Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Mở đầu trang 33 SGK Toán 10 tập 1 Lời giải Sau bài học này ta sẽ trả lời được Với góc α cho trước, 0o < α < 180o Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm[.]
Bài Giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180° Mở đầu trang 33 SGK Toán 10 tập 1: Lời giải: Sau học ta trả lời được: Với góc α cho trước, 0o < α < 180o Trên nửa đường tròn đơn vị, vẽ điểm M(x0; y0) cho xOM = Khi đó: sinα = y0; cosα = x0; y0 x0 tanα = x (x0 ≠ 0); cotα = y0 (y0 ≠ 0) Hoạt động trang 34 SGK Toán 10 tập 1: a) Nêu nhận xét vị trí điểm M nửa đường tròn đơn vị trường hợp sau: • α = 90o; • α < 90o; • α > 90o b) Khi 0o < α < 90o, nêu mối quan hệ cos α, sin α với hoành độ tung độ điểm M Lời giải: a) Gọi điểm A có tọa độ A(1; 0) • α = 90o hay AOM = 90o Khi đó, điểm M có tọa độ M(0; 1) • α < 90o hay AOM 90o Do đó, điểm M(x0; y0) nằm cung trịn AC (khơng tính điểm C) thỏa mãn < x0 ≤ 1, ≤ y0 < • α > 90o hay AOM 90o Do đó, điểm M(x0; y0) nằm cung trịn BC (khơng tính điểm C) thỏa mãn −1 ≤ x0 < 0, ≤ y0 < b) Khi 0o < α < 90o Kẻ MH ⊥ Ox, MK ⊥ Oy (H Ox, H Oy) Khi MOH = Gọi điểm M có tọa độ M(x0; y0) Xét tứ giác MKOH có: HOK = 90o (Ox ⊥ Oy) MHO = 90o (MH ⊥ Ox) MKO = 90o (MK ⊥ Oy) Do tứ giác MKOH hình chữ nhật Suy OH = |x0| = x0; MH = OK = |y0| = y0 Ta có OM = (bán kính đường trịn đơn vị) Xét ∆MHO vng H, ta có: sin = MH y0 = = y0 OM Hay sin α = y0 Ta lại có: cos = OH x = = x0 OM Hay cos α = x0 Vậy cos α hoành độ điểm M sin α tung độ điểm M Luyện tập trang 35 SGK Toán 10 tập 1: Tìm giá trị lượng giác góc 120o (H.3.4) Lời giải: Điểm M nằm nửa đường tròn đơn vị cho xOM 120o Hai điểm N, P tương ứng hình chiếu vng M lên hai trục Ox, Oy Ta có: OM = (bán kính đường trịn đơn vị) Ta có xOM NOM 180o NOM 180o xOM 180o 120o 60o Xét tam giác vng MON, có: + sin MON MN OP + cos MON ON MN OM MN sin 60o ON OM cos60o ON MN ON Ta có điểm M nằm bên trái trục Oy (vì xOM Suy điểm M có tọa độ M ; 2 120o góc tù) Do theo định nghĩa ta có: sin120° = , cos120° = − 2 Suy + tan120o sin120o cos120o ( 2) + cot120 o : 2 cos120o sin120o 3 : 2 Hoạt động trang 36 SGK Tốn 10 tập 1: Nêu nhận xét vị trí hai điểm M M’ trục Oy Từ nêu mối quan hệ sin α sin (180o – α), cos α cos (180o – α) Lời giải: Hai điểm M M’ đối xứng với qua trục Oy Tọa độ hai điểm M M’ là: M(x0; y0), M’(–x0; y0) Ta có: xOM = , xOM ' = 180o − Khi đó: ∙ sin α = y0, cos α = x0 ∙ sin (180o – α) = y0, cos (180o – α) = –x0 hay x0 = – cos (180o – α) Do đó: sin α = sin (180o – α) (= y0), cos α = – cos (180o – α) (= x0) Vậy sin α = sin (180o – α), cos