Dạy học đại số theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh trung học cơ sở

Một trong những vấn đề quan tâm lớn nhất của giáo viên và các nhàsư phạm Toán học là phải dạy Toán học như thế nào để có hiệu quả và tính ứngdụng thực tiễn cao nhất.Đã có rất nhiều công

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI VĂN NAM

DẠY HỌC ĐẠI SỐ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂNNĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO

HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Thái Nguyên - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

BÙI VĂN NAM

DẠY HỌC ĐẠI SỐ THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂNNĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO

HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ

Ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn ToánMã số: 8.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Đào Thái Lai

Thái Nguyên - 2019

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trìnhnào khác.

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giả luận văn

Bùi Văn Nam

LỜI CẢM ƠN

Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh, bêncạnh sự cố gắng lỗ lực của bản thân còn có sự hướng dẫn nhiệt tình của quýThầy cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trong suốt thờigian học tập nghiên cứu và thực hiện luận văn thạc sĩ.

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Đào Thái Lai, ngườiđã hết lòng giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho em hoàn thành luận văn này.

Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu cùng toàn thểquý Thầy cô trong khoa Toán, Bộ phận sau đại học - Phòng đào tạo - trườngĐại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiếnthức quý báu cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho em trong suốt quátrình học tập nghiên cứu và cho đến khi thực hiện đề tài luận văn.

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và các anh chịđồng nghiệp đã luôn khích lệ, động viên và giúp đỡ em trong quá trình học tậpvà nghiên cứu khoa học.

Tuy có nhiều cố gắng, nhưng trong đề tài nghiên cứu khoa học nàykhông tránh khỏi những thiếu sót Em kính mong Quý thầy cô, các chuyên gia,những người quan tâm đến đề tài, đồng nghiệp, gia đình và bạn bè tiếp tục cónhững ý kiến đóng góp, giúp đỡ để đề tài được hoàn thiện hơn.

Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 6 năm 2019

Tác giảBùi Văn Nam

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 5

4 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu 6

5 Giả thuyết khoa học 6

6 Phương pháp nghiên cứu 6

7 Những luận điểm đưa ra bảo vệ 7

8 Những đóng góp của luận văn 7

9 Cấu trúc của luận văn 8

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 9

1.1 Tình hình nghiên cứu và triển khai vận dụng mô hình hóa trong dạyhọc toán 9

1.1.1 Tình hình nghiên cứu và triển khai vận dụng mô hình hóa trong dạyhọc toán trên thế giới 9

1.1.2 Tình hình nghiên cứu và triển khai vận dụng mô hình hóa toán họctrong dạy học toán ở Việt Nam 10

1.2 Mô hình hóa toán học 11

1.2.1 Các khái niệm cơ bản 11

1.2.2 Khái niệm mô hình hóa toán học 12

1.2.3 Quá trình mô hình hóa toán học 13

1.2.4 Đặc điểm của mô hình hóa toán học 19

1.2.5 Nền tảng lịch sử và các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán 19

1.2.6 Mối liên hệ giữa mô hình hóa, toán học hóa và áp dụng toán 21

1.3 Năng lực và năng lực mô hình hóa toán học 22

1.3.1 Năng lực 22

1.3.2 Năng lực mô hình hóa toán học 26

1.3.3 Mối liên hệ giữa năng lực mô hình hóa toán học với các năng lực khác 28

1.3.4 Phương pháp dạy học mô hình hóa 29

1.3.5 Biểu hiện của năng lực mô hình hóa toán học trong dạy học Đại sốở trường THCS 29

1.4 Những nội dung Đại số trong chương trình SGK THCS và cơ hội pháttriển NL MHHTH cho HS 31

1.4.1 Mạch nội dung kiến thức Đại số ở trường THCS 31

1.4.2 Cơ hội phát triển NL MHHTH cho HS 33

1.5 Thực trạng việc dạy học đại số ở THCS theo hướng phát triển nănglực mô hình hóa cho học sinh 41

1.6 Kết luận chương 1 46

Chương 2: MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC ĐẠI SỐ Ở TRƯỜNG THCS THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC MÔ HÌNH HÓA TOÁN HỌC CHO HỌC SINH 48

2.1 Định hướng xây dựng và thực hiện các biện pháp 48

2.1.1 Định hướng 1 Các biện pháp sư phạm phải góp phần quan trọng giúp HS lĩnh hội tốt các tri thức, kỹ năng toán học và hoàn thành các nhiệm vụ khác của môn học .48

2.1.2 Định hướng 2 Các biện pháp phải thể hiện rõ ý tưởng phát triểnnăng lực mô hình hóa toán học cho học HS, đồng thời chú trọng đến PPmô hình hóa trong dạy học Đại số ở trường THCS 48

2.1.3 Định hướng 3 Xây dựng các biện pháp sư phạm phải dựa trên nềntảng vốn văn hóa toàn diện của người học .48

2.1.4 Định hướng 4 Các biện pháp sư phạm phải khả thi và góp phần đổimới phương pháp dạy học thực hiện mục tiêu theo chương trình môn toán

3.4 Nội dung và phương pháp thực nghiệm 66

3.5 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 67

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Viết tắtViết đầy đủ

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 1.1: Điều tra về khai thác sử dụng tình huống thực tiễn của GV 42Bảng 1.2: Điều tra về năng lực mô hình hóa của HS 43Bảng 1.3: Điều tra về tình hình dạy học Đại số với yêu cầu phát triển NL

MHHTH cho HS 44Bảng 3.1: Đánh giá về năng lực mô hình hóa 69Bảng 3.2: Đánh giá về cấp độ mô hình hóa 69

DANH MỤC CÁC HÌNH

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979) 13

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình MHH của Blum và Leiß (2006) 13

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brown vàEdwards (2007) 13

Sơ đồ 1.4 Mô hình cấu trúc năng lực thực hiện .24

Hình 1.1: Quy trình MHH trong dạy học Toán 15

Hình 1.2: Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH 15

Hình 1.3: Các bước tổ chức hoạt động MHH 16

Biểu đồ 3.1 Biểu đồ đánh giá các thành tố của NL MHHTH 71

1 Lý do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

1.1 Một trong những vấn đề quan tâm lớn nhất của giáo viên và các nhà

sư phạm Toán học là phải dạy Toán học như thế nào để có hiệu quả và tính ứngdụng thực tiễn cao nhất.

Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về DH Toán theo hướng tăngcường hiệu quả của môn toán đối với HS phổ thông của các nhà nghiên cứutrong nước và quốc tế; nhằm hình thành phát triển cho HS khả năng áp dụngđược kiến thức và phương pháp Toán học vào thực tiễn cuộc sống.

Theo Mogens Niss (1993, dẫn theo [49]) có thể xác định được tám năng

lực toán học chính thức, trong đó năng lực mô hình hóa là rất quan trọng bởi vìnó gắn liền với thực tiễn.

Để phát triển năng lực này cho người học ta phải xây dựng một mô hìnhhóa Toán học thích hợp cho từng tình huống cụ thể Vì lẽ đó, giáo viên phảihình thành cho HS kỹ năng về mô hình hóa Toán học ngay từ khi HS được họcToán Mô hình hóa Toán học trong dạy học là quá trình giúp HS tìm hiểu,khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toánhọc, cùng với sự hỗ trợ của các phương tiện kỹ thuật và phần mềm Quá trìnhmô hình hóa Toán học trong dạy học ở trường phổ thông, cho thấy mối quan hệgiữa các kiến thức trong sách giáo khoa và thực tiễn Vì vậy, HS phải có cáckỹ năng phân tích, tổng hợp, so sánh,… và giáo viên phải luôn thay đổi phươngpháp dạy học qua những từng tình huống cụ thể để phù hợp và thích ứng vớicuộc sống.

1.2 Với sự phát triển ngày càng nhanh của xã hội về mọi mặt, HS ở bậc

trung học đứng trước nhiều thách thức của cuộc sống, các em phải chuẩn bị lựachọn cho mình một định hướng nghề nghiệp sau THPT, thậm chí là ngay sauTHCS Vì vậy, nhu cầu trang bị cho HS năng lực giải quyết các tình huốngtrong thực tiễn trở nên một mục tiêu quan trọng trong giáo dục, nói riêng là vớimôn toán.

1.3 Trong những nguyên nhân ảnh hưởng đến chất lượng áp dụng toán

học của HS thì cách thức và phương pháp dạy Toán hiện nay tại các trường phổthông là một yếu tố quan trọng hàng đầu Tuy đã có nhiều công trình nghiêncứu và triển khai đổi mới về PPDH ở các trường phổ thông, nhưng có thể thấyở Việt Nam phương thức giáo dục toán học vẫn còn nặng về hình thức mộtcách cứng nhắc, rập khuôn, mang tính lý thuyết hàn lâm kinh viện; thậm chí làđể đối phó với kiểm tra và thi cử hay còn gọi là dạy và học nhằm đạt được“điểm số” Vì vậy, GV dạy chủ yếu “chạy” nội dung trong chương trình SGK,HS tiếp thu kiến thức một cách thụ động, học cách giải bài tập toán từ thầy côgiáo và sách tham khảo, rất ít được thực hành vận dụng môn toán Tính sángtạo và đặc biệt là khả năng ứng dụng Toán học của các em rất hạn chế.

Do vậy, cần thiết có một sự thay đổi về PPDH Toán tại các trường phổthông, đặc biệt, trong đó chú trọng đến việc phát triển các năng lực toán họccủa HS và gắn với yêu cầu áp dụng toán học vào thực tiễn.

Trong khi đó, ở các nước trên thế giới, tính thực hành trong giáo dụctoán học ở bậc phổ thông được quan tâm nhiều, thể hiện ở cả nội dung chươngtrình, SGK lẫn PPDH Đặc biệt là tập trung vào việc tổ chức cho HS hợp tác,tương tác trong hoạt động thực hành vận dụng kiến thức, nhằm làm cho cácem phát triển NL vận dụng toán học vào thực tiễn.

Để đánh giá được hiệu quả của hệ thống giáo dục của mỗi quốc gia (chủyếu là đánh giá năng lực của HS trong các lĩnh vực Đọc hiểu, Toán học vàKhoa học) với đối tượng là HS ở độ tuổi 15, tổ chức OECD (Organization forEconomic Cooperation and Development) đã đưa ra chương trình đánh giáquốc tế PISA (Programme for International Student Assessment) PISA khôngkiểm tra nội dung cụ thể chương trình học trong nhà trường phổ thông, mà tậptrung đánh giá năng lực vận dụng tri thức vào việc giải quyết các tình huốngđặt ra trong thực tiễn Theo PISA, về đánh giá năng lực Toán học, trong đó cónăng lực mô hình hóa toán học.

Như vậy, để kịp thời hòa nhập cùng phát triển với thế giới, Việt Nam cầnthay đổi cả về nội dung và PPDH Toán theo hướng giảm tính lý thuyết, tăngtính thực hành, nhằm vào mục tiêu phát triển cho HS NL vận dụng toán học.

1.4 Nội dung và chương trình sách giáo khoa môn Toán bậc trung học

hiện nay là tương đối phù hợp với tâm sinh lý của HS, yêu cầu của các môn họckhác và với thực tiễn của xã hội.

Nói riêng trong từng phân môn Đại số, Hình học, Giải tích, nhiều nộidung kiến thức đã được đưa vào SGK Toán không chỉ đảm bảo tính chính xác,khoa học, hệ thống, mà còn thể hiện được một phần tính liên môn và tích

hợp các nội dung giáo dục, tạo điều kiện và cơ hội cho GV thực hiện yêu cầu

phát triển NL thực hành toán học cho HS, trong đó có năng lực mô hình hóatoán học.

Chẳng hạn:

- Trong Đại số, khi đưa vào công cụ phương trình, hệ phương trình, bấtphương trình, các tác giả đã xuất phát từ những tình huống thực tế trong cuộcsống để HS được tiếp cận một cách tự nhiên, thấy được nhu cầu cần đến kiếnthức này.

- Trong Giải tích, người ta cho HS đi từ tình huống chuyển động Vật lý, từnhu cầu tìm vận tốc tức thời, để dẫn đến kiến thức về giới hạn, đạo hàm,

- Trong Hình học:

+ Khi xây dựng khái niệm đường tròn, đường elip người ta cũng gắn liềnvới hình ảnh thực tiễn Qua đó, HS vận dụng được kiến thức đã học vào cuộcsống Khái niệm hình đa diện, khối tròn xoay được cũng được mô hình hóa rấtcụ thể bằng những hình ảnh thực tế gần gũi, do đó, tạo cho HS say mê, hứngthú trong những tiết học.

