(SKKN 2022) định hướng lời giải bài toán chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách sử dụng tích vô hướng của hai vectơ cho học sinh lớp 11 ở trường THCS và THPT nghi sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỊNH HƯỚNG LỜI GIẢI BÀI TỐN CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ CHO HỌC SINH LỚP 11 Ở TRƯỜNG THCS VÀ THPT NGHI SƠN Người thực hiện: Mai Như Quỳnh Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa hai đường thẳng vng góc khơng gian 2.1.2 Quan hệ hai đường thẳng vng góc Vectơ phương chúng 2.1.3 Định nghĩa góc hai Vectơ khơng gian 2.1.4 Định nghĩa tích vơ hướng hai Vectơ không gian 2.1.5 Một số quy tắc Vectơ cần dùng 2.1.6 Một số tính chất tích vơ hướng 2.1.7 Sơ đồ chứng minh phương pháp phân tích lên 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Các tốn mở đầu chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ 2.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ 2.3.3 Đối với toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng góc hai đường thẳng 2.3.4 Đối với toán cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng 2.3.5 Các tập tương tự 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC: Mẫu phiếu khảo sát học tập 2 2 2 3 4 8 12 16 16 18 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Chúng ta sống kỷ XXI, kỷ kinh tế tri thức với phát triển vũ bão khoa học kỹ thuật văn minh công nghệ thông tin Để đáp ứng yêu cầu thời đại yêu cầu nghiệp đổi đất nước, Đảng ta khẳng định vai trị quan trọng nghiệp giáo dục, Tốn học mơn quan trọng giáo dục nước nhà Mặc dù học sinh từ lúc học học tiếp thu kiến thức Tốn qua năm học mơn Tốn khơng phải mơn dễ dàng tất học sinh, đặc biệt mơn Hình học khơng gian chương trình Tốn Trung học phổ thông Thực tế giảng dạy cho thấy tốn Quan hệ vng góc khơng gian chương trình Tốn 11 việc học sinh tìm lời giải tốn khơng đơn giản, hầu hết mang tính tự phát, làm theo năng, khơng có hệ thống hay phương pháp cụ thể Học sinh tiếp thu nhanh đọc hướng dẫn giải ví dụ minh họa gặp toán khác lại cảm thấy bế tắc, khơng có hướng giải phù hợp Trong q trình giảng dạy “Hai đường thẳng vng góc” sách giáo khoa hình học 11, tơi thấy để chứng minh hai đường thẳng vng góc ta thường dùng ba cách: dùng định nghĩa hai đường thẳng vuông góc, quan hệ song song vng góc hai đường thẳng, chứng minh tích vơ hướng hai Vectơ phương chúng Hầu hết tập “Hai đường thẳng vng góc” sách giáo khoa hình học 11 phải giải cách dùng tích vơ hướng hai Vectơ lý đề không cho yếu tố: đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc Hơn học sinh chưa học kiến thức Khi giải tập “Hai đường thẳng vng góc” sách giáo khoa, nhiều học sinh gặp lúng túng, chí khơng có khoa học tư lôgic để định hướng cách giải nên khơng thể giải Trước khó khăn học sinh nêu trên, chọn đề tài “Định hướng lời giải tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 trường THCS THPT Nghi Sơn” nhằm hình thành cho học sinh cách tư khoa học, có sở để giải số tập “Hai đường thẳng vng góc” sách giáo khoa nói riêng tập khác tương tự nói chung 1.2 Mục đích nghiên cứu Trình bày cách để chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ dạy học Hình học