α = – cos (180o – α) Luyện tập trang 36 SGK Toán 10 tập 1: Trong Hình 3.6 hai điểm M, N ứng với hai góc phụ α 90o – α (xOM = , xON = 90o − ) Chứng minh ΔMOP = ΔNOQ Từ nêu mối quan hệ cos α sin (90o – α) Lời giải: Ta có: = AOM; 90o − = AON Dễ thấy: AON = 90o − = 90o − NOB = NOB Xét ∆NOQ ∆MOP có: MPO 90o NQO OM = ON = (bán kính đường trịn đơn vị) ( POM = QON AOM = NOB = ) Do ΔNOQ = ΔMOP (cạnh huyền – góc nhọn) Suy OP = OQ (hai cạnh tương ứng) Ta có: OP = cos α, OQ = sin (90o – α) Do đó: cos α = sin (90o − α) Vận dụng trang 37 SGK Tốn 10 tập 1: Một đu quay có bán kính 75 m, tâm vịng quay độ cao 90 m (H.3.7), thời gian thực vòng quay đu quay 30 phút Nếu người vào cabin vị trí thấp vịng quay, sau 20 phút quay người độ cao mét? Lời giải: Giả sử đu quay quay theo chiều kim đồng hồ Gọi M vị trí thấp cabin, M’ vị trí cabin sau 20 phút điểm A, A’, B, H (như hình vẽ) Vì vịng quay 30 phút nên sau 20 phút, cabin quãng đường chu vi đường tròn Sau 15 phút, cabin di chuyển từ điểm M đến điểm B, chu vi đường tròn Trong phút tiếp theo, cabin chuyển từ điểm B đến điểm M’ tương ứng đường tròn hay cung tròn A 'A Do đó: BOM ' = 180o = 60o AOM ' = 90o − 60o = 30o Ta có M 'H = sin 30o OM ' = 75 = 37,5 (m) chu vi Do đó, độ cao người là: 37,5 + 90 = 127,5 (m) Vậy sau 20 phút quay người độ cao 127,5 m Bài 3.1 trang 37 SGK Tốn 10 tập 1: Khơng dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị biểu thức sau: a) (2sin 30o + cos 135o – 3tan 150o) (cos 180o – cot 60o); b) sin2 90o + cos2 120o + cos2 0o – tan2 60o + cot2 135o; c) cos 60o sin 30o + cos2 30o Chú ý: sin2 α = (sin α)2 , cos2 α = (cos α)2 , tan2 α = (tan α)2 , cot2 α = (cot α)2 Lời giải: a) Đặt A = (2sin 30o + cos 135o – 3tan 150o) (cos 180o – cot 60o) Ta có: cos 135o = – cos 45o; cos 180o = – cos 0o; tan 150o = – tan30o; cot60° = tan 30° A = (2sin30o – cos 45o + 3tan 30o) (– cos 0o – tan 30o) Sử dụng bảng lượng giác số góc đặc biệt, ta có: sin 30o = 3 ; tan 30o = ; cos 45o = ; cos 0o = 1; cot 30o = 2 3 Do A 2 2 2 3 3 2 3 3 3 2 3 6 3 6 6 12 3 6 b) Đặt B = sin2 90o + cos2 120o + cos2 0o – tan2 60o + cot2 135o Ta có: cos 120o = – cos 60o; cot 135o = – cot 45o cos2 120o = cos2 60o; cot2 135o = cot2 45o Khi B = sin2 90o + cos2 60o + cos2 0o – tan2 60o + cot2 45o Sử dụng bảng lượng giác số góc đặc biệt, ta có: cos 0o = 1; cot 45o = 1; cos60o = Do B 1 1 12 ; tan 60o = ; sin 90o = 12 c) Đặt C = cos 60o sin 30o + cos2 30o Sử dụng bảng lượng giác số góc đặc biệt, ta có: sin 30o = 1 ; cos30o = ; cos60o = 2 2 Do C 1 2 4 4 Bài 3.2 trang 37 SGK Toán 10 tập 1: Đơn giản biểu