Bài 7 Các khái niệm mở đầu Mở đầu trang 46 SGK Toán 10 tập 1 Nhiệt độ và gió là hai yếu tố luôn cùng được đề cập trong các bản tin dự báo thời tiết Tuy nhiên, nhiệt độ là đại lượng chỉ có độ lớn, còn[.]
Bài Các khái niệm mở đầu Mở đầu trang 46 SGK Tốn 10 tập 1: Nhiệt độ gió hai yếu tố đề cập tin dự báo thời tiết Tuy nhiên, nhiệt độ đại lượng có độ lớn, cịn gió có hướng độ lớn Với đơn vị đo, ta dùng số liệu biểu diễn nhiệt độ Đối với đại lượng gồm hướng độ lớn vận tốc gió sao? Ta dùng đối tượng toán học để biểu diễn chúng? Lời giải Sau học giải toán sau: Ta sử dụng vectơ để biểu diễn đại lượng gồm hướng độ lớn vận tốc gió Trong hướng vectơ hướng gió, độ dài vectơ độ lớn vận tốc gió Hoạt động trang 47 SGK Toán 10 tập 1: Một tàu khởi hành từ đảo A, thẳng hướng đông 10 km thẳng tiếp 10 km hướng nam tới đảo B (H.4.2) Nếu từ đảo A, tàu thẳng (khơng đổi hướng) tới đảo B, phải theo hướng quãng đường phải dài kilơmét? Lời giải Ta có hình vẽ sau: Vì góc hướng đông hướng nam 900 nên AHB = 900 tam giác AHB vng H Xét AHB vng H, áp dụng định lí Py – ta – go ta có: AB2 = AH2 + BH2 Thay số: AB2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200 AB = 200 = 10 (km) AHB vng H, có AH = BH = 10 km nên AHB cân H HAB = 450 Do từ đảo A, tàu thẳng (khơng đổi hướng) tới đảo B phải theo đường thẳng AB hướng đơng nam, tạo với hướng đơng góc 45° Vậy từ đảo A, tàu thẳng (không đổi hướng) tới đảo B, phải theo hướng đơng nam, tạo với hướng đơng góc 45° qng đường dài 10 km Luyện tập trang 47 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC với cạnh có độ dài a Hãy vectơ có độ dài a có điểm đầu, điểm cuối đỉnh tam giác ABC Lời giải Vì tam giác ABC tam giác với cạnh có độ dài a nên AB = BC = AC = a Do AB = AB = a; BA = BA = a; AC = AC = a; CA = CA = a; BC = BC = a; CB = CB = a Các vectơ có độ dài a có điểm đầu, điểm cuối đỉnh tam giác ABC là: AB, BA, AC,CA, BC,CB Hoạt động trang 48 SGK Toán 10 tập 1: Quan sát đường Hình 4.5 cho biết nhận xét sau a) Các đường song song với b) Các xe chạy theo hướng c) Hai xe chạy theo hướng hai hướng ngược Lời giải Trên hình vẽ ta quan sát đường hướng di chuyển (mũi tên) xe thấy: + Các đường chạy song song với Do nhận xét a) + Có hai xe chạy hướng từ lên trên, cịn ba xe chạy hướng từ xuống Nên xe khơng chạy theo hướng Do nhận xét b) sai + Hai xe chạy hướng (hai xe chạy hướng từ xuống hướng từ lên trên) chạy ngược hướng (một xe chạy hướng từ lên xe chạy hướng từ xuống dưới) Do nhận xét c) Hoạt động trang 48 SGK Toán 10 tập 1: Xét vectơ phương Hình 4.7 Hai vectơ a AB gọi hướng, hai vectơ a x gọi ngược hướng Hãy vectơ hướng với vectơ a vectơ ngược hướng với vectơ a Lời giải Trong Hình 4.7: + Hai vectơ a AB hướng ta quan sát thấy hai vectơ có giá song song với nên hai vectơ phương, lại thấy vectơ a AB có hướng chiều + Hai vectơ a x ngược hướng ta quan sát thấy hai vectơ có giá song song với nên hai vectơ phương, lại thấy vectơ a x có hướng ngược chiều Do vectơ hướng với vectơ a vectơ có giá song song chiều với vectơ a , vectơ AB y Do vectơ ngược hướng với vectơ a vectơ có giá song song ngược chiều với vectơ a , vectơ x z Luyện tập trang 49 SGK Tốn 10 tập 1: Cho hình thang