CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 Điện thoại 0946798489 Facebook Nguyễn Vương https //www facebook com/phong baovuong Trang 1 BÀI 1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN I CÁC ĐỊNH NGHĨA 1 Phương trình bậc nhất ba ẩn N[.]
CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN I CÁC ĐỊNH NGHĨA Phương trình bậc ba ẩn Nhận xét - Phương trình bậc ba ẩn phương trình có dạng: ax by cz d , x , y , z ba ẩn; hệ số a , b, c không đồng thời - Nếu phương trình bậc ba ẩn ax by cz d trở thành mệnh đề x x0 ; y y0 ; z z0 số x0 ; y0 ; z0 gọi nghiệm phương trình Hệ phương trình bậc ba ẩn - Hệ phương trình bậc ba ẩn hệ phương trình mà phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn - Bộ số x0 ; y0 ; z0 đồng thời nghiệm tất phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn gọi nghiệm hệ phương trình Hệ ba phương trình bậc ba ẩn có dạng tổng quát là: a1 x b1 y c1 z d1 a2 x b2 y c2 z d2 a x b y c z d 3 Trong x, y , z ba ẩn; chữ lại hệ số; hệ số ba ẩn x, y , z phương trình khơng đồng thời Cho hai hệ phương trình bậc ba ẩn: a1 x b1 y c1 z d1 m1 x n1 y p1 z q1 a2 x b2 y c2 z d2 (I) ; m2 x n2 y p2 z q2 (II) a x b y c z d m x n y p z q 3 3 3 Nhận xét - Nếu tập nghiệm hệ phương trình (I) tập nghiệm hệ phương trình (II) hệ phương trình (I) gọi tương đương với hệ phương trình (II) - Phép biến đổi hệ phương trình bậc ba ẩn hệ phương trình tương đương với gọi phép biến đổi tương đương hệ phương trình bậc ba ẩn Chú ý: Để giải hệ phương trình (I), ta thường thực số phép biến đổi tương đương nhằm dẫn đến hệ phương trình tìm nghiệm cách dễ dàng Ví dụ Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (1;2; 3) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng x y z 13 a) x y z x y z 1 2 x y z 3 b) 5 x y z 16 x y Lời giải Hệ phương trình câu a) khơng phải hệ phương trình bậc phương trình thứ ba chứa z Hệ phương trình câu b) hệ phương trình bậc ba ẩn Thay x 1; y 2; z 3 vào phương trình hệ ta đượcc Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3 3 16 16 Bộ ba số (1; 2; 3) nghiệm ba phương trình hệ Do (1;2; 3) nghiệm hệ Luyện tập Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (3; 2; 1) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng x y 3z a) x y z 15 3 x y z 3 x y z b) 2 x y z 3 x z 4 1 7 Lời giải a) Bộ ba số –3;2; –1 không nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình thứ hệ ta –3 2.2 – –1 1, đẳng thức sai b) Bộ ba số –3;2; –1 có nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình chúng có nghiệm đúng: – –3 –1 4; –3 – –1 –1; –3 – –1 –7 II GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS 5 x y z Ví dụ Giải hệ phương trình: 2 y z 3z 12 Lời giải Ta có: 5 x y z 5 x y z 5 x y z 2 y z 2 y (4) 2 y z 3z 12 z 4 z 4 5 x y z 5 x (4) x 2 y 5 y y z 4 z 4 z 4 Nhận xét: Phương pháp giải hệ phương trình bậc ba ẩn cách biến đổi hệ hệ có dạng tam giác gọi phương pháp khử dần ẩn số hay phuơng pháp Gauss x 3y z Ví dụ Giải hệ phương trình: 5 x y 3z 10 3 x y z Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 CHUN ĐỀ TỐN HỌC 10 Lời giải Ta có: x 3y z x 3y z x 3y z 16 y 7z 5 5 x y 3z 10 16 y 7z 5 3 x y z 16 y z 10 3 x y z x y z x 3y z x 3y z 16 y z 5 16 y (3) 5 y 5z 15 z 3 z 3 x 3.1 (3) x y y z 3 z 3 x y 3z 11 Luyện tập Giải hệ phương trình 