu tầm quan trọng Toán học với thực tiễn - Giúp học sinh thấy mối quan hệ tương hổ toán học với thực tiễn ngược lại - Góp phần vào dạy học Stem, đánh giá theo Pisa - Sáng kiến sử dụng làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Tốn nhằm góp phần nâng cao hiệu dạy học mơn Tốn trường trung học phổ thông Phần II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I Cơ sở khoa học: Cơ sở lý luận: 1.1 Khái niệm lực: Năng lực thuộc tính cá nhân hình thành, phát triển nhờ vào tố chất trình học tập, rèn luyện, cho phép người huy động tổng hợp kinh nghiệm, kĩ thuộc tính cá nhân khác hứng thú, niềm tin, ý chí, thực đạt kết hoạt động điều kiện cụ thể Chương trình giáo dục phổ thơng 2018 xác định mục tiêu hình thành phát triển cho học sinh lực cốt lõi bao gồm lực chung lực đặc thù Năng lực chung lực bản, thiết yếu cốt lõi, làm tảng cho hoạt động người sống lao động nghề nghiệp Năng lực đặc thù lực hình thành phát triển sở lực chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt loại hình hoạt động, cơng việc tình huống, mơi trường đặc thù, cần thiết cho hoạt động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học, âm nhạc, mĩ thuật, thể thao - Các lực chung hình thành, phát triển thơng qua môn học hoạt động giáo dục: lực tự chủ tự học, lực giao tiếp hợp tác, lực giải vấn đề sáng tạo; - Các lực đặc thù hình thành, phát triển chủ yếu thông qua số môn học hoạt động giáo dục định: lực ngôn ngữ, lực tính tốn, lực khoa học, lực công nghệ, lực tin học, lực thẩm mĩ lực thể chất 1.2 Năng lực toán học gì? Năng lực Tốn học đánh giá hai phương diện: Năng lực nghiên cứu toán học lực học tập toán học Như vậy, lực tốn học đặc điểm tâm lí cá nhân đáp ứng yêu cầu hoạt động toán tạo điều kiện lĩnh hội kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh vực toán học tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc điều kiện ngang Năng lực toán học bao gồm thành tố: lực tư lập luận toán học; lực mơ hình hố tốn học; lực giải vấn đề toán học; lực giao tiếp toán học; lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn Mỗi thành tố lực toán học cần biểu cụ thể tiêu chí, báo Điều có độ phức tạp cao minh hoạ bảng đây: Các thành tố lực tốn học Các tiêu chí, báo - So sánh; phân tích; tổng hợp; đặc biệt hố, khái quát hoá; tương tự; quy nạp; diễn dịch Năng lực tư lập luận toán học - Chỉ chứng cứ, lí lẽ biết lập luận hợp lí trước kết luận - Giải thích điều chỉnh cách thức giải vấn đề phương diện tốn học - Sử dụng mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) để mơ tả tình đặt toán thực tế - Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập - Sử dụng mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) để mơ tả tình đặt tốn thực tế Năng lực mơ hình hố tốn học - Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập - Thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến mơ hình cách giải không phù hợp - Nhận biết, phát vấn đề cần giải toán học Năng lực giải vấn đề toán học - Đề xuất, lựa chọn cách thức, giải pháp giải vấn đề - Sử dụng kiến thức, kĩ tốn học tương thích (bao gồm cơng cụ thuật toán) để giải vấn đề đặt - Đánh giá giải pháp đề khái quát hoá cho vấn đề tương tự Năng lực giao tiếp toán học - Nghe hiểu, đọc hiểu ghi chép thơng tin tốn học cần thiết trình bày dạng văn tốn học hay người khác nói viết - Trình bày, diễn đạt (nói viết) nội dung, ý tưởng, giải pháp toán học tương tác với người khác (với yêu cầu thích hợp đầy đủ, xác) - Sử dụng hiệu ngơn ngữ tốn học (chữ số, chữ cái, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, liên kết logic, ) kết hợp với ngơn ngữ thơng thường động tác hình thể trình bày, giải thích đánh giá ý tưởng toán học tương tác (thảo luận, tranh