khơng gian 11 nhằm định hướng lời giải toán cho học sinh, rèn luyện kỹ giải toán Vận dụng vào tiết học Hình học giúp nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn nhà trường 1.3 Đối tượng nghiên cứu Định hướng lời giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 trường THCS THPT Nghi Sơn 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu tài liệu - Phương pháp quan sát, điều tra, thống kê, phân tích, so sánh - Phương pháp thực nghiệm NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Định nghĩa hai đường thẳng vng góc khơng gian1 Hai đường thẳng a b gọi vng góc với góc chúng 90 , ký hiệu a ⊥ b 2.1.2 Quan hệ hai đường thẳng vng góc Vectơ phương chúng r r u v Nếu hai Vectơ phương hai đường thẳng a b rr thì: a ⊥ b ⇔ u.v = 2.1.3 Định nghĩa góc hai Vectơ khơng gian3 r r u v Trong không gian, cho hai Vectơ khác Vectơ – không Lấy uuu r r uuur r AB = u , AC = v Khi ta gọi góc điểm A bất kì, gọi B C hai điểm cho Trích từ tài liệu tham khảo số [1] Trích từ tài liệu tham khảo số [1] Trích từ tài liệu tham khảo số [1] r r 0 · · u v BAC ≤ BAC ≤ 180 ( ) góc hai Vectơ khơng gian, kí hiệu r r u, v ( ) 2.1.4 Định nghĩa tích vơ hướng hai Vectơ không gian4 a) Định nghĩa r r Trong không gian cho hai Vectơ u v khác Vectơ – khơng Tích vơ r r rr hướng hai Vectơ u v số, kí hiệu u.v , xác định công thức: rr r r r r u.v = u v cos(u , v ) b) Nhận xét r r Hai Vectơ u v khác Vectơ – khơng vng góc với rr u v = 2.1.5 Một số quy tắc Vectơ cần dùng a) Quy tắc ba điểm, quy tắc trừ Với ba điểm tùy ý A, B, C ta ln có: uuu r uuur uuur AB + BC = AC (quy tắc ba điểm); uuu r uuur uuu r AB − AC = CB (quy tắc trừ) b) Quy tắc hình bình hành uuu r uuur uuur ABCD AB + AD = AC Nếu hình bình hành c) Quy tắc hình hộp Trích từ tài liệu tham khảo số [1] Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có ba cạnh xuất phát từ đỉnh A AB, AD, AA′ có đường chéo AC ′ uuu r uuur uuur uuuu r ′ ′ AB + AD + AA = AC Khi ta có quy tắc hình hộp là: d) Trung điểm đoạn thẳng Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB ta có: r uur r  uu IA  + IB =  uur uur r  AI + BI = r uuur uuur  uuu  MI = ( MA + MB ), ∀M  2.1.6 Một số tính chất tích vơ hướng r rr a Với Vectơ , b, c tùy ý ta ln có: r r r rr rr a.(b + c) = a.b + a.c; r r rr r r (ka ).b = k (a.b) = a.(kb) 2.1.7 Sơ đồ chứng minh phương pháp phân tích lên5 Sơ đồ: X ¬ A1 ¬ A2 ¬ ¬ An −1 ¬ An Nội dung: Giả sử muốn chứng minh X ta phải chứng minh A1 , muốn chứng minh A1 ta phải chứng minh A2 … muốn chứng minh An−1 ta phải chứng minh An Có nghĩa là: Muốn có X phải có A1 , muốn có A1 phải có A2 … muốn có An−1 phải có An An điều khẳng định nên ta dừng lại Vì An nên X 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế giảng dạy Toán học 11 trường THCS THPT Nghi Sơn năm học 2020-2021 cho thấy: - Trong việc học mơn Tốn mơn Hình học khơng gian nhiều học sinh lớp 11 chưa tốt Đặc điểm môn học môn học yêu cầu em học sinh có trí tưởng tượng phong phú Cách trình bày chặt chẽ, suy luận lơgic hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao Trích từ tài liệu tham khảo số [2] kiểm tra Phần lớn học sinh trung học phổ thơng ngại học Hình học khơng gian dẫn đến em yếu kỹ giải