Bài 3 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn Mở đầu trang 22 SGK Toán 10 tập 1 Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 1 – 6, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả của một bộ phim hoạt hình Vé được bán ra có hai loại[.]
Bài Bất phương trình bậc hai ẩn Mở đầu trang 22 SGK Toán 10 tập 1: Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi – 6, rạp chiếu phim phục vụ khán giả phim hoạt hình Vé bán có hai loại: Loại (dành cho trẻ từ – 13 tuổi): 50 000 đồng/vé; Loại (dành cho người 13 tuổi): 100 000 đồng/vé Người ta tính tốn rằng, để khơng phải bù lỗ số tiền vé thu rạp chiếu phim phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng Hỏi số lượng vé bán trường hợp Lời giải Gọi số vé loại bán x (vé) (x * ) Gọi số vé loại bán y (vé) (y * ) Tổng số tiền bán vé thu 50x + 100y (nghìn đồng) a) Để số tiền bán vé đạt tối thiểu 20 triệu đồng (20 000 nghìn đồng) x; y phải thỏa mãn: 50x + 100y 20 000 b) Nếu số vé bán nhỏ 20 triệu đồng (20 000 nghìn đồng) x; y phải thỏa mãn rạp chiếu phim phải bù lỗ? điều kiện: Lời giải Sau học xong ta giải tồn sau: Gọi số vé loại bán x (vé) (x * Gọi số vé loại bán y (vé) (y * 50x + 100y < 20 000 Hoạt động trang 23 SGK Toán 10 tập 1: Cặp số (x; y) = (100; 100) thỏa mãn bất ) ) phương trình bậc hai ẩn hai bất phương trình thu HĐ1? Từ cho biết rạp chiếu phim có phải bù lỗ hay khơng bán 100 vé loại 100 vé loại Tổng số tiền bán vé thu 50 000x + 100 000y Trả lời câu hỏi tương tự với cặp số (x; y) = (150; 150) Vì số tiền đạt tối thiểu 20 000 000 đồng rạp chiếu phim bù lỗ nên Lời giải trường hợp rạp chiếu phim phải bù lỗ số tiền vé bán nhỏ 20 000 000 đồng Do đó, 50 000x + 100 000y < 20 000 000 Vậy với x; y vé thỏa mãn bất phương trình rạp phim phải bù lỗ Hoạt động trang 22 SGK Toán 10 tập 1: Trong tình mở đầu, gọi x số vé loại bán y số vé loại bán Viết biểu thức tính số tiền bán vé thu (đơn vị nghìn đồng) rạp chiếu phim theo x y a) Các số ngun khơng âm x y thỏa mãn điều kiện để số tiền bán vé thu đạt + Thay x = 100; y = 100 vào biểu thức tính tiền 50x + 100y ta được: 50 100 + 100 100 = 15 000 (nghìn đồng) Vì 15 000 < 20 000 nên x = 100; y = 100 thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y < 20 000 khơng thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y 20 000 Vậy rạp chiều phim bán 100 vé loại 100 vé loại rạp chiếu phim phải bù lỗ + Thay x = 150; y = 150 vào biểu thức tính tiền 50x + 100y ta được: tối thiểu 20 triệu đồng? 50 150 + 100 150 = 22 500 (nghìn đồng) b) Nếu số tiền bán vé thu nhỏ 20 triệu đồng x y thỏa mãn điều kiện gì? Vì 22 500 > 20 000 nên x = 150; y = 150 thỏa mãn bất phương trình 50x + 100y 20 000 khơng thỏa mãn mãn bất phương trình 50x + 100y < 20 000 Nếu rạp chiếu phim bán 150 vé loại 150 vé loại rạp chiếu phim bù lỗ Luyện tập trang 23 SGK Tốn 10 tập 1: Cho bất phương trình bậc hai ẩn x + 2y ≥ a) Hãy hai nghiệm bất phương trình b) Với y = 0, có giá trị x thỏa mãn bất phương trình cho? a) Các điểm O(0; 0), A(-1; 3) B(-2; -2) có thuộc nửa mặt phẳng bờ đường Lời giải thẳng d không? a) Xét x = y = ta được: Tính giá trị biểu thức 2x – y điểm so sánh với + 2.0 (luôn đúng) b) Trả lời câu hỏi tương tự câu a với điểm C(3; 1), D(4; - 1) Vậy (0; 0) nghiệm bất phương trình cho Lời giải Xét x = 1; y = ta được: a) Quát sát hình vẽ ta thấy O; A; B thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d + 2.2 (luôn đúng) + Thay tọa độ điểm O(0; 0) vào biểu thức 2x – y ta được: Vậy (1; 2) nghiệm bất phương trình cho 2.0 – = < b) Với y = thay vào bất phương trình ta được: + Thay tọa độ điểm A(-1; 3) vào biểu thức 2x – y ta được: x + 2.0 x 2.