2 x y z x y z 3 Lời giải: 4 x y 3z 11 4 x y 3z 11 4 x y 3z 11 2 x 3y z 7 y 7z 7 y z 1 x y z 3 3y 7z 23 x y z 3 4 x y 3z 11 4 x y 3z 11 4 x (3) (2) 11 x y (2) 1 y 3 y 3 y z 1 10 z 20 z 2 z 2 z 2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) (4;1; 2) x 3y z Ví dụ Giải hệ phương trình: 2 x y z x y 3z 1 Lời giải Ta có: x 3y z x 3y z x y z x 3y z 5 y z 5 y z x y z 5 y z x y 3z 1 x y 3z 1 5 y z 0 Phương trình thứ ba hệ vơ nghiệm Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm x 2y 6z Luyện tập Giải hệ phương trình: x y z x y z 13 Lời giải: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x y 6z x y 6z x y 6z 3y z x y z 3y z x y z 13 x y z 13 6 y 8z 8 x y 6z x y 6z 3y z 3y z 3y z 4 0 12 Phương trình thứ ba hệ vô nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm 3 x y 3z Ví dụ Giải hệ phương trình: x y 5z 3 x y 3 Lời giải: 3 x y 3z 3 x y 3z 3 x y 3z 3(1) x y 5z 4 y 12 z 4 y 12 z 0(2) 3 x y 3 3 x y 3 y 3z Hai phương trình (2) (3) tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về: 3 x y 3z 3 x z x z x z y 3z y 3z y 3z y 3z Đặt z t với t số thực bất kì, ta có: x t 1, y 3t Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm x; y; z 2t 1;3t; t với t số thực x y z 1 Luyện tập Giải hệ phương trình y z x y Lời giải: x y 3z 1 x y 3z 1(1) y z 0(2) y z x y 3 y 3z 0(3) Hai phương trình (2) (3) tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về: x y 3z 1 x y 1 3z x 1 z y z y z y z Đặt z t với t số thực bất kì, ta có: x 1 2t , y t Vậy hệ phương trình cho có vô số nghiệm ( x; y; z ) ( 1 2t ; t ; t ) với t số thực III SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM CỦA HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Ta tìm nghiệm hệ ba phương trình bậc ba ẩn cách sử dụng máy tính cầm tay Mỗi máy tính khác có phím khác Tuy nhiên, có quy tắc chung phải mở chương trình giải hệ ba phương trình bậc ba ẩn nhập liệu Ví dụ Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hệ phương trình: 3 x y z x y 5z x 3y z Lời giải Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 Ta thấy hình x 29 60 15 13 Ấn tiếp phím ta thấy hình z 12 29 13 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y; z ) ; ; 60 15 12 Ấn tiếp phím ta thấy hình y Chú ý: MODE để vào chế độ giải hệ phương trình bậc ba ẩn 2 x y z 5 Luyện tập Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hệ phương trình: 4 x y z 3 x y 3z Lời giải: Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: Ta thấy hình x 22 101 131 101 39 Ấn tiếp phím ta thấy hình z 101 22 131 39 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y; z ) ; ; 101 101 101 Ấn tiếp phím ta thấy hình y BÀI TẬP DẠNG CÁC ĐỊNH NGHĨA Câu Kiểm tra xem số ( x; y; z ) cho có nghiệm hệ phương trình tương ứng hay không 1 x 3y 2z 16 (0;3; 2), (12;5; 13), (1; 2;3) a) x y 3z 3x y z 14 3x y z 10 (2; 4;0), (0; 3;10), (1; 1;5) b) x y z 2x y z 8 x y z 100 c) (4;18; 78), (8;11;81),(12; 4;84) 5 x y z 100 Lời giải: a) +) Thay số (0;3; 2) vào phương trình thứ hệ ta được: ( 2) (sai) Vậy số (0;3; 2) nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho +) Thay số (12; 5; -13) vào phương trình thứ hệ ta được: 12 2.