Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Tổng của hai vectơ 1 Định nghĩa Cho hai vectơ , a b Lấy một điểm A[.]
BÀI TẬP TOÁN 10 Điện thoại: 0946798489 BÀI TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I Tổng hai vectơ Định nghĩa Cho hai vectơ a , b Lấy điểm A tuỳ ý, vẽ AB a , BC b Vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b , kí hiệu AC a b Nhận xét: Công thức cho ta cách rút gọn tổng nhiều vectơ liên tiếp mà điểm cuối vectơ tổng điểm đầu vectơ liền sau (trừ vectơ cuối cùng) Đồng thời, ta phân tích vecctơ thành tổng hai nhiều vectơ khác Ta gọi công thức quy tắc cộng Quy tắc hình bình hành Nếu ABCD hình bình hành AB AD AC Nhận xét: Công thức cho ta cách rút gọn tơng hai vectơ có điểm đầu Tính chất Với ba vectơ tuỳ ý a , b , c ta có: - a b b a (tính chất giao hốn); - (a b ) c a (b c ) (tính chất kết hợp); - a a a (tính chất vectơ-khơng) Chú ý: Tổng ba vectơ a b c xác định theo hai cách: (a b ) c hoaëc a ( b c ) II Hiệu hai vectơ Hai vectơ đối Vectơ có độ dài ngược hướng với vectơ a gọi vectơ đối a , kí hiệu a Với hai điểm A, B ta có BA AB AB Nếu I trung điểm đoạn thẳng IB IA Nếu ABCD hình bình hành CD AB Định nghĩa Phép trừ vectơ a cho vectơ b tổng vectơ a vecto đối vectơ b , kí hiệu a b Như a b a (b ) Với ba điểm O, A, B ta có AB OB OA Nhận xét: Công thức cho ta cách biểu thị vectơ thành hiệu hai vectơ có điểm đầu Ta gọi công thức quy tắc trừ III Trung điểm đoạn thẳng, trọng tâm tam giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC B CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Dạng Tìm tổng, hiệu hai hay nhiều vectơ BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu Cho điểm E, F , G, H , K Thực phép cộng vectơ: EF FH ; FK KG; EH HE Lời giải Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có: EF FH EH ; FK KG FG; EH HE EE Tìm tổng hai vectơ a b Hình Ta có: a AB, b AD , suy a b AB AD Theo quy tắc hình bình hành, ta có AB AD AC Vậy a b AC Câu Cho tứ giác ABCD Thực phép cộng vectơ sau: a) ( AB CA) BC , b) AB CD BC DA Lời giải Áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng vectơ, ta có: a) ( AB CA) BC (CA AB ) BC CB BC CC b) AB CD BC DA AB BC CD DA AA Câu Cho điểm M , N , P, Q Thực phép trừ vectơ sau: MN PN ; PM PQ Lời giải Ta có: MN PN MN NP MPPM PQ PM QP QP PM QM Câu Cho ba điểm A, B, O Vectơ OB OA vectơ nào? Lời giải Ta có: OB OA OB (OA) OB AO AO OB AB Câu Cho bốn điểm A, B, C , D Chứng minh AB AD CD CB Lời giải Tacó: AB AD CD CB ( AB AD ) (CD CB ) DB BD DD Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 Câu Cho hình vng ABCD với cạnh có độ dài Tinh độ dài vectơ AB CB, AB DC BD Lời giải Do AB DC nên AB CB DC CB DB Vậy | AB CB || DB | DB Ta có AB DC BD ( AB BD ) DC AD DC AC Do | AB DC BD | AC Câu Cho hình bình hành ABCD Hãy tìm điểm M để BM AB AD Tìm mối quan hệ hai vectơ CD CM Lời giải Ta có: AD BC (do ABCD hình bình hành) AB AD AB BC AC BM AB AD AC Tứ giác ABMC hình bình hành AB CM Mà AB DC DC CM C trung điểm DM Nói cách khác: CD CM hay hai vectơ CD CM đối