(-1) – = -5 < Vậy với giá trị y = có vơ số giá trị x thỏa mãn bất phương trình cho x + Thay tọa độ điểm B(-2; -2) vào biểu thức 2x – y ta được: Hoạt động trang 23 SGK Toán 10 tập 1: Cho đường thẳng d: 2x – y = mặt 2.(-2) – (-2) = -2 < phẳng tọa độ Oxy (H.2.1) Đường thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng b) Quát sát hình vẽ ta thấy C; D thuộc nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d + Thay tọa độ điểm C(3; 1) vào biểu thức 2x – y ta được: 2.3 – = > + Thay tọa độ điểm D(4; -1) vào biểu thức 2x – y ta được: 2.4 + = > Luyện tập trang 24 SGK Toán 10 tập 1: Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình 2x + y < 200 mặt phẳng tọa độ Lời giải Gọi số phút gọi nội mạng em sử dụng x; số phút gọi ngoại mạng em sử dụng y (x; y 0) Khi số tiền phải trả cho số phút gọi nội mạng x (nghìn đồng); số tiền phải trả cho số phút gọi ngoại mạng 2y (nghìn đồng) Tổng số tiền phải trả cho x phút gọi nội mạng y phút gọi ngoại mạng là: x + 2y (nghìn đồng) Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 2x + y – 200 = mặt phẳng tọa độ Để số tiền phải trả 200 nghìn đồng x; y phải thỏa mãn bất phương trình: Bước 2: Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d x + 2y < 200 Thay x = 0, y = vào 2x + y ta được: 2.0 + = < 200 Do đó, muốn số tiền trả 200 nghìn đồng số phút gọi nội mạng số phút gọi Do miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d có ngoại mạng y phải nghiệm bất phương trình x + 2y < 200 chứa điểm O (miền tô màu không chứa đường thẳng d) Chẳng hạn với x = 50, y = 50 x + 2y = 50 + 50 = 150 < 200, cặp số (50; 50) thỏa mãn bất phương trình x + 2y < 200 nên gọi 50 phút nội mạng 50 phút ngoại mạng số tiền phải trả 200 nghìn đồng Bài 2.1 trang 25 SGK Toán 10 tập 1: Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? a) 2x + 3y > 6; b) 22x + y ≤ 0; c) 2x2 – y ≥ Lời giải Vận dụng trang 25 SGK Toán 10 tập 1: Một cơng ty viễn thơng tính phí nghìn đồng phút gọi nội mạng nghìn đồng phút gọi ngoại mạng Em sử dụng phút gọi nội mạng phút gọi ngoại mạng tháng em muốn số tiền phải trả 200 nghìn đồng? Lời giải a) 2x + 3y > bất phương trình bậc hai ẩn có dạng ax + by > c với a, b không đồng thời b) 22x + y ≤ 4x + y bất phương trình bậc hai ẩn có dạng ax + by c , với a, b không đồng thời c) 2x2 – y ≥ không bất phương trình bậc hai ẩn có x2 (ẩn x với bậc 2) với Thay x = 100, y = 100 vào 7x + 20y ta được: 7.100 + 20.100 = 2700 > hệ số khác Do miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d khơng Bài 2.2 trang 25 SGK Toán 10 tập 1: Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình chứa điểm A (miền tô màu khôngchứa đường thẳng d) sau mặt phẳng tọa độ: a) 3x + 2y ≥ 300; b) 7x + 20y < Lời giải a) Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 3x + 2y = 300 mặt phẳng tọa độ Bước 2: Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d Thay x = 0, y = vào 3x + 2y ta được: 3.0 + 2.0 = < 300 Do miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d không chứa điểm O (miền tô màu chứa đường thẳng d) Bài 2.3 trang 25 SGK Tốn 10 tập 1: Ơng An muốn th ô tô (có lái xe) tuần Giá thuê xe cho bảng sau: a) Gọi x y số kilômét ông An ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu hai ngày cuối tuần Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ x y cho tổng số tiền ông An phải trả không 14 triệu đồng b) Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình câu a mặt phẳng tọa độ b) Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 7x + 20y = mặt phẳng tọa độ Bước 2: Lấy điểm A(100; 100) không thuộc đường thẳng d Lời giải a) Số tiền ông An phải trả cho việc thuê xe ô tô từ thứ Hai đến thứ Sáu là: 900.5 + 8x = 500 + 8x (nghìn đồng) Số tiền ông An phải trả cho việc thuê xe ô tô từ thứ Bảy Chủ nhật là: 500.2 + 10y = 000 + 10y (nghìn đồng) Tổng số tiền ông An phải trả cho việc thuê xe tuần là: 500 + 8x + 000 + 10y = 500 + 8x + 10y (nghìn đồng) Để tổng số tiền ông An phải trả không 14 triệu đồng 500 + 8x + 10y ≤ 14 000 ⇔ 8x + 10y ≤ 500 ⇔ 4x + 5y ≤ 250 Vậy bất phương trình biểu thị mối liên hệ x y cho tổng số tiền ông An phải trả không 14 triệu đồng 4x + 5y ≤ 250 b) Vẽ đường thẳng d: 4x + 5y = 250 mặt phẳng tọa độ Lấy gốc tọa độ O(0; 0) tính 4.0 + 5.0 = < 250 Do miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d chứa gốc tọa độ đường thẳng d (miền khơng bị gạch kể biên) THAY HÌNH VẼ DƯỚI ĐÂY Bài Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Mở đầu trang 26 SGK Toán 10 tập 1: Trong năm nay, cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều điều hòa chiều với số vốn ban đầu không vượt 1,2 tỉ đồng x y Bài tốn trở thành tìm giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình: x y 100 20x 10y 1200 (1) để F(x;y) = 3,5x + 2y lớn Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình (1) mặt phẳng tọa độ cách biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ bất phương trình (1), lấy giao miền nghiệm ta miền nghiệm hệ BPT (1) tứ giác Cửa hàng ước tính tổng nhu cầu thị trường không vượt 100 máy OMNP với tọa độ điểm O(0; 0), M(0; 100), N(20; 80), P(60; 0) hai loại Nếu chủ cửa hàng em cần đầu tư kinh doanh loại máy để lợi nhuận thu lớn nhất? Lời giải Học xong ta giải toán sau: Gọi x, y (máy) số máy điều hòa hai chiều số máy điều hòa chiều mà chủ cửa hàng đầu tư x, y Vì tổng số điều hịa hai chiều chiều khơng vượt q 100 máy nên ta có bất phương trình: x + y ≤ 100 Đầu tư máy điều hòa hai chiều 20 triệu đồng đầu tư máy điều hòa chiều 10 triệu đồng nên số tiền đầu tư là: 20x + 10y (triệu đồng) Vì số vốn ban đầu không vượt 1,2 tỉ đồng nên ta có bất phương trình: 20x + 10y ≤ 200 Lợi nhuận dự kiến chủ cửa hàng thu là: F(x;y) = 3,5x + 2y (triệu đồng) Tại O(0;0) giá trị biểu thức F(x;y) = 3,5x + 2y là: 3,5.0 + 2.0 = 0; Tại M(0;100) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.0 + 2.100 = 200; Tại N(20;80) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.20 + 2.80 = 230; Tại P(60;0) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.60 + 2.0 = 210; c) Vì điều hịa hai chiều dự kiến lãi 3,5 triệu đồng/ máy điều hòa chiều dự kiến lãi triệu đồng/máy nên số tiền lãi mà chủ cửa hàng dự kiến thu theo x y là: 3,5x + 2y (triệu đồng) Suy x = 20, y = 80 giá trị biểu thức 3,5x + 2y lớn Luyện tập trang 27 SGK Tốn 10 tập 1: Trong tình mở đầu, gọi x y Vậy chủ cửa hàng em cần đầu tư kinh doanh 20 điều hòa hai chiều, 80 điều hòa chiều để lợi nhuận thu lớn Hoạt động trang 26 SGK Toán 10 tập 1: Trong tình mở đầu, gọi x y số máy điều hòa hai chiều, chiều mà cửa hàng cần nhập Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y nghiệm hệ Lời giải số máy điều hòa hai chiều chiều mà cửa hàng cần nhập Tính số tiền vốn cửa hàng phải bỏ để nhập hai loại máy điều hòa theo x y a) Do nhu cầu thị trường không 100 máy nên x y cần thỏa mãn điều kiện gì? b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng đầu tư khơng vượt q 1,2 tỉ đồng nên x y phải thỏa mãn điều kiện gì? c) Tính số tiền lãi mà chủ cửa hàng dự kiến thu theo x y Lời giải x y x + y 100 20x + 10y 1200 Ta có: x = 30; y = 40 ta có: 30 ; 