thức sau: a) sin 100o + sin 80o + cos 16o + cos 164o; b) 2sin (180o – α) cot α – cos (180o – α) tan α cot (180o – α) với 0o < α < 90o Lời giải: a) Ta có: sin 100o = sin (180o – 100o) = sin 80o; cos 164o = cos (180o – 16o) = – cos 16o Do sin 100o + sin 80o + cos 16o + cos 164o = sin 80o + sin 80o + cos 16o – cos 16o = 2sin 80o b) Với 0o < α < 90o, ta có: sin (180o – α) = sin α; cos (180o – α) = – cos α; tan (180o – α) = – tan α; cot (180o – α) = – cot α Khi đó, 2sin (180o – α) cot α – cos (180o – α) tan α cot (180o – α) = 2sin α cot α – (– cos α) tan α (– cot α) = 2sin α cot α – cos α tan α cot α = 2sin α cos sin cos – cos α cos sin sin = 2cos α – cos α = cos α Bài 3.3 trang 37 SGK Toán 10 tập 1: Chứng minh hệ thức sau: a) sin2 α + cos2 α = 1; b) + tan = (α ≠ 90o); cos c) + cot = (0o < α < 180o) sin Lời giải: a) Gọi M(x; y) điểm đường tròn đơn vị cho xOM = Ta có: OM = (bán kính đường trịn đơn vị) Gọi N, P tương ứng hình chiếu vng góc M lên trục Ox, Oy 2 x = cos x = cos Ta có: (1) y = sin y = sin 2 x = ON x = x = ON Mà (2) 2 y = OP = MN y = y = MN Từ (1) (2) suy ra: sin2 α + cos2 α = ON2 + MN2 = OM2 = (do ∆OMN vuông N) Do sin2 α + cos2 α = (đpcm) b) Ta có: tan = sin (α ≠ 90o) cos sin + tan = + cos cos sin cos + sin = + = cos cos cos Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = với góc α + tan = (đpcm) cos c) Ta có: cot = cos o (0 < α < 180o) sin cos + cot = + sin sin cos sin + cos = + = sin sin sin Mà theo câu a) ta có: sin2 α + cos2 α = với góc α + cot = (đpcm) sin Bài 3.4 trang 37 SGK Toán 10 tập 1: Cho góc α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = Tính giá trị biểu thức: P = 2sin − 3cos 3sin + 2cos Lời giải: Ta có: + tan = (α ≠ 90o) cos = + 32 = 10 cos cos = 10 cos = 10 10 Vì 0o < α < 180o nên sin α > Mà tan α = > cos α > cos = Lại có: sin α = cos α tan α = 10 10 = 10 10 10 − 2sin − 3cos 10 = Do P = 3sin + 2cos 10 + 10 10 10 10 10 10 10 10 (2.3 − 3) 10 = = 11 10 (3.3 + 2) 10 Vậy với α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = P = 11 ... = 10 10 = 10 10 10 − 2sin − 3cos 10 = Do P = 3sin + 2cos 10 + 10 10 10 10 10 10 10 10 (2.3 − 3) 10 = = 11 10 (3.3 + 2) 10 Vậy với α (0o < α < 180o) thỏa mãn tan α = P = 11 ... = (α ≠ 90o) cos = + 32 = 10 cos cos = 10 cos = 10 10 Vì 0o < α < 180o nên sin α > Mà tan α = > cos α > cos = Lại có: sin α = cos α tan α = 10 10 = 10 10 10 − 2sin ... – cot 60o) Ta có: cos 135o = – cos 45o; cos 180o = – cos 0o; tan 1 50 o = – tan30o; cot 60? ? = tan 30? ? A = (2sin30o – cos 45o + 3tan 30o) (– cos 0o – tan 30o) Sử dụng bảng lượng giác số góc đặc