Giải toán 10 bài 11 (kết nối tri thức) tích vô hướng của hai vecto

Bài 11 Tích vô hướng của hai vecto Hoạt động 1 trang 66 SGK Toán 10 tập 1 Trong Hình 4 39, số đo góc BAC cũng được gọi là số đo góc giữa hai vectơ AB và AC Hãy tìm số đo các góc giữa BC và BD , DA và[.]

Bài 11 Tích vơ hướng hai vecto Hoạt động trang 66 SGK Tốn 10 tập 1: Trong Hình 4.39, số đo góc BAC gọi số đo góc hai vectơ AB AC Hãy tìm số đo góc BC BD , DA DB Lời giải Số đo góc hai vectơ BC BD góc CBD 30° Xét tam giác BCD có BCA góc ngồi tam giác đỉnh C nên: BCA = CBD + CDB  CDB = BCA − CBD = 80 − 30 = 50  ADB = 50 Suy số đo góc hai vectơ DA DB góc ADB 50° Vậy số đo góc hai vectơ BC BD 30° số đo góc hai vectơ DA DB 50° Câu hỏi trang 66 SGK Tốn 10 tập 1: Khi góc hai vectơ 0°, 180° Lời giải Góc hai vectơ 0° hai vectơ hướng Góc hai vectơ 180° hai vectơ ngược hướng ( ) Luyện tập trang 66 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC Tính AB,BC Lời giải Lấy điểm D cho AD = BC ( ) ( ) Khi AB, BC = AB, AD = BAD Vì ABC tam giác nên ABC = 60 Do AD = BC nên ABCD hình bình hành  AD // BC (tính chất hình bình hành)  BAD + ABC = 180 (hai góc phía)  BAD = 180 − ABC = 180 − 60 = 120 ( )  AB, BC = BAD = 120 ( ) Vậy AB, BC = 120 Câu hỏi trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Khi tích vơ hướng hai vectơ khác vectơ-không u, v số dương? Là số âm? Lời giải Tích vơ hướng hai vectơ u, v  tính cơng thức sau: ( ) u.v = u v cos u, v ( ) Vì u  0, v  nên dấu tích vơ hướng u.v phụ thuộc vào dấu cos u, v ( ) +) Tích vơ hướng hai vectơ u, v số dương cos u, v  Khi góc hai vectơ u, v góc nhọn 0° ( ) +) Tích vơ hướng hai vectơ u, v số âm cos u, v  Khi góc hai vectơ u, v góc tù 180° ( ) Khi 90  ( u, v )  180 tích vô hướng hai vectơ u, v số âm Vậy 0  u, v  90 tích vơ hướng hai vectơ u, v số dương; ( ) Câu hỏi trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Khi u.v 2 = u v ? Lời giải ( ) Ta có: u.v = u v cos u, v ( )  u.v ( )  u.v ( ) =  u v cos u, v    = u v cos u, v ( ) 2 2 2 ( ) 2 ( ) Để u.v = u v u v cos u, v = u v ( ) ( ) ( ) ( ) cos u, v =  u, v = 0   cos u, v =   cos u, v = −1  u, v = 180   ( ) ( ) +) Với ( u, v ) = 180 hai vectơ u, v ngược hướng +) Với u, v = 0 hai vectơ u, v hướng Suy hai trường hợp hai vectơ u, v phương ( ) Vậy hai vectơ u, v phương u.v 2 = u v Luyện tập trang 67 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Hãy tính AB.AC theo a, b, c Lời giải ( Ta có: AB.AC = AB.AC.cos AB, AC )  AB.AC = AB.AC.cos BAC  AB.AC = bc.cos BAC AC2 + AB2 − BC2 