+ Để xây dựng khái niệm vectơ, người ta cũng dựa trên một tình huốngthực tiễn cụ thể, sau đó dùng kí hiệu toán học và đưa ra khái niệm Từ đây, việcgiải quyết các bài toán vật lý về phân tích lực trở nên dễ dàng hơn, các ứng

dụng của vectơ trong hình hoc trở nên phổ biến qua cách giải các bài toán vềthể tích, diện tích, khoảng cách, chứng minh ba điểm thẳng hàng, đồng quy,vuông góc, song song, tìm tập hợp điểm Như vậy, mô hình hóa trong phươngpháp tọa độ, phương pháp véc tơ ở Hình học giải tích giúp cho HS thấy đượcsự liên hệ giữa Hình học, Đại số và Giải tích.

1.5 Vấn đề mô hình hóa toán học rất cần thiết trong dạy học Toán, đặc

biệt là trước mục tiêu dạy học toán gắn với thực tiễn đáp ứng yêu cầu đổi mớitoàn diện giáo dục Đã có khá nhiều công trình nghiên cứu (gián tiếp hoặc trựctiếp) liên quan đến vấn đề toán học hóa tình huống thực tiễn trong dạy học Cóthể kể đến những công trình sau:

Ở bậc trung học, một số luận án tiến sỹ Giáo dục đã đề cập đến nhữngkhía cạnh khác nhau của MHHTH:

Trong luận án tiến sỹ Ứng dụng phép tính vi phân (Phần đạo hàm) để

giải các bài tập cực trị có nội dung liên môn và thực tế trong dạy học toán lớp12 trung học phổ thông, Nguyễn Ngọc Anh (2000, [5]) khi khai thác nội dung

liên môn và thực tế vào nội dung ứng dụng đạo hàm ở lớp 12 đã xác định mộtsố hoạt động MHHTH cần tổ chức cho HS trong quá trình giải bài tập.

Cũng theo hướng khai thác ứng dụng của toán học, nhằm nâng cao năng

lực vận dụng toán học vào thực tiễn cho HS THCS trong DH Số học và Đại số

ở THCS, Bùi Huy Ngọc (2003, [34]) nghiên cứu DH Đại số THCS gắn vớithực tiễn - trong đó có mô tả những HĐ của HS liên quan đến MHHTH nhưdiễn đạt bài toán thực tế về dạng toán học,

Trực tiếp nghiên cứu về phát triển năng lực toán học hóa tình huống

thực tiễn, tác giả Phan Anh (2012, [6]) đã xây dựng một số biện pháp dạy họcĐại số và Giải tích lớp 11 THPT nhằm phát triển NL toán học hóa cho HSTHPT Ở luận án này Đây cũng là một đề tài nghiên cứu khá gần gũi với vấn

đề phát triển NL MHHTH mà chúng tôi quan tâm.

Từ một tiếp cận khác, tác giả Nguyễn Thị Tân An (2014, [4]) đặt ra và

giải quyết vấn đề sử dụng toán học hóa để phát triển các năng lực hiểu biết

định lượng của HS lớp 10 Ở đó, tác giả tiếp cận phát triển NL hiểu biết định

lượng bằng công cụ toán học hóa - trong đó có MHHTH.

Khi nghiên cứu Phương pháp mô hình hóa trong dạy học môn Toán ở

trường phổ thông, tác giả Nguyễn Danh Nam (2016, [39]) đã trình bày về

những cách thức thực hiện MHHTH trong dạy học toán ở trường phổ thông Cóthể xem đây là những cách thức quan trọng trong dạy học toán để thông qua đóphát triển NL MHHTH cho HS.

Tuy nhiên, ở Việt Nam và trên thế giới chưa có công trình nào trực tiếpnghiên cứu phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS THCS thông quadạy học phân môn Đại số.

Như vậy đã có một số công trình nghiên cứu cùng hướng này, tuy nhiênvấn đề tác giả chọn là không trùng lặp, góp phần đáp ứng yêu cầu định hướnggiáo dục toán học gắn với thực tiễn, phù hợp với phạm vi và yêu cầu của đề tàiluận văn Thạc sỹ PPDH Toán.

Vì những lý do trên đây, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là:

“Dạy học Đại số ở trường THCS theo hướng phát triển năng lực mô hìnhhóa toán học cho HS”

2 Mục đích nghiên cứu

Đề xuất các biện pháp sư phạm về dạy học Đại số ở trường THCS theohướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS, giúp HS rèn luyệnnăng lực vận dụng kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán có nội dungthực tế.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Làm sáng tỏ quan niệm về năng lực mô hình hóa toán học, đề xuất nhữngcăn cứ làm cơ sở cho việc xác định các thành tố của năng lực mô hình hóa toánhọc và các cấp độ của năng lực mô hình hóa toán học đối với HS THCS.

- Hệ thống hóa các khái niệm về việc vận dụng toán học vào trong đờisống thực tiễn, đặc biệt là vấn đề mô hình hóa toán học trong dạy học ở THCS.

- Phân tích những cơ hội phát triển năng lực mô hình hóa toán học choHS trong dạy học Đại số ở THCS.

- Phân tích thực trạng dạy học Đại số ở THCS theo hướng phát triểnnăng lực mô hình hóa toán học cho HS.

- Đề xuất các biện pháp sư phạm về dạy học Đại số ở trường THCS theohướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS.

4 Khách thể, đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán ở trường THCS.

- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học Đại số theo hướng phát triểnnăng lực mô hình hóa toán học cho HS THCS.

- Phạm vi nghiên cứu: Phát triển năng lực mô hình hoá Toán học về hàmsố, phương trình, hệ phương trình và nghiên cứu dạy học mô hình hóa toán họccác tình huống thực tiễn.

5 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở xác định một số thành tố của năng lực mô hình hóa toán họccủa HS THCS, nếu xây dựng và thực hiện một số biện pháp dạy học Đại sốTHCS theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán học thì sẽ góp phầnphát triển năng lực mô hình hóa toán học cho các em, giúp nâng cao chất lượnghọc toán của HS THCS.

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Phân tích, tổng hợp để tổng quan cáccông trình nghiên cứu trong và ngoài nước về các vấn đề thuộc phạm vi nghiêncứu của đề tài; xây dựng cơ sở lí luận cho năng lực mô hình hóa toán học củaHS THCS và việc rèn luyện để phát triển năng lực này trong dạy học Toán.

- Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra hoạt động dạy của giáo viên,hoạt động học tập của HS bằng phiếu hỏi và phỏng vấn nhằm đánh giá thực

trạng việc rèn luyện năng lực mô hình hóa toán học cho người học, dự giờ quansát hoạt động dạy học trên lớp, nghiên cứu sản phẩm học tập của HS.

