C h ư ơ n g I M ện h đ ề v à t ậ p h ợ p B à i 1 M ện h đ ề A L ý t h u y ết 1 M ện h đ ề N h ữ n g k h ẳn g đ ịn h c ó t ín h h o ặc đ ú n g h o ặc s ai đ ư ợ c g ọ i là m ện h đ ề lo g ic ( h ay m ệ[.]
- Một mệnh đề chứa biến chứa biến nhiều biến - Những khẳng định có tính hoặc sai gọi mệnh đề logic (hay + Thông thường để phủ định mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ + “Số tự nhiên nhỏ số 0” mệnh đề Ví dụ Cho hai mệnh đề: P: “n = 0”; Q: “n số nguyên” “Nếu n = n số nguyên” mệnh đề P Q Nhận xét: + Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu “P kéo theo Q” “Từ P suy Q” + Để xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q, ta cần xét trường hợp P Khi Nhận xét: Hai mệnh đề P Q tương đương chúng sai Ví dụ Cho mệnh đề: P: “Tứ giác ABCD hình bình hành”; Q: “Tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song” Q điều kiện cần để có P Ví dụ Định lí Ta – lét: “Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại đường thẳng định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ” đủ để có P) - Khi ta nói P điều kiện cần đủ để có Q (hay Q điều kiện cần Q”) tương đương, kí hiệu P ⇔ Q (đọc “P tương đương Q” “P - Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề + Mệnh đề P Q mệnh đề cịn mệnh đề Q P khơng P Q “Nếu n = n số nguyên” + Mệnh đề Q P “Nếu n số nguyên n = 0” mệnh đề đảo mệnh đề P điều kiện đủ để có Q; P giả thiết, Q kết luận định lí; - Khi mệnh đề P ⇒ Q định lí, ta nói: đề P mệnh đề Q mệnh đề nên mệnh đề kéo theo P ⇒ Q mệnh “Nếu chia hết cho chia hết cho 3” mệnh đề kéo theo có dạng P ⇒ Q Ví dụ Cho hai mệnh đề: P: “9 chia hết cho 9”; Q: “9 chia hết cho 3” chứng minh nhiều định lí Trung học sở “Nếu n số nguyên n = 0” mệnh đề Q P Chú ý: Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết - Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai đó, Q mệnh đề đúng, Q sai mệnh đề sai Ta quen với điều - Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇒ Q - Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo, đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ” kết luận cắt hai cạnh lại” giả thiết, mệnh đề “Đường thẳng định hai cạnh Mệnh đề kéo theo Định lí có mệnh đề “Một đường thẳng song song với cạnh tam giác 9” mệnh đề hết cho 9” + Mệnh đề “4 không chia hết cho 9” mệnh đề phủ định mệnh đề “4 chia Ví dụ + Mệnh đề “4 chia hết cho 9” mệnh đề sai nên mệnh đề “4 không chia hết cho + “Số số hữu tỉ” mệnh đề tốn học học khơng liên quan đến tốn học + “Hà Nội thủ Việt Nam” mệnh đề mệnh đề toán + “2 số lẻ” mệnh đề sai “không” “không phải” vào trước vị ngữ mệnh đề Nhận xét: Ví dụ + “2 số chẵn” mệnh đề Nghĩa P P sai, P sai P - Mệnh đề P mệnh đề phủ định P có tính sai trái ngược - Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu P Mệnh đề phủ định + Những mệnh đề liên quan đến toán học gọi mệnh đề toán học đề + Người ta thường sử dùng chữ in hoa P, Q, R, … để kí hiệu mệnh Chú ý: đề đúng, n = mệnh đề mệnh đề sai + “3n chia hết cho 9” mệnh đề chứa biến n Khi n = mệnh đề mệnh - Một khẳng định sai gọi mệnh đề sai - Một mệnh đề vừa vừa sai mệnh đề + “18 chia hết cho 9: khơng phải mệnh đề chứa biến khơng có biến - Một khẳng định gọi mệnh đề - Mệnh đề khẳng định sai Ví dụ - Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n P (n) Mệnh đề mệnh đề) trị cụ thể biến khẳng định tính sai mệnh đề - Mệnh đề chứa biến mệnh đề chưa khẳng định tính sai, cần có giá Mệnh đề chứa biến A Lý thuyết Bài Mệnh đề Chương I Mệnh đề tập hợp a) “5 số vô tỉ”: mệnh đề mệnh đề sai khẳng định sai Hướng dẫn giải d) “x có phải số nguyên không?” c) “Số 9999 số đẹp”; b) “x chia hết cho y”; a) “5 số vô tỉ”; biến? Bài Trong câu sau, câu mệnh đề đúng, mệnh đề sai, mệnh đề chứa Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ ℤ, x ≥ 0” b) Phát biểu mệnh đề: “Tồn số nguyên nhỏ 0” Đây mệnh đề Mệnh đề phủ định là: “∃x ∈ ℤ, x2 < 0” 0” Đây mệnh đề a) Phát biểu mệnh đề: “Mọi số ngun có bình phương lớn Hướng dẫn giải b) x , x a) x , x đề sau: Bài Phát biểu xét mệnh đề hay sai, viết mệnh đề