cân ABCD với hai đáy AB, CD, AB < CD (H.4.10) Hãy mối quan hệ độ dài, phương, hướng cặp vectơ AD BC , AB CD , AC BD Có cặp vectơ cặp vectơ hay không? Lời giải - Cặp vectơ AD BC : + Độ dài: độ dài AD = AD; BC = BC mà AD = BC (tính chất hình thang cân); + Phương: không phương giá hai vectơ không song song không trùng nhau; + Hướng: không hướng hai vectơ không phương Do hai vectơ AD BC khơng - Cặp vectơ AB CD : + Độ dài: không độ dài AB = AB; CD = CD mà AB < CD; + Phương: phương hai vectơ có giá song song với nhau; + Hướng: ngược hướng Do hai vectơ AB CD khơng - Cặp vectơ AC BD : + Độ dài: độ dài AC = AC; BD = BD mà AC = BD (tính chất hình thang cân); + Phương: không phương giá hai vectơ không song song không trùng nhau; + Hướng: không hướng hai vectơ không phương Do hai vectơ AC BD khơng Vậy khơng có cặp vectơ Luyện tập trang 49 SGK Toán 10 tập 1: Trong điều kiện đây, chọn điều kiện cần đủ để điểm M nằm hai điểm phân biệt A B a) AB AM ngược hướng; b) MA MB phương; c) AB AM hướng; d) MA MB ngược hướng Lời giải + Nếu điểm M nằm hai điểm A B MA MB ngược hướng + Nếu hai vectơ MA MB ngược hướng hai vectơ MA MB phương Do ba điểm M, A, B thẳng hàng Mà hai vectơ MA MB ngược hướng nên điểm M nằm hai điểm A B Suy điểm M nằm hai điểm phân biệt A B MA MB ngược hướng Vậy điều kiện cần đủ để điểm M nằm hai điểm phân biệt A B MA MB ngược hướng Chọn điều kiện d) Vận dụng trang 50 SGK Toán 10 tập 1: Hai ca nô A B chạy sông với vận tốc riêng có độ lớn 15 km/h Tuy vậy, ca nơ A chạy xi dịng cịn ca nơ B chạy ngược dịng Vận tốc dịng nước sông km/h a) Hãy thể hình vẽ, vectơ vận tốc v dịng nước vectơ vận tốc thực tế v a , v b ca nô A, B b) Trong vectơ v, v a , v b , cặp vectơ phương cặp vectơ ngược hướng? Lời giải a) Ta có vận tốc dịng nước sông km/h nên độ lớn vectơ v km/h Do ca nô A chạy xi dịng nên vận tốc thực tế ca nơ A 15 + = 18 km/h hay độ lớn vectơ va 18 km/h Do ca nô B chạy ngược dòng nên vận tốc thực tế ca nô B 15 – = 12 km/h hay độ lớn vectơ v b 12 km/h Khi đó, ta có tỉ lệ độ dài vectơ v : v a : v b = : 18 : 12 = : : Giả sử dòng nước chảy theo chiều từ trái qua phải, ca nơ A chạy xi dịng từ trái qua phải ca nô B chạy ngược dịng từ phải qua trái Ta có sơ đồ sau: b) Do ca nơ A chạy xi dịng nên vectơ vận tốc v va phương hướng, ca nơ B chạy ngược dịng nên vectơ vận tốc v v b phương ngược hướng Vậy vectơ v, v a , v b có: - Các cặp vectơ phương là: va v b ; va v ; v b v - Các cặp vectơ ngược hướng là: va v b ; v v b Bài 4.1 trang 50 SGK Toán 10 tập 1: Cho ba vectơ a, b,c khác Những khẳng định sau đúng? a) a, b,c hướng với ; b) Nếu b khơng hướng với a b ngược hướng với a ; c) Nếu a b phương với c a b phương; d) Nếu a b hướng với c a b hướng Lời giải + Do vectơ – không hướng với vectơ nên khẳng định a) + Do b không hướng với a nên có hai trường hợp xảy là: b a ngược hướng b a khơng phương Do khẳng định b) sai + Nếu a b phương với c a b có giá song song trùng với giá vevtơ c Suy a b có giá song song trùng nên a b phương Do khẳng định c) + Nếu a b hướng với c a b hướng với Do khẳng định d) Bài 4.2 trang 50 SGK Tốn 10 tập 1: Trong Hình 4.12, vectơ phương, cặp vectơ ngược hướng cặp vectơ Lời giải + Quan