Xét tam giác ABC, theo định lí cơsin ta có: cosBAC = 2AC.AB  cosBAC= b2 + c2 − a 2bc b2 + c2 − a b2 + c2 − a  AB.AC = bc = 2bc b2 + c2 − a Vậy AB.AC = Hoạt động trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Cho hai vectơ phương u = ( x; y ) v = ( kx;ky ) Hãy kiểm tra công thức u.v = k ( x + y ) theo trường hợp sau: a) u = 0; b) u  k  0; c) u  k < Lời giải Ta có: u = ( x; y )  u = x + y v = ( kx;ky )  v = ( kx ) + ( ky ) = k x + k y = k ( x + y ) = k a) Vì vectơ vng góc với vectơ nên vectơ v vng góc với u = Do u ⊥ v  u.v = x = Ta có: u =  u = ( 0;0 )   y = Do k ( x + y ) = k ( 02 + 02 ) =  u.v = k ( x + y ) = Vậy với u = cơng thức u.v = k ( x + y ) b) Vì k ≥ nên vectơ v = ( kx; ky ) hướng với vectơ u = ( x; y ) ( )  u, v = 0 ( ) Do u.v = u v cos u, v = x + y2 k x + y cos0 = k ( x + y ) = k ( x + y ) Vậy với u  k  cơng thức u.v = k ( x + y ) x + y c) Vì k < nên vectơ v = ( kx; ky ) ngược hướng với vectơ u = ( x; y ) ( )  u, v = 180 ( ) Do đó: u.v = u v cos u, v = x + y2 k x + y cos180 = −k ( x + y ) ( −1) = k ( x + y ) Vậy với u  k < công thức u.v = k ( x + y ) Hoạt động trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ không phương u = ( x; y ) v = ( x '; y ' ) a) Xác định tọa độ điểm A B cho OA = u,OB = v b) Tính AB2, OA2, OB2 theo tọa độ A B c) Tính OA.OB theo tọa độ A, B Lời giải a) Vì OA = u mà u = ( x; y ) nên OA = ( x; y ) suy A(x; y) Vì OB = v mà v = ( x '; y ' ) nên OB = ( x ; y ) suy B(x'; y') b) +) Ta có: A(x; y) B(x'; y')  AB = ( x '− x; y'− y )  AB = ( x '− x ) + ( y '− y )  AB2 = ( x '− x ) + ( y '− y ) 2 +) Ta có OA = ( x; y )  OA = x + y  OA = x + y +) Ta có: OB = ( x '; y ' )  OB = x '2 + y '2  OB2 = x '2 + y '2 Vậy AB2 = ( x '− x ) + ( y '− y ) ; OA = x + y OB2 = x '2 + y '2 2 ( ) c) Ta có: OA.OB = OA.OB.cos OA,OB = OA.OB.cosAOB OA + OB2 − AB2 Xét tam giác OAB, theo định lí cơsin ta có: cosAOB = 2.OA.OB 2 x + y + x 2 + y2 − ( x  − x ) + ( y  − y )     cosAOB = x + y2 x 2 + y2  cosAOB =  cosAOB =  cosAOB =  cosAOB =  cosAOB = x + y2 + x 2 + y2 − ( x 2 − 2x x + x + y2 − 2yy + y ) x + y x 2 + y2 x + y + x 2 + y2 − x 2 + 2x x − x − y2 + 2yy − y 2 x + y2 x 2 + y2 2x x + 2yy x + y x 2 + y2 ( x x + yy ) x + y x 2 + y2 x x + yy x + y x 2 + y 2 Do OA.OB = OA.OB.cosAOB x x + yy = x + y x 2 + y 2 x + y x 2 + y 2 = x x + yy Vậy OA.OB = x x + yy Luyện tập trang 68 SGK Tốn 10 tập 1: Tính tích vơ hướng góc hai vectơ u = ( 0; −5 ) , v = ( ) 3;1 Lời giải Với u = ( 0; −5 ) , v = ( ) 3;1 Suy ra: +) u = 02 + ( −5 ) = 