luận) với người khác - Biết tên gọi, tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản đồ dùng, phương tiện trực quan thông thường, phương tiện khoa học công nghệ (đặc biệt phương tiện sử dụng công nghệ thơng tin) phục vụ cho việc học tốn - Sử dụng thành thạo linh hoạt công cụ phương tiện học toán, đặc biệt phương tiện khoa học cơng nghệ để tìm tịi, khám phá giải vấn đề toán học (phù hợp với đặc điểm nhận thức lứa tuổi) Năng lực sử dụng công cụ, phương tiện - Chỉ ưu điểm, hạn chế cơng cụ, học tốn phương tiện hỗ trợ để có cách sử dụng hợp lí 1.3 Năng lực mơ hình hóa tốn học: - Để sử dụng kiến thức kĩ toán vào việc giải vấn đề thực tiễn, người ta phải trải qua bước q trình mơ hình hóa tốn học - q trình chuyển vấn đề thuộc lĩnh vực ngồi tốn học thành vấn đề tốn học, sử dụng cơng cụ tốn để tìm câu trả lời cho vấn đề đặt ban đầu - Xác định mơ hình tốn học (gồm cơng thức, phương trình, bảng biểu, đồ thị, ) cho tình xuất toán thực tiễn - Giải vấn đề tốn học mơ hình thiết lập - Thể đánh giá lời giải ngữ cảnh thực tế cải tiến mơ hình cách giải khơng phù hợp 1.3.1 Hệ thống mơ hình Hệ thống tập hợp phần tử với tác động qua lại chúng, mà tác động phải tuân theo số ngun lí hay quy tắc đặc trưng cho hệ thống Mơ hình mẫu, đại diện, minh họa thiết kế để mô tả cấu trúc hệ thống, cách vận hành vật, tượng thuộc hệ thống Người ta thường sử dụng khái niệm mơ hình với hai nghĩa khác Theo nghĩa thứ nhất, mơ hình sao, ví dụ, có tính chất đặc trưng cho vật gốc mà mơ hình biểu diễn Với nghĩa khối cầu, chóp, nón (cụ thể, vật chất) sử dụng dạy học hình học mơ hình khái niệm hình cầu, hình chóp, hình nón Theo nghĩa thứ hai mơ hình biểu diễn cho phần quan trọng hệ thống (có sẵn xây dựng) với mục đích nghiên cứu hệ thống Nói cách khác, mơ hình thu từ việc diễn đạt theo ngơn ngữ đặc trưng chủ yếu tình huống, hệ thống mà người ta cần nghiên cứu Cách biểu diễn tuân theo tập hợp quy tắc Khi quy tắc quy tắc tốn học mơ hình tốn học tạo 1.3.2 Mơ hình hóa tốn học Mơ hình tốn học: Một mơ hình tốn học cấu trúc tốn học mơ tả gần đặc trưng tượng đó, mơ hình tốn học bao gồm đối tượng toán học mối quan hệ đối tượng Mơ hình hố tốn học: Để vận dụng kiến thức tốn học vào việc giải tình thực tiễn, người ta phải tốn học hóa tình đó, tức xây dựng mơ hình tốn học thích hợp cho phép tìm câu trả lời cho tình Q trình gọi mơ hình hố tốn học Một vài cấu trúc tốn học dùng để mơ hình hố đồ thị, phương trình (cơng thức) hệ phương trình hay bất phương trình, số, bảng số hay thuật tốn Mơ hình hố tốn học cho phép học sinh kết nối toán học nhà trường với giới thực, khả áp dụng ý tưởng toán, đồng thời cung cấp tranh rộng hơn, phong phú toán học, giúp việc học tốn trở nên ý nghĩa 1.3.3 Quy trình mơ hình hố tốn học Bước 1: Hiểu tình thực tế, xác định yếu tố có ý nghĩa quan trọng hệ thống xác lập quy luật mà phải tuân theo, đưa vào điều kiện giả thiết phù hợp, lý tưởng hóa, đơn giản hóa vấn đề để từ tạo mơ hình thực tế tình (mơ hình trung gian) Bước 2: Mơ hình thực tế tốn học hóa, tức thơng dịch sang ngơn ngữ tốn học để dẫn đến mơ hình tốn học tình ban đầu Chúng ta nên lưu ý ứng với vấn đề xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, việc xác định, đưa mơ hình phụ thuộc vào việc đánh giá yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng quan trọng Bước 3: Sử dụng công cụ toán học để khảo sát giải tốn hình thành Bước Căn vào mơ hình xây dựng cần phải chọn xây dựng phương pháp giải cho phù hợp Bước 4: Phân tích kiểm định lại kết thu Bước Ở người ta phải xác định mức độ phù hợp mơ hình kết tính toán với vấn đề thực tế Chúng ta lưu ý rằng: bước quan trọng giúp cho người thực nhận giải pháp liên quan chặt chẽ đến ngữ cảnh Đây bước