phủ định mệnh b) x , x + = x a) x ,x x Hướng dẫn giải d) “x có phải số ngun khơng?”: câu hỏi nên mệnh đề sai (do khơng đưa tiêu chí số đẹp) c) “Số 9999 số đẹp”: khơng mệnh đề khơng có tính khẳng định đúng, x = y = khẳng định sai b) Mọi số thực cộng với b) “x chia hết cho y”: mệnh đề chứa biến x = y = a) Có số ngun khơng chia hết cho giác + Để tam giác có ba góc nhau, điều kiện cần đủ tam giác ABC tam - Tam giác ABC có ba góc tam giác ABC tam giác - Tam giác ABC có ba góc tương đương tam giác ABC tam giác Phát biểu nhiều cách: Bài Dùng kí hiệu ∀ ∃ để viết mệnh đề sau: mệnh đề phủ định đó: Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau nhận xét tính sai B Bài tập tự luyện 2” mệnh đề đề Vậy mệnh đề “Tồn số nguyên tố n, số nguyên tố n chia hết cho P Q hai mệnh đề tương đương hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P “Với x số tự nhiên, x + > 0” mệnh đề + Tồn số nguyên tố n để mệnh đề “Số nguyên tố n chia hết cho 2” mệnh Do mệnh đề Q ⇒ P Q ⇒ P: “Tam giác ABC tam giác tam giác ABC có ba góc nhau” Do mệnh đề P ⇒ Q P ⇒ Q: “Tam giác ABC có ba góc tam giác ABC tam giác đều” Hướng dẫn giải cách? Hai mệnh đề P Q có tương đương khơng? Nếu có, phát biểu nhiều Q: “Tam giác ABC tam giác đều” P: “Tam giác ABC có ba góc nhau” Bài Cho tam giác ABC Xét mệnh đề: số nguyên tố” Mệnh đề phủ định mệnh đề sai b) Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “7 số nguyên tố” P : “7 không chia hết cho 6” Mệnh đề phủ định mệnh đề a) Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “Số 21 chia hết cho 6” P : “Số 21 không + Với x số tự nhiên, mệnh đề “x + > 0” mệnh đề Vậy mệnh đề + Phát biểu “Tồn số tự nhiên n” kí hiệu n + Phát biểu “Với số tự nhiên n” kí hiệu n Ví dụ - Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” có x0 ∈ M cho P(x0) mệnh đề - Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” với x0 ∈ M, P(x0) mệnh đề - Kí hiệu ∃ đọc “tồn tại” - Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ ∃ Hai mệnh đề nên P Q hai mệnh đề tương đương hành” mệnh đề Q P Hướng dẫn giải b) P: “7 số nguyên tố” song” mệnh đề P Q “Nếu tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song song tứ giác ABCD hình bình a) P: “Số 21 chia hết cho 6” “Nếu tứ giác ABCD hình bình hành tứ giác ABCD có hai cặp cạnh đối song {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} {x ∈ ℝ | a < x < b} Khoảng (a; b) Tập hợp Đoạn [a; b] Tập số thực (-∞; +∞) ℝ Tên gọi kí hiệu < b): Biểu diễn trục số - Ta thường sử dụng tập tập số thực sau (a b số thực, a Một số tập tập hợp số thực Tìm phần tử T S ta có T = {9} S = {9} nên T = S n < 10} Ví dụ Cho tập hợp: T = {n ∈ ℕ | n ⋮ 9, < n < 14} S = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, < A - Hai tập hợp A B gọi nhau, kí hiệu A = B, A ⊂ B B ⊂ thuộc S + Tập hợp M không tập hợp tập hợp S tập M có phần tử khơng S + Tập hợp T tập tập hợp S tất phần tử T có phần tử Ví dụ Cho tập hợp T = {2; 3; 5}; S = {2; 3; 5; 7; 9}; M = {2; 3; 4; 5} hữu tỉ, tập số thực), ta có quan hệ bao hàm: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Chú ý: Giữa tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số bao quanh đường cong kín, gọi biểu đồ Ven - Trong toán học, người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng Cách Liệt kê phần tử tập hợp; *Cách xác định tập hợp Ví dụ Muốn kí hiệu phần tử thuộc tập số tự nhiên, ta kí hiệu: ∈ ℕ ℤ tập hợp số nguyên, ℚ tập hợp số hữu tỉ, ℝ tập hợp số thực - Người ta thường kí hiệu tập hợp số sau: ℕ tập hợp số tự nhiên, kí hiệu ∅ - Một tập hợp khơng chứa phần tử Tập hợp gọi tập rỗng, + Để - không phần tử tập số tự nhiên ℕ, ta viết -1 ∉ ℕ + Để phần tử tập số tự nhiên ℕ, ta viết ∈ ℕ Ví dụ a không phần tử tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc “a không thuộc A”) - Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc “a thuộc A”) Để Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn, người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp” phần tử tập hợp chữ in thường a, b, c, … - Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, … kí