Đang tải... (xem toàn văn)
Tích vô hướng và tích có hướng của hai vectơ và cách giải I LÝ THUYẾT 1 Tích vô hướng của hai vectơ a) Tích vô hướng của hai vectơ Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vectơ ( )1 2 3a a ;a ;a=[.]
Tích vơ hướng tích có hướng hai vectơ cách giải I LÝ THUYẾT Tích vơ hướng hai vectơ a) Tích vơ hướng hai vectơ Trong khơng gian Oxyz, tích vơ hướng hai vectơ a = ( a1;a ;a ) b = ( b1;b2 ;b3 ) xác định công thức: a.b = a1b1 + a 2b2 + a 3b3 b) Ứng dụng tích vơ hướng + Cho vectơ a = ( a1;a ;a ) , độ dài vectơ a tính theo cơng thức: a = a12 + a 22 + a 22 + Cho hai điểm A ( x A ; y A ;z A ) B ( x B ; y B ;z B ) Khi khoảng cách hai điểm A, B độ dài vectơ AB Do ta có AB = (x B − x A )2 + (yB − yA ) + (z B − z A ) + Cho vectơ a = ( a1;a ;a ) b = ( b1;b ;b3 ) Khi góc hai vectơ a b tính theo công thức: cos(a, b) = a.b a.b = a1b1 + a b + a 3b3 a12 + a 22 + a 32 b12 + b 22 + b32 (với a, b ) + Hai vectơ vng góc: Cho vectơ a = ( a1;a ;a ) b = ( b1;b ;b3 ) Khi đó: a ⊥ b a.b = a1b1 + a 2b2 + a 3b3 = Tích có hướng hai vectơ a) Tích có hướng hai vectơ Trong khơng gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1;a ;a ) , b = (b1;b2 ;b3 ) Tích có hướng hai vectơ a b, kí hiệu a,b , xác định a a,b = b2 a3 b3 ; a3 a1 b3 b1 ; a1 b1 a2 = ( a 2b3 − a 3b ;a 3b1 − a1b3 ;a1b − a 2b1 ) b2 Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất tích có hướng: [a, b] ⊥ a; [a, b] ⊥ b a, b = − b,a i , j = k; j, k = i; k, i = j + Độ dài vectơ tích có hướng u, v = u v sin(u, v) + Hai vectơ u; v phương u, v = (0;0;0) + Ba vectơ a; b; c đồng phẳng a,b c = Từ suy điểm A, B, C, D đỉnh tứ diện vectơ AB; AC; AD không đồng phẳng hay AB,AC AD điểm A, B, C, D đồng phẳng AB,AC AD = Ứng dụng tích có hướng: Ta sử dụng tích có hướng để tính: +) Diện tích hình bình hành ABCD: SABCD = AB,AD +) Diện tích tam giác ABC: SABC = AB, AC +) Thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’: VABCD.A 'B'C'D' = [AB, AD].AA +) Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = [AB, AC].AD II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Tích vơ hướng hai vectơ Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vơ hướng Phương pháp giải: Cho hai vectơ a = ( a1;a ;a ) b = ( b1;b ;b3 ) , đó: a.b = a1b1 + a 2b2 + a 3b3 Ví dụ 1: Trong không gian Oxyz, cho u = ( −1;3;2 ) , v = ( −3; −1;2 ) Khi u.v A 10 B C D Hướng dẫn giải u.v = ( −1) ( −3) + 3.( −1) + 2.2 = − + = Chọn D Dạng 2: Tính độ dài vectơ Phương pháp giải: Cho vectơ a = ( a1;a ;a ) , độ dài vectơ a tính theo cơng thức: a = a12 + a 22 + a 22 Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz cho vectơ a = ( 2;4;1) Độ dài vectơ a A 21 B C 21 D Hướng dẫn giải: Độ dài vectơ a a = 22 + 42 + 12 = 21 Chọn A Dạng 3: Khoảng cách hai điểm Phương pháp giải: Cho hai điểm A ( x A ; y A ;z A ) B ( x B ; y B ;z B ) Khi khoảng cách hai