Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 6 Hệ thức lượng trong tam giác Mở đầu trang 38 SGK Toán 10 tập 1 Ngắm Tháp Rùa từ bờ, chỉ với những dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta cũng có thể xác định được khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Th[.]
Bài Hệ thức lượng tam giác Mở đầu trang 38 SGK Toán 10 tập 1: Ngắm Tháp Rùa từ bờ, với dụng cụ đơn giản, dễ chuẩn bị, ta xác định khoảng cách từ vị trí ta đứng tới Tháp Rùa Em có biết sao? Lời giải: Sau ta trả lời được: Đặt cọc tiêu (vật cố định) vị trí đứng, kí hiệu điểm A Sau đó, di chuyển đoạn d (m) đến vị trí B Gọi C vị trí tháp Rùa Tại A B xác định góc A góc B tam giác ABC Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC để tính độ dài cạnh AC Hoạt động trang 38 SGK Toán 10 tập 1: Một tàu biển xuất phát từ cảng Vân Phong (Khánh Hịa) theo hướng đơng với vận tốc 20km/h Sau giờ, tàu chuyển sang hướng Đông Nam giữ nguyên vận tốc tiếp a) Hãy vẽ sơ đồ đường tàu 1,5 kể từ xuất phát (1 km thực tế ứng với cm vẽ) b) Hãy đo trực tiếp vẽ cho biết sau 1,5 kể từ xuất phát, tàu cách cảng Vân Phong kilômét (số đo gần đúng) c) Nếu sau giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay hướng đơng nam) dùng Định lí Pythagore (Pi-ta-go) để tính xác số đo câu b hay không? Lời giải: a) Giả sử tàu xuất phát từ điểm O hình Trong giờ, tàu di chuyển theo hướng đông từ O đến A với quãng đường là: 20 = 20 (km) tương ứng với 20 cm sơ đồ Trong 0,5 tiếp theo, tàu di chuyển theo hướng đông nam từ A đến B với quãng đường là: 20 0,5 = 10 (km) tương ứng với 10 cm sơ đồ b) Trên sơ đồ, khoảng cách từ cảng đến tàu đoạn OB dài khoảng 28 cm Do đó, khoảng cách từ cảng đến tàu thực tế khoảng 28 km c) Nếu sau giờ, tàu chuyển sang hướng nam (thay hướng đơng nam) sơ đồ đường tàu sau: Trong giờ, tàu di chuyển từ điểm xuất phát O theo hướng đông đến A với quãng đường OA 20 = 40 (km) tương ứng với 40 cm sơ đồ Sau tàu di chuyển từ A theo hướng nam tới vị trí điểm B Ta tính quãng đường AB biết thời gian di chuyển Ta có: AB ⊥ OA nên tam giác OAB vng A Khi áp dụng định lí Pythagore ta tính xác OB với OB = OA + AB2 = 1600 + AB2 , ta xác định xác khoảng cách từ điểm B nơi tàu đến tới cảng Vân Phong Hoạt động trang 38 SGK Toán 10 tập 1: Trong Hình 3.8, thực bước sau để thiết lập cơng thức tính a theo b, c giá trị lượng giác góc A a) Tính a2 theo BD2 CD2 b) Tính a2 theo b, c DA c) Tính DA theo c cos A d) Chứng minh a2 = b2 + c2 – 2bc cos A Lời giải a) Xét tam giác BDC vuông D, theo định lý Pythagore ta có: BC2 = BD2 + DC2 Hay a2 = BD2 + DC2 (1) b) Xét ΔBDA vng D, ta có: BA2 = BD2 + DA2 Suy BD2 = BA2 – DA2 = c2 – DA2 (*) Mà DC = DA + AC = DA + b nên DC2 = (DA + b)2 (**) Thay (*) (**) vào (1), ta được: a2 = c2 – DA2 + (DA + b)2 = c2 – DA2 + DA2 + 2b DA + b2 = c2 + b2 + 2b DA Vậy a2 = c2 + b2 + 2b DA (2) c) Xét ΔBDA vng D, ta có: cos = DA DA = c cos α c Mà cos α = cos (180o – A) = − cos A (do góc α góc A bù nhau) Do DA = − c cos A d) Thay DA = − c cos A vào biểu thức (2), ta được: a2 = c2 + b2 + 2b (− c cos A) = b2 + c2 − 2bc cos A Vậy a2 = b2 + c2 − 2bc cos A (đpcm) Câu hỏi