- Thực nghiệm sư phạm: Thực nghiệm sư phạm được tiến hành để kiểmnghiệm giả thuyết và tính khả thi, hiệu quả của một số biện pháp đã đề xuất.

7 Những luận điểm đưa ra bảo vệ

- Quan niệm về năng lực mô hình hóa toán học của HS THCS; các thànhtố của năng lực này của HS THCS.

- Các biện pháp sư phạm về dạy học Đại số ở trường THCS theo hướngphát triển năng lực mô hình hóa toán học cho HS là khả thi và hiệu quả …

8 Những đóng góp của luận văn

8.1 Về mặt lí luận

- Làm sáng tỏ quan niệm về năng lực mô hình hóa toán học của HSTHCS, trên cơ sở phân tích hoạt động mô hình hóa toán học, mô tả hoạt độngnày đối với HS THCS trong dạy học Toán, đồng thời xác định các thành tố vàcác cấp cấp độ của năng lực mô hình hóa toán học làm cơ sở cho việc hìnhthành và phát triển năng lực này ở người học.

- Cụ thể hóa về năng lực mô hình hóa toán học của HS trong học Đại sốở trường THCS.

8.2 Về mặt thực tiễn

- Đề xuất được một số biện pháp sư phạm khả thi và hiệu quả về dạy họcĐại số ở trường THCS theo hướng phát triển năng lực mô hình hóa toán họccho HS.

- Xác định một số loại tình huống dạy học Đại số có thể phát triển nănglực mô hình hóa toán học cho HS THCS.

- Xây dựng các hướng dẫn dạy học một số nội dung cụ thể giúp giáo viênTHCS trong thực tiễn dạy học Toán theo hướng phát triển năng lực mô hìnhhóa toán học.

- Xây dựng hệ thống các bài tập Đại số nhằm hỗ trợ phát triển năng lựcmô hình hóa toán học cho HS THCS làm tư liệu cho giáo viên trung học sơ sởtham khảo, vận dụng vào thực tiễn dạy học Đại số.

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung chính của

luận văn được trình bày trong ba chương:Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Một số biện pháp dạy học đại số ở trường THCS theo hướngphát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Tình hình nghiên cứu và triển khai vận dụng mô hình hóa trong dạyhọc toán

1.1.1 Tình hình nghiên cứu và triển khai vận dụng mô hình hóa trong dạyhọc toán trên thế giới

Mục tiêu quan trọng của chương trình toán học phổ thông đó là hìnhthành và phát triển cho HS khả năng vận dụng tri thức toán học để giải quyếtnhững tình huống nảy sinh từ thực tiễn cuộc sống Điều này được chương trìnhđánh giá HS quốc tế PISA quan tâm nghiên cứu từ năm 2000 Chương trìnhPISA đánh giá 8 năng lực đặc trưng của toán học đó là: Tư duy và lập luận(thinking and reasoning); suy luận và chứng minh toán học (argumentation);giao tiếp toán học (communication); mô hình hóa (modeling); nêu và giải quyếtvấn đề (problem posing and solving); biểu diễn (representation); sử dụng kíhiệu và ngôn ngữ toán học (using symbolic, formal and technical language andoperations); sử dụng công cụ tính toán (using of aids and tools) Kết quả thuđược từ chương trình PISA sẽ giúp các nước đánh giá được những năng lựctoán học cốt lõi của HS phổ thông, từ đó xây dựng chiến lược phát triển chươngtrình giáo dục toán học quốc gia.

Trong các năng lực trên, mô hình hóa là năng lực được nhiều quốc giatrên thế giới đề cập đến từ hai thập niên trước và giữ vị trí ngày càng quantrọng trong chương trình môn Toán phổ thông của nhiều nước như Hoa Kì,Đức, Pháp, Anh, Trung Quốc, Singapore,…

Tiếp cận từ yêu cầu đánh giá NL MHHTH trong giáo dục mô hình toán

học, kỹ thuật và kinh tế (ICTMA12), các tác giả Jensen, T H (2007, 141-148,

Horwood, [51]) đã phân tích làm rõ khái niệm NL MHHTH từ góc nhìn đa

chiều (NL giải quyết được khía cạnh nào của quá trình MHHTH; Phạm vi

những tình huống mà NL MHHTH tác động được; Các cấp độ của NL

MHHTH) Từ tiếp cận đa chiều này, các tác giả nghiên cứu đánh giá NL

MHHTH dựa trên mô hình “hình học” trực quan 3 chiều, trong đó nhấn mạnhđến những khó khăn gặp phải khi đánh giá NL này.

Trong bài báo Mô hình hóa toán học các hiện tượng biến thiên trong

dạy học nhờ hình học động dự án nghiên cứu Mira của Annie Bessot, NguyễnThị Nga (2011, Tạp chí Khoa học, Trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh, 85, 55-63 [1]), các tác giả đã cụ thể hóa hoạt động MHHTH trên những hiện tượng

biến thiên trong thực tiễn nhờ công cụ hình học động Ở đó, những hiện tượngbiến thiên được MHHTH dựa vào sự hỗ trợ của một số phần mềm hình họcđộng như G Cabri,

Như vậy, trên thế giới đã có nhiều công trình nghiên cứu về NL MHHTHở tầm lý thuyết vĩ mô, đủ để làm cơ sở lý luận cho những nghiên cứu cụ thểhóa lý thuyết này trong giáo dục toán học ở Việt Nam.

1.1.2 Tình hình nghiên cứu và triển khai vận dụng mô hình hóa toán họctrong dạy học toán ở Việt Nam

Đã có một số công trình nghiên cứu vận dụng MHHTH vào dạy học toánở các cấp, bậc học ở Việt Nam.

Một số cuốn sách chuyên khảo:

 Vũ Như Thu Hương, Lê Thị Hoài Châu (2013, [20]), Mô hình hóa với

phương pháp tích cực trong dạy học toán (tài liệu bồi dưỡng giáo viên) Ở đó,

các tác giả phân tích làm rõ mối quan hệ giữa tiếp cận MHH với yêu cầu vàPPDH tích cực trong môn toán.

 Nguyễn Danh Nam (2016, [29]) Phương pháp mô hình hóa trong dạy

học môn Toán ở trường phổ thông, Sách chuyên khảo, Nxb Đại học Thái

Một số đề tài luận án tiến sỹ và bài báo khoa học:

 Nguyễn Thị Tân An (2012-[2], 2013-[3], 2014-[4]) với các bài báo, luận

án tiến sỹ về các vấn đề: Làm rõ sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học

toán;

Xây dựng các tình huống dạy học hỗ trợ quá trình toán học hóa; Sử dụng toánhọc hóa để phát triển các năng lực hiểu biết định lượng của HS lớp 10.

