chuyên đề hệ phương trình

chuyên đề hệ phương trình tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực ki...

Trang 1

HE PHUoNG TRINH 1.Các hệ phương trình cơ bản A Hệ phương trình đối xứng : x,y)=0 Dang tt ?) s(x.y)=0 Tức là {re y)= ƒŒ,*) 8Œ, y)= 8(y;) Cách giải:

e _ Thông thường người ta đặt ẩn phụ: S=xt+y hay S=x-y

P=xy f(S,P)=0 > g(S,P)=0 Vi du: Giai hé xy+xy =6 xy+x+y=5

Như đã nói ở trên, ta hãy đặt Š = x+ y; = xy và hệ đã cho trở thành

SP=6 S=2 S=3

> hay

S+P=5 P=3 P=2

Từ đây ta dễ dàng tìm được các nghiệm (+z, y) sau:

(x, y) = 0,2);(2,D

s _ Nhưng để phương pháp trên áp dụng hữu hiệu thì ta nên biến đổi một chút các Ân

sô đê sau khi đặt ân phụ, ta được những phương trình nhẹ nhàng hơn xy+x+y=5

(x+1+(y+U)`=35

Đặt 9 =(x+1)+(y+1);P=(x+1)(y +1) ta sẽ có hệ phương trình sau

P=6 S=5 x=3 x=2

2 > > hay

S$ (S?-3P)=35 P=6 y=2 y=3

x+y+32 +y?=8 xy(x+1)(y+1) =12

mà ở đó vai trị của x,y như nhau

sau đó tìm được Š,P và tìm được các nghiệm (x, y)

Ví dụ l: |

Ví dụ 2: |

S=xt+y

„ ta thu được hệ sau: P=xy

Ở đây theo thông lệ chúng ta hãy thử đặt | S?+§9-2P=§

Trang 2

Rõ ràng mọi chuyện không đơn giản chút nào Tuy nhiên có lẽ các bạn cũng sẽ nhận ra sự tỉnh tế trong bài tóan, đó là ở bậc của mỗi phương trình Phương trình đầu tiên bậc 2 có lẽ chứa P Thể nhưng nó khơng ở một dạng tích thuận tiện nào,trong khi phương trình thứ hai lại ở đạng tích và bậc 4,gấp đôi bậc 2 Nếu các bạn nhìn trong biểu thức S và P,bậc của P gấp đôi bậc của S,như vậy phải chăng phương trình thư nhất là S,thứ hai là P Nếu vậy thì các giá trị x và y trong P là gì Quan sát phương

trình thứ hai các bạn có thể dé dang nhận ra sự tỉnh tế này, đó là x(x+1) và y(y+1)

Từ ý tưởng này ta đặt: a=x(x+l)

b=y(+l

Hệ đã cho tương đương với:

a+b=8 a=6 a=2

=> hay

ab =12 b=2 b=6

Như vậy (+, y) là nghiệm của các phương trình sau:

)P+t=2>14,=1 v t,=-2 i)? +t=6>1,=2 v t,=-3

Tóm lại nghiệm của hệ đã cho là:

(zx, y)=(,=2);(—~2,);(2,~3);(—3, 2) B Phương trình đối xứng lọai 2:

ƒ (x, y) =0 f(y,x) =0

Đối với dang hệ phương trình này, ta có thể đưa về một dạng hệ tương đương sau:

Tang ƒŒ.y)+ ƒGŒ,z)=0

Hệ phương trình mới mà các bạn thu được là một hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta

à h(x, y)= ,y)— > 3

đã xét ở phần trên Thật vậy nếu đặt { (Œ.y)= /GŒ: ý)” ƒC*®) Ta sẽ đựa hệ về

øŒ,y)= ƒ(Œ,y)+ ƒ(@,3)

dạng:

h(x,y)=0„ |h(x,y)==h(y,x) Ở đó øsŒ,y)=0 8Œ, y)= 8(y,*)

Có thể các bạn thấy rang h(x, y) khơng đối xứng hịan tịan (nửa đối xứng) Tuy

nhiên ở đây có thể chấp nhận được bởi lẽ hệ ta ở dang h(x, y) =0.(Nếu các bạn vẫn

thấy ray rứt vì điều này thì các bạn hãy viết duéi dang h(x, y) = 0 chang phải h”(x, y) đối xứng đó sao Chú ý thêm là tác giả chỉ muốn các bạn nắm bắt mối quan hệ của sự đối xứng và nửa đối xứng một cách rõ ràng hơn, chứ trong lúc giải bài tập các bạn chớ bình phương lên nhé ©)

Trang 3

[re yea) mà ở đó {feo =t' f(x,y)

sứ, y)=b(2) sí,)=f“ø#Œ,y)

Ở đây điều kiện thứ hai các bạn có thể hiểu một cách đơn giản là các đơn thức trong

các hàm ƒ và ø là đông bậc (bậc của đơn thức hai biên x,y là tông các bậc của x và y) Nhận xét này sẽ giúp cho các bạn nhận biết được phương trình đẳng cấp một cách

dê dàng hơn `

Cách giải tông quát ở đây là đưa vê phương trình: Bƒ (x y)—ag(z, y)=0.,ở đó a,b khơng đồng thời bằng 0