hiệu hồn tồn xác định Mỗi đối tượng nhóm gọi phần tử tập hợp - Trong toán học, người ta dùng từ tập hợp để nhóm đối tượng Nhắc lại tập hợp A Lý thuyết Bài Tập hợp {x ∈ ℝ | x > a} {x ∈ ℝ | x < a} {x ∈ ℝ | x ≥ a} {x ∈ ℝ | x ≤ a} {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} Bài Hãy viết tập hợp sau cách liệt kê phần tử: b) B = {n ∈ ℕ | n2 - 1, < n < 8} a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, x < 13} Hướng dẫn giải b) B = {15; 24; 35; 48} a) A = {0; 4; 8; 12} tập hợp: Bài Hãy viết tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng cho phần tử B Bài tập tự luyện Cho x thỏa mãn x ≥ ta kí hiệu x ∈ [7; +∞) Cho x thỏa mãn < x ≤ ta kí hiệu x ∈ (2; 6] Ví dụ đọc dương vô cực (dương vô cùng) - Trong kí hiệu trên, kí hiệu - ∞ đọc âm vơ cực (âm vơ cùng), kí hiệu + ∞ Khoảng (a; +∞) Khoảng (-∞; a) Nửa khoảng [a; +∞) Nửa khoảng (-∞; a] Nửa khoảng (a; b] Nửa khoảng [a; b) + Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói A B có quan hệ bao hàm B B không chứa A) + Nếu A khơng phải tập B ta kí hiệu A ⊄ B (đọc A khơng chứa + A ⊂ A ∅ ⊂ A với tập hợp A Nhận xét: B ⊃ A (đọc B chứa A) tập hợp A tập tập hợp B kí hiệu A ⊂ B (đọc A chứa B), - Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói Tập hai tập hợp 10} Cách 2: Chỉ tính chất đặc trưng phẩn tử: D = {n ∈ ℕ | n ⋮ 3, < n < Cách 1: Liệt kê phẩn tử tập hợp: D = {6; 9} 10 Mô tả tập hợp D theo hai cách: Ví dụ Cho tập hợp D số tự nhiên chia hết cho lớn nhỏ gọi tập hợp hữu hạn - Có tập hợp ta đếm hết phần tử chúng Những tập hợp thiết viết tất phần tử tập hợp + Nếu quy tắc xác định phần tử đủ rõ người ta dùng “…” mà không + Mỗi phần tử liệt kê lần + Các phần tử viết theo thứ tự tùy ý Chú ý: Khi liệt kê phần tử tập hợp, ta có số ý sau đây: Cách Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp + Thông thường để phủ định mệnh đề, người ta thường thêm (hoặc bớt) từ “không” - Những khẳng định có tính hoặc sai gọi mệnh đề logic (hay mệnh đề) Chú ý: Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết - Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương - Một mệnh đề chứa biến chứa biến nhiều biến Mệnh đề phủ định P) - Khi ta nói P điều kiện cần đủ để có Q (hay Q điều kiện cần đủ để có đương, kí hiệu P ⇔ Q (đọc “P tương đương Q” “P Q”) - Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q - Ta thường kí hiệu mệnh đề chứa biến n P (n) - Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu P Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương minh nhiều định lí Trung học sở Q mệnh đề đúng, Q sai mệnh đề sai Ta quen với điều chứng + Để xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q, ta cần xét trường hợp P Khi đó, + Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu “P kéo theo Q” “Từ P suy Q” Nhận xét: - Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai P ⇒ Q - Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo, kí hiệu Mệnh đề kéo theo biến khẳng định tính sai mệnh đề - Mệnh đề chứa biến mệnh đề chưa khẳng định tính sai, cần có giá trị cụ thể Mệnh đề chứa biến + Những mệnh đề liên quan đến toán học gọi mệnh đề toán học + Người ta thường sử dùng chữ in hoa P, Q, R, … để kí hiệu mệnh đề Chú ý: - Một mệnh đề vừa vừa sai - Một khẳng định sai gọi mệnh đề sai - Một khẳng định gọi mệnh đề “không phải” vào trước vị ngữ mệnh đề Nhận xét: Mệnh đề - Mệnh đề khẳng định sai P P sai, P sai P - Mệnh đề P mệnh đề phủ định P có tính sai trái ngược Nghĩa b) Kí hiệu: (‒∞; ‒5] Biểu diễn trục số: a) Kí hiệu: (7; 12] Biểu diễn trục số: Hướng dẫn giải b) {x ∈ ℝ | x ≤ ‒ 5} a) {x ∈ ℝ | < x ≤ 12} trục số: Bài Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng viết tập hợp sau vẽ chúng A Lý thuyết Ôn tập chương I Ta có D = B = {2; 3} Vậy m = 2, n = m = 3, n = Suy x = Khi B = {2; 3} c) Để B ⊄ A x phải khác phần tử 2; 6; 5; Mà < x < + Nếu y = để D = C C = D = {5; 6} Vậy m = 5, n = m = 6, n = + Nếu y = để D = C C = D = {4; 6} Vậy m = 4, n = m = 6, n = Suy y 2; 4; Mà y > nên y b) Để C ⊂ A tập C có