tốn hình học - Nhiều em chưa biết cách trình bày lời giải tốn quan hệ vng góc khơng gian, sử dụng kiến thức hình học học chưa thục, lộn xộn lời giải Cá biệt có số học sinh vẽ hình q xấu, khơng đáp ứng u cầu giải hình học - Trước thực trạng nêu trên, tiến hành khảo sát mức độ hứng thú học tập tìm hiểu khó khăn gặp phải học sinh trình học mơn Hình học khơng gian 11, kết thu được: Tổng số học sinh tham gia khảo sát 76 học sinh 02 lớp 11A4 11A5 Kết câu hỏi số phiếu khảo sát: Kết khảo sát hứng thú học tập mơn Số học sinh Hình học khơng gian Rất thích (%) Thích (%) 13,3 31 76 Bình thường (%) Khơng thích (%) 33,2 22.5 Nhận xét: Tỉ lệ học sinh khơng hứng thú với việc học tập mơn Hình học khơng gian cao chiếm 55,7%, có 22,5% khơng thích học mơn Hình học khơng gian điều làm ảnh hưởng lớn đến chất lượng dạy học mơn Tốn trường Có tình trạng nhiều nguyên nhân, đó: Do kiến thức tiền đề em lớp không tốt (mất gốc) chiếm 28,5% Do kiến thức Tốn q khó khơ khan hấp dẫn chiếm 40%, ngồi cịn có ngun nhân ham chơi, chưa tâm học tập chiếm 18%, hồn cảnh gia đình, điều kiện xã hội tác động chiếm 9% nguyên nhân khác chiếm 4,5% Chất lượng học tập môn Tốn lớp 11 cịn thấp, cụ thể năm học 2020-2021 kết mơn Tốn lớp 11A4, 11A5 11A6 sau: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ SL Tỉ lệ 11A4 2,4% 11 26,8% 27 65,9% 4,9% 0% 11A5 2,5% 10 25,6% 25 64,1% 7,8% 0% 11A6 0% 10 23,3% 28 65,1% 9,3% 2,3% Kết chất lượng mơn Tốn năm học gần cho thấy tỉ lệ học sinh khá, giỏi mơn Tốn khiêm tốn, nhiều học sinh xếp loại học lực yếu 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề Từ thực trạng nêu tơi đưa biện pháp nhằm mục đích nâng cao hiệu giảng dạy tạo hứng thú cho học sinh học mơn Hình học khơng gian cách định hướng lời giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 Trường THCS THPT Nghi Sơn 2.3.1 Các toán mở đầu chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ • Bài toán 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính uuu r uuur a) AB AC ; uuu r uuur AB BC ; b) uuu r uuur AB CD c) Giải: a) Ta có uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB AC = AB AC cos( AB, AC ) b) Ta có a · = a.a.cos BAC = a cos600 = uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB.BC = AB BC cos( AB, BC ) uuu r uuur = a.a.cos 1800 − ( BA, BC )  Trích từ tài liệu tham khảo số [3] a2 = a cos120 = − uuu r uuur uuu r uuur uuur AB.CD = AB AD − AC c) Ta có ( ) uuu r uuur uuu r uuur = AB AD − AB AC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur = AB AD cos AB, AD − AB AC cos AB, AC ( ) ( ) = a.a.cos 600 − a.a.cos600 = Từ lời giải ta có nhận xét sau đây: Nhận xét 1: Khi tính tích vơ hướng hai Vectơ mà đề cho yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: Hai Vectơ có điểm chung phương: Ta áp dụng trực tiếp định nghĩa tích vơ hướng hai Vectơ để tính (như câu a câu b toán chẳng hạn); - Trường hợp 2: Hai Vectơ khơng có điểm chung khơng phương: Ta chuyển hai Vectơ có điểm chung tương ứng chúng làm trường hợp 1, phân tích Vectơ thành Vectơ khác cho Vectơ có điểm chung với Vectơ cịn lại dùng tính chất tích vơ hướng sau đưa trường hợp để tính • Bài tốn 2:7 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC , AB ⊥ BD Gọi P, Q uuu r uuur AB trung điểm cạnh AB CD Tính PQ Giải: Trích từ tài liệu tham khảo số [1] uuur uuur uuur PQ = AC + BD Ta dễ dàng chứng minh ( ) uuu r uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuuruuur 1 AB.PQ = AB AC + BD = AB AC + AB.BD = + = 2 2 Do ( ) (Vì AB ⊥ AC , AB ⊥ BD ) Từ lời giải ta có nhận xét sau đây: Nhận xét 2: Khi tính tích vơ hướng hai Vectơ mà đề cho yếu tố vng góc hai đường thẳng ta thường gặp hai trường hợp sau: - Trường hợp 1: Nếu đề cho hai Vectơ vng góc với có kết tích vô hướng chúng 0; - Trường hợp 2: Nếu hai Vectơ khơng có điểm chung khơng vng góc với ta phải biến đổi tích vơ hướng hai Vectơ cho thành tổng tích vô hướng cho hạng tử tổng tích vơ hướng hai Vectơ vng góc với sau đưa trường hợp để tính Hai nhận xét sở khoa học để học sinh định hướng lời giải cho toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách dùng tích vơ hướng hai Vectơ 2.3.2 Phương pháp để chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ Muốn chứng minh hai đường thẳng a b vng góc với ta chứng minh tích vơ hướng hai Vectơ phương chúng 2.3.3 Đối với toán cho biết yếu tố độ dài đoạn thẳng góc hai đường thẳng Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Chứng minh rằng: AC ⊥ BD + Định hướng lời giải: Trích từ tài liệu tham khảo số [4] 10 - uuur uuur Muốn chứng minh AC ⊥ BD ta phải chứng minh AC BD = ; uuur uuur Việc tính AC.BD trực tiếp định nghĩa thực AC BD hai đường thẳng chéo ta khơng tính góc hai uuur uuur AC Vectơ BD định nghĩa góc hai Vectơ; - Nhận thấy đề cho tứ diện cạnh a nên mặt tứ diện tam giác Từ suy góc đỉnh tứ diện 60 Do tốn biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc hai đường thẳng; uuu r uuur Theo toán 1c ta có AB.CD = Từ áp dụng tương tự suy điều phải chứng minh - Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ sau: X AC ⊥ BD A1 uuur uuur AC.BD = A2 uuur uuur uuu r AC.( AD − AB ) = A3 uuur uuur uuur uuu r AC AD − AC AB = + Lời giải: uuur uuur uuu r BD = AD − AB Ta có: uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r AC.BD = AC AD − AB = AC AD − AC AB Do ( ) 11 uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuu r = AC AD cos AC , AD − AC AB cos AC , AB ( ) ( ) = a.a.cos 600 − a.a.cos 600 = Suy AC ⊥ BD + Với đề ví dụ 1, giáo viên u cầu học sinh chứng minh AD ⊥ BC Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a · · · ASB = BSC = CSA = α Chứng minh rằng: SB ⊥ AC + Định hướng lời giải: uur uuur SB ⊥ AC - Muốn chứng minh ta phải chứng minh SB AC = ; uur uuur - Việc tính SB AC định nghĩa khơng thể thực SB AC uur hai đường thẳng chéo ta khơng tính góc hai Vectơ SB uuur AC định nghĩa góc hai Vectơ; - Nhận thấy đề cho · · SA = SB = SC = a ·ASB = BSC = CSA =α Do toán biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc hai đường thẳng; uur uur uuu r  SA = SB = SC = a   SA = SB = SC = a r uur uur  uur uuu · SB , SC = SB, SA = α ·  Từ giả thiết  BSC = ASB = α ta suy  uur uuur Do dựa vào nhận xét 1, để chứng minh SB AC = ta phải biến đổi uuur uuu r uur uuu r uur uur AC = SC − SA ( SCX SA có chung điểm đầu S với SB ), sau biến đổi uur uuur SB AC làm xuất tích vơ hướng cặp Vectơ có chung điểm đầu S dùng