 Phan Anh (2012, [6]) với luận án tiến sỹ về vấn đề: Phát triển năng

lực toán học hóa tình huống thực tiễn cho HS Trung học phổ thông qua dạyhọc Đại số và Giải tích.

 Trần Trung (2011, [45]) Vận dụng mô hình hóa vào dạy học môn

Toán ở trường phổ thông Tạp chí Khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội, số 06,

Một số đề tài luận văn Thạc sỹ:

 Luận văn Thạc sỹ của Nguyễn Thị Hồng Cúc (2011, [11]) về dạy học

mô hình hóa hàm số thông qua bài toán tính diện tích trong môi trường tíchhợp phần mềm Cabri II Plus;

 Luận văn Thạc sỹ của Phạm Việt Hà (2016, [14]): Bồi dưỡng năng lực

mô hình hóa toán học các bài toán thực tiễn cho HS THCS thông qua dạy họcnội dung phương trình và hệ phương trình.

 Luận văn Thạc sỹ của Nguyễn Hữu Hải (2014, [15]) nghiên cứu

hướng dẫn HS trung học xây dựng mô hình toán học của một số tình huốngthực tiễn.

 Luận văn Thạc sỹ của Phan Thị Thu Hiền (2014, [17]) về việc: Vận

dụng phương pháp mô hình hóa trong dạy học Đại số lớp 10 ở trường Trunghọc phổ thông …

Nhìn chung, các công trình này tập trung làm rõ một số vấn đề về lý luậnvà thực tiễn của MHHTH và vận dụng PP MHHTH vào môn toán phổ thông.Tuy nhiên, chưa có công trình nào thực tế nghiên cứu về NL MHHTH trongDH Đại số ở THCS.

1.2 Mô hình hóa toán học

1.2.1 Các khái niệm cơ bản

Mô hình được mô tả như một vật dùng thay thế mà qua đó ta có thể thấy

được các đặc điểm đặc trưng của vật thể thực tế Thông qua mô hình, ta có thểthao tác và khám phá các thuộc tính của đối tượng mà không cần đến vật thật.Tuy nhiên điều này còn phụ thuộc vào ý đồ của người thiết kế mô hình và bốicảnh áp dụng của mô hình đó.

Mô hình sử dụng trong dạy toán là một mô hình trừu tượng sử dụng ngônngữ toán học để mô tả về một hệ thống nào đó Nó có thể hiểu là các hình vẽ,bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, hệ phương trình, sơ đồ, biểu đồ, biểutượng hay thậm chí cả các mô hình ảo trên máy vi tính [theo 49, tr.56].

Mô hình được dùng để mô tả một tình huống thực tiễn nào đó, mô hìnhtoán học được hiểu là sử dụng công cụ toán học để thể hiện nó dưới dạng củangôn ngữ toán học, trong đó MHH là quá trình tạo ra các mô hình để giải quyếtcác vấn đề toán học liên quan đến các tình huống thực tiễn [54, tr.125].

Trong phạm vi đề tài này, chúng tôi thống nhất với những quan điểm ởtrên, và hiểu “mô hình” ở đây theo cách tiếp cận “mô hình trừu tượng” - bao

gồm tất cả các cách biểu đạt trong môn toán để mô tả tình huống thực tiễn.

1.2.2 Khái niệm mô hình hóa toán học

Trong [53], các tác giả Nguyễn Danh Nam và Trần Trung đã làm rõ quan

niệm về MHH trong dạy học toán, xem đó là quá trình giúp HS (HS) tìm hiểu,

khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toánhọc với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin.

Quá trình này đòi hỏi HS cần có các kỹ năng và thao tác tư duy toán họcnhư phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa, trừu tượng hóa Ở trường phổthông, MHH diễn tả mối quan hệ giữa các hiện tượng trong tự nhiên và xã hộivới nội dung kiến thức toán học trong sách giáo khoa thông qua ngôn ngữ toánhọc như kí hiệu, đồ thị, sơ đồ, công thức, phương trình.

Mô hình hóa trong dạy học toán là quá trình giúp HS tìm hiểu, khám phácác tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ toán học nhưhình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, phương trình, kí hiệu, sơ đồ, công thức, …

Tham khảo các công trình đã có, đối chiếu với thực tiễn dạy học Đại số ởTHCS, trong luận văn này, chúng tôi hiểu:

Mô hình hóa trong dạy học Đại số THCS là quá trình giúp HS tìm hiểu,khám phá các tình huống nảy sinh từ thực tiễn bằng công cụ và ngôn ngữ Đại

số (hình vẽ, bảng biểu, hàm số, đồ thị, kí hiệu, sơ đồ, công thức, … và đ ặ c

b i ệt l à P T, HP T, BP T ) Như vậy, MHH Đại số đi từ tình huống bài toán thực

tiễn chuyển thành bài toán Đại số thuần tuý và giải bài toán bằng công cụĐại số, sau đó quay lại trả lời cho yêu cầu ở bài toán thực tiễn.

1.2.3 Quá trình mô hình hóa toán học

Tham khảo Nguyễn Thị Tân An ([2], [3], [4]), Nguyễn Danh Nam ([24],

[26], [29]) quá trình MHHTH có thể xem xét theo những sơ đồ sau:

1.2.3.1 Sơ đồ của Pollak

Sơ đồ 1.1 Sơ đồ quá trình MHH của Pollak (1979)

1.2.3.2 Sơ đồ của Blum và Leiß

Sơ đồ 1.2 Sơ đồ quá trình MHH của Blum và Leiß (2006)

1.2.3.3 Sơ đồ của Stillman, Galbraith, Brown và Edwards

Sơ đồ 1.3 Sơ đồ quá trình MHH của Stillman, Galbraith, Brownvà Edwards (2007)

Quá trình MHH các tình huống thực tế trong dạy học toán sử dụng cáccông cụ và ngôn ngữ toán học phổ biến như công thức, thuật toán, phươngtrình, hệ phương trình, bảng biểu, biểu tượng, đồ thị, kí hiệu Theo Swetz &Hartzler (1991), quy trình MHH gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây (tham khảotừ [55], [52], [24]):

* Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, phác thảo tình huống vàphát hiện các yếu tố (tham số) quan trọng có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn.

* Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố trong bàitoán sử dụng ngôn ngữ toán học Từ đó thiết lập mô hình toán học tương ứng.

* Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợpđể MHH bài toán và phân tích mô hình đó.

* Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưara kết luận.

Quá trình giải quyết vấn đề (GQVĐ) và MHH có những đặc điểm tươngtự nhau giúp rèn luyện cho HS những kĩ năng toán học cần thiết Do đó, chúnghỗ trợ và bổ sung cho nhau Quy trình MHH được xem là khép kín vì nó đượcdùng để mô tả các tình huống nảy sinh từ thực tiễn và kết quả của nó lại đượcdùng để giải thích và cải thiện các vấn đề trong thực tiễn [52, tr.71].

Sử dụng MHH ở trường phổ thông nhằm giúp HS giải quyết vấn đề bằngcách: (i) thu thập, hiểu và phân tích các thông tin toán học; (ii) áp dụng toánhọc để mô hình hóa các tình huống thực tiễn Do vậy, quá trình MHH được cụthể hóa theo sơ đồ dưới đây:

Hình 1.1: Quy trình MHH trong dạy học Toán

Tuy nhiên, trong thực tế dạy học, quy trình MHH ở trên luôn tuân theomột cơ chế điều chỉnh phù hợp nhằm làm đơn giản hóa và làm cho vấn đề trởnên dễ hiểu hơn đối với HS ở trường phổ thông ([54])

Cơ chế điều chỉnh này thể hiện mối liên hệ mật thiết giữa toán học vớicác vấn đề trong thực tiễn:

Hình 1.2: Cơ chế điều chỉnh quá trình MHH

Từ cơ chế điều chỉnh quá trình MHH, chúng tôi cụ thể hóa các bước tổchức hoạt động MHH trong dạy học môn Toán như sau:

- Bước 1: Tìm hiểu, xây dựng cấu trúc, làm sáng tỏ, phân tích, đơn giảnhóa vấn đề, xác định giả thuyết, tham số, biến số trong phạm vi của vấn đề thựctế.

- Bước 2: Thiết lập mối liên hệ giữa các giả thuyết khác nhau đã đưa ra.- Bước 3: Xây dựng bài toán bằng cách lựa chọn và sử dụng ngôn ngữtoán học mô tả tình huống thực tế cũng như tính toán đến độ phức tạp của nó.

- Bước 4: Sử dụng các công cụ toán học thích hợp để giải bài toán.

- Bước 5: Hiểu được lời giải của bài toán, ý nghĩa của mô hình toán họctrong hoàn cảnh thực tế.

- Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình (ưu điểm và hạn chế), kiểm tra tính hợplý và tối ưu của mô hình đã xây dựng.

- Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán, cải tiến mô hình hoặc xâydựng mô hình có độ phức tạp cao hơn sao cho phù hợp với thực tiễn.

Ví dụ:

Hình 1.3: Các bước tổ chức hoạt động MHH

Huyện Giao Thuỷ - Nam Định cần sử dụng một số máy bơm nước phụcvụ tưới tiêu Tuy nhiên có nhiều loại máy bơm khác nhau cả về giá tiền, tínhnăng và mức độ tiêu thụ điện năng.

Vấn đề đặt ra là: Để đạt hiệu quả kinh tế cao, tiết kiệm chi phí điện năng,cần tính toán chọn mua loại máy bơm nước nào? Đồng thời cũng cần tính đếnthời gian sử dụng máy bơm trong đầu tư?

 Bước 1: Tìm hiểu vấn đề thực tiễn Đây là một bài toán mở, cácđiều kiện ban đầu của bài toán chưa thật đầy đủ và rõ ràng Do vậy, trước hết

GV tổ chức cho HS suy nghĩ và thảo luận về những số liệu cần thiết cần thuthập nhằm đơn giản hóa bài toán GV hướng dẫn HS liệt kê các từ khóa, diễn

đạt lại vấn đề và xác định đơn vị tính Ví dụ các từ khóa có thể là: lưu lượng

nước bơm được trong một giờ, giá tiền của từng loại máy bơm, mức độ tiêu thụđiện năng, tổng lượng thời gian sẽ sử dụng máy bơm,

Vấn đề có thể được diễn đạt lại như sau: Cần đầu tư loại máy bơm nàođể tối ưu tính hiệu quả?

 Bước 2: Lập giả thuyết Liệt kê những yếu tố (tham số) có liên quanđến vấn đề trên nhằm thiết lập điều kiện ban đầu của bài toán GV sử dụng kĩthuật động não yêu cầu cá nhân hoặc nhóm xác định xác định những tham sốquan trọng và loại bỏ những tham số phụ Các tham số xuất hiện trong bài toáncó thể là:

lưu lượng nước bơm được trong một giờ, giá tiền của từng loại máybơm, mức độ tiêu thụ điện năng, tổng lượng thời gian sẽ sử dụng máy bơm,

Sau khi thảo luận và nghiên cứu kĩ tình huống, GV hướng dẫn HS lựa

chọn các tham số ảnh hưởng nhiều đến hiệu quả đầu tư như giá tiền của máy

bơm, chi phí điện năng, tổng thời gian khai thác sử dụng máy bơm Ở đây, nếu

như các máy bơm có cùng công suất (lưu lượng nước bơm được trong một giờ

là bằng nhau) thì ta có thể loại bỏ tham số phụ này, ngoài ra cũng không cần

tính đến hình dáng, kích thước, kiểu cách, hình thức của máy bơm, Cụ thể:

Có hai loại với cùng lưu lượng bơm được trong một giờ; loại thứ nhấtgiá 50 triệu đồng, loại thứ hai giá 60 triệu đồng Tuy nhiên, nếu dùng máy bơmloại thứ nhất thì mỗi giờ tiền điện phải trả là 1.500 đồng, trong khi dùng máybơm loại thứ hai thì chỉ phải trả 1.000 đồng cho mỗi giờ bơm Để đạt hiệu quảkinh tế cao, tiết kiệm chi phí điện năng, cần tính toán chọn mua loại máy bơmnước nào? Biết rằng trung bình mỗi ngày dùng máy bơm 4 tiếng và một năm

cần chạy máy bơm trong 300 ngày.