phần tử giống phần tử nằm tập A Để D = B = C D = {2; 6} Vậy m = 6, n = m = 2, n = Do x = y = Khi B = C = {2; 6} a) Để B = C tập B phải có phần tử tập C phải có phần tử Hướng dẫn giải c) B = D ⊄ A < x < b) C = D ⊂ A y > a) B = C = D (nếu có) để: Bài Cho A = {2; 6; 4; 5}, B = {2; x}, C = {6; y}, D = {m, n} Tìm x, y, m, n b) B = {0; 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40; 45} a) A = {1; 0} Hướng dẫn giải b) B = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5, x < 50} a) A = {x2 – | x ∈ ℤ, ‒1 < x < 2}; + Mỗi phần tử liệt kê lần + Nếu quy tắc xác định phần tử đủ rõ người ta dùng “…” mà khơng thiết viết - Kí hiệu ∀ đọc “với mọi” - Kí hiệu ∃ đọc “tồn tại” {x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b} {x ∈ ℝ | a < x < b} {x ∈ ℝ | a ≤ x < b} {x ∈ ℝ | a < x ≤ b} {x ∈ ℝ | x ≤ a} {x ∈ ℝ | x ≥ a} {x ∈ ℝ | x < a} {x ∈ ℝ | x > a} Đoạn [a; b] Khoảng (a; b) Nửa khoảng [a; b) Nửa khoảng (a; b] Nửa khoảng (-∞; a] Nửa khoảng [a; +∞) Khoảng (-∞; a) Khoảng (a; +∞) Biểu diễn trục số A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} ∪ B Tập hợp phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp hai tập hợp A B, kí hiệu A Hướng dẫn giải b) P: “5 số nguyên tố” a) P: “Số 22 chia hết cho 6” phủ định đó: Bài Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau nhận xét tính sai mệnh đề 10 Hợp giao tập hợp - Cho hai tập hợp A B B Bài tập tự luyện tập tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trục số Chú ý: Trong chương sau, để tìm tập hợp hợp, giao, hiệu, phần bù Nếu A tập E hiệu E\A gọi phần bù A E, kí hiệu CEA A\B = {x | x ∈ A x ∉ B} Tập hợp phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B, kí hiệu A\B - Cho hai tập hợp A B 11 Hiệu hai tập hợp, phần bù tập n(B) + Đặc biệt, A B khơng có phần tử chung, tức A ∩ B = ∅, n(A ∪ B) = n(A) + + Nếu A B hai tập hợp hữu hạn n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Nhận xét: hiệu A ∩ B Tập hợp phần tử thuộc hai tập hợp A B gọi giao hai tập hợp A B, kí dương vơ cực (dương vơ cùng) - Trong kí hiệu trên, kí hiệu - ∞ đọc âm vơ cực (âm vơ cùng), kí hiệu + ∞ đọc ℝ Tập hợp Tập số thực (-∞; +∞) Tên gọi kí hiệu A ∪ B = {x| x ∈ A x ∈ B} Một số tập tập hợp số thực Cách Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp - Ta thường sử dụng tập tập số thực sau (a b số thực, a < b): số thực), ta có quan hệ bao hàm: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ Chú ý: Giữa tập hợp số quen thuộc (tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu tỉ, tập quanh đường cong kín, gọi biểu đồ Ven - Trong toán học, người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng bao + Nếu A ⊂ B B ⊂ A ta nói A B có quan hệ bao hàm B khơng chứa A) + Nếu A tập B ta kí hiệu A ⊄ B (đọc A không chứa B + A ⊂ A ∅ ⊂ A với tập hợp A Nhận xét: B chứa A) A tập tập hợp B kí hiệu A ⊂ B (đọc A chứa B), B ⊃ A (đọc - Cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói tập hợp Tập hai tập hợp gọi tập hợp hữu hạn - Có tập hợp ta đếm hết phần tử chúng Những tập hợp Cách Liệt kê phần tử tập hợp; *Cách xác định tập hợp hợp số nguyên, ℚ tập hợp số hữu tỉ, ℝ tập hợp số thực - Người ta thường kí hiệu tập hợp số sau: ℕ tập hợp số tự nhiên, ℤ tập - Một tập hợp khơng chứa phần tử Tập hợp gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ phần tử tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc “a không thuộc A”) - Để a phần tử tập hợp A, ta viết a ∈ A (đọc “a thuộc A”) Để a không Chú ý: Đôi khi, để ngắn gọn, người ta dùng từ “tập” thay cho “tập hợp” tập hợp chữ in thường a, b, c, … - Người ta thường kí hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, C, … kí hiệu phần tử xác định Mỗi đối tượng nhóm gọi phần tử tập hợp - Trong tốn học, người ta dùng từ tập hợp để nhóm đối tượng hoàn toàn Nhắc lại tập hợp - Mệnh đề “∃x ∈ M, P(x)” có x0 ∈ M cho P(x0) mệnh đề tất phần tử tập hợp + Các phần tử viết theo thứ tự tùy ý Mệnh đề chứa kí hiệu ∀ ∃ - Mệnh đề “∀x ∈ M, P(x)” với x0 ∈ M, P(x0) mệnh đề Chú ý: Khi liệt kê phần tử tập hợp, ta