định nghĩaA tích vơ hướng hai Vectơ để tính ( ) ( ) + Sơ đồ phân tích định hướng cách giải sau: A2 Trích từ tài liệu tham khảo số [1] 12 A3 SB ⊥ AC uur uuur SB AC = uur uuu r uur SB SC − SA = ( ) uur uuu r uur uur SB.SC − SB.SA = + Lời giải: uur uuur uur uuu r uur uur uuu r uur uur SB AC = SB SC − SA = SB.SC − SB.SA Ta có uur uuu r uur uuu r uur uur uur uur = SB SC cos SB, SC − SB SA cos SB, SA ( ) ( ) ( ) = a.a.cosα − a.a.cosα = Suy điều phải chứng minh + Với đề ví dụ 2, giáo viên yêu cầu học sinh chứng minh SA ⊥ BC , SC ⊥ AB Ví dụ 3:10 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi · · M, N trung điểm SA SD Biết SA = AB , BAD = SAD Chứng minh MN ⊥ SB Định hướng lời giải: - uuuu r uur MN SB = ; MN ⊥ SB Muốn chứng minh ta phải chứng minh 10 Trích từ tài liệu tham khảo số [5] 13 uuuu r uur Việc tính MN SB định nghĩa khơng thể thực uMN uuu r MN SB uur hai đường thẳng chéo nhau, ta khơng tính góc hai Vectơ SB định nghĩa góc hai Vectơ; · · Nhận thấy đề cho SA = AB , BAD = SAD Do tốn biết yếu tố độ dài đoạn thẳng, góc hai đường thẳng; uuu r uuu r  AS = AB  SA = AB  ⇒  uuur uuu r uuur uuu r · ·  BAD = SAD  AD, AB = AD, AS Theo ta có nên ta biến đổi uuur uuu r uuu r uuuu r uur MN SB theo Vectơ AD, AB, AS Sau biến đổi uuuu r uur uuur uuu r uuur uuu r MN SB làm xuất tích vơ hướng AD AB AD AS dùng định nghĩa tích vơ hướng hai Vectơ để tính - ( ) ( ) + Sơ đồ phân tích định hướng cách giải sau X MN ⊥ SB A1 uuuu r uur MN SB = A2 r uuu r uuur uuu AD AB − AS = A3 r uuur uuu r uuur uuu AD AB − AD AS = 2 ( ) uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r v uuur uuu AD AB cos AD, AB − AD AS cos AD, AS = 2 r v uuur uuu uuur uuu · · AD AB cos BAD − AD AS cos SAD =0 2 ( A4 ) ( ) A5 + Lời giải: uuuu r uur uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r MN SB = AD AB − AS = AD AB − AD AS 2 Ta có uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r v uuur uuu = AD AB cos AD, AB − AD AS cos AD, AS 2 r v uuur uuu uuur uuu · · = AD AB cos BAD − AD AS cos SAD =0 2 ( ) ( ) ( ) 14 · · (Vì SA = AB , BAD = SAD ) Suy điều phải chứng minh Như dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ nhận xét ta định hướng cách giải ba ví dụ cách có khoa học, tư lơgic Đặc biệt ví dụ 2, ví dụ ta thấy việc chứng minh hai đường thẳng vng góc cách dùng tích vơ hướng hai Vectơ hợp lý nói ngắn gọn đề khơng cho quan hệ vng góc nên việc chứng minh phương pháp khác gặp nhiều khó khăn 2.3.4 Đối với tốn cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng Ví dụ 4: 11 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC , AB ⊥ BD Gọi P, Q trung điểm cạnh AB CD Chứng minh AB ⊥ PQ + Định hướng lời giải: uuu r uuur AB ⊥ PQ AB PQ = ; Muốn chứng minh ta phải chứng minh uuu r uuur AB PQ định nghĩa thực ta khơng Việc tính uuur uuu r tính góc hai Vectơ AB PQ định nghĩa góc hai Vectơ; - Nhận thấy đề cho AB ⊥ AC , AB ⊥ BD Do tốn cho biết yếu tố cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng; 11 Trích từ tài liệu tham khảo số [1] 15 uuu r uuur AB PQ = Từ suy điều phải Theo tốn ta ta có chứng minh - Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ sau X AB ⊥ PQ uuur uuur AB.PQ = A1 uuur uuur uuur AB