 Bước 3: Xây dựng bài toán Sau khi xác định được các tham số, GVđịnh hướng cho HS thiết lập các điều kiện ban đầu (chọn - ký hiệu), xây dựngcông thức tính toán, thiết lập các quan hệ hàm số:

Gọi f(x) và g(x) lần lượt là số tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sửdụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứ hai trong x giờ (bao gồm tiền điện và

tiền mua máy bơm)

Sau đó, GV tổ chức cho HS thảo luận và lựa chọn mô hình biểu diễn tốt

Dựa trên đồ thị, HS nhận thấy chi phí trả cho hai máy sử dụng là như

nhau sau khoảng thời gian x0 là nghiệm của phương trình f(x) = g(x) Từ đó, HSgiải phương trình f(x) = g(x):

100000 + 3x = 120000 + 2x  x = 20000  x = 20.000 (giờ).

 Bước 5: Hiểu lời giải bài toán Từ kết quả trên ta thấy nếu tổng thờigian khai thác sử dụng máy bơm lớn hơn hoặc bằng 150.000 giờ - tương đươngvới khoảng thời gian sử dụng máy bơm là: 20000 / (4  300)  16,6 năm thìchi phí của loại máy bơm thứ hai bắt đầu thấp hơn Còn trước thời điểm này,chi phí của loại máy bơm thứ nhất lại thấp hơn GV hướng dẫn HS quay trở lạivấn

đề để hiểu yêu cầu của bài toán.HS thảo luận về kết quả:

r ư ờ n g hợp 1 : Nếu xác định thời gian sử dụng và khấu hao dưới 16,6năm thì mua loại máy bơm thứ nhất sẽ tiết kiệm chi phí hơn;

 Bước 6: Kiểm nghiệm mô hình Thảo luận về những ưu điểm và hạn chếcủa mô hình trên, những kiến thức toán học sử dụng trong quá trình giải quyếtvấn đề GV định hướng quá trình thảo luận tiếp theo cho HS: tìm hiểu thực tế đểkiểm nghiệm lời giải của bài toán, cải tiến mô hình bằng cách thay đổi hìnhdạng biểu diễn hoặc bổ sung thêm các tham số khác, thực hiện mô phỏng trênmáy vi tính Bước này là cơ hội tốt để GV giới thiệu cho thêm HS những kiếnthức toán học phức tạp hơn như: hàm số bậc hai, phương trình bậc hai,

* Bước 7: Thông báo, giải thích, dự đoán Thông báo có thể do nhóm

hoặc cá nhân thực hiện nhằm giúp GV đánh giá sản phẩm và năng lực giải quyếtvấn đề của nhóm Từ đó, GV hướng dẫn HS sử dụng ngôn ngữ và công cụ củatoán học để mô tả các ý tưởng toán học, biểu diễn các vấn đề trong thực tiễn.

1.2.4 Đặc điểm của mô hình hóa toán học

Mô hình hóa toán học vừa mang đặc điểm của một mô hình (được cấutrúc hóa, rút gọn, có thể biểu diễn dưới dạng ký hiệu, sơ đồ, hình vẽ); lại vừamang đặc thù của toán học (tổng quát, trừu tượng hóa - loại bỏ đi những yếu tốkhông bản chất )

1.2.5 Nền tảng lịch sử và các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán

Freudenthal Khi đó, các nhà giáo dục toán học đưa ra các câu hỏi: Tại sao phải

dạy toán để có ích? Tại sao có nhiều HS không sử dụng được kiến thức toán đãhọc để giải quyết các vấn đề thực tế? Thậm chí trong số đó có những HS đạtkết quả xuất sắc về môn Toán, giải được những bài tập toán khó?

Vào năm 1977, tại hội nghị các nước nói tiếng Đức (1977) đã thảo luậnvề vấn đề giáo dục ứng dụng toán học Đến 1979, nghiên cứu của Pollak đã bànđến ảnh hưởng của toán học lên các môn học khác trong nhà trường, đặt ra yêucầu dạy cho HS cách sử dụng toán học trong cuộc sống hàng ngày.

Từ đó, trong các chương trình giáo dục quốc tế, người ta triển khainghiên cứu đưa MHHTH vào chương trình, sách giáo khoa với các mức độkhác nhau ngày càng gia tăng Chẳng hạn:

- Ở Đức, Pháp, Hà Lan, Úc, Mỹ, Thụy Sĩ, MHH là một trong nhữngnăng lực bắt buộc của chuẩn giáo dục quốc gia về môn toán.

- Ở Singapore, MHH được đưa vào chương trình toán năm 2003 vớimục đích nhấn mạnh tầm quan trọng của MHH trong việc học toán cũng nhưđáp ứngcác thách thức của thế kỉ 21.

1.2.5.2 Các tiếp cận mô hình hóa trong giáo dục toán

Tham khảo Nguyễn Danh Nam ([24], [26], [29]) và Nguyễn Thị Tân An([2], [3], [4]), chúng tôi tổng hợp các cách tiếp cận MHHTH như sau:

- Tiếp cận theo quan điểm “Nhận thức luận”: cho rằng sự phát triển củalý thuyết toán là một bộ phận của quá trình MHH - các mô hình được xây dựngtừ tình huống thực tế và đi đến sự phát triển của một lý thuyết toán thông quathúc đẩy kết nối giữa hoạt động MHH và hoạt động toán.

- Tiếp cận theo quan điểm “Thực tế”: quan tâm đến khả năng ngườihọc áp dụng toán để giải quyết những vấn đề thực tế xuất phát từ khoa học,kinh tế, công nghiệp… giúp họ hiểu biết hơn về thế giới thực và thúc đẩy cácnăng lực MHH.

- Tiếp cận theo quan điểm “Giáo dục”: phần lớn các tiếp cận được pháttriển trong lĩnh vực MHH thuộc quan điểm này: Chú trọng tích hợp MHH

vào dạy học toán; thông qua các ví dụ thực tế và mối quan hệ của chúng đốivới toán học để xây dựng việc hiểu các khái niệm và thúc đẩy quá trình họctoán; quan tâm đến các bước của quá trình MHH; phát triển các năng lực MHHcũng như ý nghĩa của việc học toán.

- Tiếp cận theo quan điểm “Phản ánh”: nhấn mạnh vai trò, chức năngcủa toán học nói chung, của mô hình hóa toán học nói riêng đối với sự pháttriển tư duy phê phán, tư duy phản ánh của người học trước những tìnhhuống trong xã hội.

- Tiếp cận theo quan điểm “Ngữ cảnh”: phát triển các hoạt động học tập,cho phép HS hiểu được ý nghĩa của toán học thông qua các tình huống thực tếthường gặp trong cuộc sống hàng ngày được MHH.