có số ý sau đây: Nhận xét: Hai mệnh đề P Q tương đương chúng sai B\A = {6} Kí hiệu: [‒1; 4] Biểu diễn trục số: a) M = (0; 6] \ (‒∞; 4] b) N = [‒5; 5] ∩ (‒∞; 3] b) A = {x + | x ∈ ℕ, x < 7}, B = {x - | x ∈ ℕ, < x < 6} Hướng dẫn giải A = {0; 5; 10; 15; 20; 25} Hướng dẫn giải Bài Xác định tập hợp sau đây: a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5, x < 30}, B = {x ∈ ℕ | x ⋮ 6, x < 30} a) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B A ∩ B = {4}, A ∪ B = {4; 6; 8} Bài Xác định tập hợp A ∩ B trường hợp sau: CUB = {5; 7; 8} CUA = {5; 6; 7} A\B = {8} Khi ta có: B = {x ∈ U | x ước 12} = {4; 6} A = {x ∈ U | x bội 4} = {4; 8} U = {x ∈ ℕ | < x < 9} = {4; 5; 6; 7; 8} Ta xác định phần tử tập hợp U, A, B Hướng dẫn giải 12} Xác định tập hợp A\B, B\A, CUA, CUB, A ∩ B, A ∪ B Bài Cho U = {x ∈ ℕ | < x < 9}, A = {x ∈ U | x bội 4}, B = {x ∈ U | x ước Suy A ∩ B = {4} B = {4} A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} b) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B Suy A ∩ B = {0} B = {0; 6; 12; 18; 24} có) để: Bài Cho A = {3; 4; 5; 6; 7}, B = {1; x}, C = {7; y}, D = {m, n} Tìm x, y, m, n (nếu b) B = {n ∈ ℕ | n2 - 2, < n < 8} a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 3, x < 10} Hướng dẫn giải {x ∈ ℝ | ‒1 ≤ x ≤ 4} Bài Dùng kí hiệu đoạn, khoảng, nửa khoảng viết tập hợp sau vẽ tập trục số: + Nếu y = để D = C C = D = {7; 6} Vậy m = 7, n = m = 6, n = + Nếu y = để D = C C = D = {7; 5} Vậy m = 5, n = m = 7, n = Suy y 3; 4; 5; Mà y > nên y b) Để C ⊂ A tập C có phần tử giống phần tử nằm tập A Để D = B = C D = {1; 7} Vậy m = 1, n = m = 7, n = Do x = y = Khi B = C = {1; 7} a) Để B = C tập B phải có phần tử tập C phải có phần tử Hướng dẫn giải b) C = D ⊂ A y > a) B = C = D Mệnh đề phủ định mệnh đề là: “∃x ∈ ℤ, x2 ≥ 0” sai a) Phát biểu mệnh đề: “Mọi số ngun có bình phương nhỏ 0” Đây mệnh đề Hướng dẫn giải b) ∃x ∈ ℤ, x > Hướng dẫn giải b) B = {14; 23; 34; 47} a) ∀x ∈ ℤ, x < a) A = {0; 3; 6; 9} hợp: Bài Hãy viết tập hợp sau cách nêu tính chất đặc trưng cho phần tử tập Bài Phát biểu xét mệnh đề hay sai, viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau: + Để tam giác có ba góc nhau, điều kiện cần đủ tam giác ABC tam giác - Tam giác ABC có ba góc tam giác ABC tam giác - Tam giác ABC có ba góc tương đương tam giác ABC tam giác d) “Hồ Tây thật đẹp!”: câu cmar thán nên mệnh đề trung điểm đường”: mệnh đề Phát biểu nhiều cách: c) “Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với P Q hai mệnh đề tương đương hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P y = khẳng định sai b) “5 chia hết cho y”: mệnh đề chứa biến y = khẳng định đúng, a) “4 số vô tỉ”: mệnh đề mệnh đề sai khẳng định sai Hướng dẫn giải d) “Hồ Tây thật đẹp!” mệnh đề Q ⇒ P Q ⇒ P: “Tam giác ABC tam giác tam giác ABC có ba góc nhau” Do mệnh đề P ⇒ Q P ⇒ Q: “Tam giác ABC có ba góc tam giác ABC tam giác đều” Do Hướng dẫn giải Hai mệnh đề P Q có tương đương khơng? Nếu có, phát biểu nhiều cách? trung điểm đường” c) “Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với P: “Tam giác ABC có ba góc nhau” Q: “Tam giác ABC tam giác đều” b) “5 chia hết cho y” a) “4 số vô tỉ” Bài Cho tam giác ABC Xét mệnh đề: nguyên tố” Mệnh đề phủ định mệnh đề sai Bài Trong câu sau, câu mệnh đề đúng, mệnh đề sai, mệnh đề chứa biến? Mệnh đề phủ định là: “∀x ∈ ℤ, x < 0” cho 6” Mệnh đề phủ định mệnh đề b) Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “5 số nguyên tố” P : “5 không số b) Phát biểu mệnh đề: “Tồn số nguyên lớn 0” Đây mệnh đề a) Mệnh đề phủ định mệnh đề P: “Số 22 chia hết cho 6” P : “Số 22 không chia hết A ∩ B = {x | x ∈ A x ∈ B} B Bài tập tự luyện Bài Xác định tập hợp A ∩ B trường hợp sau: a) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, x < 30}, B = {x ∈ ℕ | x ⋮ 5, x < 30} Hiệu hai tập hợp, phần bù tập - Cho hai tập hợp A B Từ ta thấy, B = (‒∞; 12] Để xác định tập hợp B, ta vẽ sơ đồ sau đây: + Xác định tập hợp: B = (7; 12] ∪ (‒∞; 9] CST = S\T = {2; 3; 8; 9} Ta thấy T tập S nên phần bù T S là: Hiệu S T S\T = {2; 3; 8; 9} + Cho hai tập hợp S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} T = {4; 5; 6; 7} Hợp hai tập hợp S T tập hợp N = S ∪ T = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} + Cho hai tập hợp S = {1; 2; 3; 4} T = {5; 6; 7} Giao tập hợp tập hợp M = S ∩ T = {4; 5; 6; 7} + Cho hai tập hợp S = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} T = {4; 5; 6; 7} Ví dụ n(A) + n(B) + Đặc biệt, A B khơng có phần tử chung, tức A ∩ B = ∅, n(A ∪ B) = + Nếu A B hai tập hợp hữu hạn n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B) Nhận xét: B, kí hiệu A ∩ B Tập hợp phần tử thuộc hai tập hợp A B gọi giao hai tập hợp A Ví dụ: tập tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trục số hiệu A ∪ B A ∪ B = {x| x ∈ A x ∈ B} Chú ý: Trong chương sau, để tìm tập hợp hợp, giao, hiệu, phần bù Tập hợp phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp hai tập hợp A B, kí A\B = {x | x ∈ A x ∉ B} Nếu A tập E hiệu E\A gọi phần bù A E, kí hiệu CEA hiệu A\B Tập hợp phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B, kí Vậy lớp 10E có 35 học sinh Do số học sinh lớp 10E là: 30 + = 35 (học sinh) học sinh khơng thích mơn học Số học sinh lớp 10E tổng số học sinh thích hai mơn với số - Cho hai tập hợp A B Hợp giao tập hợp A Lý thuyết Bài Các phép toán tập hợp +) Tập hợp số học sinh thích mơn Vật lí Hóa học A ∩ B Do n(A ∩ B) = 10 Khi đó: Số phần tử A B n(A) n(B) n (A) = 25, n(B) = 15 B tập hợp số học sinh thích mơn Hóa học a) Gọi A tập hợp số học sinh thích mơn Vật lí Hướng dẫn giải b) Tất học sinh? a) Bao nhiêu học sinh thích mơn Lí mơn Hóa? Vật lí Hố học Hỏi lớp 10A có: học 10 học sinh thích mơn Vật lí Hóa học học sinh khơng thích hai mơn Bài 10 Lớp 10E trường có 25 học sinh thích mơn Vật lí, 15 học sinh thích mơn Hóa Từ sơ đồ ta thấy, N = [-5; 3] N tập hợp số học sinh khơng thích hai mơn học Vật lí Hố học Do n(N) = b) Để xác định tập N, ta vẽ sơ đồ sau đây: Ta có: A ∪ B = CN b) Gọi M tập hợp số học sinh lớp 10E Vậy có 30 học sinh thích hai mơn Vật lí Hố học Suy n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B) = 25 + 15 – 10 = 30 Ta có: tổng số học sinh thích mơn Vật lí mơn Hóa học n(A ∪ B) +) Tập hợp số học sinh thích mơn Vật lí mơn Hóa học A ∪ B Từ sơ đồ ta thấy, M = (4; 6] a) Để xác định tập M, ta vẽ sơ đồ sau đây: CU( A ∩ B) = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19} Hướng dẫn giải Vậy có học sinh khơng thích mơn học hai mơn Tốn mơn Ngữ Văn b) Số học sinh khơng thích mơn học là: 33 – 28 = (học sinh) Vậy có 28 học sinh thích mơn Tốn mơn Ngữ Văn Suy n(A ∪ B) = n(A) + n(B) ‒ n(A ∩ B) = 20 + 18 – 10 = 28 ∪ B) Nên tổng số học sinh thích mơn Tốn mơn Ngữ Văn n(A ∪ B +) Tập hợp số học sinh thích mơn Tốn mơn Ngữ Văn A = 10 +) Tập hợp số học sinh thích mơn Tốn Ngữ Văn A ∩ B nên n(A ∩ B) Ta có: Số phần tử A B n(A) n(B) n(A) = 20, n(B) = 18 B tập hợp số học sinh thích mơn Ngữ Văn a) Gọi A tập hợp số học sinh thích mơn Tốn Hướng dẫn giải b) Bao nhiêu học sinh khơng thích mơn nào? a) Bao nhiêu học sinh thích mơn Tốn mơn Ngữ Văn? Ngữ Văn Hỏi lớp 10A có: Tốn, 18 học sinh thích mơn Ngữ Văn 10 học sinh thích mơn Tốn Bài Lớp 10A trường có 33 học sinh, có 20 học sinh thích mơn CUB = {0; 5; 7; 8; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19} CUA = {1; 2; 3; 5; 6; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19} B\A = {1; 2; 3; 6} A\B = {0; 8; 16} Khi ta có: B = {x ∈ U | x ước 12} = {1; 2; 3; 4; 6; 12} A = {x ∈ U | x bội 4} = {0; 4; 8; 12; 16} Từ sơ đồ ta thấy, D = (9; 12] b) Để xác định tập D, ta vẽ sơ đồ sau đây: Ta xác định phần tử tập hợp U, A, B U = {x ∈ ℕ | x < 20} = {0; 1; 2; 3; 4; …; 19} Từ sơ đồ ta thấy, C = (7; 9] a) Để xác định tập C, ta vẽ sơ đồ sau đây: Hướng dẫn giải b) D = (7; 12] \ (-∞; 9] a) C = (7; 12] ∩ (-∞; 9] Hướng dẫn giải B) ước 12} Xác định tập hợp A\B, B\A, CUA, CUB, CU(A ∪ B), CU( A ∩ Bài Cho U = {x ∈ ℕ | x < 20}, A = {x ∈ U | x bội 4}, B = {x ∈ U | x A = ∅ Vậy A ∩ B = ∅ c) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B Suy A ∩ B = {1} B = {0; 1; 8; 27; 64} A = {1; 2; 5; 10; 17; 26} b) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B Suy A ∩ B = {0; 20} B = {0; 5; 10; 15; 20; 25} A = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28} Bài Xác định tập hợp sau đây: CU(A ∪ B) = {5; 7; 9; 10; 11; 13; 14; 15; 17; 18; 19} c) A = {x ∈ ℕ | x ⋮ 4, 5< x < 7}, B = {x1000 | x ∈ ℕ, x > 5} a) Ta xác định phần tử tập hợp A tập hợp B A ∩ B = {4; 12}, A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16} b) A = {x2 + | x ∈ ℕ, x < 6}, B = {x3 | x ∈ ℕ, x < 5} d) 4x – < 3y B Bài tập tự luyện chứa điểm O (miền nghiệm miền không bị gạch hình) + Vẽ đường thẳng ∆: 2x + y – = mặt phẳng tọa độ Oxy - Biểu diễn miền nghiệm trục tọa độ Oxy: c ≤ với a = 2, b = c = ‒ Bất phương trình 2x + y – ≤ bất phương trình bậc hai ẩn có dạng ax + by + Hướng dẫn giải biểu diễn miền nghiệm trục tọa độ Oxy: 2x + y – ≤ 0? Bài Bất phương trình sau có phải bất phương trình bậc hai ẩn khơng? Nếu có Vậy 3x + 5y ‒ < 0; 4x – < 3y bất phương trình bậc hai ẩn e) khơng bất phương trình bậc hai ẩn Ta có 2x – 5y + 6t ≥ bất phương trình bậc ba ẩn x, y, t Do bất phương trình Do bất phương trình d) bất phương trình bậc hai ẩn Ta có 4x – < 3y ⇔ 4x – 3y ‒ < có dạng ax + by + c < với a = 4, b = ‒ c = ‒ hai ẩn Ta có: 4y2 – ≤ có chứa ẩn y2 nên bất phương trình c) khơng bất phương trình bậc hai ẩn ta + 2.0 – = ‒2 > mệnh đề sai Do miền nghiệm bất phương trình nửa mặt phẳng bờ ∆ (khơng kể bờ ∆) khơng Ta có: 2x2 – y ‒ > có chứa x2 nên bất phương trình b) khơng bất phương trình bậc phương trình a) bất phương trình bậc hai ẩn Ta có: 3x + 5y ‒ < có dạng ax + by + c < với a = 3, b = c = ‒ Do bất Hướng dẫn giải Bước 2: Lấy điểm O (0; 0) không thuộc ∆ thay x = y = vào biểu thức x + 2y – Bước 1: Vẽ đường thẳng ∆: x + 2y – = mặt phẳng tọa độ Oxy độ: e) 2x – 5y + 6t ≥ c) 4y2 – ≤ + c > 0) kể bờ Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình x + 2y – > mặt phẳng tọa b) 2x2 – y ‒ > c ≥ 0) miền nghiệm miền nghiệm bất phương trình ax + by + c < (hoặc ax + by a) 3x + 5y ‒ < Bài Bất phương trình sau bất phương trình bậc hai ẩn? (khơng kể bờ ∆) chứa điểm (x0; y0) + Nếu ax0 + by0 + c < miền nghiệm bất phương trình cho nửa mặt phẳng Bước 2: Lấy điểm (x0; y0) khơng thuộc ∆ Tính ax0 +by0 + c Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by +c = sau: Ta biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn ax + by + c < + c > 0, nửa lại (không kể bờ ∆) tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn ax + by + c < mặt phẳng, nửa (khơng kể bờ ∆) tập hợp điểm (x; y) thỏa mãn ax + by 0) xác định đường thẳng ∆ Đường thẳng ∆ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành hai nửa - Người ta chứng minh được: Mỗi phương trình ax + by + c = (a, b không đồng thời gọi miền nghiệm bất phương trình ax + by + c < Chú ý: Đối với bất phương trình bậc hai ẩn dạng ax + by + c ≤ (hoặc ax + by + (không kể bờ ∆) không chứa điểm (x0; y0) + Nếu ax0 + by0 + c > miền nghiệm bất phương trình cho nửa mặt phẳng + Bất phương trình bậc hai ẩn 5x + 2y < có cặp nghiệm (-1; -2); (0; 0); bởi: Ví dụ: định nghĩa tương tự Chú ý: Nghiệm bất phương trình ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ trình cho Mỗi cặp số (x0; y0) thỏa mãn ax0 + by0 + c < gọi nghiệm bất phương Xét bất phương trình ax + by + c < Nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn ẩn x, y, z bậc 5x + 2y – 3z > khơng bất phương trình bậc hai ẩn bất phương trình chứa - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm (x0; y0) cho ax0 + by0 + c < Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn 5x + 2y < bất phương trình bậc hai ẩn bất phương trình chứa hai ẩn x, y bậc Với x = 4, y = ta có: ‒ = ≥ nên (4; 0) nghiệm bất phương trình x ‒ 2y ≥ ‒ 2y ≥ Với x = 4, y = ‒1 ta có: – (‒1) = ≥ nên (4; ‒1) nghiệm bất phương trình x + Bất phương trình bậc hai ẩn x ‒ 2y ≥ có cặp nghiệm (4; ‒1); (4; 0); bởi: 2y < Với x = 0, y = ta có: + = < nên (0; 0) nghiệm bất phương trình 5x + trình 5x + 2y < Với x = ‒1, y = ‒2 ta có: 5.