( 13) (đúng) Vậy số (12;5; 13) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Thay số (12; 5; -13) vào phương trình thứ hai hệ ta được: 12 ( 13) 16 16 16 (đúng) Vậy số (12;5; 13) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số (12;5; 13) vào phương trình thứ ba hệ ta được: 3 12 ( 13) 14 14 14 (đúng) Vậy số (12;5; 13) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số (12;5; 13) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (1; 2;3) vào phương trình thứ hệ ta được: ( 2) (đúng) Vậy số (1; 2;3) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (1; 2;3) vào phương trình thứ hai hệ ta được: (2) 16 16 16 (đúng) Vậy số (1; 2;3) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số (1; 2;3) vào phương trình thứ ba hệ ta được: 3 1 (2) 14 14 14 (đúng) Vậy số (1; 2;3) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số (1; 2;3) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho b) +) Thay số ( 2; 4; 0) vào phương trình thứ hệ ta được: ( 2) 10 10 10 (đúng) Vậy số ( 2; 4; 0) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số ( 2; 4; 0) vào phương trình thứ hai hệ ta được: ( 2) (đúng) Vậy số ( 2; 4; 0) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Thay số ( 2; 4; 0) vào phương trình thứ ba hệ ta được: ( 2) 8 8 8 (đúng) Vậy số ( 2; 4; 0) nghiệm với phương trình thứ ba hệ cho Vì số ( 2; 4; 0) nghiệm với ba phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (0; 3;10) vào phương trình thứ hệ ta được: 3.0 ( 3) 10 10 43 10 (sai) Vậy số (0; 3;10) khơng phải nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho +) Thay số (1; 1;5) vào phương trình thứ hệ ta được: ( 1) 10 24 10 (sai) Vậy số (1; 1;5) nghiệm phương trình thứ nhất, khơng phải nghiệm hệ cho c) +) Thay số ( 4;18; 78) vào phương trình thứ hệ ta được: 18 78 100 100 100 (đúng) Vậy số (4;18; 78) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số ( ; 18; 78) vào phương trình thứ hai hệ ta được: + 18 78 100 100 100 (đúng) Vậy số (4;18; 78) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (4;18; 78) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số ( 8;11;81) vào phương trình thứ hệ ta được: 11 81 100 100 100 (đúng) Vậy số (8;11;81) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (8;11;81) vào phương trình thứ hai hệ ta được: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 Câu Câu Câu CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 3.11 81 100 100 100 (đúng) Vậy số (8;11;81) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (8;11;81) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho +) Thay số (12; 4;84) vào phương trình thứ hệ ta được: 12 84 100 100 100 (đúng) Vậy số (12; 4;84) nghiệm với phương trình thứ' hệ cho Thay số (12; 4;84) vào phương trình thứ hai hệ ta được: 12 84 100 100 100 (đúng) Vậy số (12; 4;84) nghiệm với phương trình thứ hai hệ cho Vì số (12; 4;84) nghiệm với hai phương trình nên nghiệm hệ phương trình cho Hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Kiểm tra xem ba số (2;0; 1) có phải nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng 4 x 2z x y 3z a) 2 x y z b) 2 x y z 3 x y 6 x y 1 Lời giải a) Đây hệ phương trình bậc ba ẩn Bộ ba số (2;0; 1) có nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình chúng có nghiệm đúng: (1) 2.2 (1) 3.2 2.0 6 b) Đây khơng hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ hai hệ có chứa y Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (1; 2; 2) , (1; 2;3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? 