Chuyên đề hệ phương trình phương trình

MỤC LỤC CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRINH Đại cương phương trình I KIẾN THỨC CƠ BẢN A Khái niệm phương trình B Phương trình tương đương 1 Phương trình tương đương Phép biến đổi tương đương Phương trình hệ C Phương trình nhiều ẩn D Phương trình chứa tham số II CÁC DẠNG BÀI TẬP E 2 Dạng Tìm điều kiện xác định phương trình Dạng Phương trình tương đương, phương trình hệ Dạng Giải phương trình có điều kiện BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 16 ĐÁP ÁN 57 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT VÀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 58 A Giải biện luận phương trình bậc 58 B Giải biện luận phương trình bậc hai 58 Giải biện luận phương trình bậc hai 58 Định lý Vi-ét – định lý Vi-ét đảo 58 C PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI, PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU CĂN 59 D CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 59 Phương trình 59 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Đại số 10 Phương pháp bình phương hai 59 Phương pháp đặt ẩn phụ 60 Phương pháp nhân lượng liên hợp 60 E HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN 61 Dạng Một số phương trình 61 Dạng Phương pháp bình phương hai vế 64 Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ 66 Dạng Phương pháp nhân lượng liên hợp 71 Dạng Bài toán chứa tham số 77 Dạng Phương trình bậc nhất, bậc hai chứa tham số 81 Dạng Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước 85 Dạng Phương trình trùng phương 87 Dạng Dùng định nghĩa, tính chất giá trị tuyệt đối phương pháp bình phương hai vế 89 1 1 1 Bài tập tự luyện 90 Dạng 10 Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối cách đặt ẩn phụ 93 Bài tập tự luyện 95 Dạng 11 Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có tham số 97 Bài tập tự luyện 98 Dạng 12 Phương pháp nâng lên lũy thừa 99 Bài tập tự luyện 100 Dạng 13 Phương pháp dùng đẳng thức 101 Bài tập tự luyện 103 Dạng 14 Đặt ẩn phụ 105 Bài tập tự luyện 106 Dạng 15 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 107 Bài tập tự luyện 108 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Dạng 16 Đặt ẩn phụ chuyển hệ phương trình 108 Bài tập tự luyện 109 Dạng 17 Đặt hai ẩn phụ 109 Bài tập tự luyện 110 Dạng 18 Đặt hai ẩn phụ chuyển giải phương trình hai ẩn 110 Bài tập tự luyện 111 Dạng 19 Phương pháp nhân liên hợp 111 Bài tập tự luyện 112 Dạng 20 Phương pháp biến đổi thành phương trình tích 112 Bài tập tự luyện 113 Dạng 21 Phương pháp đánh giá hai vế 114 Bài tập tự luyện 115 F BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 116 ĐÁP ÁN 151 1 1 Chương - Đại số 10 PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 153 Dạng Phương trình bậc hai ẩn 153 Dạng Hệ pt bậc hai ẩn; hệ pt bậc ba ẩn (khơng chứa tham số) 155 Dạng Hệ phương trình bậc hai ẩn có tham số 158 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 162 ĐÁP ÁN 222 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG-HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP 224 Dạng Hệ phương trình đối xứng loại I 224 Dạng Hệ phương trình đối xứng loại II 227 HỆ ĐẲNG CẬP BẬC HAI 235 C Chuyên đề 1: Giải hệ phương trình phương pháp 243 A B Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Dạng