(‒1) + 2.(‒2) = ‒9 < nên (‒1; ‒2) nghiệm bất phương Ví dụ: a, b, c số cho trước, a, b không đồng thời 0, x y ẩn ax + by + c < 0; ax + by + c > 0; ax + by + c ≤ 0; ax + by + c ≥ 0, - Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng Khái niệm bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Bài Bất phương trình bậc hai ẩn Chương II Bất phương trình hệ bất phương trình bậc hai ẩn mãn bất phương trình cặp số (4;7) nghiệm bất phương trình cho Thay (x; y) = (4; 7) vào bất phương trình ta có: + = 19 < 20 mệnh đề Do cặp số (5;6) khơng nghiệm bất phương trình cho Thay (x; y) = (5; 6) vào bất phương trình ta có: + = 21 < 20 mệnh đề sai Do cặp số (4;8) khơng nghiệm bất phương trình cho nên cặp số (x; y) = (10; 2) nghiệm bất phương trình x – y < 10 Thay x = 10 y = vào bất phương trình x – y < 10 ta có: 10 – = < 10 mệnh đề nên cặp số (x; y) = (10; 2) nghiệm bất phương trình x + y > Thay x = 10 y = vào bất phương trình x + y > ta có: 10 + = 12 > mệnh đề x + y - Cho hệ bất phương trình hai ẩn x − y 10 phương trình bậc hai hai ẩn x + y2 hệ bất phương trình bậc hai ẩn x + y2 < bất x − y y – 2x > x + 2y hệ bất phương trình hai ẩn x, y gồm hai bất phương trình x + 2y < y − 2x Ví dụ: phương trình bậc hai ẩn gọi miền nghiệm hệ bất phương trình - Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm (x 0; y0) có tọa độ nghiệm hệ bất hệ bất phương trình cho hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung tất bất phương trình gọi nghiệm - Hệ bất phương trình bậc hai ẩn hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc Khái niệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn A Lý thuyết Bài Hệ bất phương trình bậc hai ẩn Miền nghiệm biểu diễn trục tọa độ Oxy: ∆ (kể bờ ∆) chứa gốc tọa độ O Vậy miền nghiệm bất phương trình cho trục tọa độ Oxy nửa mặt phẳng bờ mệnh đề + Lấy điểm O(0;0) không thuộc ∆ thay vào bất phương trình ta có: + – 20 = ‒ 20 ≤ + Vẽ đường thẳng ∆: x + 4y – 20 = mặt phẳng tọa độ Oxy c) - Biểu diễn miền nghiệm trục tọa độ Oxy: b) Với x = bất phương trình trở thành: 4y ≤ 20 ⇔ y ≤ có vơ số giá trị y thỏa cặp số (2;5) nghiệm bất phương trình cho Thay (x; y) = (4; 8) vào bất phương trình ta có: + = 20 < 20 mệnh đề sai Do Vậy hai cặp số (0; 0) (0; 1) nghiệm bất phương trình cho Thay (x; y) = (2; 5) vào bất phương trình ta có: + = 11 < 20 mệnh đề Do Do cặp (0; 1) nghiệm bất phương trình Thay x = y = vào bất phương trình cho ta + 4.1 = ≤ 20 mệnh đề Chọn (x; y) = (0; 1) Do cặp (0; 0) nghiệm bất phương trình Thay x = y = vào bất phương trình cho ta + 4.0 = ≤ 20 mệnh đề a) Chọn (x; y) = (0; 0) Hướng dẫn giải c) Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình trên hệ trục tọa độ Oxy b) Với x = có giá trị y thỏa mãn bất phương trình a) Chỉ hai nghiệm bất phương trình Bài Cho bất phương trình bậc hai ẩn: x + 4y ≤ 20 Hướng dẫn giải số (2; 5), (4; 8), (5; 6), (4; 7), (11; 12) nghiệm bất phương trình trên? Bài Cho bất phương trình bậc hai ẩn: 3x + y < 20 Cặp số (x; y) cặp Miền nghiệm biểu diễn trục tọa độ Oxy: ∆ (kể bờ ∆) chứa gốc tọa độ O Vậy ta có cặp nghiệm (x; y) là: (2; 5); (4; 7) cặp số (11;12) khơng nghiệm bất phương trình cho mệnh đề Vậy miền nghiệm bất phương trình cho trục tọa độ Oxy nửa mặt phẳng bờ Thay (x; y) = (11; 12) vào bất phương trình ta có: 11 + 12 = 45 < 20 mệnh đề sai Do + Lấy điểm O(0;0) khơng thuộc ∆ thay vào bất phương trình ta có: + – = ‒ ≤ ... nói tập hợp Tập hai tập hợp gọi tập hợp hữu hạn - Có tập hợp ta đếm hết phần tử chúng Những tập hợp Cách Liệt kê phần tử tập hợp; *Cách xác định tập hợp hợp số nguyên, ℚ tập hợp số hữu tỉ, ℝ tập. .. mệnh đề 10 Hợp giao tập hợp - Cho hai tập hợp A B B Bài tập tự luyện tập tập số thực, ta thường vẽ sơ đồ trục số Chú ý: Trong chương sau, để tìm tập hợp hợp, giao, hiệu, phần bù Nếu A tập E hiệu... hiệu tập hợp số sau: ℕ tập hợp số tự nhiên, ℤ tập - Một tập hợp khơng chứa phần tử Tập hợp gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ phần tử tập hợp A, ta viết a ∉ A (đọc “a không thuộc A”) - Để a phần tử tập hợp