quan trọng mà mạnh, yếu mơ hình xem xét, thảo luận Bước 5: Báo cáo giải thích, dự đốn kết Đây bước địi hỏi người thực cần có kinh nghiệm sử dụng ngơn ngữ để trình bày ý tưởng tốn học Ở đây, phản ánh chất lượng tư người thực Các báo cáo nên bao gồm tài liệu trình tiến hành, dự đoán câu trả lời cuối Trên năm bước q trình mơ hình hóa tốn học, lưu ý có nhiều biến thể quy trình Ở Bước 4, xảy hai khả năng: + Khả thứ nhất: Mơ hình kết tính tốn phù hợp với thực tế Khi cần tổng kết lại cách đặt vấn đề, mơ hình tốn học xây dựng, thuật toán sử dụng, kết thu + Khả thứ hai: Mơ hình kết không phù hợp với thực tế Lúc phải tìm ngun nhân Có thể đặt câu hỏi sau : - Các kết tính bước thứ ba có đủ độ xác khơng? Để trả lời, người ta phải kiểm tra lại thuật tốn, quy trình, tính tốn sử dụng Ở đây, người ta tạm chấp nhận mơ hình tốn học (và có nghĩa mơ hình trung gian) xây dựng thỏa đáng - Mô hình tốn học xây dựng thỏa đáng chưa? Nếu chưa phải xây dựng lại Với loại câu hỏi này, ta tạm chấp nhận mơ hình trung gian xây dựng, phải xem xét lại mô hình tốn học lựa chọn - Mơ hình trung gian xây dựng có phản ánh đầy đủ tượng thực tế khơng ? Nếu khơng cần phải rà sốt lại bước xem có yếu tố, quy luật bị bỏ sót khơng Cơ sở thực tiễn Trong năm 2006, sách giáo khoa (SGK) lại lần chỉnh lý, đổi Sự thay đổi chủ yếu SGK đổi phương pháp, cố gắng quán triệt phương châm: lấy học sinh làm trung tâm tăng cường tính chủ động học sinh, giảm lý thuyết kinh viện, tăng thực hành gắn với thực tiễn tránh áp đặt kiến thức Vai trị mơn tốn chưa làm rõ Các toán gắn liền với đời sống chưa nhiều Như vậy, thấy quan điểm đạo xuyên suốt trình dạy học trường phổ thông nhấn mạnh dự thảo chương trình cải cách giáo dục mơn tốn quán triệt Tuy nhiên, việc quán triệt quan điểm chưa thực toàn diện cân đối Thực tế sách giáo khoa tốn có đổi lớn nội dung theo hướng tích cực vấn đề gắn liền toán học với thực tiễn có quan tâm định Điều thể toán gắn liền với thực tiễn có bổ sung số lượng hạn chế, mang tính chất giới thiệu, 10 Bài tập tương tự: Công ty cổ phần TNHH Tân Mỹ sản xuất bồn nước Inox cần thiết kế loại bồn dạng hình trụ có dung tích loại 500L, 1000L, 1500L, 2000L Cần thiết kế để tiết kiệm vật liệu mà đảm bảo dung tích bồn? Nhận xét: Đề thi tham khảo (kỳ thi đánh giá lực học sinh trung học phổ thông) Trường Đại Học Quốc Gia Hà Nội (số 1/2021) có câu 50: Người ta chế tạo quà lưu niệm đồng có dạng khối chóp tứ giác đều, mạ vàng bốn mặt bên tích 16cm3 Diện tích mạ vàng nhỏ khối chóp cm (kết làm trịn đến hàng đơn vị) Ta chuyển tốn: Tìm cạnh đáy chiều cao hình chóp tứ giác để diện tích xung quanh hình chóp tứ giác nhỏ nhất, biết thể tích khối chóp tứ giác 16cm3 Gọi a,h( a,h  ) cạnh đáy chiều cao hình chóp tứ giác Khi đó: Thể tích khối chóp tứ giác là: V  a h  16 48 h a Diện tích xung quanh khối chóp tứ giác là: S a 2304 a S xq  .a  h   a2 Theo bất đẳng thức Cô si: 2304 a   48a 2 a Suy S xq  8.a h C D O A 2304 a a   a  144 a2 bé a  144 , h  12 S xq  16 3888 Do S xq bé Vậy S xq B 6.2 Bài tập Trong xưởng khí, sau đợt tham gia học tập, người chủ tổ chức thi để đánh giá trình độ tay nghề học viên Sau kiểm tra xong nội dung bản, người chủ giao cho người tơn hình chủ nhật có kích thước 80cm x 50cm yêu cầu cắt bốn góc vng hình vng để gấp lại thùng khơng nắp dạng hình hộp dùng để dự trữ nước cho chiến sĩ đảo xa Chúng ta bắt đầu quy trình mơ hình hóa tốn học bao gồm số bước sau: 27 Bước Xây dựng mơ hình thực tế Vấn đề đặt đảo xa vấn đề nước sinh hoạt quan trọng Do làm thùng phải tính đến việc chứa nhiều nước Vì trình làm học viên quan tâm đến vấn đề thẩm mĩ cần phải quan tâm thể tích thùng Mỗi người tơn hình chữ nhật có kích thước 80cm x 50cm Yêu cầu cắt bốn góc vng hình