Phương pháp ẩn 243 Bài tập rèn luyện 244 Dạng Phương pháp biểu thức 245 Bài tập rèn luyện 247 Dạng Phương pháp số 247 Bài tập rèn luyện 248 D Chuyên đề 2: Giải hệ phương trình phương pháp đặt ẩn phụ 250 Dạng Đặt ẩn phụ dạng đại số 250 Bài tập tự luyện 252 Dạng 10 Đặt ẩn phụ dạng tổng - hiệu 253 Bài tập tự luyện 256 Dạng 11 Đặt ẩn phụ hệ có 258 Bài tập rèn luyện 262 Dạng 12 Sử dụng hình giải tích 266 E Chuyên đề 3: Cách nhận dạng hệ giải phương pháp nhân liên hợp 269 Cách giải tổng quát dạng toán 269 Bài tập áp dụng 269 Dạng 13 Nhân liên hợp trực tiếp hai có sẵn phương trình 269 Dạng 14 Thêm bớt số để nhân liên hợp 271 Dạng 15 Thêm bớt biểu thức để nhân liên hợp 274 MỘT SỐ ĐỀ 278 ĐỀ 278 ĐỀ 284 ĐỀ 294 1 1 F CHƯƠNG BÀI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRINH ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH I KIẾN THỨC CƠ BẢN A KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH Phương trình ẩn x mệnh đề chứa biến có dạng f (x) = g(x) (1) f (x) g(x) biểu thức x Ta gọi f (x) vế trái, g(x) vế phải phương trình (1) Điều kiện xác định phương trình (gọi tắt điều kiện phương trình) điều kiện ẩn x để biểu thức phương trình có nghĩa Nếu f (x0 ) = g(x0 ) số thực x0 gọi nghiệm phương trình f (x) = g(x) (1) Giải phương trình (1) tìm tất nghiệm (nghĩa tìm tập nghiệm) Nếu phương trình khơng có nghiệm ta nói phương trình vơ nghiệm (hoặc nói tập nghiệm rỗng) B PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Hai phương trình f (x) = g(x) (1) f1 (x) = g1 (x) nghiệm (có thể rỗng) Kí hiệu (1) ⇔ (2) (2) gọi tương đương chúng có tập PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương Ta có số phép biến đổi tương đương biết sau • Cộng trừ hai vế với số biểu thức • Nhân chia hai vế phương trình với số biểu thức khác Chú ý Các phép biến đổi khơng làm thay đổi điều kiện phương trình phương trình tương đương PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Mỗi nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình (2) ta nói phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1) Kí hiệu: (1) ⇒ (2) Chú ý + Phép bình phương hai vế phương trình khơng phải phép biến đổi tương đương mà phép biến đổi hệ + Khi hai vế phương trình khơng âm, bình phương hai vế phương trình ta phương trình tương đương Cơng thức ® √ B≥0 A=B⇔ A = B2 Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Khi giải phương trình, khơng phải lúc ta áp dụng phép biến đổi tương đương, nhiều trường hợp ta phải thực phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế phương trình với đa thức Lúc để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại nghiệm tìm https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ C Chương - Đại số 10 PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN Ngồi phương trình ẩn, ta cịn gặp phương trình có nhiều ẩn số Nghiệm phương trình hai ẩn x, y cặp số thực (x0 ; y0 ) thỏa mãn phương trình đó, cịn nghiệm phương trình ba ẩn x, y, z số thực (x0 ; y0 ; z0 ) thỏa mãn phương trình Ví dụ Cho phương trình 3x + 2y = x2 − 2xy + 4x2 − xy + 2z = 3z + 2xz + y (1) (2) Phương trình (2) phương trình hai ẩn (x y), cịn (3) phương trình ba ẩn (x, y z) Khi x = 2, y = hai vế phương trình (2) có giá trị nhau, ta nói cặp (x; y) = (2; 1) nghiệm phương trình (2) Tương tự, ba số (x; y; z) = (−1; 1; 2) nghiệm phương trình (3) D PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Trong phương trình (một nhiều ẩn), ngồi chữ đóng vai trị ẩn số cịn có chữ khác xem số gọi tham số II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tìm điều kiện xác định phương trình Phương pháp Điều kiện để bậc chẵn xác định: Biểu thức phải có nghĩa khơng âm Điều kiện phân thức xác định: Mẫu thức phải có nghĩa khác Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình √ √ √ √ √ √ x − + − x = − 2x 2x − + x + = x + √ √ √ √ √ √ √ √ 5x − + −2x + = x + − − x x − + 2x − = −2x + − 15 + 5x Lời giải Phân tích Điều kiện xác định phương trình biểu thức không âm   x≥1  x − ≥     Điều kiện xác định: − x ≥ ⇔ x ≤ ⇔ ≤ x ≤     x ≤ 9 − 2x ≥      2x − ≥ x ≥ 2 Điều kiện xác định: x + ≥ ⇔ x ≥ −3 ⇔ x ≥      x+1≥0 x ≥ −1    x≥   5x − ≥        − 2x + ≥  3 Điều kiện xác định: ⇔ x ≤ ⇔ ≤ x ≤   x + ≥       x ≥ −1   1−x≥0  x≤1 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Đại số 10   x≥1   x−1≥0       2x − ≥ x ≥ 3 ⇔ ≤ x ≤ Điều kiện xác định: ⇔   − 2x + ≥   x≤2       15 + 5x ≥ x ≥ −3  Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình √ √ √ 2x − 1 2x − 1 x √ + x+2= √ +√ = √ x+1 3−x − 2x x+2 x+1 √ √ √ √ √ 5x + + −2x + √ x − + 2x + √ √ = x+1− 1−x x √ 2x − − √ −2x + + 15 + 5x √ √ x − 2x − = Lời giải Phân tích Điều kiện xác định phương trình biểu thức không âm mẫu thức khác   x       x + ≥ x ≥ −2 1 Điều kiện xác định ⇔ ⇔ ≤ x <   2x − ≥ x≥         x + 6= x 6= −1   x       x + > x > −2 Điều kiện xác định ⇔ ⇔ ≤ x <  x ≥ 2x − ≥         x+1>0 x > −1   1   x≥− x ≥ −     5           x ≤ x ≤       x ≥ −1 x ≥ −1 ⇔ ⇔ ⇔ ≤ x < Điều kiện xác định    1−x≥0 x≤1 x≤1             1    2x − ≥       x≥ x≥    √   2   2x − − 6=   2x − 6= x 6=   5x + ≥    − 2x + ≥     x + ≥ Điều kiện xác định  x−1≥0      2x + ≥        − 2x + ≥  x≥1       x ≥ −       x ≤    x≥1       x ≥ −       x ≤   15 + 5x ≥ ⇔ x ≥ −3 ⇔ < x ≤ ⇔ x ≥ −3          x>0 x>0 x>0                1 2x − ≥       x≥ x≥    √ √     2   x − 2x − 6=   x 6= 2x − x 6=  Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Đại số 10 2x −5= +1 x +1 x2 x2 − = x+2 x−2 x −4 4x − 5x 9x + − = − 5x + x − 6x + x − 7x + 12 Lời giải Phân tích Điều kiện xác định phương trình biểu thức mẫu khác Điều kiện xác định x2 + 6= (luôn đúng) Vậy điệu kiện xác định phương trình x ∈ R ® ® x + 6= x 6= −2 ⇔ Điều kiện xác định: x − 6= x 6=     x − 5x + 6= x 6= 2 Điều kiện xác định: x − 6x + 6= ⇔ x 6=     x 6= x − 7x + 12 6=  Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình √ √ √ 2x − 1 x+2 √ + x+2= + x+2= 2 x + − x x +x−2 3−x √ √ x−1 √ 2x − x−2 7x = 5x + = −x + − −√ x −1 x x−2 x − 4x + − 2x Lời giải Phân tích Điều kiện xác định phương trình biểu thức không âm mẫu thức khác   x       x + ≥ x ≥ −2 1 Điều kiện xác định ⇔ ≤ x < ⇔   2x − ≥ x≥         x + 6= x 6= −1   x 6= ±2   ®   4 − x 6= x ≥ −2 x > −2 ⇔ ⇔ Điều kiện xác định x + ≥  x 6= x∈ / {1; 2}     x2 + x − 6= x 6= −2   x−1≥0 x≥1             −x+3≥0 x ≤ x2 − 6=     x 6=    x − 6= x 6= ±1 ⇔ x ∈ (1; 3] \ {2}    x 6=     x 6=   x 6=    x − 4x + =   ï ã x 6=  ⇔ x ≥ ⇔ x ∈ 2; Điều kiện xác định x − ≥ \ {3}      − 2x >   x < Điều kiện xác định ⇔  Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Đại số 10 Dạng Phương trình tương đương, phương trình hệ Phương