Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1 Góc giữa hai vectơ Cho hai vectơ a và b đều khác 0 Từ một điểm[.]
BÀI TẬP TỐN 10 Điện thoại: 0946798489 BÀI 11 TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Góc hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Từ điểm O ta vẽ OA a , OB b AOB với số đo từ 0 đến 180 gọi góc hai vectơ a b Góc Ta kí hiệu góc hai vectơ a b (a , b ) Nếu (a , b ) 90 ta nói a b vng góc với nhau, ki hiệu a b Chú ý: - Từ định nghĩa ta có (a , b ) (b , a ) - Góc hai vectơ hướng khác ln 0 - Góc hai vectơ ngược hướng khác 180 - Trong trường hợp có hai vectơ a b vectơ ta quy ước số đo góc hai vectơ tuỳ ý (từ 0 đến 180 ) Tích vô hướng hai vectơ Cho hai vectơ a b khác Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a b , xác định công thức: a b | a | | b | cos( a , b ) Chú ý: a) Trường hợp hai vectơ a b , ta quy ước a b b) Với hai vectơ a b , ta có a b a b c) Khi a b tích vơ hướng a b kí hiệu a2 gọi bình phương vô hướng vectơ a Ta có a | a | | a | cos 0 | a |2 Vậy bình phương vơ hướng vectơ ln bình phương độ dài vectơ Tính chất tích vơ hướng Với ba vectơ a , b , c số k , ta có: - a b b a (tính chất giao hốn); - a (b c ) a b a c (tính chất phân phối); - (ka ) b k (a b ) a (kb ) ; Một số ứng dụng Tính độ dài đoạn thẳng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Nhận xét Với hai điểm A, B phân biệt, ta có: AB | AB |2 Câu Câu Câu Câu Do độ dài đoạn thẳng AB tính sau: AB AB Chứng minh hai đường thẳng vng góc Nhận xét: Cho hai vectơ a b khác vectơ Ta có: a b a b Hai đường thẳng AB CD vng góc với AB CD Cũng vậy, hai đường đường thẳng a b vuông góc u v , u 0, v , giá vectơ u song song trùng với đường thẳng a giá vectơ v song song trùng với đường thẳng b B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Tính tích vơ hướng hai vectơ, góc hai vectơ Phương pháp: Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a b , xác định công thức: a b | a | | b | cos(a , b ) a b Với hai vectơ khác vectơ , sử dụng công thức cos(a , b ) | a || b | Cho tam giác ABC vuông A Bˆ 30 Tinh( AB, AC ), (CA, CB ), ( AB, BC ) Lời giải 90 ,(CA, CB) 150 ACB 60 , ( AB, BC ) ( BD, BC ) DBC Ta có: ( AB, AC ) BAC Tính (a , b ) biết | a | 3,| b | 4, a.b 6 Lời giải a b 6 Ta có: cos( a , b ) Do đó, (a , b ) 150 3.4 | a || b | Cho hai vectơ a b thoả mãn | a | | b | | a b | 10 a) Tính tích vơ hướng a (a b ) b) Tính số đo góc hai vectơ a a b Lời giải OA a , dựng vectơ AB b Khi OB a b tam HD Từ điềm O , dựng vectơ giác OAB vuông A a) Đáp số a (a b ) 36 b) Đáp số (a; a b ) 537 48 Cho hình vng ABCD có tâm I giao điểm hai đường chéo Tìm góc: a) ( IB, AB) b) ( IB, AI ) c) ( IB, DB ) d) ( IA, IC ) Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Câu Câu BÀI TẬP TOÁN 10 45 a) Ta có: DI IB, DC AB , suy ( IB, AB) ( DI , DC ) IDC 90 b) Ta có: IC AI , suy ( IB, AI ) ( IB, IC ) BIC c) Do hai vectơ IB, DB hướng nên ta có ( IB, DB) 0 d) Do hai vectơ IA, IC ngược hướng nên ta có ( IA, IC ) 180 Cho hai vectơ có độ dài có tích vơ hướng 6 Tính góc hai vectơ Lời giải Ta cho: | a | 3;| b | a b 6 Ta có cơng thức: a b | a | | b | cos(a, b ) cos(a, b )a b 6 cos(a, b ) 6 cos(a, b ) (a, b ) 120 Cho hình vng ABCD có tâm I Tìm góc: a) ( DC , AB);(CD, AB) b) ( AB, BC ) Câu Câu Lời giải a) Do hai vectơ DC , AB hướng nên ta có ( DC , AB ) 0 Do hai vecto CD, AB ngược hướng nên ta có (CD, AB) 180 b) Do hai vectơ AB, BC vng góc nên ta có ( AB, BC ) 90 Cho hai vectơ i , j vng góc có độ dài cho biết a 4i j , b i j Tính tích vơ hướng a b tính số đo góc (a , b ) Lời giải 2 Ta có a b (4i j ) (i j ) 4i 16i j j i j Vậy a b Suy (a , b ) 90 Cho hai vectơ có độ dài và có tích vơ hướng 24 Tính góc hai vectơ Lời giải 24 60 Gọi góc hai vectơ Ta có cos 6.8 BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Tìm điều kiện u , v để: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) u v | u | | v | b) u v | u | | v | a) Ta có: u v | u | | v | cos(u , v ) | u | | v | Lời giải cos(u , v ) (u , v ) 0o Nói cách khác: u , v hướng b) Ta có: u v | u | | v | cos(u , v ) | u | | v | cos(u , v ) 1 (u , v ) 180 Nói cách khác: u , v ngược hướng Câu 10 Cho tam giác ABC có cạnh có đường cao AH Tính tích vơ hướng: a) AB AC b) AB BC c) AH BC Lời giải a) AB AC | AB | | AC | cos( AB, AC ) cos 60 16 1 b) AB BC | AB | | BC | cos( AB, BC ) cos120 16 8 ; 2 c) AH BC | AH | | BC | cos( AH , BC ) | AH | | BC | cos 90 Câu 11 Tính a b trường hợp sau: a) | a | 6,| b | 7, (a , b ) 45 ; b) | a | 8,| b | 9, (a , b ) 150 Lời giải 21 a) a b | a | | b | cos( a , b ) cos 45 42 36 b) a b | a | | b | cos(a , b ) cos150 72 Câu 12 Cho tam giác ABC vuông cân A AB cm a) Tính độ dài cạnh huyền BC b) Tính AB AC ; BA.BC Lời giải a) BC AB 2( cm) 16 cos 90 16 b) AB AC | AB | | AC | cos( AB, AC ) cos BAC BA BC | BA | | BC | cos( BA, BC ) cos ABC 16 cos 45 16 16 Câu 13 Cho hình vng ABCD tâm O có độ dài cạnh a Tính: a) AB OC b) AB, BD c) AB OD Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 45 a) Ta có: ( AB, OC ) ( AB, AO) BAO a a2 a2 cos 45 Vậy AB.OC AB OC cos AB, OC a 2 2 b) Vẽ vectơ BE AB Ta có: AB, BD BE , BD EBD 135 Vậy AB BD | AB | | BD | cos( AB, BD) BÀI TẬP TOÁN 10 a a cos135 a 2 a 135 c) Vì AB BE , OD BO nên ( AB, OD) ( BE , BO) EBO a a a cos135 Vậy AB OD | AB | | OD | cos( AB, OD) a 2 2 Câu 14 Cho tam giác ABC vuông A, AB , AC Các điểm M , N thuộc cạnh AB , AC thoả mãn AM AN (Hình 49) Tính BN CM Lời giải Vì Aˆ 90 nên AB AC 0, AM AN Ta có: BN CM ( AN AB) ( AM AC ) AN AM AB AM AN AC AB AC AB AM AN AC AB AM AN AC Vì hai vectơ AB, AM hướng nên AB AM AB AM 3.1 Vì hai vectơ AC , AN hướng nên AC AN AC AN 4.1 Suy BN CM 4 7 Câu 15 Cho tam giác ABC có AB 4, AC 6.M trung điểm BC Tính AM BC Lời giải Ta có: AM BC ( AC AB ) ( AC AB ) AC AB 2 1 | AC |2 | AB |2 10 2 Câu 16 Cho hình bình hành ABCD có AB , AD 4, Aˆ 60 M trung điểm CD (Hình 50) Tính AM BD Lời giải Ta có: AM AD DM AD DC AD AB, BD AD AB 2 Suy Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ AM BD AD AB ( AD AB) AD AD AB AD AB AB 2 AB AD AD AB cos BAD 2 1 17 cos 60 32 2 2 Câu 17 Cho tam giác ABC vng A Tính: AB AB AB, BC Lời giải AB AB AB BC AB ( AB BC ) AB AC | AB | | AC | cos 90 AB AC Câu 18 Cho hình vng ABCD có cạnh a Tinh tích vơ hướng sau: AB AD, AB AC , AB BD Lời giải Vì ( AB, AD) 90 nên AB AD Hình vng có cạnh a nên có đường chéo a Mặt khác, ( AB, AC ) 45 , ( AB, BD) 135 , AB AC AB AC cos 45 a a a2 2 AB BD AB BD cos135 a a a Câu 19 Cho tam giác ABC tâm O , có độ dài cạnh a) Xác định góc cặp vectơ AB AC , AB BC , OA BC , OB CB b) Tính tích vơ hướng cặp vectơ sau: AB AC , AB BC , OA OB, OA BC , OB CB Lời giải 60 a) Do tam giác ABC đều, nên CAB ABC BCA 60 Suy ( AB; AC ) CAB Gọi D điểm đối xứng với B qua CA Khi tứ giác ABCD hình thoi, AD BC 180 ABC 120 BAD Suy ( AB; BC ) ( AB; AD) BAD 120 Gọi M trung điểm BC N trung điểm OA, P điểm đối xứng với M qua C Khi đó, O tâm tam giác ABC , nên A, N , O, M thẳng hàng, AM BC , MN OA MP BC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Suy (OA; BC ) ( MN ; MP) 90 60 Lấy điểm Q đối xứng với O qua M Khi tứ giác BOCQ hình thoi, có