Bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° Bài 3 1 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1 Tính giá trị của biểu thức a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°; b) B = tan45° cot135° sin30° cos120° [.]
Bài Giá trị lượng giác góc từ 0° đến 180° Bài 3.1 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1: Tính giá trị biểu thức: a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135°; b) B = tan45° cot135° sin30° cos120° sin60° cos150°; c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285°; d) D = 12 4tan75° cot105° + 12sin2107° 2tan40° cos60° tan50°; tan 73 e) E = 4tan32° cos60° cot148° + 5cot 108 + 5sin272° tan 18 Lời giải: a) A = sin45° + 2sin60° + tan120° + cos135° Ta có sin 45° = ; sin 60° = ; 2 tan 120° = ; cos 135° = Khi A = = Vậy A = 2 2 1 3 3 2 = b) B = tan45° cot135° sin30° cos120° sin60° cos150° Ta có tan45° = 1; cot135° = 1; sin30° = sin60° = 1 ; cos120° = ; 2 3 ; cos150° = 2 Khi B = (1) = 1 + 3 1 2 + = 4 Vậy B = c) C = cos25° + cos225° + cos245° + cos265° + cos285° Ta có cos45° = ; cos5° = cos(90° 85°) = sin85°; cos25° = cos(90° 65°) = sin65° Do đó: cos25° = sin285°; cos225° = sin265° Khi C = sin285° + sin265° + + cos265° + cos285° C = (sin285° + cos285°) + (sin265° + cos265°) + =1+1+ = 2 Vậy C = d) D = 12 4tan75° cot105° + 12sin2107° 2tan40° cos60° tan50° tan 73 sin 73 Ta có + tan 73° = + cos 73 cos 73 sin 73 = cos 73 cos 73 cos 73 sin 73 = = cos 73 cos 73 = cos273° tan 73 12 = 12cos273° tan 73 Khi đó: D = 12cos273° tan(180° 105°) cot105° + 12sin2107° 2tan(90° 50°) cos60° tan50° = 12cos273° – 4(–tan105°) cot105° + 12sin2 107° 2cot50° cos60° tan50° = 12cos2 73° + 12sin2 73° + 4tan105° cot105° 2cot 50° tan 50° cos 60° = 12(cos2 73° + sin2 73°) + 4.1 – 2.1.cos60° = 12 + Vậy D = 15 = 15 5cot 108 e) E = 4tan32° cos60° cot148° + + 5sin272° tan 18 sin 18 Ta có + tan 18° = + cos 18 cos 18 sin 18 = cos 18 cos 18 cos 18 sin 18 = cos 18 = cos 18 5cot 108 = 5cot2108° cos218° tan 108 = 5[cot(180° 72°)]2 cos218° = 5.(cot72°)2 cos218° = 5.cot272° cos218° Khi đó: E = 4tan32° cos60° cot(180° 32°) + 5cot2 72° cos218° + 5[sin(90° 18°)]2 = 4tan32° cos60° (cot32°) + cot272° cos218° + 5cos218° = 4cos60° + 5cos218° (cot272° + 1) = 4 1 + 5cos218° 2 sin 72 = 2 + 5cos218° = 2 + 5cos2 18° sin 90 18 cos 18 = 2 + = Vậy E = Bài 3.2 trang 32 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc α, 90° < α < 180° thỏa mãn sin α = F tan 2cot tan cot Lời giải: Do 90° < α < 180° nên sinα > 0, cosα < Ta có sin2 α + cos2 α = cos2 α = sin2 α 3 cos α = = = 16 16 4 Mà cos α < nên cos α = 7 = 16 Khi đó: • tan α = Tính giá trị biểu thức: sin 3 : cos 4 7 • cot α = : tan α = 3 Khi F = 3 3 9 14 = 9 3 7 = 23 16 23 : = 16 7 Vậy F = 23 16 Bài 3.3 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = Tính giá trị biểu thức sau: a) G = 2sin α + cos α; b) H = 2sin cos sin cos Lời giải: Do 0° < α < 180° nên sinα > Mà tanα = sin = > nên sin α cos α dấu, cosα > cos sin = nên sinα = 2cosα cos Do tanα = sin2α = 4cos2α Ta có sin2α + cos2α = 4cos α + cos2α = 5cos2α = 1 cos2α = Do cosα > nên cosα = Do sinα = a) G = 2sinα + cosα =2 + 5 = 5 = = 5 Vậy G = b) H = 2sin cos sin cos = = 1 5 = 1 5 5 =5 Vậy H = Bài 3.4 trang 33 SBT Tốn 10 Tập 1: Cho góc α thỏa mãn 0° < α < 180°, tanα = K= Tính giá trị biểu thức sin sin .cos 2sin .cos cos3 sin cos Lời giải: Do 0° < α < 180° nên sinα > Mà tanα = sin = cos > nên sinα cosα dấu, cosα > Chia tử mẫu K cho cos3α ta được: sin sin cos 2sin .cos 4cos3 3 cos cos cos cos3 K= sin cos cos cos3 tan tan tan = 1 tan cos cos = tan tan tan tan 1 cos 2 tan tan tan = tan 1. tan 1 tan tan tan = tan tan tan = 2 = 2 44 2 1 = 3 = 3 1 4 1 2 22 = = 1 = 1 1 2 1 1 1 Vậy K = + 2 Bài 3.5 trang 33 SBT Toán 10 Tập 1: Chứng minh rằng: a) sin4α + cos4α = 2sin2α cos2α; b) sin6α + cos6α = 3sin2α cos2α; c*) sin 6cos cos 4sin Lời giải: a) Ta có (sin2α + cos2α)2 = sin4α + 2sin2α cos2α + cos4α 12 = sin4α + cos4α + 2sin2α cos2α sin4α + cos4α = 2sin2α cos2α Vậy sin4α + cos4α = 2sin2α cos2α b) Ta có (sin2α + cos2α)3 = sin6α + cos6α + 3sin2α cos2α(sin2α + cos2α) 13 = sin6α + cos6α + 3sin2α cos2α sin6α + cos6α = 3sin2α cos2α Vậy sin6α + cos6α = 3sin2α cos2α c) Xét sin4α + 6cos2α + = sin4α + 6(1 sin2α) + = sin4α 6sin2α + = (sin2α 3)2 sin 6cos sin 3 = |sin2α – 3| = sin2α (do ≤ sin2α < nên sin2α – < 0) Xét cos4α + 4sin2α = cos4α + 4(1 cos2α) = cos4α cos2α + = (cos2α 2)2 cos4 4sin cos 2 = |cos2α – 2| = cos2α (do ≤ cos2α < nên cos2α – < 0) sin 6cos cos 4sin = sin2 α + cos2 α = (sin2 α + cos2 α) =51 = Vậy sin 6cos cos 4sin Bài 3.6 trang 33 SBT Tốn 10 Tập 1: Góc nghiêng Mặt Trời vị trí Trái Đất góc nghiêng tia nắng lúc trưa với mặt đất Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào trưa (khoảng 12 giờ), em dựng thước thẳng vng góc với mặt đất, đo độ dài bóng thước mặt đất Khi đó, tang góc nghiêng Mặt Trời vị trí đặt thước tỉ số độ dài thước độ dài bóng thước Góc nghiêng Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ vị trí đo phụ thuộc vào thời gian đo năm (ngày thứ năm) Tại vị trí có vĩ độ ngày thứ N năm, góc nghiêng Mặt Trời α cịn tính theo cơng thức sau: N 10 m 180 23,5° α = 90° cos 365 m = ≤ N ≤ 172, m = 173 ≤ N ≤ 355, m = 356 ≤ N ≤ 365 a) Hãy áp dụng cơng thức để tính góc nghiêng Mặt Trời vào ngày 10/10 năm không nhuận (năm mà tháng có 28 ngày) vị trí có vĩ độ = 20° b) Hãy xác định vĩ độ nơi em sinh sống tính góc nghiêng Mặt Trời theo hai cách đề cập toán (đo trực tiếp tính theo cơng thức) so sánh hai kết thu Lời giải: Tháng 10 tháng 12 có 31 ngày; tháng 11 có 30 ngày Nên từ 10/10 đến hết tháng 10 cịn 21 ngày Do ngày 10/10 năm không nhuận ngày thứ: 365 21 30 31 = 283 năm Vì 173 ≤ N = 283 ≤ 355 nên m = Góc nghiêng Mặt Trời vào ngày 10/10 vị trí có vĩ độ = 20° là: 283 10 1180 23,5° 90° 20° cos 365 ≈ 70° |cos109°| 23,5° ≈ 70° 7,65° ≈ 62,35° Vậy góc nghiêng Mặt Trời vào ngày 10/10 vị trí có vĩ độ = 20° khoảng 62,35° b) Học sinh tự thực việc đo tính theo cơng thức để so sánh Lưu ý vị trí có vĩ độ ngày thứ N năm, góc nghiêng Mặt Trời α cịn tính theo cơng thức sau: N 10 m 180 23,5° α = 90° cos 365 m = ≤ N ≤ 172, m = 173 ≤ N ≤ 355, m = 356 ≤ N ≤ 365 ... tan(1 80? ? 1 05 °) cot1 05 ? ? + 12sin 2 107 ° 2tan( 90? ? 50 °) cos 60? ? tan 50? ? = 12cos273° – 4(–tan1 05 ? ?) cot1 05 ? ? + 12sin2 107 ° 2cot 50? ? cos 60? ? tan 50? ? = 12cos2 73° + 12sin2 73° + 4tan1 05 ? ? cot1 05 ? ?... 10/ 10 vị trí có vĩ độ = 20? ? là: 283 10 11 80? ?? 23 ,5? ? 90? ? 20? ? cos 3 65 ≈ 70? ? |cos 109 °| 23 ,5? ? ≈ 70? ? 7, 65? ? ≈ 62, 35? ? Vậy góc nghiêng Mặt Trời vào ngày 10/ 10. .. cos 25? ? + cos2 25? ? + cos2 45? ? + cos2 65? ? + cos2 85? ? Ta có cos 45? ? = ; cos5° = cos( 90? ? 85? ?) = sin 85? ?; cos 25? ? = cos( 90? ? 65? ?) = sin 65? ? Do đó: cos 25? ? = sin2 85? ?; cos2 25? ? = sin2 65? ? Khi C = sin2 85? ? +