AC + BD = ( A2 A3 ) uuuruuur uuuruuur AB AC + AB.BD = 2 Ví dụ 5: 12 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Chứng minh BD ⊥ AC ′ + Định hướng lời giải: Muốn chứng minh BD ⊥ AC ′ ta uuur uuuu r ′=0; BD AC phải chứng minh uuur uuuu r ′ định nghĩa thực học BD AC Việc tính uuuu r uuur ′ định nghĩa góc AC BD sinh khơng tính góc hai Vectơ hai Vectơ; - - Nhận thấy đề cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ Do tốn cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng; 12 Trích từ tài liệu tham khảo số [6] 16 - uuur uuuu r Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh BD AC ′ = ta phải biến đổi uuur uuuu r BD AC ′ thành tổng tích vơ hướng hai Vectơ mà hai Vectơ phải uuuu r uuur ′ thành tổng, hiệu AC vng góc với Muốn phải biểu thị BD Vectơ mà giá chúng chứa cạnh hình lập phương + Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ sau: BD ⊥ AC ′ X uuur uuuu r BD AC ′ = A1 A2 A3 uuur uuu r uuur uuu r uuur ( AD − AB ) ( AD + AB + AA′) = uuur uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur AD + AD AB + AD AA′ − AB AD − AB − AB AA′ = + Dưới lời giải theo hướng phân tích trên: uuur uuur uuu r BD = AD − AB Ta có (theo quy tắc trừ); uuuu r uuur uuu r uuur AC ′ = AD + AB + AA′ (theo quy tắc hình hộp) uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur BD AC ′ = AD − AB AD + AB + AA′ Do uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuu r uuur = AD + AD AB + AD AA′ − AB AD − AB − AB.AA′ ( )( ) Vì ABCD A′B′C ′D′ hình lập phương nên AD ⊥ AB; AD ⊥ AA′ ; uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur AB ⊥ AA′ Suy AD AB = AD AA′ = AB AD = AB AA′ = uuur uuuu r 2 Vậy BD AC ′ = AD − AB = (vì AB = AD ) Từ ta suy điều phải chứng minh Ví dụ 6: 13 Cho hình lập phương ABCD.EFGH cạnh a Gọi M, N trung điểm cạnh GF CD Chứng minh AM ⊥ BN 13 Trích từ tài liệu tham khảo số [5] 17 + Định hướng lời giải: uuuu r uuur AM ⊥ BN AM BN = ; Muốn chứng minh ta phải chứng minh uuuu r uuur AM BN định nghĩa thực học Việc tính uuur uuuu r sinh khơng tính góc hai Vectơ AM BN định nghĩa góc hai Vectơ; Nhận thấy đề cho hình lập phương ABCD.EFGH Do tốn cho biết yếu tố vng góc hai đường thẳng; uuuu r uuur AM BN = ta phải biến đổi Theo nhận xét 2, ta thấy để chứng minh uuuu r uuur AM BN thành tổng tích vơ hướng hai Vectơ mà hai Vectơ phải vng uuur uuuu r góc với Muốn phải biểu thị hai Vectơ AM BN thành tổng Vectơ mà giá chúng đường thẳng chứa cạnh hình lập phương - + Sơ đồ phân tích định hướng cách giải ví dụ sau: X A1 AM ⊥ BN uuuu r uuur AM BN = uuur uuur uuuu r A2 A3 A4 uuur uuur ( AE + EF + FM ) ( BC + CN ) = uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuuu r uuur uuuu r uuur AE.BC + AE.CN + EF BC + EF CN + FM BC + FM CN = uuur uuur uuuu r uuur EF CN + FM BC = + Dưới lời giải theo hướng phân tích trên: uuuu r uuur uuu r uuuu r AM = AE + EF + FM Ta có ; uuur uuur uuur BN = BC + CN 18 Do uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur AM BN = AE + EF + FM BC + CN ( )( ) uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur = AE.BC + AE.CN + EF BC + EF CN + FM BC + FM CN AE ⊥ BC ; AE ⊥ CN ; EF ⊥ BC ; Vì ABCD.EFGH hình lập phương nên uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur FM ⊥ CN Suy AE.BC = AE.CN = EF BC = FM CN = uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur AM BN = EF CN + FM BC Vậy uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuuu r uuur = EF CN cos EF , CN + FM BC cos FM , BC ( ) = EF CN cos1800 + FM BC.cos00 = − ( ) a2 a2 + =0 2 Từ ta suy điều phải chứng minh Như vậy: Dựa vào phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ nhận xét 2, ta có sở khoa học để định hướng cách giải ví dụ 4, ví dụ ví dụ cách lơgic mà khơng cần phải vẽ thêm hình dùng quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng… 2.3.5 Các tập tương tự · · Bài 1: 14 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD BAC = BAD = 60 Chứng minh rằng: a) AB ⊥ CD ; b) Nếu M, N trung điểm AB CD MN ⊥ AB MN ⊥ CD Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh (hình hộp gọi hình hộp thoi) Chứng minh AC ⊥ B′D′ Bài 2: Bài 3: AD ⊥ BC 15 16 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD AC ⊥ BD Chứng minh Bài 4: 17 Cho hình hộp thoi ABCD A′B′C ′D′ có tất cạnh a · · · ABC = B′BA = B′BC = 60 Chứng minh tứ giác A′B′CD hình vng 14 Trích từ tài liệu tham khảo số [1] 15 Trích từ tài liệu tham khảo số [6] 16 Trích từ tài liệu tham khảo số [7] 17 Trích từ tài liệu tham khảo số [6] 19 Bài 5: 18 Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC ′D′ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O′ Chứng minh AB ⊥ OO′ tứ giác CDD′C ′ hình chữ nhật 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua thực sáng kiến kinh nghiệm, nhận thấy em có nhiều tiến qua tiết học, lớp dạy thử nghiệm 11A5 Đối tượng học sinh 11A4 có trình độ ngang (đối chứng) với 11A5 (thực nghiệm) Ở lớp thực nghiệm 11A5, đa số em giải toán đạt độ xác cao, khả nhớ dạng toán kiểm tra thường xuyên đạt điểm cao Với biện pháp áp dụng, sau thực nghiệm đối chứng đề tài lớp, thu kết sau: Lớp 11A4 - lớp đối chứng Lớp 11A5 - lớp thực nghiệm Xếp loại học lực Số HS Tỉ lệ % Số HS Tỉ lệ % Giỏi 3 Khá 21 10 26 Trung bình 25 66 24 62 Yếu 10 Kém 0 0 Cộng 38 100 38 100 Biểu đồ minh họa cụ thể: Biểu đồ thể chất lượng học tập học sinh 02 lớp 11A4 11A5 Trường THCS THPT Nghi Sơn 18 Trích từ tài liệu tham khảo số [1] 20 Với kết trên, thấy học sinh có tiến bộ, qua kiểm tra nhiều em giải tốn đạt kết xác cao Tạo điều kiện cho tiếp tục áp dụng kết đạt cho năm học sau KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trên số ví dụ tập rèn luyện kỹ “chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ” Từ “phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ” với nhận xét nhận xét trình bày ta giúp học sinh tư tìm lời giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ Các định hướng kinh nghiệm mà tơi có q trình giảng dạy nhận thấy đa số học sinh khó khăn lúng túng việc định hướng tìm lời giải tốn chứng minh hai đường thẳng vng góc Hai đường thẳng vng góc, sách giáo khoa hình học 11 Thực tế giảng dạy thân tơi cho thấy với định hướng trình bày ví dụ trên, đa số học sinh hiểu giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc sách giáo khoa Hình học 11 trang 98 tập tương tự khác “Chứng minh hai đường thẳng vng góc dựa vào tích vơ hướng hai Vectơ” số