3x y z 2 x y z (1) x y z (2) 4 x y z 3 x y z 1 3 x y z Lời giải Hệ phương trình (1) hệ phương trình bậc ba ẩn Hệ phương trình (2) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn, phương trình thứ hệ có chứa y - Thay x 1, y 2, z vào vế trái phương trình hệ (1) so sánh với vế phải, ta được: Phương trình thứ nhất: (thoả mãn); Phương trình thứ hai: 1 (không thoả mãn) Vậy (1; 2; 2) không nghiệm hệ phương trình (1) - Thay x 1, y 2, z vào vế trái phương trình hệ (1) so sánh với vế phải, ta được: Phương trình thứ nhất: 2 12 (thoả mãn); Phương trình thứ hai: (thoả mãn); Phương trình thứ ba: 3 (thoả mãn) Vậy (1; 2;3) nghiệm hệ phương trình (1) Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (1;5; 2) , (1;1;1) (1;2;3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 4 x y z (1) 4 xz y z 7 x y z 3; x 2z (2) 2 x y z 1 3 x y 7 Lời giải: - Hệ (1) không hệ phương trình bậc ba ẩn phương trình thứ hai hệ có chứa xz -Hệ (2) hệ phương trình bậc ba ẩn +) Bộ ba số (1;5; 2) có nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình chúng có nghiệm đúng: 1 1 7 +) Bộ ba số (1;1;1) không nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình thứ hệ ta 2.1 , đẳng thức sai +) Bộ ba số (1;2;3) có nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình chúng có nghiệm đúng: 1 2.3 (1) 1 (1) 7 Câu Trong hệ phương trình sau, hệ hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (1;2;1),(1,5;0, 25; 1, 25) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? 1 2 x y 3z 3 x y z 6 5 x y z a) 2 x y z b) 3 x yz z c) 3x y z 4 x y z x y z 1 2 x y z Lời giải a) c) hệ phương trình bậc ba ẩn; b) khơng phải phương trình bậc ba ẩn chứa yz +) Bộ ba số (1;2;1) khơng nghiệm hệ a) Vì thay số vào phương trình thứ hệ ta (1) 1 6, đẳng thức sai +) Bộ ba số (1,5;0, 25; 1, 25) không nghiệm hệ a) Vì thay số vào phương trình thứ hệ ta (1,5) 0,25 + (1, 25) 6 , đẳng thức sai +) Bộ ba số (1;2;1) không nghiệm hệ c) 1 Vì thay số vào phương trình thứ hệ ta (-1) - đẳng thức sai +) Bộ ba số (1,5;0, 25; 1, 25) có nghiệm hệ phương trình bậc cho Vì thay số vào phương trình chúng có nghiệm đúng: 1 (1,5) 0, 25 (1, 25) (1,5) 0, 25 (1, 25) 2 (1,5) 0, 25 (1, 25) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 DẠNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Câu Giải hệ phương trình: x y 4z 4 x y z 7 x y 2z 2 c) 3x y 2 a) 3 y z b) 2 y 2 z 10; 3; y z x Lời giải: x 2y 4z x y 4z x 2y 4z x 2y 4z a) 3y z 3y z 3y 5 y 1 2 z 10 z 5 z 5 z 5 x (1) ( 5) x 22 y 1 y 1 z 5 z 5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) (22; 1; 5) 4 x y z 7 x y z 7 4 x y z 7 y y b) 2 y y z y z 3 2 z 4 x y z 7 4 x 3.2 5.1 7 x 2 y y y z z z Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) ( 2; 2;1) x y 2z x y 2z x y 2z 3.10 y y 14 c) 3x y x x 10 10 x 10 10 (14) z z y 14 y 14 x 10 x 10 Câu Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) (2; 14;10) Giải hệ phương trình: 3x y z x y 3z x y z 1 a) 2 x y 3z b) 3x y z c) x y 3z 6 x y z 9; 7 x y z 2 x 3y z Lời giải: 3 x y z 3 x y z 3 x y z 3 x y z a) 2 x y 3z 5 y 13z 8 5 y 13z 8 5.(1) 13z 8 6 x y z 6 x y z y 1 y 3 x y z 3 x (1) 2.1 x 5.