5; +) v = ( 3) + 12 = = 2; +) Tích vơ hướng hai vectơ u.v = + ( −5 ) = −5 ( ) Ta có: cos u, v = u.v u.v = −5 =− 5.2 ( )  u, v = 120 Vậy u.v = −5 góc hai vectơ u, v 120° Hoạt động trang 68 SGK Toán 10 tập 1: Cho ba vectơ u = ( x1 ; y1 ) , v = ( x ; y ) , w = ( x ; y3 ) ( ) a) Tính u v + w , u.v + u.w theo tọa độ vectơ u, v, w ( ) b) So sánh u v + w u.v + u.w c) So sánh u.v v.u Lời giải a) Với u = ( x1 ; y1 ) , v = ( x ; y ) w = ( x ; y3 ) ta có: +) v + w = ( x + x ; y + y3 ) ( )  u v + w = x1.( x + x ) + y1.( y + y3 ) = x1.x + x1.x + y1.y + y1.y3 +) u.v = x1 x + y1 y u.w = x1 x + y1 y3  u.v + u.w = x1.x + y1.y + x1.x + y1.y3 b) Theo câu a ta có: ( ) u v + w = x1.x + y1.y + x1.x + y1.y3 u.v + u.w = x1 x + y1.y + x1 x + y1 y3 ( )  u v + w = u.v + u.w ( ) Vậy u v + w = u.v + u.w c) Ta có: u.v = x1 x + y1 y v.u = x x1 + y y1 = x1.x + y1.y  u.v = v.u Vậy u.v = v.u Luyện tập trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC với A(‒1;2), B(8;‒ 1), C(8;8) Gọi H trực tâm tam giác a) Chứng minh AH.BC = BH.CA = b) Tìm tọa độ H c) Giải tam giác ABC Lời giải a) Vì H trực tâm tam giác ABC nên: +) AH ⊥ BC  AH ⊥ BC  AH.BC = 0; +) BH ⊥ CA  BH ⊥ CA  BH.CA = Vậy AH.BC = BH.CA = b) Gọi tọa độ điểm H H(x; y) Ta có: A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) H(x; y)  AH = ( x + 1; y − ) ; BC = ( 0;9 ) BH = ( x − 8; y + 1) ; AC = ( 9;6 ) Suy AH.BC = ( x + 1) + ( y − ) = ( y − ) Và BH.AC = ( x − ) + ( y + 1) = 9x − 72 + 6y + = 9x + 6y − 66 Theo câu a ta có: AH.BC =  9(y – 2) =  y – =  y = Và BH.AC = (do BH ⊥ AC)  9x + 6y – 66 = Thay y = vào 9x + 6y – 66 = ta được: 9x + 6.2 – 66 =  9x – 54 =  9x = 54 x=6 ⇒ H(6; 2) Vậy H(6; 2) c) Với A(‒1;2), B(8;‒1), C(8;8) ta có: +) AB = ( 9; −3)  AB = 92 + ( −3) = 90 = 10; +) AC = ( 9;6 )  AC = 92 + 62 = 117 = 13; +) BC = ( 0;9 )  BC = 02 + 92 = 9; +) AB.AC = 9.9 + ( −3) = 63; Có: cosBAC = AB.AC 63 63 = = = AB.AC 10.3 13 130 130  BAC  528 +) AB = ( 9; −3)  BA = ( −9;3)  BA.BC = ( −9 ) + 3.9 = 27; Có: cosABC = BA.BC 27 = = BA.BC 10.9 10  ABC  7134 Xét tam giác ABC, theo định lí tổng ba góc tam giác ta có: BAC + ABC + ACB = 180 (  ACB = 180 − BAC + ABC )  ACB  180 − ( 528 + 7134 )  5618 Vậy AB = 10, AC = 13, BC = 9, BAC  528, ABC  7134, ACB  5618 Vận dụng trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Một lực F không đổi tác động vào vật điểm đặt lực chuyển động thẳng từ A đến B Lực F phân tích thành hai lực thành phần F1 F2 (F = F + F ) a) Dựa vào tính chất tích vơ hướng, giải thích cơng sinh lực F (đã đề cập trên) tổng công sinh lực F1 F2 b) Giả sử lực thành phần F1 F2 tương ứng phương, vng góc với phương chuyển động vật Hãy tìm mối quan hệ công sinh lực F lực F1 Lời giải a) Một lực F tác động lên vật làm vật dịch chuyển tịnh tiến theo vectơ độ rời s +) Công sinh lực F A F = F.s +) Công sinh lực F1 A F = F1 s +) Công sinh lực F2 A F = F2 s ( ) Suy A F + A F = F1 s + F2 s = F1 + F2 s (tính chất phân phối phép cộng tích vô hướng) ( ) Mà F = F1 + F2 A F + A F = F1 + F2 s = F.s = A F Vậy A F = A F + A F ( ) b) +) Công sinh lực F A F = F.s = F.s.cos F,s Do vật chuyển động thẳng từ A đến B nên s hướng với F1 ( ) ( ) Suy F,s = F, F1 ( ) ( ) Do A F = F.s.cos F, F1 Ta lại có: F1 = F.cos F, F1  A F = F1.s (1) ( ) +) Công sinh lực F1 A F = F1 s = F1.s.cos F1 ,s ( ) Do s hướng với F1 nên F1 ,s = 0  A F = F1 s.cos00 = F1.s (2) Từ (1) (2) suy A F = A F ( = F1 s ) Vậy A F = A F Bài 4.21 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính góc hai vectơ a b trường hợp sau: a) a = ( −3;1) , b = ( 2;6 ) ; b) a = ( 3;1) , b = ( 2;4 ) ; ( ) ( ) c) a = − 2;1 , b = 2; − ; Lời giải a) Với a = ( −3;1) b = ( 2;6 ) ta có a.b = ( −3) + 1.6 = a⊥b ( )  a, b = 900 b) Với a = ( 3;1) b = ( 2;4 ) ta có: +) a = 32 + 12 = 10; +) b = 22 + 42 = 20 = ; +) a.b = 3.2 + 1.4 = 10 ( ) a.b  cos a, b = 10 = 10.2 a.b = ( )  a, b = 45 ( ) ( ) c) Với a = − 2;1 b = 2; − ta có: ( +) a = − ) + 12 = 3; ( +) b = 22 + − ( ) ) = ( ) +) a.b = − 2 + − = −3 ( ) a.b  cos a, b = a.b = −3 = −1 ( )  a, b = 180 Bài 4.22 trang 70 SGK Tốn 10 tập 1: Tìm điều kiện u, v để: a) u.v = u v ; b) u.v = − u v ; Lời giải ( ) a) Ta có: u.v = u v cos u, v ( ) Để u.v = u v u v cos u, v = u v ( ) ( )  cos u, v =  u, v = 0 Suy u, v hai vectơ hướng Vậy hai vectơ u, v hướng u.v = u v ( ) b) Ta có: u.v = u v cos u, v ( ) Để u.v = − u v u v cos u, v = − u v ( ) ( )  cos u, v = −1  u, v = 180 Suy u, v hai vectơ ngược hướng Vậy hai vectơ u, v ngược hướng u.v = − u v Bài 4.23 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2), B(‒4; 3) Gọi M(t; 0) điểm thuộc trục hồnh a) Tính AM.BM theo t; b) Tính t để AMB = 90 Lời giải a) Với A(1; 2), B(‒4; 3) M(t; 0) ta có: AM = ( t − 1; −2 ) , BM = ( t + 4; −3)  AM.BM = ( t − 1)( t + ) + ( −2 ) ( −3) = t + 3t − + = t + 3t + b) Để AMB = 90 MA.MB =  AM.BM =  t = −1  t + 3t + =  ( t + 1)( t + ) =    t = −2 Vậy với t  −1; −2 AMB = 90 Bài 4.24 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) a) Giải tam giác ABC b) Tìm tọa độ trực tâm H tam giác ABC Lời giải a) Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) ta có: +) AB = ( 6;3)  AB = 62 + 32 = 45 = 5; +) AC = ( 6; −3)  AC = 62 + ( −3) = 45 = 5; +) BC = ( 0; −6 )  BC = 02 + ( −6 ) = 6; +) Theo định lí cơsin, ta có: (3 ) + (3 ) = AB + AC − BC cosA = 2.AB.AC 2 2 2.3 5.3 − 62 = 54 = 90  A  538' Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân A B=C= 180 − A 180 − 538'  = 6326' 2 Vậy AB = AC = 5, BC = 6, A  538', B = C  6326' b) Giả sử trực tâm H tam giác ABC có tọa độ H(x; y) Do H trực tâm tam giác ABC nên AH ⊥ BC;BH ⊥ AC  AH ⊥ BC; BH ⊥ AC Với A(‒4; 1), B(2; 4), C(2; ‒2) H(x; y) ta có: AH = ( x + 4; y − 1) ;BC = ( 0; −6 ) ;BH = ( x − 2; y − ) ;AC = ( 6; −3 ) Vì AH ⊥ BC nên AH.BC = ⇔ (x + 4).0 + (y – 1).(‒6) = ⇔ ‒6.(y – 1) = ⇔ y = Vì BH ⊥ AC nên BH.AC = ⇔ (x – 2).6 + (y – 4).(‒3) = ⇔ (x – 2).2 + (y – 4).(‒1) = ⇔ 2x – y = Mà y =  2x − =  x = 1  Vậy toạ độ trực tâm H tam giác ABC H  ;1 2  Bài 4.25 trang 70 SGK Toán 10 tập 1: Chứng minh với tam giác ABC: SABC = Lời giải Cách 1: ( ) 2 AB AC − AB.AC AB.AC.sin AB,AC Ta có: SABC SABC AB.AC sin AB, AC AB.AC cos AB,AC 2 AB.AC AB.AC AB AC AB.AC AB.AC AB.AC AB2 AC2 AB2 AC2 AB.AC AB2 AC2 1 AB.AC AB2 AC2 AB.AC AB2 AC2 AB.AC 2 AB AC AB.AC Vậy SABC = AB.AC 2 ( ) 2 AB AC − AB.AC Cách 2: ( Ta có: AB.AC = AB.AC.cos AB, AC ) ( ) ( ) ( )  AB.AC  AB.AC  AB.AC ( ) = AB2 AC2 cos AB, AC = AB2 AC2 1 − sin AB, AC    = AB2 AC2 − AB2 AC2 sin AB, AC ( ) ( ) Mà AB = AB2 , AC = AC 2 ( Do đó: AB AC − AB.AC 2 2 ( ) ( )  AB AC − AB.AC  AB AC − AB.AC 2 2 ( ( = AB2 AC2 − AB2 AC2 + AB2 AC2 sin AB, AC = AB2 AC2 sin AB, AC ( ( ) ( )  AB AC − AB.AC ) ( = AB2 AC2 sin AB, AC = AB.AC sin AB, AC ( ) ) Mà AB, AC = BAC 0  BAC  180 ( ) ( ) (  sin AB, AC   sin AB, AC = sin AB, AC Do  ( AB AC − AB.AC ( 2 AB AC − AB.AC ( ) ) = AB2 AC2 −  AB2 AC2 − AB2 AC2 sin AB, AC    2  AB AC − AB.AC ( ) ) ) ( ) ( ) = AB.AC.sin AB, AC = AB.AC.sin AB, AC Mà SABC = AB.AC.sin AB,AC ) ) ) ... âm? Lời giải Tích vơ hướng hai vectơ u, v  tính cơng thức sau: ( ) u.v = u v cos u, v ( ) Vì u  0, v  nên dấu tích vơ hướng u.v phụ thuộc vào dấu cos u, v ( ) +) Tích vơ hướng hai vectơ... = 180 hai vectơ u, v ngược hướng +) Với u, v = 0 hai vectơ u, v hướng Suy hai trường hợp hai vectơ u, v phương ( ) Vậy hai vectơ u, v phương u.v 2 = u v Luyện tập trang 67 SGK Toán 10 tập... Toán 10 tập 1: Tính tích vơ hướng góc hai vectơ u = ( 0; −5 ) , v = ( ) 3;1 Lời giải Với u = ( 0; −5 ) , v = ( ) 3;1 Suy ra: +) u = 02 + ( −5 ) = 5; +) v = ( 3) + 12 = = 2; +) Tích vơ hướng hai