40 Ta có: 30 + 40 = 70 100 Gọi số máy điều hòa hai chiều cần nhập x; số máy điều hòa chiều cần nhập y ( x; y Từ hoạt động ta có hệ bất phương trình hai ẩn x; y sau: ) Khi đó, số tiền để mua x điều hòa hai chiều 20x số tiền để mua y điều hòa chiều 10y Số tiền vốn cửa hàng phải bỏ 20x + 10y (triệu đồng) a) Do nhu cầu không 100 máy nên x + y 100 b) Vì số vốn mà cửa hàng đầu tư không vượt 1,2 tỉ đồng nên x y phải thỏa mãn bất phương trình 20x + 10y 200 (triệu đồng) 20.30 + 10.40 = 000 < 200 Vậy nghiệm hệ bất phương trình (30; 40) Hoạt động trang 27 SGK Toán 10 tập 1: Cho đường thẳng d: x + y = 150 mặt phẳng tọa độ Oxy Đường thẳng cắt hai trục tọa độ Ox Oy hai điểm A B a) Xác định miền nghiệm D1, D2, D3 bất phương trình tương ứng x ≥ 0, y ≥ x + y ≤ 150 b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải giao miền nghiệm D1, D2, D3 hay Do miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 150 nửa mặt phẳng bờ d chứa không? gốc tọa độ, kể đường thẳng d b) Giao điểm ba miền nghiệm D1, D2, D3 miền tam giác OAB với O(0;0), A(150;0) B(0;150) c) Lấy điểm tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) điểm cạnh tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) kiểm tra xem tọa độ điểm có phải nghiệm hệ bất phương trình sau hay không: x y x 0 y 150 Lời giải a) Do miền tam giác OAB (H.2.5) có giao miền nghiệm D1, D2, D3 +) Miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm c) Điểm (1; 2) nằm tam giác OAB thỏa mãn x = > 0, y = > + = (1;0), tính Oy < 150 nên cặp số (x; y) = (1;2) thỏa mãn ba bất phương trình hệ bất phương +) Miền nghiệm D2 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1), tính Ox +) Xác định miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 150 - Vẽ đường thẳng d: x + y – 150 = - Vì + = < 150 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150 trình cho Do nghiệm hệ bất phương trình cho Điểm (1;149) nằm tam giác OAB thỏa mãn x = > 0, y = 149 > + 149 = 150 ≤ 150 nên cặp số (x; y) = (1;149) thỏa mãn ba bất phương trình hệ bất phương trình cho Do nghiệm hệ bất phương trình cho Luyện tập trang 28 SGK Toán 10 tập 1: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất x y phương trình bậc hai ẩn sau mặt phẳng tọa độ: x y 100 2x y 120 Lời giải +) Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0), kể đường thẳng Oy +) Xác định miền nghiệm D2 bất phương trình y > nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1), không kể đường thẳng Ox +) Xác định miền nghiệm D3 bất phương trình x + y 100 Ta vẽ đường thẳng x + y = 100 (d1) Lấy điểm O(0; 0) thay tọa độ điểm vào x + Hoạt động trang 28 SGK Toán 10 tập 1: Xét biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y ta được: + < 100 Vậy miền nghiệm D3 nửa mặt phẳng bờ d1 chứa điểm O y) thuộc miền tam giác OAB HĐ2 Tọa độ ba đỉnh O(0;0), A(150; 0) B(0; kể bờ đường thẳng d1 150) (H.2.5) +) Xác định miền nghiệm D4 bất phương trình 2x + y < 120 a) Tính giá trị biểu thức F(x; y) đỉnh O, A B Ta vẽ đường thẳng 2x + y = 120 (d’) Lấy điểm O(0; 0) thay tọa độ điểm vào 2x b) Nêu nhận xét dấu hoành độ x tung độ y điểm (x; y) nằm miền + y ta được: 2.0 + < 120 Vậy miền nghiệm D4 bất phương trình nửa mặt tam giác OAB Từ suy giá trị nhỏ F(x; y) miền tam giác OAB phẳng bờ d’ chứa điểm O không kể bờ đường thẳng d’ c) Nêu nhận xét tổng x + y điểm (x; y) nằm miền tam giác OAB Từ suy giá trị lớn F(x; y) miền tam giác OAB Lời giải a) O(0; 0); B(0; 150); A(150; 0) Ta có: F(x; y) = 2x + 3y Khi ta tính được: F(0; 0) = 2.0 + 3.0 = sử tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A