điểm A, B độ dài vectơ AB Do ta có AB = (x B − x A )2 + (yB − yA ) + (z B − z A ) Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 2; 3), trục Oz lấy điểm M cho AM = Tọa độ điểm M A M (0; 0; 3) B M (0; 0; 2) C M (0; 0; -3) D M (0; 3; 0) Hướng dẫn giải Do M Oz M (0; 0; m) AM = ( − 1) + ( − ) + ( m − 3) 2 = (m − 3) + Mặt khác AM = nên (m − 3)2 + = ( m − 3) + = m – = m = Suy M (0; 0; 3) Chọn A Dạng 4: Góc hai vectơ Phương pháp giải: Cho vectơ a = ( a1;a ;a ) b = ( b1;b ;b3 ) Khi góc hai vectơ a b tính theo cơng thức: cos(a, b) = a.b a.b a1b1 + a b + a 3b3 = a +a +a b +b +b 2 2 2 (với a, b ) Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz, cho bốn điểm A (1; 0; 0), B (0; 1; 0), C (0; 0; 1) D (-2; 1; -1) Tính góc hai vectơ AB CD A 450 B 600 C 900 D 1350 Hướng dẫn giải Gọi góc tạo hai vectơ AB CD Ta có: AB = ( −1;1;0 ) , CD = ( −2;1; −2 ) Khi đó: ( ) cos = cos AB,CD = −1.( −2 ) + 1.1 + 0.( −2 ) ( −1) + 12 + 02 ( −2 ) + 12 + ( −2 ) = = 450 Chọn A Dạng 5: Tìm điều kiện để hai vectơ vng góc Phương pháp giải: Cho vectơ a = ( a1;a ;a ) b = ( b1;b ;b3 ) Khi đó: a ⊥ b a.b = a1b1 + a 2b2 + a 3b3 = Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vec tơ a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) c = (1;1;1) Mệnh đề sai? A c ⊥ b B c = C a ⊥ b D a = Hướng dẫn giải Ta kiểm tra đáp án: c.b = 1.1 + 1.1 + 1.0 = Suy c khơng vng góc với b Do A sai Có thể kiểm tra thêm đáp án cịn lại: c = 12 + 12 + 12 = Do B a.b = −1.1 + 1.1 + = Suy a ⊥ b Do C a = ( −1) + 12 + 02 = Do D Chọn A Tích có hướng hai vectơ Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương Dạng 1: Tính tích có hướng hai vectơ Phương pháp giải: Cho hai vectơ a = ( a1;a ;a ) b = ( b1;b ;b3 ) , đó: a a,b = b2 a3 b3 ; a3 a1 b3 b1 ; a1 b1 a2 = ( a 2b3 − a 3b ;a 3b1 − a1b3 ;a1b − a 2b1 ) b2 Ví dụ 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = ( 3;2;1) , b = ( 3;2;5) Khi a,b có tọa độ A ( 8; −12;5 ) B ( 8; −12;0 ) C ( 0;8;12 ) D ( 0;8; −12 ) Hướng dẫn giải a = ( 3;2;1) b = ( 3;2;5 ) a,b = 2.5 − 2.1; 1.3 − 3.5; 3.2 − 3.2 = ( 8; − 12;0 ) ) ( Chọn B Dạng 2: Tìm điều kiện để ba vectơ đồng phẳng Phương pháp giải: a, b c đồng phẳng [a, b].c = Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho vectơ a = (1;m;2 ) ; b = ( m + 1;2;1) ; c = ( 0;m − 2;2 ) Giá trị m để a, b, c đồng phẳng −2 B C D Hướng dẫn giải A Ta có a,b = ( m.1 − 2.2; ( m + 1) − 1.1; 1.2 − ( m + 1) m ) = ( m − 4; 2m + 1; − m2 − m + ) a,b c = ( m − ).0 + ( 2m + 1).( m − ) + ( −m2 − m + ).2 = −5m + Để a, b, c đồng phẳng a,b c = −5m + = m = Chọn A Dạng 3: Tính diện tích số hình phẳng Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức sau: +) Diện tích hình bình hành ABCD : SABCD = AB,AD +) Diện tích tam giác ABC : SABC = AB, AC Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3) C (3; 2; 2) Diện tích tam giác ABC A 11 B C 13 D 14 Hướng dẫn giải AB = (1; −1;2 ) AB,AC = ( −1.1 − 2.0; 2.2 − 1.1; 1.0 − 2.