Câu Cho tứ giác ABCD , thực phép cộng trừ vectơ sau: a) AB BC CD DA b) AB AD c) CB CD Lời giải a) AB BC CD DA ( AB BC ) (CD DA) AC CA AA b) AB AD AB DA DA AB DB c) CB CD CB DC DC CB DB Câu Cho tứ giác ABCD , tìm vectơ sau: a) m ( AB CD ) BC b) n AB CD BC DC c) m n Lời giải Áp dụng tính chất giao hốn kết hợp phép cộng vectơ, ta có: a) m ( AB CD ) BC ( AB BC ) CD AC CD AD b) n AB CD BC DC ( AB BC ) (CD DC ) AC AC c) m n AD AC AD CA CD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 10 Cho tam giác MNQ , thực phép trừ vectơ sau: a) QM QN b) MN QN Lời giải a) QM QN NM b) MN QN MN NQ MQ Câu 11 Cho hình bình hành ABCD , gọi O giao điểm AC BD Các khẳng định sau hay sai? a) | AB AD || AC | ; b) AB BD CB c) OA OB OC OD Lời giải a) Theo quy tắt hình bình hành nên a) b) AB BD AD BC CB nên b) sai c) OA OB OC OD CA DB nên c) sai Câu 12 Cho đường tròn tâm O Giả sử A, B hai điểm nằm đường trịn Tìm điều kiện cần đủ để hai vectơ OA OB đối Lời giải Hai vectơ đối chúng phương, ngược hướng có độ lớn Do đó, để hai vectơ OA OB đối AB đường kính đường tròn tâm O Câu 13 Cho tứ giác ABCD hình bình hành Gọi O giao điểm hai đường chéo, E trung điểm AD, G giao điểm BE AC Tính: a) OA OB OC OD b) GA GB GD Lời giải a) Vì ABCD hình bình hành nên O trung điểm hai đoạn thẳng AC BD Ta có: OA OC 0, OB OD Suy OA OC OB OD hay OA OB OC OD b) Vì tam giác ABD (Hình 68) có hai đường trung tuyến AO BE cắt G nên G trọng tâm tam giác Do GA GB GD Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 BÀI TẬP BỔ SUNG Câu 14 Cho hai véc-tơ a b cho a b b) Dựng OA a , AB b Chứng minh B O a) Dựng OA a , OB b Chứng minh O trung điểm AB Lời giải a) OA OB OB OA O trung điểm AB b) OA AB a b OB B O Câu 15 Cho hình bình hành ABCD Hai điểm M N trung điểm BC AD Xác định tổng hai véc-tơ NC MC , AM CD , AD NC , AM AN Lời giải Vì MC AN nên NC MC NC AN AN NC AC M B A N C E D Vì CD BA nên AM CD AM BA BA AM BM Vì NC AM nên AD NC AD AM AE , với E đỉnh hình bình hành DAME Vì tứ giác AMCN hình bình hành nên AM AN AC Câu 16 Cho tam giác ABC Các điểm M , N P trung điểm AB , AC BC Xác định hiệu AM AN ; MN NC ; MN PN ; BP CP Lời giải Ta có AM AN NM Vì NC MP nên MN NC MN MP PN Vì PN NP nên MN PN MN NP MP Vì CP PC nên BP CP BP PC BC A M N Dạng Chứng minh đẳng thức vectơ C B P Phương pháp: - Biến đổi từ biểu thức vế sang vế - Chứng minh hai biểu thức vectơ vectơ trung gian - Chứng minh hai biểu thức vectơ biểu thức vectơ trung gian cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu điểm O BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA, SÁCH BÀI TẬP Câu 17 Cho tam giác ABC có trung tuyến AM Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Chứng minh AB MC AM Lời giải Vì MC BM AB MC AB BM AM Câu 18 Cho hình bình hành ABCD điểm O Chứng minh OB OA OC OD Lời giải Áp dụng quy tắc hiệu, ta có OB OA AB, OC OD DC Mặt khác AB DC nên OB OA OC OD Câu 19 a) Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng AB IA IB b) Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC Lời giải a) Khi I