x số máy tính loại B y F(150; 0) = 2.150 + 3.0 = 300 a) Viết bất phương trình biểu thị điều kiện tốn thành hệ bất F(0; 150) = 2.0 + 3.150 = 150 b) Trong miền tam giác OAB, lấy điểm M(x; y) ta ln có x 0; y nên F(x; y) nhỏ x = y = phương trình xác định miền nghiệm hệ b) Gọi F (triệu đồng) lợi nhuận mà cửa hàng thu tháng bán x máy tính loại A y máy tính loại B Hãy biểu diễn F theo x y F(x; y) = 2.0 + 3.0 = c) Tìm số lượng máy tính loại cửa hàng cần nhập tháng để lợi nhuận Vậy giá trị nhỏ F(x; y) miền tam giác OAB c) Vì điểm M(x; y) nằm miền tam giác OAB, nên tọa độ điểm M nghiệm thu lớn Lời giải bất phương trình x + y ≤ 150 a) Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập tháng x (máy), số máy tính Hơn nữa, x ≥ 0, y ≥ nên x + y ≥ Do ta có, ≤ x + y ≤ 150 ⇔ ≤ 2x + 2y ≤ 300 ⇔ + y ≤ 2x + 2y + y ≤ 300 + y ⇔ y ≤ 2x + 3y ≤ 300 + y (1) loại B cửa hàng cần nhập tháng y (máy) x, y Do tổng nhu cầu hàng tháng không vượt 250 máy: x + y ≤ 250 Vì máy tính loại A có giá 10 triệu máy tính loại B có giá 20 triệu nên tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A B: 10x + 20y (triệu đồng) Mà ≤ y ≤ 150 nên 300 + y ≤ 300 + 150 = 450 Vì số vốn ban đầu không vượt tỉ đồng nên ta có: 10x + 20y ≤ 000 hay x + Từ (1) suy ra: ≤ 2x + 3y ≤ 450 hay F(x; y) ≤ 450 2y ≤ 400 Dấu “=” xảy x + y = 150 y = 150 hay x = y = 150 x y Ta có hệ bất phương trình: x + y 250 x + 2y 400 Vậy F(x; y) đạt giá trị lớn 450 điểm B(0; 150) Vận dụng trang 30 SGK Toán 10 tập 1: Một cửa hàng có kế hoạch nhập hai loại máy tính A B, giá 10 triệu đồng 20 triệu đồng với số Ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình trên: vốn ban đầu không vượt tỉ đồng Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho máy bán loại máy B mang lại lợi nhuận triệu đồng máy Cửa hàng ước tính tổng nhu cầu hàng tháng không vượt 250 máy Giả +) Miền nghiệm D1 bất phương trình x ≥ nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0) +) Miền nghiệm D2 bất phương trình y ≥ nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) +) Xác định miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 250 - Vẽ đường thẳng d: x + y = 250 - Vì + = < 250 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 250 Do miền nghiệm D3 bất phương trình x + y ≤ 250 nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ +) Xác định miền nghiệm D4 bất phương trình x + 2y ≤ 400 - Vẽ đường thẳng d’: x + 2y = 400 - Vì + = < 400 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + 2y < 400 Do miền nghiệm D4 bất phương trình x + 2y < 400 nửa mặt phẳng bờ d’ b) Lợi nhuận mà cửa hàng thu tháng bán x máy tính loại A y chứa gốc tọa độ máy tính loại B là: F(x; y) = 2,5x + 4y (triệu đồng) Miền nghiệm hệ bất phương trình tứ giác OABC với tọa độ đỉnh Vậy F(x; y) = 2,5x + 4y O(0;0), A(0; 200), B(100; 150), C(250; 0) c) Bài tốn chuyển tìm giá trị lớn F(x; y) với (x; y) thuộc miền nghiệm x y hệ bất phương trình x + y 250 x + 2y 400 Người ta chứng minh được, giá trị F(x; y) lớn (x; y) tọa độ bốn đỉnh O; A; B; C Tại O(0; 0), ta có: F(0; 0) = 2,5 + = 0; Tại A(0; 200), ta có: F(0; 200) = 2,5 + 200 = 800; Tại B(100; 150), ta có: F(100; 150) = 2,5 100 + 150 = 850; b) Tại B(250; 0), ta có: F(250; 0) = 2,5 250 + = 625 Do F(x; y) lớn 850 x = 100 y = 150 Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A, 150 máy loại B để cửa hàng thu lợi nhuận lớn 850 triệu đồng y2 hệ bất phương trình bậc hai ẩn x + y2 < khơng x x y phải bất phương trình bậc hai ẩn c) x y y z khơng phải hệ bất phương trình bậc hai ẩn có bất phương trình x + y + z < khơng