(1) 13z 8 z z y 1 y 1 y 1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ( x; y; z ) (2; 1;1) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ x y 6z x y 6z x y 6z x y 6z b) x y z y z y z y z x y 2z 05 y 4z y 8z Phương trình thứ ba hệ vơ nghiệm Vậy hệ cho vô nghiệm x y 2z x y 2z x y 2z c) 3 x y z 2 13 y z 13 y z 4(2) 5x y 5z 13 y z 3 5 x y z Hai phương trình (2) (3) tương đương Khi đó, hệ phương trình đưa về: z 10 x 4y 2z x x 4y 2z 13 5z 13 y 5z y y 5z 13 13 6t 10 5t ,y 13 13 6t 10 5t Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm ( x; y; z ) ; ; t với t số thực 13 13 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss xyz2 x 3y z 5 x y z Đặt z = t với t số thự’c bất kì, ta có: x Câu Lời giải Nhân hai vế phương trình thứ hệ với ( 7) cộng với phương trình thứ hai theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x phương trình thứ hai) x y z 4 y z 10 5 x y z Nhân hai vế phương trình thứ hệ với cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình (đã khử ẩn x phương trình cuối) x y z 4 y z 10 12 y 3z 15 Nhân hai vế phương trình thứ hai hệ với cộng với phương trình thứ ba theo vế tương ứng ta hệ phương trình tương đương dạng tam giác x y z 4 y z 10 15z 15 Câu Từ phương trình thứ ba ta có z Thế vào phương trình thứ hai ta y Cuối ta có x Hệ có nghiệm Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y; z ) (0;1;1) Giải hệ phương trình 2x y z xyz3 5 x y z 10 Lời giải Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 3.1 z z 2 x x y y Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y; z ) (1;3; 2) x y z 6 x y z 6 c) 2 x y z 4 x y 6 x y 6 4 x y 6 x 3y z 6 x y 6 7y 6 Rút z theo x y từ phương 7y 5 y 18 trình thứ hệ ta z x - y Vậy hệ cho có vơ số 3y 4 y 5 y 18 ; y, nghiệm tập nghiệm hệ S y Rút x theo y từ phương trình thứ hai hệ ta x x y z 6 x y z 6 d) 2 x y z 4 x y 6 4 x y 4 x y Từ hai phương trình cuối, suy 6 , điều vơ lí Vậy hệ cho vô nghiệm 3 x y z 3 x y z y 31z 25 4 x y z 11 5 x y z 22 5 x y z 22 3 x y 7z 3 x y 7z y 31z 25 y 31z 25 8y 62 z 56 186 z 144 87 3 x y z x 31 24 y 31 25 y 31 24 24 z z 31 31 87 24 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y; z ) ;1; 31 31 x y z 2 x y z 2 f) 5 x y z 13 y 16 z 16 7 x y z 7 x y z 2 x y z 2 x y z 2 13 y 16 z 16 13 y 16 z 16 13 y 16 z 16 16 16 z 13 Rút x theo y z từ phương trình thứ hệ ta được: Rút y theo z từ phương trinh thứ hai hệ ta y Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 16 16 z 3 4z 3y z 13 2 36 z 22 18z 11 26 13 18 z 11 16 16 z ; ; z y Vậy hệ cho có vơ số nghiệm tập nghiệm hệ S 13 13 Câu 14 Cho hệ ba phương trình bậc ba ẩn sau a1 x b1 y c1z d1 a2 x b2 y c2 z d2 a x b y c z d 3 a) Giả sử x0 ; y0 ; z0 x1 ; y1 ; z1 hai nghiệm phân biệt hệ phương trình Chứng minh x x y y z z ; ; nghiệm hệ 2 b) Sử dụng kết câu a) chứng minh rằng, hệ phương trình bậc ba ẩn có hai nghiệm phân biệt có vơ số nghiệm Lời giải a) Vì x0 ; y0 ; z0 x1 ; y1 ; z1 hai nghiệm phân biệt hệ phương trình nên: a1 x0 b1 y0 c1z0 d1 a1 x1 b1 y1 c1z1 d1 a2 x0 b2 y0 c2 z0 d2 a2 x1 b2 y1 c2 z1 d2 a x b y c z d a x b y c z d 3 3 3 a1 x0 b1 y0 c1 z0 a1 x1 b1 y1 c1 z1 2d1 a2 x0 b2 y0 c2 z0 a2 x1 b2 y1 c2 z1 2d2 a3 x0 b3 y0 c3 z0 a3 x1 b3 y1 c3 z1 2d3 a1 x0 x1 b1 y0 y1 c1 z0 z1 2d1 a2 x0 x1 b2 y0 y1 c2 z0 z1 2d2 a3 x0 x1 b3 y0 y1 c3 z0 z1 2d3 x0 x1 y0 y1 c z0 z1 d b1 a1 1 2 x x y0 y1 c z0 z1 d a2 b2 2 2 x0 x1 y0 