vng để gấp lại thùng khơng nắp dạng hình hộp dùng để dụ trữ nước cho chiến sĩ đảo xa Bước Xây dựng mơ hình toán học a Phương án 1: Người thợ cắt hình vng làm thùng Chẳng hạn cắt hình vng có cạnh 5cm Khi thùng tạo thành có chiều cao h  5cm , chiều dài a  80  10  70cm chiều rộng b  50  10  40cm Khi thể tích thùng tạo thành V = 5.70.40=14000(cm3 ) Như với thùng liệu có cách cắt hình vng để tạo thành thùng tích lớn khơng nghi ngờ dẫn ta đến phương án giải b Phương án Người cắt hình vng cạnh x ( < x < 50 ) người quan tâm đến việc tạo thành thùng cho thể tích lớn x 50 80 Vấn đề chuyển tốn quen thuộc: “Cho hình hộp chữ nhật có cạnh tương ứng 50 - 2x; 80 - 2x; x Tìm x để hình hộp chữ nhật có thể tích lớn nhất” Bước Giải vấn đề tốn học Thể tích thùng tạo thành là: V  x(50  x)(80  x) Nhân tung dùng phương pháp đạo hàm lập bảng biến thiên ta kết quả: 603 V  18000(cm ) 12 Dấu “=” xẩy x = 10 28 Vậy từ tính tốn người cắt hình vng có cạnh 10cm Nhận xét: Ta sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị nhỏ V sau: V  x(50  x)(80  x) x  80  x  100  x  12V  x(80  x)(100  x)  ( )  603 3 60 V   18000(cm ) 12 Đẳng thức xảy khi: x  80  x  100  x Suy x = 10 Vậy từ tính tốn người cắt hình vng có cạnh 10cm Bước Thẩm định mơ hình Theo tính tốn hai phương án đưa phương án kết mong muốn Bước Báo cáo kết giải thích cho lời giải Với thùng ta chắn khẳng định thùng tích lớn tất thùng làm lúc Và trường hợp người học viên làm đẹp vừa lịng người chủ Nhận xét: + Đề thi minh họa kỳ thi trung học phổ thông Quốc gia năm 2017 Bộ giáo dục đào tạo có câu: “Câu 10 Cho nhơm hình vng cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x (cm), gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn nhất.” Như vậy, câu trường hợp đặc biệt tình với lời giải là: Thể tích hộp V  (12  x)2 x  x(12  x)2  x3  48 x  144 x 29 Dùng phương pháp đạo hàm lập bảng biến thiên ta có maxV=128 x=2 Vậy x = thể tích hộp lớn Chú ý: + Ta sử dụng bất đẳng thức Cơsi để tìm giá trị nhỏ V sau: Thể tích hộp là: 1 (4 x  12  x  12  x)3 (12  x)2 x  x(12  x)   128 4 27 Dấu xảy x  12  x  x  Vậy x = thể tích hộp lớn + Bài tốn chuyển sang dạy học stem, cách yêu cầu học sinh thiết kế hộp quà có dạng hình hộp từ bìa cứng hình chữ nhật có kích thước cho trước, cho chứa nhiều quà 6.3 Bài tập Người ta muốn sơn viên phân hoa viên gạch hình vng cạnh 50 cm tường có 200 viên gạch Biết người ta sơn viên phân Tính diện tích sơn viên phân Chúng ta bắt đầu quy trình mơ hình hóa tốn học bao gồm số bước sau: Bước Xây dựng mơ hình thực tế Người ta muốn sơn viên phân hoa viên gạch hình vng cạnh 50 cm tường có 200 viên gạch Biết người ta sơn viên phân Bước Xây dựng mơ hình tốn học Tính diện tích sơn viên phân Xây dựng phân viên hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ? Từ hình vẽ ta dễ dàng thấy viên gạch tạo viên phân Mỗi phân viên lại hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x ; y  x y Vấn đề chuyển bài tốn: y x “Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x ; y  x ” y = x2 Bước Giải vấn đề toán học x  x  x2   x  Diện tích viền hoa cần tìm là: Xét phương trình: O x 30 S   1 x  x dx   x   (m ) 3 0  Vì có 200 viên gạch nên diện tích cần sơn là: S  200.4  800 (m ) Bước Thẩm định mơ hình Mơ hình tích phân tính diện tích phần hình cong tính hồn tồn xác Bước 5: Báo cáo kết giải thích cho lời giải Diện tích cần sơn cho 200 viên gạch là: S  200.4  800 (m ) Sau xác định xong diện tích cần sơn, nhà thi cơng ước tính lượng sơn cần dùng để sơn viên gạch, tính tốn mức chi phí cần bỏ để mua nguyên liệu Bài tập tốn “lãi kép” 7.1 Bài tốn Bé An có số tiền triệu đồng tiền mừng tuổi nhờ bố gửi vào ngân hàng cơng thương chi nhánh Hồng Mai với lãi suất 7% năm