( −1) ) = ( −1;3;2 ) +) AC = ( 2;0;1) AB,AC = +) SABC = ( −1) + 32 + 22 = 14 14 AB,AC = 2 Chọn D Dạng 4: Tính thể tích khối hộp tứ diện Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức sau: +) Thể tích khối hộp ABCD A’B’C’D’: VABCD.A 'B'C'D' = [AB, AD].AA +) Thể tích tứ diện ABCD : VABCD = [AB, AC].AD Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A (1; 2; 1), B (2; 1; 3), C (3; 2; 2), D (1; 1; 1) Thể tích tứ diện ABCD A B C D Hướng dẫn giải AB = (1; −1;2 ) AB,AC = ( −1;3;2 ) , AD = ( 0; −1;0 ) AC = ( 2;0;1) AB,AC AD = −1.0 + 3.( −1) + 2.0 = −3 VABCD = 1 AB,AC AD = = 6 Chọn C III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (1; 0; -2), B (2; 1; 1) Độ dài đoạn thẳng AB A B 18 C D Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = (1; − 2; ) b = ( −2; 3;1) Khẳng định sau sai? A a.b = −8 B a + b = ( −1;1; − 1) C b = 14 D 2a = ( 2; − 4; ) Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = ( 2;4; −2 ) b = ( 3; −1;6 ) Tính P = a.b A P = -10 B P = -40 C P = 16 D P = -34 Câu 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai vectơ a = ( 2;1;0 ) b = ( −1;0; −2 ) Tính cos ( a,b ) A cos ( a,b ) = − 25 B cos ( a, b ) = − C cos ( a,b ) = 25 D cos ( a,b ) = Câu 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a = (1; −2;1) , b = ( 2; −4;2 ) Khi a,b có tọa độ A (0 ; ; 0) B (1 ; ; 1) C (2 ; ; 2) D (1 ; -2 ; 1) Câu 6: Cho bốn véc tơ a = ( −1;1;0 ) , b = (1;1;0 ) , c = (1;1;1) , d = ( 2;0;1) Chọn mệnh đề A a , b , c đồng phẳng B a , b , d đồng phẳng C a , c , d đồng phẳng D d , b , c đồng phẳng Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tam giác ABC biết A (1; 1; 1), B (4; 3; 2), C (5; 2; 1) Diện tích tam giác ABC A 42 B 42 C 42 D 42 Câu 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có A (1; 0; 1), B (2; 0; -1), C (0; 1; 3), D (3; 1; 1) Thể tích khối tứ diện ABCD A V = B V = C V = D V = Câu 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD A’B’C’D’ có A (-1; 0; 2), B (1; 1; -1), D (0; 1; 1), A’ (2; -1; 0) Thể tích V khối hình hộp ABCD A’B’C’D’ A V = B V = C V = D V = Câu 10: Cho ba vectơ a = ( 4;2;5) ,b = ( 3;1;3) ,c = ( 2;0;1) Chọn mệnh đề đúng: A Ba vectơ đồng phẳng B Ba vectơ không đồng phẳng C Ba vectơ phương D c = a,b ĐÁP ÁN Câu 10 Đáp án D B A B A C D A C A ... + 12 + 02 = Do D Chọn A Tích có hướng hai vectơ Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng –. .. vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất tích có hướng: [a, b] ⊥ a; [a, b] ⊥ b a, b = − b,a i , j = k; j, k = i; k, i = j + Độ dài vectơ tích có hướng ... AD].AA +) Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = [AB, AC].AD II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Tích vơ hướng hai vectơ Dạng 1: Tính biểu thức tọa độ tích vơ hướng Phương pháp giải: Cho hai vectơ a =