trung điểm AB , thi hai vecto IA IB có độ dài ngược hướng Do đó, IA IB đối nhau, suy IA IB b) Trọng tâm G tam giác ABC thuộc trung tuyến AI GA 2GI Lấy điểm D đối xứng với G qua I Khi tứ giác GBDC có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành Ta có GA 2GI GD Hai vectơ GA GD có độ dài ngược hướng nên chúng hai vectơ đối nhau, GA GD Trong hình bình hành GBDC , ta có GB GC GD Vậy GA GB GC GA GD Câu 20 Cho ABCD hình bình hành Chứng minh MB MA MC MD với điểm M mặt phẳng Lời giải MB MA AB Ta có MC MD DC Mà AB DC nên điều phải chứng minh Câu 21 Cho bốn điểm A, B, C , D Chứng minh BC AB DC AD Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BC AB AB BC AC , DC AD AD DC AC Từ đẳng thức trên, ta có: BC AB DC AD BÀI TẬP TOÁN 10 Câu 22 Cho tứ giác ABCD, O trung điểm AB Chứng minh: OC OD AC BD Lời giải OC OD OA AC OB BD AC BD Câu 23 Cho bốn điểm A, B , C , D Chứng minh AB CD BC AD giải Lời Ta có: AB CD BC AB BC CD ( AB BC ) CD AC CD AD Câu 24 Cho bốn điểm A, B , C , D Chứng minh rằng: a) AB BC CD DA b) AC AD BC BD Lời giải a) AB BC CD DA ( AB BC ) (CD DA) AC CA AA b) AC AD DC, BC BD DC AC AD BC BD Câu 25 Cho hình chữ nhật ABCD Chứng minh | AB AD || BA BC | giải Lời Theo quy tắc hình bình hành, ta có: AB AD AC , BA BC BD Suy | AB AD || AC | AC ,| BA BC || BD | BD Do AC BD nên | AB AD || BA BC | Câu 26 Cho hai vecto a b không phương Chứng minh | a | | b || a b || a | | b | Lời giải Từ điềm O bất kì, ta vẽ OA a vẽ AB b Khi OB a b Vì a , b khơng phương nên O, A, B không thẳng hàng Khi đó, tam giác OAB , ta có OA AB OB OA AB | a | | b || a b || a | | b | Câu 27 Cho hình bình hành ABCD tâm O M điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC , khác B C MO cắt cạnh AD N a) Chứng minh rầng O trung điểm MN b) Gọi G trọng tåm tam giác BCD Chứng minh G câng trọng tâm tam giác MNC Lời giải a) HD Chứng minh hai tam giác BOM DON Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ b) Do O trung điềm BD MN nên BMDN hình bình hành Suy BM DN (1) Do G trọng tâm tam giác BCD nên GB GC GD (2) Theo quy tắc ba điểm, ta có GM GB BM GN GD DN Từ (1), (2) suy GC GM GN GC (GB BM ) (GD DN ) (GB GC GD) ( BM DN ) Suy G trọng tâm tam giác MNC Câu 28 Cho tứ giác ABCD a) Chứng minh AB BC CD DA b) Chứng minh AB CD AD CB Lời giải a) Theo tính chất kết hợp phép cộng vectơ, ta có AB BC CD DA ( AB BC ) CD DA AC CD DA ( AC CD ) DA AD DA 0 AA b) Do AB BC CD DA nên ( AB BC CD DA) AD AD Do tính kết hợp phép cộng, ta AB BC CD AD Tử ( AB BC CD ) CB AD CB Do tính kết hợp, giao hốn phép cộng vectơ, tính chất vectơ , nên AD CB AB BC CD CB AB CD ( BC CB) AB CD Câu 29 Cho tứ giác ABCD có I , J trung điểm AB, CD O trung điểm IJ Chứng minh OA OB OC OD Lời giải Do I , J , O trung điểm AB, CD IJ nên: IA IB 0; JC JD 0; OI OJ Ta có: OA OB OC OD (OI IA) (OI IB ) (OJ JC ) (OJ JD ) (OI OJ ) ( IA IB) (OI OJ ) ( JC JD ) Câu 30 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo điểm M tùy ý Chứng minh rằng: a) BA DC b) MA MC MB MD Lời giải a) ABCD hình bình hành nên DC AB