Biết khơng rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu Nhưng khổ bố bé lại tính số tiền gốc lẫn lãi sau 10 năm gửi Bạn có giúp cho bố bé An biết số tiền khơng khoảng thời gian không rút tiền lãi suất không thay đổi? Chúng ta bắt đầu quy trình tốn học hóa bao gồm số bước sau: *Bước 1: Xây dựng mơ hình thực tế Tình đặt Bạn có giúp cho bố bé An biết số tiền khơng khoảng thời gian không rút tiền lãi suất không thay đổi? Câu hỏi đặt bối cảnh giới thực thực tế xác thực, nhiên phức tạp so với hầu hết vấn đề thực tế khơng có thơng tin không liên quan dư thừa đưa *Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học - Lãi suất lãi kép lãi suất hàng năm không thay đổi 7% - Thời gian gửi 10 năm - Số tiền gửi triệu đồng - Tính số tiền bố bé An nhận được? - Xây dựng công thức tính lãi kép * Tình chuyển toán: Bố bé An gửi số tiền triệu đồng tiền mừng tuổi vào ngân hàng với lãi suất 7% năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi lãi kép) Hỏi bố 31 bé An lĩnh tiền sau 10 năm, khoảng thời gian không rút tiền lãi suất khơng thay đổi? Học sinh có mơ hình tốn học tốn thực tế thực chất xây dựng cơng thức tính lãi kép *Bước 3: Giải toán Gọi số vốn ban đầu P0 lãi suất r Ta có P0  (triệu đồng), r=0,07 - Sau năm thứ nhất: Tiền lãi L1  P0 r  1.0, 07  0, 07 (triệu đồng) Số tiền lĩnh vốn lãi : P1  P0  L1  P0  P0 r  P0 (1  r )  1, 07 (triệu đồng) - Sau năm thứ hai: Tiền lãi P2  P1.r  1, 07.0, 07  0, 0749 (triệu đồng) Số tiền lĩnh vốn lãi : P2  P1  P2  P0 (1  r )  P1.r  P0 (1  r )  P0 (1  r ).r  P0 (1  2r  r )  P0 (1  r )  (1, 07)  1,1449 (triệu đồng) - Tương tự, số tiền lĩnh vốn lãi sau 10 năm : Pn  P0 (1  r )10  (1, 07)10 (triệu đồng) Vậy sau 10 năm, bố bé An lĩnh (1, 07)10 triệu đồng Nhận xét 1: Một số tiền tương đối so với triệu ban đầu! Từ ví dụ theo quy nạp ta có cơng thức tổng qt sau: pn  p0 (1  r )n , n  * (1) Trong Số vốn ban đầu là: po Lãi suất là: r Thời gian gửi ( kì gửi) là: n Số tiền gốc lãi n kì là: pn Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp: Ta dễ thấy (1) n  Ta giả sử (2) với n  k  , tức k 1 pk  p0 (1  r ) k Ta chứng minh (2) đến n  k  1, tức pk 1  p0 1  r  k k Thật vậy, ta có pk 1  pk  rpk  p0 1  r   p0 1  r  r  p0 1  r  k 1 32 Vậy ta chứng minh công thức pn  p0 (1  r )n (1) Phân tích khắc sâu cho học sinh: Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép có nghĩa là: Tiền lãi kì hạn trước cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Từ ta có tốn tổng qt: Gửi vào ngân hàng số tiền p0 đồng, với lãi suất hàng tháng r% Tính tiền pn vốn lẫn lãi sau n tháng Bài giải Ta có: Tháng (n = 1) số tiền P1  P0  P0 r  P0 (1  r ) Tháng (n = 2) số tiền P2  P0 (1  r )  P0 (1  r ).r  P0 (1  r ) ……………………………………………………… Tháng n (n = n) số tiến Pn  P0 (1  r ) n 1  P0 (1  r ) n 1.r  P0 (1  r ) n Vậy số tiền thu sau n tháng là: pn  p0 (1  r )n Từ công thức trên, ta suy đại lượng khác là: Pn P0 n ln(1  r ) ln r n Pn P0 P0  Pn (1  r )n +) Nhận xét 2: Gửi vào ngân hàng số tiền P đồng, với lãi suất hàng tháng r% tháng kỳ hạn m tháng Tính tiền Pn vốn lẫn lãi sau n tháng : Pn  P0 (1  mr ) n m Bước Thẩm định mơ hình Mơ hình tính số tiền hồn tồn xác Bước 5: Báo cáo kết giải thích cho lời giải Số tiền lĩnh vốn lãi sau 10 năm : Pn  P0 (1  r )10  (1, 07)10 (triệu đồng) Vậy sau 10 năm, bố bé An lĩnh (1, 07)10 triệu đồng Nhận xét 3: Một số tiền tương đối so với triệu ban đầu! Từ ví dụ theo quy nạp ta có cơng thức tổng qt sau: pn  p0 (1  r )n , n  * (1) Trong 33 Số vốn ban đầu là: po Lãi suất là: r Thời gian gửi ( kì gửi) là: n Số tiền gốc lãi n kì là: pn Ta chứng minh (1) phương pháp quy nạp: Ta dễ thấy (1) n  Ta giả sử (2) với n  k  , tức k 1 pk  p0 (1  r ) k Ta chứng minh (2) đến n  