y1 c z0 z1 d b3 a3 3 2 x x y y z z Mặt khác x0 ; y0 ; z0 x1 ; y1 ; z1 phân biệt nên ; ; đôi phân 2 biệt với x0 ; y0 ; z0 x1 ; y1 ; z1 x x y y z z Do , , nghiệm hệ 2 a1 x b1 y c1 z d1 b) Xét hệ phương trình bậc ba ẩn a2 x b2 y c2 z d a x b y c z d 3 có x0 ; y0 ; z0 x1 ; y1 ; z1 hai nghiệm phân biệt hệ phương trình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Giả sử hệ có n nghiệm đôi phân biệt x0 ; y0 ; z0 , x1 ; y1 ; z1 , , xn ; yn ; zn Ta chọn hai nghiệm xi ; yi ; zi x j ; y j ; z j thoả mãn xi x j hai số nhỏ tập hợp A x0 ; x1 ;; xn x x j yi y j zi z j ; ; Khi đó, áp dụng câu a) ta i nghiệm hệ 2 xi x j xi x j x xj max xi , x j nên i Mặt khác khác xi , x j không trùng với phần tử 2 tập hợp A Do hệ cho có n nghiệm phân biệt (vơ lí) Vậy hệ có vơ số nghiệm Câu 15 Biến đổi hệ phương trình sau hệ phương trình bậc ba ẩn dạng tam giác giải hệ vừa tìm 3 x y z 1 x y z 2 3 y z Lời giải Nhân hai vế phương trình (2) với 3 , cộng vế với vế phương trình nhận với phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) (3), ta hệ: 3 x y z 1 2 y z 3 2.1 3 y z Nhân hai vế phương trình (3) với 2 , cộng vế với vế phương trình nhận với phương trình (2.1), giữ nguyên phương trình (1) (2.1), ta hệ: 3 x y z 1 2 y z 3 2.1 3.1 6 z 5 Từ phương trình (3.1), ta có z Thay z vào phương trình (2.1), ta y Thay y z vào phương trình (1) , ta x 1 5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ; ; 2 6 Câu 16 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: x y 3z 1 2 x y z x y z Lời giải Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HỌC 10 Nhân hai vế phương trình (3) với -2, cộng vế với vế phương trình nhận với phương x y 3z 1 trình (2), giữ nguyên phương trình (1) (2), ta hệ: 2 x 3y z 7 y 7z 3.1 Nhân hai vế phương trình (1) với 2 , cộng vế với vế phương trình nhận với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) (3.1) , ta hệ: x y 3z 1 7 y 7z 14 2.1 7 y 7z 3.1 Cộng vế với vế phương trình (2.1) với phương trình (3.1), giữ nguyên phương trình (1) (2.1), ta hệ: x y 3z 1 7 y 7z 14 2.1 0 y z 14 3.2 Phương trình (3.2) vơ nghiệm Do đó, hệ phương trình cho vơ nghiệm Câu 17 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: 2 x y z 1 1 x y z 8 x y z Lời giải Nhân hai vế phương trình (3) với -1, cộng vế với vế phương trình nhận với phương trình (2), giữ nguyên phương trình (1) (2), ta hệ: 2 x y z 1 1 x y z 8 6 y 3z 15 3.1 Nhân hai vế phương trình (2) với 2, trừ vế cho vế phương trình nhận cho phương trình (1), giữ nguyên phương trình (1) (3.1) , ta hệ: 2 x y z 1 1 6 y 3z 15 2.1 6 y 3z 15 3.1 Hai phương trình (2.1) (3.1) giống nhau, nên viết hệ phương trình thành: 2 x y z 1 (1) 6 y 3z 15 (2.1) Từ phương trình (2.1), ta có z 2 y , thay vào phương trình (1) ta x 2 y Vậy hệ phương trình có vơ số nghiệm dạng (2 y 3; y; 2 y 5) với y Câu 18 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: x y 3 x y z x y z a) x y z 2 b) x y z c) x y z 1 x y z 3; 2 x y z 2; 4 x y 3z Lời giải: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ a) x 2y x 2y x 2y x 2y x y z 2 4 y z 4 y z 4 y z x 3y z x 3y z y z 2 3z 5 1 x 2y x 2( ) x 3 1 y 4 y y 3 5 z z z 1 5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm ; ; 3 3 3 x y z 3 x y z 3 x y z 3 x y z b) x y z 7 y 5z 1 7 y 5z 1 7 x 5z 1 x y 3z 2 x y z y z 2 7 