phải bất phương trình bậc hai ẩn Bài 2.4 SGK trang 30 Toán 10 tập 1: Hệ bất phương trình sau hệ bất phương trình bậc hai ẩn? x a) y ; x b) y y2 ; x d) 2x x 32 y 3y 2x y hệ bất phương trình bậc hai ẩn 16x 3y Bài 2.5 SGK trang 30 Toán 10 tập 1: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau mặt phẳng tọa độ: c) d) x y y 2x x z y y a) x y 3y Lời giải x a) y ; ; x 0 hệ bất phương trình bậc hai ẩn x b) y 2x y x c) x x y y ; Lời giải x Vì hệ gồm bất phương trình x < y ≥ 0, bất phương trình y bậc hai ẩn (do x < ⇔ 1x + 0y < y ≥ ⇔ 0x + 1y ≥ 0) y a) x y x 0 +) Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình y – x < – - Vẽ đường thẳng d: y – x = – - Vì – = > – nên tọa độ điểm (0; 0) không thỏa mãn bất phương trình y – x < –1 Do miền nghiệm D1 bất phương trình y – x < – nửa mặt phẳng bờ d không chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d +) Miền nghiệm D2 bất phương trình x > nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) không kể đường thẳng Oy +) Miền nghiệm D3 bất phương trình y < nửa mặt phẳng bờ Ox điểm x b) y 2x y Miền nghiệm D1 bất phương trình x nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) kể đường thẳng Oy Miền nghiệm D2 bất phương trình y nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) kể đường thẳng Ox +) Xác định miền nghiệm D3 bất phương trình 2x + y ≤ (0; – 1) không kể đường thẳng Ox - Vẽ đường thẳng d: 2x + y = Vậy miền không bị gạch miền nghiệm hệ bất phương trình cho - Vì 2.0 + = < nên tọa độ điểm (0; 0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y Do miền nghiệm D3 bất phương trình 2x + y nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm O(0; 0) kể đường thẳng d Vậy miền nghiệm hệ bất phương trình cho miền tam giác OAB (miền không bị gạch) - Vì - = > nên tọa độ điểm (1; 0) không thỏa mãn bất phương trình x – y < Do miền nghiệm D3 bất phương trình x – y < nửa mặt phẳng bờ d’ không chứa điểm (1; 0) không kể đường thẳng d’ Vậy miền nghiệm hệ miền không bị gạch x c) x x y y Miền nghiệm D1 bất phương trình x nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) kể đường thẳng Oy +) Xác định miền nghiệm D2 bất phương trình x + y > Bài 2.6 SGK trang 30 Tốn 10 tập 1: Một gia đình cần 900 đơn vị protein - Vẽ đường thẳng d: x + y = 400 đơn vị lipid thức ăn ngày Mỗi kilơgam thịt bị chứa 800 đơn vị - Vì + = < nên tọa độ điểm (0; 0) không thỏa mãn bất phương trình x + y > protein 200 đơn vị lipid Mỗi kilôgam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein 400 đơn vị lipid Biết gia đình mua nhiều 1,6kg thịt bị 1,1kg thịt lợn; Do miền nghiệm D2 bất phương trình x + y > nửa mặt phẳng bờ d không giá tiền 1kg thịt bị 250 nghìn đồng; 1kg thịt lợn 160 nghìn đồng Giả sử gia chứa điểm O(0; 0) khơng kể đường thẳng d đình mua x kilơgam thịt bị y kilơgam thịt lợn +) Xác định miền nghiệm D3 bất phương trình x – y < a) Viết bất phương trình biểu thị điều kiện toán thành hệ bất - Vẽ đường thẳng d’: x – y = phương trình xác định miền nghiệm hệ b) Gọi F (nghìn đồng) số tiền phải trả cho x kilơgam thịt bị y kilơgam thịt lợn Ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình Hãy biểu diễn F theo x y c) Tìm số kilơgam thịt loại mà gia đình cần mua để chi phí Lời giải Số kilơgam thịt bị gia đình mua x (kg); số kilơgam thịt lợn gia đình mua y (kg) Vì số kilơgam thịt bị mua nhiều 1,6 kg số kilôgam thịt lợn mua nhiều 1,1 kg nên ta có: x 1,6;0 y 1,1 (1) Vì kilơgam thịt bị có chứa 800 đơn vị protein kilơgam thịt lợn có chứa 600 đơn vị protein nên khối lượng protein có x kg thịt bị y kg thịt lợn là: 