sát hình vẽ, ta thấy vectơ a, b,c có giá song song với nên vectơ phương với là: a, b,c + Các cặp vectơ ngược hướng: a b ; b c + Độ dài vectơ a là: ( −2 ) + 42 = ; Độ dài vectơ b ( −1) Độ dài vectơ c 22 + ( −4 ) = ; + 22 = ; Độ dài vectơ d 42 + 22 = Do vectơ a,c,d có độ dài (cạnh huyền tam giác vng có độ dài hai cạnh góc vng 4) Suy a c hướng có độ dài nên Vậy cặp vectơ a c Bài 4.3 trang 50 SGK Toán 10 tập 1: Chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành BC = AD Lời giải + Giả sử tứ giác ABCD hình bình hành ⇒ AD // BC (tính chất hình bình hành) AD BC phương AD BC hướng Mà AD = BC (tính chất hình bình hành) AD = BC + Giả sử tứ giác ABCD có BC = AD suy BC AD phương, hướng độ dài BC = AD (1) AD, BC song song trùng Nếu hai đường thẳng AD, BC trùng bốn điểm A, B, C, D nằm đường thẳng, điều khơng xảy ABCD tứ giác Vậy AD // BC (2) Từ (1) (2) suy tứ giác ABCD hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) Vậy tứ giác ABCD hình bình hành BC = AD Bài 4.4 trang 50 SGK Toán 10 tập 1: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt O Hãy tập S gồm tất vectơ khác , có điểm đầu điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} Hãy chia tập S thành nhóm cho hai vectơ thuộc nhóm chúng Lời giải Các vectơ khác , có điểm đầu điểm cuối thuộc tập hợp {A; B; C; D; O} là: AB, AC, AD, AO, BA, BC, BD, BO, CA, CB,CD, CO, DA, DB, DC, DO, OA,OC,OB,OD Khi đó: S = { AB;AC; AD;AO; BA;BC;BD; BO; CA; CB;CD; CO; DA;DB;DC; DO; OA;OC;OB;OD } Hai vectơ tập hợp S là: AB = DC; BA = CD; AD = BC; DA = CB; OA = CO; OB = DO; OC = AO; OD = BO Khi tập S chia thành nhóm là: Nhóm 1: AB;DC ; Nhóm 2: AD;BC ; Nhóm 3: BA;CD ; Nhóm 4: DA;CB ; Nhóm 5: OA;CO ; Nhóm 6: OB;DO ; Nhóm 7: OC;AO ; Nhóm 8: OD;BO Bài 4.5 trang 50 SGK Toán 10 tập 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ vectơ OA, MN với A(1;2), M(0;‒1), N(3;5) a) Chỉ mối quan hệ hai vectơ b) Một vật thể khởi hành từ M chuyển động thẳng với vận tốc (tính theo giờ) biểu diễn vectơ v = OA Hỏi vật thể có qua N hay khơng? Nếu có sau vật tới N? Lời giải a) Dựng điểm B(0; 2) K(0; 5) Khi OB = 2, BA = 1, MK = 6, KN = Suy hai tam giác OAB MNK tam giác vuông đồng dạng Do BOA = KMN Suy OA // MN MN KN MK = = = OA BA OB Như vậy, hai vectơ OA MN hai vectơ hướng vectơ MN có độ dài gấp lần độ dài vectơ OA b) Vì OA MN hai vectơ hướng nên vật thể khởi hành từ M chuyển động thẳng với vận tốc (tính theo giờ) biểu diễn v = OA vật thể qua điểm N Hơn nữa, sau vật quãng đường OA MN = OA Vậy coi độ lớn OA đơn vị sau khởi hành vật tới N ... định lí Py – ta – go ta có: AB2 = AH2 + BH2 Thay số: AB2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200 AB = 200 = 10 (km) AHB vng H, có AH = BH = 10 km nên AHB cân H HAB = 450 Do từ đảo A, tàu thẳng (không... 45° quãng đường dài 10 km Luyện tập trang 47 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC với cạnh có độ dài a Hãy vectơ có độ dài a có điểm đầu, điểm cuối đỉnh tam giác ABC Lời giải Vì tam giác ABC... CB = a Các vectơ có độ dài a có điểm đầu, điểm cuối đỉnh tam giác ABC là: AB, BA, AC,CA, BC,CB Hoạt động trang 48 SGK Toán 10 tập 1: Quan sát đường Hình 4.5 cho biết nhận xét sau a) Các đường