OCQ 30 Suy (OB; CB) (CQ; CB) BCQ 1 b) Do AM BC nên AM AB BM 12 2 2 3 Do O tâm tam giác ABC , nên | OA || OB | OA AM 3 Suy AB AC | AB | | AC | cos( AB; AC ) 1 cos 60 AB BC | AB | | BC | cos( AB; BC ) 1 cos120 3 OA OB | OA | | OB | cos(OA; OB) cos120 3 OA BC | OA | | BC | cos(OA; BC ) 1 cos 90 ; OB CB | OB | | CB | cos(OB; CB ) 1 cos 30 Nhận xét Ta xác định góc hai vectơ OB, CB sau: Lấy O' đối xứng với O qua B C đối xứng với C qua B Câu 20 Cho tam giác ABC cân A , có Aˆ 120 , AB a) Tính AB AC , AB CB, AC CB b) Tính độ dài cạnh BC c) Lấy điểm M cạnh BC cho MB MC Tính MA MB Lời giải a) Do tam giác ABC cân A, Aˆ 120 , AB , nên AB AC | AB | | AC | cos( AB; AC ) cos120 Theo quy tắc ba điềm ta có CB AB AC đó: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 27 AB CB AB ( AB AC ) AB AB AC 32 2 27 AC CB AC ( AB AC ) AC AB AC 2 b) Theo quy tắc ba điểm, ta có BC AC AB Từ 9 BC BC ( AC AB)2 AC AB AC AB 32 32 27 2 Suy BC 3 c) Gọi I trung điềm BC Do M thuộc cạnh BC MB MC , I trung điểm BC , ta có MB CB, IB CB Suy MI MB BI MB IB CB CB 3 2 Từ đó, theo định lí chiếu, ta MA MB MI MB CB ABCD có cạnh a Tính tích vơ hướng: Câu 21 Cho hình vng AB AD, AB AC , AC CB, AC BD Lời giải Ta có: AC BD AB BC a a a +) AB AD AB AD AB AD a2 AB AC | AB | | AC | cos( AB, AC ) a a cos 45 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 AC CB | AC | | CB | cos( AC , CB ) a a cos135 a +) AC BD AC BD AC BD Câu 22 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O cho AD a, AB 2a Tính: a) AB AO b) AB AD Lời giải a) AC BD AB AD (2 a)2 a2 a cos( AB, AO ) BÀI TẬP TOÁN 10 cos CAB AB a cos OAB AC a 5 AB AO | AB | | AO | cos( AB, AO) 1 AB AC cos( AB, AO ) 2a a a2 2 b) AB AD AB AD AB AD Câu 23 Cho ba điểm O, A, B thẳng hàng OA a, OB b Tính tích vơ hướng OA OB hai trường hợp: a) Điểm O nằm đoạn thẳng AB ; b) Điểm O nằm đoạn thẳng AB Lời giải a) Ta có: Ta thấy hai vectơ OA OB hướng nên (OA, OB) 0 OA OB | OA | | OB | cos(OA, OB) a b cos 0 ab b) Ta có: Ta thấy hai vectơ OA OB ngược hướng nên (OA, OB) 180 OA OB | OA | | OB | cos(OA, OB ) a b cos180 ab Câu 24 Cho tam giác ABC có cạnh 2a có đường cao AH Tính tích vơ hướng: AB AC ; AB BC ; AH BC ; HB HC Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ AB AC | AB | | AC | cos( AB, AC ) 2a 2a cos 60 4a 2a 2 1 AB BC | AB | | BC | cos( AB, BC ) 2a 2a cos120 4a 2a 2 AH BC | AH | | BC | cos( AH , BC ) | AH | | BC | cos 90 HB HC | HB | | HC | cos( HB, HC ) a a cos180 a (1) a Câu 25 Cho tam giác ABC vuông cân A , có cạnh BC AC BC ; AB BC Lời giải Tính tích vơ hướng: AB AC ; Tam giác ABC vng cân A có BC suy AB AC AB AC | AB | | AC | cos( AB, AC ) 1 cos 90 AC BC | AC | | BC | cos( AC , BC ) cos 45 1 2 AB BC | AB | | BC | cos( AB, BC ) cos135 1 Câu 26 Cho tam giác vuông cân ABC có AB AC a Tính tích vơ hướng: AB AC , AC CB Lời giải AB AC AB AC ; AC CB (CA) CB (CA CB) Ta có: CB AB AC a a a Vậy AC CB (CA CB) | CA | | CB | cos ACB Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... c) Do hai vectơ IB, DB hướng nên ta có ( IB, DB) 0 d) Do hai vectơ IA, IC ngược hướng nên ta có ( IA, IC ) 180 Cho hai vectơ có độ dài có tích vơ hướng 6 Tính góc hai. .. v song song trùng với đường thẳng b B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng Tính tích vơ hướng hai vectơ, góc hai vectơ Phương pháp: Tích vơ hướng a b số, kí hiệu a b , xác định công thức:... (a , b ) 90 Cho hai vectơ có độ dài và có tích vơ hướng 24 Tính góc hai vectơ Lời giải 24 60 Gọi góc hai vectơ Ta có cos 6.8 BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Tìm