y 5z 2 Phương trình thứ ba hệ vơ nghiệm, hệ phương trình cho vơ nghiệm x y z x y z x y z x y z 3 y z c) x y z 1 3 y z 3 y z x y 3z 4 x y 3z 3 y z 1 Từ phương trình thứ hai, ta có z y , thay vào phương trình thứ ta x 2 y Vậy hệ phương trình cho có vô số nghiệm dạng (2 y 1; y;3 y 1) Câu 19 Giải hệ phương trình sau phương pháp Gauss: 2 x y x y z x y z 2 a) x y b) x y z c) 2 x y z 2 x y z 3; 3 x y z 4; x y z Lời giải: a) 2 x y 2 x y 2.2 y y 3 x x x x 3y x y z 2 x y z 2 x y z x y z y y x x 2 x y z z Vậy hệ phương trình có nghiệm (2;0;1) b) x y z x y z x y z x y z x y z 2 y z 6 2 y z 6 2 y z 6 3 x y z 3 x y z 4 y z 2 y z x y z 2 y z 6 y z 5 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Điện thoại: 0946798489 CHUYÊN ĐỀ TỐN HỌC 10 Phương trình thứ ba hệ vơ nghiệm, hệ phương trình cho vơ nghiệm x y 5z 2 x y 5z 2 x y z 2 x y z 2 x y 5z 2 c) 2 x y z 3 y z 6 3 y z 6 3 y z 6 y z 2 x 2y z x 2y z 3 x y 6 Từ phương trình thứ hai, ta có y z , thay vào phương trình thứ ta x 3z Vậy hệ phương trình cho có vơ số nghiệm dạng (3z; z 2; z ) DẠNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ TÌM NGHIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH BA ẨN Câu 20 Sử dụng máy tính cầm tay để tìm nghiệm hệ phương trình sau: 1 x y 3z x 3y z x y 3z 0 3 a) x y z 3 b) 5 y z c) 3x y z 2 x y z x y 3z 1 x y z Lời giải: a) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: Ta thấy hình x 4 11 12 Ấn tiếp phím ta thấy hình z 11 12 Vậy nghiệm hệ phương trình ( x; y; z ) 4; ; 7 b) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: Ấn tiếp phím = ta thấy hình y Ta thấy hình No-Solution Vậy hệ phương trình cho vơ nghiệm c) Sử dụng loại máy tính phù hợp, ấn liên tiếp phím: Ta thấy hình Infinite Sol Vậy hệ cho có vơ số nghiệm Câu 21 Dùng máy tính cầm tay tìm nghiệm hệ sau: x y z a) 3 x y z 4 x y z 10 x y 2z b) 2 x y 3z 5 x y z 36 Lời giải a) Ta ấn liên tiếp dãy phím Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Thấy hình dịng chữ "No-Solution" sau: Tức hệ phương trình cho vơ nghiệm b) Ta ấn liên tiếp dãy phím Thấy hình dịng chữ "Infinite Sol" sau: Tức hệ phương trình cho có vơ số nghiệm Câu 22 Sử dụng máy tính cầm tay, tìm nghiệm hệ phương trình sau: x y z 1 2 x y z x y z 1 a) x y z b) x y z c) x y z 1 3 x y z 5; 3 x y z 2; 4 x y z Lời giải: a) Sau mở máy, ấn phím MENU để hình lên bảng lựa chọn Ấn liên tiếp phím 9,1, Tiếp theo, nhập hệ số phương trình cách ấn liên tiếp phím như' sau: Nhập hệ số phương trình thứ nhất: Nhập hệ số phương trình thứ hai: Nhập hệ số phương trình thứ ba: Tiếp theo, ấn liên tục lần phím = để xem kết 2 Ta x y , z 3 2 5 Vậy nghiệm hệ phương trình ; ; 3 3 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ... (thoả mãn) Vậy (? ?1; 2;3) nghiệm hệ phương trình (1) Hệ phương trình hệ phương trình bậc ba ẩn? Mỗi ba số (1; 5; 2) , (1; 1 ;1) (? ?1; 2;3) có nghiệm hệ phương trình bậc ba ẩn khơng? Facebook Nguyễn... Thay số ( 8 ;11 ; 81) vào phương trình thứ hệ ta được: 11 81 10 0 10 0 10 0 (đúng) Vậy số (8 ;11 ; 81) nghiệm với phương trình thứ hệ cho Thay số (8 ;11 ; 81) vào phương trình thứ hai hệ ta được:... z ? ?1 3 x y z Lời giải Hệ phương trình (1) hệ phương trình bậc ba ẩn Hệ phương trình (2) khơng phải hệ phương trình bậc ba ẩn, phương trình thứ hệ có chứa y - Thay x 1, y 2,