trang 39 SGK Toán 10 tập 1: Định lí Pythagore có phải trường hợp đặc biệt định lí cơsin hay khơng? Lời giải: Giả sử ta có tam giác ABC vng A có BC = a, AC = b, AB = c Theo định lí cơsin ta có: a2 = b2 + c2 – 2bc cosA Mà A = 90 nên cosA = Do đó, a2 = b2 + c2 – 2bc = b2 + c2 Khi đó: a2 = b2 + c2 hay bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng (nội dung định lí Pythagore) Vậy định lý Pythagore trường hợp đặc biệt định lý côsin Khám phá trang 39 SGK Toán 10 tập 1: Từ định lý cơsin, viết cơng thức tính cos A, cos B, cos C theo độ dài cạnh a, b, c tam giác ABC Lời giải: Theo định lí cơsin, ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A (1) b2 = a2 + c2 −2ac cos B (2) c2 = b2 + a2 −2ab cos C (3) b2 + c2 − a cos A = 2bc Ta có (1) 2bc cos A = b2 + c2 − a2 a + c2 − b2 b2 + a − c2 cos B = cosC = 2ac 2ba Tương tự từ (2) (3) suy ; b2 + c2 − a a + c2 − b2 b2 + a − c2 cos A = cos B = cosC = 2bc 2ac 2ba Vậy ; ; Luyện tập trang 39 SGK Toán 10 tập 1: Cho tam giác ABC, có AB = 5, AC = A 45o Tính độ dài cạnh độ lớn góc cịn lại tam giác Lời giải: Theo định lí cơsin, ta có: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b2 = a2 + c2 −2ac cos B (*) (trong đó: AB = c, BC = a, AC = b) Khi đó, BC2 = AB2 + AC2 – AB AC cos A = 52 + 82 – cos 45o = 89 40 BC ≈ 5,7 (cm) a + c2 − b2 Từ (*) suy cos B = 2ac Mà a = BC = 5,7; b = AC = 8; c = AB = 5,72 + 52 − 82 217 Suy cos B = =− − 0,11 2.5,7.5 1900 B 97 o Ta có: A + B + C = 180o Suy C = 180o − A − B Do C 180o − 45o − 97o = 38o Vậy BC ≈ 5,7 cm; B 97 o ; C 38o Trải nghiệm trang 39 SGK Toán 10 tập 1: Vẽ tam giác ABC, sau đo độ dài cạnh, số đo góc A kiểm tra tính đắn định lí cơsin đỉnh A tam giác Lời giải: Tiến hành đo cạnh tam giác góc A, ta được: AB = cm, AC = cm, BC = 6,5 cm A 63o Khi đó, ta có: AB2 AC2 BC2 2.AB.AC 52 82 6,52 2.8.6,5 0,45 cos A = cos 63o ≈ 0,45 Do cos A AB2 AC2 BC2 2.AB.AC Vì định lí cơsin Vận dụng trang 39 SGK Toán 10 tập 1: Dùng định lí cơsin, tính khoảng cách đề cập HĐ 1b Lời giải: Tàu xuất phát từ cảng Vân Phong, theo thướng Đông với vận tốc 20km/h Sau giờ, tàu chuyển sang hướng đông nam giữ nguyên vận tốc Giả sử sau 1,5 tàu vị trí điểm B Ta có: quãng đường OA = 20 (km) quãng đường AB = 10 (km) Mà OAB = 135 (do tàu theo hướng đơng nam) Áp dụng định lí cơsin đỉnh A, ta được: OB2 = OA2 + AB2 – OA AB cosOAB OB2 =202 + 102 – 20 10 cos135o OB2 ≈ 782,84 OB ≈ 27,98 Vậy khoảng cách từ tàu tới cảng Vân Phong xấp xỉ 27,98 km Hoạt động trang 39 SGK Toán 10 tập 1: Trong hình đây, tính R theo a sin A ... 1: Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp tam giác a) Nêu mối liên hệ diện tích tam giác ABC diện tích tam giác IBC, ICA, IAB b) Tính diện tích tam giác ABC theo r, a, b, c Lời giải: a)... SGK Toán 10 tập 1: Vẽ tam giác ABC, sau đo độ dài cạnh, số đo góc A kiểm tra tính đắn định lí cơsin đỉnh A tam giác Lời giải: Tiến hành đo cạnh tam giác góc A, ta được: AB = cm, AC = cm, BC = 6, 5... a 53,8 B 36, 44o B 143,56o (loại A + B 230,56o 180o ) Ta có: A + B + C = 180o C = 180o − A − B C 180o − 87o − 36, 44o = 56, 56o Vậy BC = 53,84; B 36, 44o ; C 56, 56o Vận dụng trang