k  1, tức pk 1  p0 1  r  k k Thật vậy, ta có pk 1  pk  rpk  p0 1  r   p0 1  r  r  p0 1  r  k 1 Vậy ta chứng minh công thức pn  p0 (1  r )n (1) Phân tích khắc sâu cho học sinh: Nếu gửi theo thể thức lãi suất kép có nghĩa là: Tiền lãi kì hạn trước cộng vào vốn để tính lãi cho kì hạn sau Từ ta có toán tổng quát: Gửi vào ngân hàng số tiền p0 đồng, với lãi suất hàng tháng r% Tính tiền pn vốn lẫn lãi sau n tháng Bài giải Ta có: Tháng (n=1) số tiền P1  P0  P0 r  P0 (1  r ) Tháng (n=2) số tiền P2  P0 (1  r )  P0 (1  r ).r  P0 (1  r ) ……………………………………………………… Tháng n (n = n) số tiến Pn  P0 (1  r ) n 1  P0 (1  r ) n 1.r  P0 (1  r ) n Vậy số tiền thu sau n tháng là: pn  p0 (1  r )n Từ công thức trên, ta suy đại lượng khác là: Pn P0 n ln(1  r ) ln r n Pn P0 P0  Pn (1  r )n +) Nhận xét 4: Gửi vào ngân hàng số tiền P đồng, với lãi suất hàng tháng r% tháng n kỳ hạn m tháng Tính tiền Pn vốn lẫn lãi sau n tháng : Pn  P0 (1  mr ) m Yêu cầu học sinh phát biểu toán thực tế lãi suất 34 7.2 Bài toán Anh Tiến vốn người siêng làm ăn muốn thu 280 triệu đồng cách dự kiến gửi ngân hàng 170 triệu đồng từ tiền tích lũy tiết kiệm, với lãi suất sinh lợi không đổi 13% năm theo thể thức lãi kép Nhưng anh Tiến khơng biết tính thời gian có số tiền Em tính giúp anh Tiến khơng? Chúng ta bắt đầu quy trình tốn học hóa bao gồm số bước sau: *Bước 1: Xây dựng mơ hình thực tế Vấn đề đặt anh Tiến tính thời gian có số tiền Em tính giúp anh tiến khơng? Câu hỏi đặt bối cảnh giới thực thực tế xác thực nhiên phức tạp so với hầu hết vấn đề thực tế khơng có thơng tin khơng liên quan dư thừa đưa *Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học - Lãi suất lãi kép lãi suất hàng năm không thay đổi 13% - Số tiền gửi 170 triệu đồng - Số tiền nhận 280 triệu đồng - Tính thời gian gửi? Xác định rõ giá trị ban đầu P0, lãi suất r kì, tổng số tiền có sau n kì Ta có tốn thực tế sau: Anh Tiến muốn thu 280 triệu đồng cách gửi vào ngân hàng số tiền 170 triệu đồng, với lãi suất sinh lợi không đổi 13% năm theo thể thức lãi kép Tính thời gian anh Tiến thu số tiền trên? Học sinh có mơ hình tốn học tốn thực tế thực chất tính n cơng thức tính lãi kép Để tìm n, áp dụng cơng thức (1), ta có Pn  P0 1  r n  1  r n  Để tìm n từ đằng thức (*) ta có nhiêu cách thực hiện: Pn P0  * Cách 1: Ta coi (*) phương trình mũ, giải tìm n 1  r  n  Pn P  n  log1r n P0 P0 Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế đẳng thức (*), ta Pn P P P0  log n  n.log 1  r   log n  n  P0 P0 log 1  r  log log 1  r  n *Bước 3: Giải tốn Ta có Pn = 280.000.000 đồng, P0 = 170.000.000 đồng, r = 13% năm 35 Sau n năm đầu tư, anh Tiến thu tổng số tiền là: Pn=P0(1 + r)n ,(*) Để tìm n từ cơng thức (*) em sử dụng cách Trong lời giải ta sử dụng cách 2, lấy logarit thập phân hai vế Ta Pn 280.000.000 log Pn Pn P0 170.000.000  4, 08 n   n.log 1  r   log  n  P0 P0 log 1  r  log 1  13%  log *  1  r  n Vậy sau thời gian gần năm tháng để đạt giá trị mong muốn Bước Thẩm định mơ hình Mơ hình tính số thời gian hồn tồn xác Bước 5: Báo cáo kết giải thích cho lời giải 1  r  n  Pn n  1  r  P0 Pn P P P0  n  n.log 1  r   log n  n  P0 P0 log 1  r  log 280.000.000 170.000.000  4, 08 log 1  13%  log n Vậy sau thời gian gần năm tháng để đạt giá trị mong muốn Nhận xét: + Trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT năm 2020, mã đề 101 có tốn thực tiễn “Trong năm 2019, diện tích trồng tỉnh A 600 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1000 ? A Năm 2028 B Năm 2047 C Năm 2027 D Năm 2046 Có thể chuyển thành toán: Anh Tiến muốn thu tỉ đồng cách gửi vào ngân hàng số tiền 600 triệu đồng năm 2019, với lãi suất sinh lợi không đổi 6% năm theo thể thức lãi kép Kể từ sau năm 2019, năm năm Anh Tiến