SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG LỜI GIẢI BÀI TOÁN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CHO[.]
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG LỜI GIẢI BÀI TỐN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CHO HỌC SINH LỚP 11 Ở TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN Người thực hiện: Mai Như Quỳnh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HÓA NĂM 2022 skkn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa hai đường thẳng vng góc không gian 2.1.2 Quan hệ hai đường thẳng vuông góc Vectơ phương chúng 2.1.3 Định nghĩa góc hai Vectơ khơng gian 2.1.4 Định nghĩa tích vơ hướng hai Vectơ khơng gian 2.1.5 Một số quy tắc Vectơ cần dùng 2.1.6 Một số tính chất tích vơ hướng 2.1.7 Sơ đồ chứng minh phương pháp phân tích lên 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các toán mở đầu chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ 2.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ 2.3.3 Đối với toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng góc hai đường thẳng 2.3.4 Đối với tốn cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng 2.3.5 Các tập tương tự 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC: Mẫu phiếu khảo sát học tập skkn 2 2 2 3 4 8 12 16 16 18 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Chúng ta sống kỷ XXI, kỷ kinh tế tri thức với phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật văn minh công nghệ thông tin Để đáp ứng yêu cầu thời đại yêu cầu nghiệp đổi đất nước, Đảng ta khẳng định vai trò quan trọng nghiệp giáo dục, Tốn học môn quan trọng giáo dục nước nhà Mặc dù học sinh từ lúc học học tiếp thu kiến thức Toán qua năm học mơn Tốn khơng phải môn dễ dàng tất học sinh, đặc biệt mơn Hình học khơng gian chương trình Tốn Trung học phổ thơng Thực tế giảng dạy cho thấy toán Quan hệ vng góc khơng gian chương trình Tốn 11 việc học sinh tìm lời giải tốn khơng đơn giản, hầu hết mang tính tự phát, làm theo năng, khơng có hệ thống hay phương pháp cụ thể Học sinh tiếp thu nhanh đọc hướng dẫn giải ví dụ minh họa gặp tốn khác lại cảm thấy bế tắc, khơng có hướng giải phù hợp Trong trình giảng dạy “Hai đường thẳng vng góc” sách giáo khoa hình học 11, tơi thấy để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta thường dùng ba cách: dùng định nghĩa hai đường thẳng vng góc, quan hệ song song vng góc hai đường thẳng, chứng minh tích vơ hướng hai Vectơ phương chúng Hầu hết tập “Hai đường thẳng vng góc” sách giáo khoa hình học 11 phải giải cách dùng tích vơ hướng hai Vectơ lý đề khơng cho yếu tố: đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc Hơn học sinh chưa học kiến thức Khi giải tập “Hai đường thẳng vng góc” sách giáo khoa, nhiều học sinh gặp lúng túng, chí khơng có khoa học tư lơgic để định hướng cách giải nên giải Trước khó khăn học sinh nêu trên, tơi chọn đề tài “Định hướng lời giải tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 trường THCS THPT Nghi Sơn” nhằm hình thành cho học sinh cách tư khoa học, có sở để giải số tập “Hai đường thẳng vng góc” sách giáo khoa nói riêng tập khác tương tự nói chung skkn 1.2 Mục đích nghiên cứu Trình bày cách để chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ dạy học Hình học khơng gian 11 nhằm định hướng lời giải toán cho học sinh, rèn luyện kỹ giải tốn Vận dụng vào tiết học Hình học giúp nâng cao chất lượng dạy học môn Toán nhà trường 1.3 Đối tượng nghiên cứu Định hướng lời giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 trường THCS THPT Nghi Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp quan sát, điều tra, thống kê, phân tích, so sánh - Phương pháp thực nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa hai đường thẳng vng góc không gian1 Hai đường thẳng chúng , ký hiệu gọi vng góc với góc 2.1.2 Quan hệ hai đường thẳng vuông góc Vectơ phương chúng Nếu thì: hai Vectơ phương hai đường thẳng 2.1.3 Định nghĩa góc hai Vectơ không gian3 Trong không gian, cho hai Vectơ khác Vectơ – không Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm cho Trích từ tài liệu tham khảo số [1] Trích từ tài liệu tham khảo số [1] Trích từ tài liệu tham khảo số [1] skkn Khi ta gọi góc ( ) góc hai Vectơ khơng gian, kí hiệu 2.1.4 Định nghĩa tích vơ hướng hai Vectơ khơng gian4 a) Định nghĩa Trong không gian cho hai Vectơ khác Vectơ – khơng Tích vơ hướng hai Vectơ số, kí hiệu , xác định công thức: b) Nhận xét Hai Vectơ khác Vectơ – khơng vng góc với 2.1.5 Một số quy tắc Vectơ cần dùng a) Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ Với ba điểm tùy ý ta ln có: (quy tắc ba điểm); (quy tắc trừ) b) Quy tắc hình bình hành Nếu hình bình hành c) Quy tắc hình hộp Trích từ tài liệu tham khảo số [1] skkn Cho hình hộp có đường chéo có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A AB, AD, Khi ta có quy tắc hình hộp là: d) Trung điểm đoạn thẳng Nếu trung điểm đoạn thẳng AB ta có: 2.1.6 Một số tính chất tích vơ hướng Với Vectơ tùy ý ta ln có: 2.1.7 Sơ đồ chứng minh phương pháp phân tích lên5 Sơ đồ: Nội dung: Giả sử muốn chứng minh chứng minh minh ta phải chứng minh Có nghĩa là: Muốn có có phải có nên X ta phải chứng minh … muốn chứng minh phải có , muốn có ta phải chứng phải có điều khẳng định nên ta dừng lại Vì 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trích từ tài liệu tham khảo số [2] skkn , muốn … muốn Thực tế giảng dạy Toán học 11 trường THCS THPT Nghi Sơn năm học 2020-2021 cho thấy: - Trong việc học mơn Tốn mơn Hình học khơng gian nhiều học sinh lớp 11 chưa tốt Đặc điểm môn học môn học yêu cầu em học sinh có trí tưởng tượng phong phú Cách trình bày chặt chẽ, suy luận lơgic hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao kiểm tra Phần lớn học sinh trung học phổ thơng ngại học Hình học khơng gian dẫn đến em yếu kỹ giải toán hình học - Nhiều em chưa biết cách trình bày lời giải tốn quan hệ vng góc khơng gian, sử dụng kiến thức hình học học chưa thục, lộn xộn lời giải Cá biệt có số học sinh vẽ hình q xấu, khơng đáp ứng u cầu giải hình học - Trước thực trạng nêu trên, tiến hành khảo sát mức độ hứng thú học tập tìm hiểu khó khăn gặp phải học sinh q trình học mơn Hình học khơng gian 11, kết thu được: Tổng số học sinh tham gia khảo sát 76 học sinh 02 lớp 11A4 11A5 Kết câu hỏi số phiếu khảo sát: Số học sinh 76 Kết khảo sát hứng thú học tập mơn Hình học khơng gian Rất thích (%) Thích (%) 13,3 31 Bình thường (%) Khơng thích (%) 33,2 22.5 Nhận xét: Tỉ lệ học sinh không hứng thú với việc học tập mơn Hình học khơng gian cao chiếm 55,7%, có 22,5% khơng thích học mơn Hình học khơng gian điều làm ảnh hưởng lớn đến chất lượng dạy học mơn Tốn trường Có tình trạng nhiều nguyên nhân, đó: Do kiến thức tiền đề em lớp không tốt (mất gốc) chiếm 28,5% Do kiến thức Tốn q khó khơ khan hấp dẫn chiếm 40%, ngồi cịn có nguyên nhân ham chơi, chưa tâm học tập chiếm 18%, hồn cảnh gia đình, điều kiện xã hội tác động chiếm 9% nguyên nhân khác chiếm 4,5% Chất lượng học tập mơn Tốn lớp 11 thấp, cụ thể năm học 2020-2021 kết mơn Tốn lớp 11A4, 11A5 11A6 sau: skkn Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ 11A4 2,4% 11 26,8% 27 65,9% 4,9% 0% 11A5 2,5% 10 25,6% 25 64,1% 7,8% 0% 11A6 0% 10 23,3% 28 65,1% 9,3% 2,3% Kết chất lượng mơn Tốn năm học gần cho thấy tỉ lệ học sinh khá, giỏi mơn Tốn khiêm tốn, nhiều học sinh xếp loại học lực yếu 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Từ thực trạng nêu tơi đưa biện pháp nhằm mục đích nâng cao hiệu giảng dạy tạo hứng thú cho học sinh học mơn Hình học khơng gian cách định hướng lời giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 Trường THCS THPT Nghi Sơn 2.3.1 Các toán mở đầu chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính a) ; b) ; c) Giải: Trích từ tài liệu tham khảo số [3] skkn a) Ta có b) Ta có c) Ta có Từ lời giải ta có nhận xét sau đây: Nhận xét 1: Khi tính tích vơ hướng hai Vectơ mà đề cho yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: Hai Vectơ có điểm chung phương: Ta áp dụng trực tiếp định nghĩa tích vơ hướng hai Vectơ để tính (như