BA DC BA AB BB b) MA MC ( MB BA) ( MD DC ) ( MB MD) ( BA DC ) MB MD ( BA DC 0) Câu 31 Cho hình bình hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh rằng: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 BÀI TẬP TOÁN 10 a) OA OB OD OC b) OA OB DC Lời giải a) OA OB BA ; OD OC CD Do ABCD hình bình hành nên BA CD Suy ra, OA OB OD OC b) OA OB DC (OD OC ) DC CD DC CC Câu 32 Cho hình thoi ABCD M trung điểm cạnh AB, N trung điểm cạnh CD Chứng minh rằng: MA MC MB MD MN giải Lời Gọi O tâm hình thoi Ta có: MA MC 2MO MB MD MN Câu 33 Chứng minh với tứ giác ABCD bất kì, ta ln có: a) AB BC CD DA b) AB AD CB CD Lời giải a) Theo quy tắc ba điểm phép cộng vectơ, ta có AB BC AC ; CD DA CA Suy AB BC CD DA ( AB BC ) (CD DA) AC CA AA Vậy AB BC CD DA b) Ta có: AB AD DB CB CD DB Suy AB AD CB CD Câu 34 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Chứng minh rằng: a) CO OB BA ; b) AB BC DB ; c) DA DB OD OC ; d) DA DB DC Lời giải a) Vì ABCD hình bình hành nên O trung điểm AC, BD Do CO OA CO OB OA OB BA b) Vì ABCD hình bình hành nên: BC AD AB BC AB AD DB c) Ta có DA DB BA OD OC CD Mà BA CD (do ABCD hình bình hành) DA DB OD OC d) Ta có ABCD hình bình hành nên DC AB Do DA DB DC BA DC BA AB Câu 35 Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh: a) AB CD AD CB b) AB CD BC DA Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) AB CD AD CB b) AB CD BC DA AB AD CD CB AB DA CD BC DB BD CD DB BD DA AB BC Câu 36 Cho năm điểm A, B , C , D , E Chứng minh AB BC CD DE AE Lời giải Cách 1: AB BC CD DE ( AB BC ) (CD DE ) AC CE AE Cách 2: AB BC CD DE ( AB BC ) CD DE ( AC CD) DE AD DE AE Cách 3: AB BC CD DE OB OA OC OB OD OC OE OD OE OA AE Câu 37 Cho tam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác M , N , P ba điểm bát kì Chứng minh GM GN GP AM BN CP Lời giải Vì G trọng tâm tam giác ABC nên ta có: GA GB GC Ta có: GM GN GP GA AM GB BN GC CP (GA GB GC ) AM BN CP AM BN CP AM BN CP Nhận xét: Ta sử dụng quy tắc cộng để tách vectơ vế trái tổng vectơ vế phải cộng với vectơ khác Câu 38 Cho sáu điểm A, B, C , D, E , F Chứng minh AB DC FE CB DE FA Lời giải AB DC FE OB OA (OC OD) (OE OF ) OB OD OF OA OC OE CB DE FA OB OC (OE OD ) (OA OF ) OB OD OF OA OC OE Từ hai đẳng thức trên, ta có: AB DC FE CB DE FA 88 Câu 39 Cho tam giác ABC Gọi M , N , P trung điểm BC , CA, AB Chứng minh AP CM NB Lời giải Ta biến đổi tổng hai vectơ không điểm đầu tổng hai vectơ điểm đầu dùng quy tắc hình bình hành Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... hành ABCD có O giao điểm hai đường chéo Chứng minh rằng: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt4 89/ Điện thoại: 094 6 798 4 89 BÀI TẬP TOÁN 10 ... vectơ không điểm đầu tổng hai vectơ điểm đầu dùng quy tắc hình bình hành Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt4 89/ Điện thoại: 094 6 798 4 89 BÀI TẬP TỐN 10 Vì... https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt4 89/ Điện thoại: 094 6 798 4 89 BÀI TẬP TOÁN 10 BÀI TẬP BỔ SUNG Câu 14 Cho hai véc-tơ a b cho a b b) Dựng OA