nhiều cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc mà học sinh học Nhưng rõ ràng với toán cho yếu tố cạnh số góc có quan hệ giải cách dùng tích vơ hướng hai Vectơ đơn giản 3.2 Kiến nghị - Nhà trường cần tổ chức nhiều buổi trao đổi phương pháp giảng dạy cho toàn thể cán giáo viên - Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng nên áp dụng vào giảng dạy trao đổi chuyên môn - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập - Qua việc nghiên cứu vấn đề tơi hy vọng đồng nghiệp góp phần nhỏ cải tiến, đổi phương pháp giảng dạy mơn 21 Trong q trình nghiên cứu, tìm hiểu, thời gian công tác chưa nhiều lực thân có hạn nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ Ban giám hiệu, Tổ chuyên môn thầy, cô đồng nghiệp để đề tài hồn thiện nhằm mục đích phục vụ tốt cho việc dạy học Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nghi Sơn, ngày 19 tháng năm 2022 Người viết sáng kiến Mai Như Quỳnh 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Hình học 11, NXB Giáo dục, 2007; [2] Nguyễn Bá Kim (Chủ biên), Đinh Nho Chương, Nguyễn Mạnh Cảng, Vũ Dương Thụy, Nguyễn Văn Thường, Phương pháp dạy học mơn tốn phần hai: dạy học nội dung cụ thể, NXB Giáo dục, 1994 [3] TS Nguyễn Cam (Chủ biên), ThS Nguyễn Văn Phước, ThS Nguyễn Hồng Ngun, Tuyển chọn 400 tập hình học tự luận trắc nghiệm, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2007; [4] Một số nội dung tham khảo từ bạn bè đồng nghiệp Internet: http://hoc24.vn [5] Đề kiểm tra thường xuyên Trường THCS THPT Nghi Sơn, TX Nghi Sơn, Tỉnh Thanh Hóa năm học 2019 - 2020, năm học 2020 – 2021; [6] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên), Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục, 2007; [7] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), Phạm Khắc Ban, Tạ Mân, Hình học nâng cao 11, NXB Giáo dục, tái lần thứ 13 PHỤ LỤC MẪU PHIẾU KHẢO SÁT HỌC TẬP Trường: THCS THPT Nghi Sơn, Thị xã Nghi Sơn, Thanh Hóa Họ tên: ……………………….…………………………Lớp: …………… Em cho biết ý kiến cách đánh dấu X vào ô tương ứng câu hỏi đây: Câu 1: Em cảm thấy học mơn Hình học khơng gian chương trình Tốn học 11? Rất thích Thích Bình thường Khơng thích Câu 2: Em thích học mơn Hình học khơng gian 11 vì? Rèn luyện tư sáng, khả suy luận lơgic Tăng cường trí nhớ, phản xạ nhanh Giúp ứng dụng vào thực tế Tất ý kiến Câu 3: Những khó khăn em thường gặp học mơn Hình học khơng gian là? Bị gốc kiến thức hình học Khó hình dung, tư Nhiều tiết học khô khan chưa hấp dẫn Tất ý kiến Câu 4: Em thường tự học mơn Hình học khơng gian nhà khoảng thời gian là? Không làm tập nhà, không chuẩn bị Thỉnh thoảng học Khoảng giờ/ ngày Khoảng giờ/ ngày ... toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 Trường THCS THPT Nghi Sơn 2.3.1 Các toán mở đầu chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích. .. dạy học mơn Tốn nhà trường 1.3 Đối tượng nghi? ?n cứu Định hướng lời giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 trường THCS THPT Nghi Sơn. .. học sinh nêu trên, chọn đề tài ? ?Định hướng lời giải toán chứng minh hai đường thẳng vng góc cách sử dụng tích vơ hướng hai Vectơ cho học sinh lớp 11 trường THCS THPT Nghi Sơn? ?? nhằm hình thành cho