pháp Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu nghiệm phương trình f (x) = g(x) nghiệm phương trình f1 (x) = g1 (x) phương trình f1 (x) = g1 (x) gọi phương trình hệ phương trình f (x) = g(x) Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng • Cộng (trừ) hai vế phương trình với biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho • Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho • Bình phương hai vế phương trình (hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Ví dụ Giải phương trình sau: √ √ 2x − = 4x2 − 15 √ x2 − 3x + = − 2x Lời giải Phân tích p p p Để giải phương trình có dạng f (x) = g(x), f (x) = g(x) ta thường dùng hai cách sau: + Cách 1: Bình phương hai vế ta phương trình hệ thử lại + Cách 2: Biến đổi ® tương đương ® p p p p f (x) ≥ g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) ⇔ f (x) = g(x) f (x) = g(x) ® p g(x) ≥ f (x) = g(x) ⇔ f (x) = [g(x)]2 ® 2x − ≥ Cách 1: Điều kiện xác định: (*) 4x2 − 15 ≥ ä2 √
Ä√ √ √ 2x − = 4x2 − 15 ⇒ 2x − = 4x2 − 15 ⇔ 2x − = 4x2 − 15  x=2 ⇔ 4x2 − 2x − 12 = ⇔  x=− Thay vào điều kiện (*) ta thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x =     x≥  ®  x ≥  √ 2x − ≥ √ 2 x=2 Cách 2: 2x − = 4x − 15 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x=   2x − = 4x2 − 15   4x − 2x − 12 =    x = −3 2 Vậy phương trình có nghiệm x = Å ã 3 − 3x + ≥ ⇔ x − + ≥ (luôn với x ∈ R ) Cách 1: Điều kiện xác định Bình phương hai vế phương trình ta √ x2 − 3x + = − 2x ñ⇒ x2 − 3x + = (3 − 2x)2 ⇔ x2 − 3x + = 4x2 − 12x + x=1 ⇔ 3x2 − 9x + = ⇔ x = x2 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Đại số 10 Thay vào phương trình ta thấy có x = nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x =  ® x ≤ √ − 2x ≥ Cách 2: x2 − 3x + = − 2x ⇔ ⇔  x2 − 3x + = (3 − 2x)2 x − 3x + = − 12x + 4x2     x ≤ x ≤ 2 ⇔ ⇔ ñx = ⇔ x =    3x − 9x + =  x=2 Vậy phương trình có nghiệm x =  Ví dụ Giải phương trình: |2x + 1| = |x − 2| |2x + 1| = x − Lời giải Phân tích Để giải phương trình có dạng |f (x)| = |g(x)|, |f (x)| = g(x) ta thường dùng hai cách sau: + Cách 1: Bình phương hai vế ta phương trình hệ + Cách 2: Biến đổi đ tương đương f (x) = g(x) |f (x)| = |g(x)| ⇔ g(x) = −g(x)  g(x)  ñ ≥ |f (x)| = g(x) ⇔ f (x) = g(x)   f (x) = −g(x) Cách 1: Phương trình tương đương với (|2x + 1|)2 = (|x − 2|)2 ⇔ 4x2 + 4x + = x2 − 4x +  x = −3 ⇔ 3x2 + 8x − = ⇔  x= Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3 x = 3 ñ x = −3 2x + = x − Cách 2: |2x + 1| = |x − 2| ⇔ ⇔ 2x + = −x + x= Vậy phương trình có hai nghiệm x = −3 x = 2 2 2 Cách đ 1: Ta có |2x + 1| = x − ⇒ (2x + 1) = (x − 1) ⇒ 4x + 4x + = x − 2x + ⇔ 3x + 6x = ⇔ x=0 x = −2 Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm     xđ − ≥ xñ ≥ Cách 2: |2x + 1| = x − ⇔ 2x + = x − ⇔ x = −2 (khơng có giá trị thỏa mãn)     2x + = −x + x=0 Vậy phương trình vơ nghiệm  Ví dụ Tìm chỗ sai (nếu có) phép giải phương trình sau: √ Giải phương trình x − = |x − 1| (1) Ta có (1) ⇔ x − = (x − 1)2 ⇔ = x − ⇔ x = Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra , t ≥ x + = Đặt t = x+2 2x − t Phương trình trở thành Th.s Nguyễn Chín Em 95  https://emncischool.wixsite.com/geogebra https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Chương - Đại số 10 ñ t = −1 (loại) t−2· =1⇔t −t−2=0⇔ t t = (nhận)  2x − = (vô nghiệm) 2x −