800x + 600y (đơn vị) Mà ngày gia đình cần 900 đơn vị protein nên ta có bất phương trình: Miền nghiệm hệ bất phương trình tứ giác ABCD có hình vẽ với tọa 800x + 600y 900 (2) độ đỉnh A(0,3; 1,1), B(0,6; 0,7), C(1,6; 0,2), D(1,6; 1,1) Vì kilơgam thịt bị có chứa 200 đơn vị lipid kilơgam thịt lợn có chứa 400 b) Số tiền mua kilơgam thịt bị 250 nghìn đồng số tiền mua kilơgam đơn vị lipid nên khối lượng lipid có x kg thịt bò y kg thịt lợn là: 200x + thịt lợn 160 nghìn đồng nên số tiền để mua x kg thịt bò y kg thịt lợn là: F(x; y) 400y (đơn vị) = 250x + 160y (nghìn đồng) Mà ngày gia đình cần 400 đơn vị lipid nên ta có bất phương trình : c) Người ta chứng minh để số tiền mua (x; y) tọa độ 200x + 400y 400 (3) bốn đỉnh tứ giác ABCD Từ (1); (2); (3) ta có hệ bất phương trình: Ta có: F(x; y) = 250x + 160y Khi đó: 0 x 1,6 0 x 1,6 0 y 1,1 0 y 1,1 800x + 600y 900 8x + 6y 200x + 400y 400 x + 2y F(0,3; 1,1) = 250 0,3 + 160 1,1 = 251; F(0,6; 0,7) = 250 0,6 + 160 0,7 = 262; F(1,6; 0,2) = 250 1,6 + 160 0,2 = 432; Bài ôn tập chương F(1,6; 1,1) = 250 1,6 + 160 1,1 = 576; A Trắc nghiệm Suy giá trị nhỏ cần tìm F(0,3; 1,1) = 251 Vậy để chi phí gia đình cần mua 0,3 kilơgam thịt bị 1,1 kilơgam thịt Bài 2.7 trang 31 SGK Toán 10 tập 1: Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? lợn A x + y > 3; B x2 + y2 ≤ 4; C (x – y)(3x + y) ≥ 1; D y3 – ≤ Lời giải Đáp án A Vì x + y > có dạng ax + by > c với a = 1; b = 1; c = Bài 2.8 trang 31 SGK Toán 10 tập 1: Cho bất phương trình 2x + y > Khẳng định đúng? A Bất phương trình cho có nghiệm B Bất phương trình cho vơ nghiệm C Bất phương trình cho có vơ số nghiệm D Bất phương trình cho có tập nghiệm 3; Lời giải Đáp án C Có vơ số cặp số (x0; y0) thỏa mãn 2x0 + y0 > Do bất phương trình 2x + y > có vơ số nghiệm Bài 2.9 trang 31 SGK Toán 10 tập 1: Hình sau biểu diễn miền nghiệm bất phương trình x – y < 3? A x y ; 2y B 3x y3 ; x y C D x y 2y x3 x ; y ; 2y Lời giải Đáp án A Vì hai bất phương trình hệ đáp án A bất phương trình bậc hai ẩn Bài 2.11 trang 32 SGK Toán 10 tập 1: Cho hệ bất phương trình x y Điểm 2y sau thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho? A (0;0); Lời giải Đáp án D Ta vẽ đường thẳng x – y = Ta có: – = < Do đó, miền nghiệm bất phương trình x – y < nửa mặt phẳng B (-2;1); C (3;-1); D (-3;1) có bờ đường thẳng x – y = có chứa điểm O(0; 0) khơng kể biên Lời giải Bài 2.10 trang 31 SGK Toán 10 tập 1: Hệ bất phương trình sau hệ bất phương Đáp án D trình bậc hai ẩn? Thay tọa độ điểm hệ bất phương trình ta thấy đáp án D 2.1 4 B Tự luận Bài 2.12 trang 32 SGK Toán 10 tập 1: Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình x y 2x y mặt phẳng tọa độ 2x y Lời giải x y x + y 2x − y + − 0 3.( x + y ) 2.( 2x − y + 1) − 0 6 3x + 3y − 4x + 2y − 0 − x + 5y − 0 Bài 2.13 trang 32 SGK Toán 10 tập 1: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình: x y mặt phẳng tọa độ 2x y Lời giải +) Xác định miền nghiệm D1 bất phương trình x + y < - Ta vẽ đường thẳng d: x + y = -x + 5y – -x + 5y - Ta có: + = < Vẽ đường thẳng d: – x + 5y = Do miền nghiệm D1 bất phương trình x + y < nửa mặt phẳng có bờ đường Ta có: -0 + 5.0 = < thẳng d (không kể đường thẳng d) chứa gốc tọa độ O(0; 0) Do đó, miền nghiệm bất phương trình -x + 5y nửa mặt phẳng có bờ đường +) Xác định miền nghiệm D2 bất phương trình 2x – y ≥ thẳng –x + 5y = 2, tính biên khơng chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gach) - Vẽ đường thẳng d’: 2x – y = - Ta có: 2.0 – = < Do miền nghiệm D2 bất phương trình 2x – y ≥ nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng d’ (kể đường thẳng d’) không chứa gốc tọa độ O(0; 0) Vậy miền nghiệm hệ bất phương trình cho phần khơng bị gạch chéo hình vẽ, khơng kể biên đường thẳng d kể biên đường thẳng d’ y − 2x y +) Ta biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình x x + y −1 + Xác định miền nghiệm bất phương trình y – 2x ≤ - Vẽ đường thẳng y – 2x = - Ta có: – 2.0 = < Do đó, miền nghiệm bất phương trình y – 2x nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng y – 2x = (tính đường thẳng đó) chứa điểm O(0; 0) + Xác định miền nghiệm bất phương trình y ≤ - Vẽ đường thẳng y = - Ta có Do đó, miền nghiệm bất phương trình y nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng y = (tính đường thẳng đó) chứa điểm (0; 3) + Xác định miền nghiệm bất phương trình x ≤ Bài 2.14 trang 32 SGK Toán 10 tập 1: Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình y y x x 2x y - Vẽ đường thẳng x = - Ta có mặt phẳng tọa độ Từ tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức F(x;y) = - x – y với (x;y) thỏa Do đó, miền nghiệm bất phương trình x nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng x = (tính đường thẳng đó) chứa điểm (3; 0) + Xác định miền nghiệm bất phương trình x + y ≤ – mãn hệ - Vẽ đường thẳng x + y = -1 Lời giải - Ta có: + = > -1 Do đó, miền nghiệm bất phương trình x + y -1 nửa mặt phẳng có bờ đường Bài 2.15 trang 32 SGK Toán 10 tập 1: Bác An đầu tư 1,2 tỉ đồng vào ba loại trái phiếu: thẳng x + y = -1 (tính đường thẳng đó) khơng chứa điểm O(0; 0) trái phiếu phủ với lãi suất 7% năm, trái phiếu ngân hàng với lãi suất 8% Vậy miền nghiệm hệ bất phương trình cho miền tứ giác ABCD (miền tô màu vàng) với tọa độ đỉnh A(1; 4); B(5; 4); C(5; – 6); D(– 1; 0) năm trái phiếu doanh nghiệp rủi ro cao với lãi suất 12% năm Vì lí giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu phủ gấp lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng Hơn nữa, để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp Hỏi bác An nên đầu tư loại trái phiếu tiền để lợi nhuận thu sau năm lớn nhất? Lời giải Gọi số tiền bác An đầu tư cho trái phiếu phủ, trái phiếu ngân hàng x, y (triệu đồng) (0 ≤ x, y ≤ 200) Khi bác An đầu tư cho trái phiếu doanh nghiệp 200 – x – y (triệu đồng) Vì lí giảm thuế, bác An muốn số tiền đầu tư trái phiếu phủ gấp lần số tiền đầu tư trái phiếu ngân hàng nên ta có: x ≥ 3y hay x – 3y ≥ Để giảm thiểu rủi ro, bác An đầu tư không 200 triệu đồng cho trái phiếu doanh nghiệp nên ta có: 200 – x – y ≤ 200 hay x + y ≥ 000 Giá trị lớn giá trị nhỏ F(x; y) = – x – y xác định với (x; y) tọa độ bốn đỉnh A; B; C; D F(1; 4) = – – = – F(5; 4) = – – = – F(5; – 6) = – – (– 6) = F(– 1; 0) = – (– 1) – = Vậy giá trị lớn biểu thức F (x;y) = (-1;0) (x;y) = (5;-6) giá trị nhỏ biểu thức F -9 (x;y) = (5;4) 0 Từ ta có hệ bất phương trình: x x x 1200 y 1200 3y y 1000 Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác ABCD với tọa độ điểm A(1 000;0), B(750; 250), C(1 200; 400), D(1 200; 0) ... phương trình bậc hai ẩn có bất phương trình x + y + z < khơng phải bất phương trình bậc hai ẩn Bài 2. 4 SGK trang 30 Toán 10 tập 1: Hệ bất phương trình sau hệ bất phương trình bậc hai ẩn? x a) y... thời c) 2x2 – y ≥ khơng bất phương trình bậc hai ẩn có x2 (ẩn x với bậc 2) với Thay x = 100 , y = 100 vào 7x + 20 y ta được: 7 .100 + 20 .100 = 27 00 > hệ số khác Do miền nghiệm bất phương trình nửa... Đáp án A Vì hai bất phương trình hệ đáp án A bất phương trình bậc hai ẩn Bài 2. 11 trang 32 SGK Toán 10 tập 1: Cho hệ bất phương trình x y Điểm 2y sau thuộc miền nghiệm hệ bất phương trình cho?