câu a câu b toán chẳng hạn); - Trường hợp 2: Hai Vectơ khơng có điểm chung khơng phương: Ta chuyển hai Vectơ có điểm chung tương ứng chúng làm trường hợp 1, phân tích Vectơ thành Vectơ khác cho Vectơ có điểm chung với Vectơ cịn lại dùng tính chất tích vơ hướng sau đưa trường hợp để tính Bài tốn 2:7 Cho tứ diện ABCD có lượt trung điểm cạnh AB CD Tính Giải: Trích từ tài liệu tham khảo số [1] skkn Gọi P, Q lần Ta dễ dàng chứng minh Do (Vì ) Từ lời giải ta có nhận xét sau đây: Nhận xét 2: Khi tính tích vơ hướng hai Vectơ mà đề cho yếu tố vng góc hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: Nếu đề cho hai Vectơ vng góc với có kết tích vơ hướng chúng 0; - Trường hợp 2: Nếu hai Vectơ khơng có điểm chung khơng vng góc với ta phải biến đổi tích vơ hướng hai Vectơ cho thành tổng tích vơ hướng cho hạng tử tổng tích vơ hướng hai Vectơ vng góc với sau đưa trường hợp để tính Hai nhận xét sở khoa học để học sinh định hướng lời giải cho tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc cách dùng tích vơ hướng hai Vectơ 2.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ Muốn chứng minh hai đường thẳng a b vng góc với ta chứng minh tích vơ hướng hai Vectơ phương chúng 2.3.3 Đối với toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng góc hai đường thẳng Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Chứng minh rằng: + Định hướng lời giải: Trích từ tài liệu tham khảo số [4] skkn - Muốn chứng minh - Việc tính Vectơ ta phải chứng minh ; trực tiếp định nghĩa thực hai đường thẳng chéo ta khơng tính góc hai định nghĩa góc hai Vectơ; - Nhận thấy đề cho tứ diện cạnh a nên mặt tứ diện tam giác Từ suy góc đỉnh tứ diện Do tốn biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc hai đường thẳng; - Theo tốn 1c ta có phải chứng minh Từ áp dụng tương tự suy điều - Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ sau: + Lời giải: Ta có: Do skkn Suy + Với đề ví dụ 1, giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có Chứng minh rằng: + Định hướng lời giải: - Muốn chứng minh - Việc tính ta phải chứng minh ; định nghĩa thực SB AC hai đường thẳng chéo ta khơng tính góc hai Vectơ định nghĩa góc hai Vectơ; - Nhận thấy đề cho Do toán biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc hai đường thẳng; - Từ giả thiết ta suy - Do dựa vào nhận xét 1, để chứng minh ( có chung điểm đầu S với ta phải biến đổi ), sau biến đổi làm xuất tích vơ hướng cặp Vectơ có chung điểm đầu S dùng định nghĩa tích vơ hướng hai Vectơ để tính + Sơ đồ phân tích định hướng cách giải sau: Trích từ tài liệu tham khảo số [1] skkn + Lời giải: Ta có Suy điều phải chứng minh + Với đề ví dụ 2, giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh Ví dụ 3:10 Cho hình chóp có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm SA SD Biết minh , Chứng Định hướng lời giải: - Muốn chứng minh - Việc tính ta phải chứng minh ; định nghĩa khơng thể thực MN SB hai đường thẳng chéo nhau, ta khơng tính góc hai Vectơ 10 định nghĩa góc hai Vectơ; Trích từ tài liệu tham khảo số [5] skkn - Nhận thấy đề cho , Do tốn biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc hai đường thẳng; - Theo ta có nên ta biến đổi theo Vectơ làm xuất tích vơ hướng tích vơ hướng hai Vectơ để tính Sau biến đổi và dùng định nghĩa + Sơ đồ phân tích định hướng cách giải sau + Lời giải: Ta có (Vì , ) Suy điều phải chứng minh Như dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ nhận xét ta định skkn hướng cách giải ba ví dụ cách có khoa học, tư lơgic Đặc biệt ví dụ 2, ví dụ ta thấy việc chứng minh hai đường thẳng vng góc cách dùng tích vơ hướng hai Vectơ hợp lý nói ngắn gọn đề khơng cho quan hệ vng góc nên việc chứng minh phương pháp khác gặp nhiều khó khăn 2.3.4 Đối với tốn cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng Ví dụ 4: 11 Cho tứ diện ABCD có Gọi P, Q trung điểm cạnh AB CD Chứng minh + Định hướng lời giải: - Muốn chứng minh - Việc tính ta phải chứng minh ; định nghĩa khơng thể thực ta khơng tính góc hai Vectơ định nghĩa góc hai