- Tiếp cận theo quan điểm “Nhận thức”: Đây là một tiếp cận mới vềMHH, thông qua việc phân tích các quá trình mô hình hóa và các kiểu tìnhhuống khác nhau để hiểu được quá trình nhận thức, xây dựng lại quá trìnhMHH của mỗi cá nhân, nhận ra những rào cản, khó khăn của HS liên quan đếnMHH.

1.2.6 Mối liên hệ giữa mô hình hóa, toán học hóa và áp dụng toán

Tham khảo Nguyễn Danh Nam ([24], [26], [29]) và Nguyễn Thị Tân An([2], [3], [4]), chúng tôi thấy giữa MHH, toán học hóa và áp dụng toán có mốiliên hệ và sự phân biệt nhất định như sau:

Có thể tiếp cận theo hai hướng:

- Bloom và các tác giả xem Toán học hóa xem như là một phần của

MHH: với phân tích cho rằng: Trong quá trình MHH, thực tế và toán học

thường được xem như hai thế giới riêng biệt và người mô hình hóa sẽ thực hiệnmột số bước biến đổi giữa hai môi trường này cũng như trong mỗi môi trườngđể giải quyết tình huống đặt ra Khi đó: bước biến đổi từ mô hình thực tế sangmô hình toán học trong quá trình MHH được gọi là toán học hóa và đây cũng làmột “công đoạn” quan trọng của áp dụng toán.

- Theo quan điểm PISA: NL toán học ở cấp độ 3 “Khái quát hóa – Toán

học hóa” được hiểu là HS có thể nhận biết một nội dung toán học trong tình

huống có vấn đề cần giải quyết; sử dụng kiến thức toán học để giải quyết vấnđề; thực hiện được các hoạt động phân tích, chứng minh toán học, khái quáthóa Như vậy, đây xem như là toàn bộ quá trình áp dụng toán, trong đó có toánhọc hóa và MHHTH.

Như vậy, giữa MHH, toán học hóa và áp dụng toán có mối liên hệ chặtchẽ, và cũng có sự phân biệt nhất định, mặc dù chúng đều nằm trong một quá

trình thực tiễn toán học  thực tiễn.

1.3 Năng lực và năng lực mô hình hóa toán học

1.3.1 Năng lực

1.3.1.1 Những quan niệm về năng lực

Trên thế giới, các nhà giáo dục Xô viết đã có nhiều công trình nghiên cứu

nổi tiếng về NL trí tuệ B.M Chieplôv (1977, [57]) coi năng lực là những đặc

điểm tâm lí cá nhân có liên quan với kết quả tốt đẹp của việc hoàn thành mộthoạt động nào đó Theo ông có hai yếu tố cơ bản liên quan đến khái niệm NL:

Thứ nhất, NL là những đặc điểm tâm lý mang tính cá nhân Mỗi cá thểkhác nhau có NL khác nhau về cùng một lĩnh vực Không thể nói rằng: Mọi

người đều có năng lực như nhau! Thứ hai, khi nói đến NL, không chỉ nói tới

các đặc điểm tâm lý chung mà NL phải gắn liền với một hoạt động nào đó vàđược hoàn thành có kết quả tốt (tính hướng đích).

Cũng với quan điểm trên, X.L Rubinstein chú trọng đến tính có ích của

hoạt động, ông coi NL là điều kiện cho một loại hoạt động có ích của con

người: “Năng lực là toàn bộ những thuộc tính tâm lí làm cho con người thích

hợp với một loại hoạt động có ích lợi xã hội nhất định” [56, tr.250].

Ở Việt Nam, nhấn mạnh đến tính mục đích và tính nhân cách của NL,trong bài báo “Năng lực” (Tạp chí Nghiên cứu giáo dục, số 11, 1977, tr.22),Phạm Tất Dong đưa ra định nghĩa : “Năng lực chính là một tổ hợp đặc điểm

tâm lí của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lí của một nhâncách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kếtquả của một hoạt động nào đấy.”.

Cũng bàn về năng lực từ góc nhìn tâm lý, tác giả Phạm Minh Hạc (1992,

Một số vấn đề tâm lí học, Nxb Giáo dục, Hà Nội, tr.145) đã phân tích rõ

mối quan hệ giữa NL và kỹ năng: Kết quả của việc hoàn thành một hoạt

động nào đó phụ thuộc vào kỹ năng thực hiện những hành động thànhphần của nó Giữa NL và kỹ năng có mối quan hệ khăng khít, gắn bó vớinhau NL thường bao gồm một tổ hợp các kỹ năng thành phần có quan hệchặt chẽ với nhau, giúp cho con người hoạt động có kết quả.

Nhìn nhận vấn đề NL dưới góc độ gắn với các kỹ năng, xét từ phươngdiện tìm cách phát triển những NL cho HS trong HT, X Rogiers đã mô hìnhhoá khái niệm NL thành các kỹ năng hành động trên những nội dung cụ thể

trong một loại tình huống hoạt động: “Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác

động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loại tình huống cho trướcđể giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra.” (Rogiers X (1996),Khoa sư phạm tích hợp hay làm thế nào để phát triển các năng lực ở nhàtrường, Nxb Giáo dục, Hà Nội, tr.90)

Gần đây, các khi bàn đến mục tiêu phát triển và đánh giá NL trong giáo

dục, Nguyễn Công Khanh (Năng lực và đánh giá kết quả giáo dục theo năng

lực trong chương trình giáo dục phổ thông sau 2015) xem năng lực là khả nănglàm chủ những hệ thống kiến thức, kĩ năng, thái độ và vận hành (kết nối) chúngmột cách hợp lý vào thực hiện thành công nhiệm vụ hoặc giải quyết hiệu quảvấn đề đặt ra của cuộc sống.

Như vậy, năng lực là một cấu trúc động (trừu tượng), có tính mở, đathành tố, đa tầng bậc, hàm chứa trong nó không chỉ là kiến thức, kĩ năng, màcả niềm tin, giá trị, trách nhiệm xã hội thể hiện ở tính sẵn sàng hành độngtrong những điều kiện thực tế, hoàn cảnh thay đổi.

Tham khảo những công trình đã có về NL, trong luận văn này, chúng tôi

quan niệm: Năng lực thực hiện là hệ thống các thuộc tính của người lao động

(kiến thức, kỹ năng, thái độ và các phẩm chất khác) để thực hiện tốt công việcthuộc một loại hoạt động nghề nghiệp nào đó theo các tiêu chuẩn nhất định.