có tiền năm đạt tỉ đồng ? A Năm 2028 B Năm 2047 C Năm 2027 D Năm 2046 + Tương tự toán thực tế kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017: Đầu năm 2016, ông A thành lập công ty Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm 2016 tỷ đồng Biết sau năm tổng số tiền dùng để trả lương cho nhân viên năm tăng thêm 15% so với năm trước Hỏi năm năm mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên năm lớn tỉ đồng ? A Năm 2023 B Năm 2022 C Năm 2021 D Năm 2020 36 III Thực nghiệm sư phạm Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi hiệu việc lựa chọn số tập có nội dung thực tiễn để phát triển lực mô hình hóa tán học cho học sinh, đồng thời nhằm kiểm nghiệm tính đắn đề tài Nội dung thực nghiệm - Thực nghiệm sử dụng Hệ thống tập có nội dung thực tiễn tổ hợp, xác suất; toán “lãi kép”; ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất, nhở hàm số - Đưa vào toán với số lượng mức độ phù hợp với dạy, quỹ thời gian thực hiện, phù hợp với trình độ nhận thức chung học sinh Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm sư phạm tiến hành Trường THPT Tương Dương năm học 2020 - 2021: - Lớp thực nghiệm: 12E - Lớp đối chứng: 12G Thời gian thực nghiệm tiến hành vào khoảng thời gian từ đầu tháng 10 đến đầu tháng 12 Giáo viên dạy lớp thực nghiệm: Phạm Hoàng Quyền Giáo viên dạy lớp đối chứng: Vương Văn Phong Kết học tập lớp 12E, 12G tương đương Thực nghiệm tiến hành sau học xong Chương 2: Hàm số lũy thừa, hàm số mũ hàm số lôgarit (Sách giáo khoa Giải tích 12 – Ban Bản) Sau dạy thực nghiệm, cho học sinh làm kiểm tra Đề kiểm tra (thời gian làm 45 phút) A Phần trắc nghiệm khách quan (3 điểm) Câu 1: Bạn Đào vào nhà hàng, Đào muốn chọn ăn khai vị khai vị, chính, tráng miệng loại hoa tráng miệng loại nước uống loại nước uống quán Hỏi Anh có cách chọn thực đơn ? A 560 B 20 C 20! D.16 Câu (Đề thi THPT Quốc gia 2018-Mã đề 101): Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 7,5%/năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau năm người thu (cả số tiền gửi ban đầu lãi) gấp đôi số 37 tiền gửi ban đầu, giải định khoảng thời gian lãi suất không thay đổi người khơng rút tiền ? A 11 năm B năm C 10 năm D 12 năm Câu 3: (Đề thi Tốt nghiệp THPT năm 2020 – Mã đề 112) “Trong năm 2019, diện tích trồng tỉnh A 800 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm năm tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đạt 1400 ? A Năm 2049 B Năm 2028 C Năm 2048 D Năm 2029 B Phần tự luận (7điểm) Chuẩn bị đón trung thu, giáo viên chủ nhiệm giao cho tổ thiết kế hộp đựng quà từ bìa cứng hình chữ nhật có kích thước 100cm x 50 cm cách cắt bốn góc vng hình vng để gấp lại thùng khơng nắp dạng hình hộp Em làm để hộp đựng quà chứa nhiều Kết quả: Lớp Điểm từ đến Điểm từ đến 10 Điểm từ đến 12E 7% 50% 33% 10% 12G 4% 45% 36% 15% Điểm Trong kỳ thi, gặp tốn có nội dung thực tiễn em vận dụng thành thạo hồn thành tốt nội dung tốn Đặc biệt kỳ thi Tốt nghiệp THPT thường có câu ứng dụng vào thực tiễn rơi vào câu mức độ vận dụng thấp Đánh giá kết thực nghiệm Theo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, chúng tơi thấy rằng: Nhìn chung đa số học sinh học tập tích cực, sơi hơn, thích thú với tốn có nội dung thực tiễn Sự hấp dẫn tốn có nội dung thực tiễn chỗ gắn kiến thức Toán học với ứng dụng thực tế đa dạng sinh động 38 học tập đời sống, lao động, sản xuất Các tiềm ứng dụng ý nghĩa to lớn tốn có nội dung thực tiễn gợi mở củng cố số tốn có nội dung thực tiễn đa dạng, phong phú Điều kích thích hứng thú thầy lẫn trò thời gian thực nghiệm Nhận định chung cho rằng, điều khó khăn cần vượt qua - ý tưởng triển khai sau - lựa chọn Hệ thống tập có nội dung thực tiễn thích hợp cho tiết học để phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh Phần III KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu - Từ 06/ 09/ 2020 đến 15/ 10/ 2020: Chọn đề tài, viết đề cương nghiên cứu - Từ 16/ 10/ 2020 đến 02/ 12/ 2020: Đọc tài liệu lý thuyết, viết sở lý luận - Từ 03/ 12/ 2020 đến 16/ 01/ 2021: Áp dụng đề tài vào thực tiễn - Từ 17/ 01/ 2021 đến 15/ 03/ 2021: Viết báo cáo, trình bày báo cáo trước tổ chuyên môn xin ý kiến đóng góp - Từ 16/ 03/ 2021 đến 26/ 03/ 2021: Hoàn thiện đề tài Ý nghĩa đề tài - Làm rõ vai trò quan trọng việc rèn luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn - Xây số tốn có nội dung thực tiễn mơ hình hóa tốn học nhằm phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh - Đề tài có ý nghĩa quan trọng việc phát triển tư sáng tạo, kĩ làm toán kỹ sống cho em học sinh Bước đầu hình thành cho em thói quen tự học, tự nghiên cứu, tự khám phá, đồng thời giúp em linh hoạt hơn, chủ động không rập khn máy móc việc giải tốn Mặt khác, qua nội dung đề tài góp phần vào việc giáo dục em yêu toán học, biết áp dụng vào thực tiễn để giải nhiều tình sản xuất, kinh doanh buôn bán, vay lãi ngân hàng - Đề tài góp phần vào dạy học STEM, đánh giá theo Pisa - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi hiệu giải pháp đề xuất Kiến nghị, đề xuất Đối với nhà trường: Triển khai, áp dụng đề tài vào năm học Mặc dù thân cố gắng tìm tịi đúc rút kinh nghiệm, trao đổi đồng nghiệp chắn đề tài cịn nhiều chỗ thiếu sót Để đề tài có tác dụng tích cực việc dạy học phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh đáp ứng đòi hỏi dạy học theo hướng phát triển lực học sinh, kính mong hội 39 đồng khoa học q thầy (cơ) góp ý bổ sung để đề tài ngày hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng q trình dạy học Trường THPT Kết luận khoa học Quá trình nghiên cứu thực nghiêm túc, đảm bảo sở khoa học, mang tính khách quan, huy động nguồn lực tài liệu, người đảm bảo tính pháp lý độ tin cậy cao Đề tài vận dụng có hiệu Trường THPT Tương Dương học kỳ năm học 2020 - 2021 chỉnh sữa, bổ sung thêm phù hợp với thực tiễn hơn, có hiệu cao trường THPT Tương Dương, tháng năm 2021 Tác giả 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Doãn Minh Cường, Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài (2007), Đại số 10 (Sách giáo khoa ban bản) Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Nam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên (2007), Đại số Giải tích 11 (Sách giáo khoa ban bản) Nxb Giáo dục Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2007), Giải tích 12 (Sách giáo khoa ban bản) Nxb Giáo dục Đỗ Đức Thái, Tài liệu tập huấn: Hướng dẫn thực chương trình mơn Tốn (trong chương trình Giáo dục phổ thơng 2018), Đại học sư phạm Hà Nội Nguyễn Thị Nga, Lê Thái Bảo Thiên Trung, Tăng Minh Dũng, Vũ Như Thư Hương, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên phổ thông đại trà mô đun (sử dụng phương pháp dạy học , giáo dục phát triển phẩm chất, lực học sinh THPT) mơn Tốn (2020), Đại học sư phạm Thành Phố Hồ Chí Minh Trang Web, https://www.mathvn.com/ 41 ... luyện cho học sinh lực vận dụng kiến thức Toán học vào thực tiễn - Xây số tốn có nội dung thực tiễn mơ hình hóa tốn học nhằm phát triển lực mơ hình hóa tốn học cho học sinh - Đề tài có ý nghĩa... phổ thơng 2018 phát triển lực toán học cho học sinh, đặc biệt lực “Mơ hình hóa Tốn học? ?? - Giúp giáo viên hiểu tầm quan trọng Toán học với thực tiễn - Giúp học sinh thấy mối quan hệ tương hổ toán. .. pháp dạy học kiểm tra, đánh giá kết giáo dục theo định hướng phát triển lực người học Đặc biệt phát triển lực tốn học, có lực “Mơ hình hóa tốn học? ?? Vì lí tác giả chọn đề tài: ? ?Một số tập có nội dung