Vectơ; - Nhận thấy đề cho Do tốn cho biết yếu tố cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng; - Theo tốn ta ta có chứng minh - 11 Từ suy điều phải Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ sau Trích từ tài liệu tham khảo số [1] skkn Ví dụ 5: 12 Cho hình lập phương Chứng minh + Định hướng lời giải: - Muốn chứng minh phải chứng minh - Việc tính ta ; định nghĩa khơng thể thực học sinh khơng tính góc hai Vectơ hai Vectơ; định nghĩa góc - Nhận thấy đề cho hình lập phương tốn cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng; - Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh Do ta phải biến đổi thành tổng tích vơ hướng hai Vectơ mà hai Vectơ phải vng góc với Muốn phải biểu thị thành tổng, hiệu Vectơ mà giá chúng chứa cạnh hình lập phương + Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ sau: 12 Trích từ tài liệu tham khảo số [6] skkn + Dưới lời giải theo hướng phân tích trên: Ta có (theo quy tắc trừ); (theo quy tắc hình hộp) Do Vì hình lập phương nên Suy Vậy (vì ) Từ ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 6: 13 Cho hình lập phương trung điểm cạnh GF CD Chứng minh cạnh a Gọi M, N + Định hướng lời giải: - Muốn chứng minh - Việc tính ta phải chứng minh ; định nghĩa thực học sinh khơng tính góc hai Vectơ hai Vectơ; định nghĩa góc - Nhận thấy đề cho hình lập phương tốn cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng; 13 Trích từ tài liệu tham khảo số [5] skkn Do - Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh ta phải biến đổi thành tổng tích vơ hướng hai Vectơ mà hai Vectơ phải vng góc với Muốn phải biểu thị hai Vectơ thành tổng Vectơ mà giá chúng đường thẳng chứa cạnh hình lập phương + Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ sau: + Dưới lời giải theo hướng phân tích trên: Ta có ; Do Vì hình lập phương nên Suy Vậy Từ ta suy điều phải chứng minh Như vậy: Dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ nhận xét 2, ta có sở khoa học để định hướng cách giải ví dụ 4, ví dụ ví dụ cách lơgic mà skkn khơng cần phải vẽ thêm hình dùng quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng… 2.3.5 Các tập tương tự Bài 1: 14 Cho tứ diện ABCD có Chứng minh rằng: a) ; b) Nếu M, N trung điểm AB CD Bài 2: 15 Cho hình hộp có tất cạnh (hình hộp gọi hình hộp thoi) Chứng minh Bài 3: Bài 4: 16 17 Cho tứ diện ABCD có Cho hình hộp thoi và Chứng minh có tất cạnh a Chứng minh tứ giác hình vng Bài 5: 18 Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm Chứng minh tứ giác có chung hình chữ nhật 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực sáng kiến kinh nghiệm, nhận thấy em có nhiều tiến qua tiết học, lớp dạy thử nghiệm 11A5 Đối tượng học sinh 11A4 có trình độ ngang (đối chứng) với 11A5 (thực nghiệm) Ở lớp thực nghiệm 11A5, đa số em giải tốn đạt độ xác cao, khả nhớ dạng toán kiểm tra thường xuyên đạt điểm cao Với biện pháp áp dụng, sau thực nghiệm đối chứng đề tài lớp, thu kết sau: Lớp 11A4 - lớp đối chứng 14 Trích từ tài liệu tham khảo số [1] Trích từ tài liệu tham khảo số [6] 16 Trích từ tài liệu tham khảo số [7] 17 Trích từ tài liệu tham khảo số [6] 18 Trích từ tài liệu tham khảo số [1] 15 skkn Lớp 11A5 - lớp thực nghiệm Số HS Tỉ lệ % Số HS Tỉ lệ % Giỏi 3 Khá 21 10 26 Trung bình 25 66 24 62 Yếu 10 Kém 0 0 Cộng 38 100 38 100 Biểu đồ minh họa cụ thể: Lớp 11A4 3% 10% 21% Giỏi Khá Trung bình Yếu 66% Lớp 11A5 3% 9% 26% Giỏi Khá Trung bình Yếu 62% Biểu đồ thể chất lượng học tập học sinh 02 lớp 11A4 11A5 Trường THCS THPT Nghi Sơn skkn ... hứng thú cho học sinh học mơn Hình học không gian cách định hướng lời giải tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 Trường THCS THPT Nghi Sơn... sinh định hướng lời giải cho toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách dùng tích vơ hướng hai Vectơ 2.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vô hướng hai Vectơ. .. học sinh nêu trên, chọn đề tài ? ?Định hướng lời giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 trường THCS THPT Nghi Sơn” nhằm hình thành cho