Nếu a,b đồng thời bằng 0 Ta giải riêng các phương trinh f(x, y)=0; g(x, y)=0 va

so sánh nghiệm |

Cách giải tương tự như phương trình bf (x, y)—ag(x, y) = 0 nên các bạn có thê tham khảo bên dưới

'Ta xét 2 trường hợp

¡)x =0 là nghiệm của hệ phương trình Điều này thì các bạn chỉ cần thế x = 0 và giải

phương trình một biến theo y

Trường hợp này ta thu được nghiệm (+, y) = (0, y,)

¡¡) Trường hợp này ta sẽ tìm các nghiệm khác (0, y,) Chia hai về cho x* trong 46 k là bậc của ƒ Đặt ;= ~ Ta dua về phương trình theo 4n z Giải phương trình này

y

ta tìm được tỉ số 5 Sau đó thay x thành ty trong (1) Giải phương trình này theo ẩn y, ta sẽ rút ra được các nghiệm của bài todn (ty,, y,)

Ví dụ:

3x?—2xy+2y?=7 fe +6xy—3y? =—8 Hệ đã cho tương đương với:

24x? —16xy+16y” =56 {re +42xy—2ly? =—56 24x” =16xy+16y? =56 ne +26xy—5y? =0(*®) Ta giải (*) 31x? + 26xy -Sy? =0 > Glx-Sy)(x+ y) =0(**) 31x-Sy =0(1) x+y=0(2)

Trang 4

II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực:

A.Dùng bất đẳng thức :

Dấu hiệu cho phép ta sử đụng phương pháp này là ta sẽ thấy số phương trình trong hệ ít hơn số ẩn

Ví dụI Giải hệ phương trình nghiệm dương : x+y+z=3

(I+x)(I+y)(1+z)=(I+‡z}

Giải:

3

VI = 1+x+y+z+(Xy+yz++)+xyz >1+38Íxyz +3‡Í(xyz)” +xyz =(I+‡fez} Suy ra dấu bằng xây ra khi x=y=z=l

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình : Mã ng =Jy-I+JjJy-3+y-5 x+y+x”+y?=80 Giải: Đk: x >—l; y >5 Giả sử x>y-6=`VT >VP x*<y-6>VT<VP Suy ra x= y-6

Đến đây bạn đọc có thê tự giải Ví dụ 3: Giải hệ :

3x, Ay 22

x+l y+l z+l 83x°y“z? =1 Giải:

-Bài tóan này có sơ ân nhiêu hơn sơ phương trình vì vậy ta sẽ sự dụng bat đăng thức -Nhận xét : bậc của x,y,z khác nhau nên ta sử dụng Cauchy sao cho xuât hiện bậc giông hệ 1 2x 4y 2z _ + Tacó: x+l x+l y+l z+l Áp dụng Cauchy 8 số: 1 x1 2,4 2 Tự XS 4,7 4,747," 4+; 238 xyz

Trang 5

Hoan toan tương tự : 1 xyz? >8sÌ—————————z ytl (x+1) (y+1) (z+1) 1 x 4c ——>g,,— *** — z+l (x+1) (y+1) (z+1) Từ các bất đẳng thức thu được ta có: 1 1 1 24 32_16 >8; x35 (I+z} (+>z}' (+zŸ (1+x)" (14+ y)? (142) =##\y!z”<l kay 2 x y Zz 1 1

dâu băng xảy ra â ===ôâx=y=z=_~

x+l y+l z+l 9 8

" xtey?= 27

Ví dụ 4: giải hệ: 81

x+y’ +xy-3x-4y+4=0 Giai:

-Vi dụ này chúng tôi muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị của x,y nhờ điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai

-Xét phương trình bậc hai theo x:

+?+zx(y~3)+y”~4y+4=0

=(y-3)`~4(y-2)”<0(y-10(3y-7)<0œ1<y<

6Ï»

Tương tự xét phương trình bậc hai theo y thì ta có 0< x s

4 2

Suy ra: x + y”< 4 + 7 = 097

3 3 81

4 _7 a ak a page pe gag Khê

=>x= 3 vay= 3 Tuy nhiên thê vào hệ thì bộ nghiệm này khơng thỏa Vì vậy hệ phương trình vơ nghiệm

Trang 6

Ý tưởng của bài tóan này là ta phải đóan nghiệm của hệ là x= y = z =1,sau đó chứng

minh là x>1 hay zx<1 đều vơ nghiệm

Nếu x>l=2=zÌ—z!+2z?x>z)=zt°+2z? = 0>(z-1)(z*+2z+2)

Do z*+2z+2 luén duong nén 1>z Tuong tu > y>l>x<l>V6li

Tương tự x<1l= vơ lí.Vậy x=l= y=l=z=l

Giải các hệ: B.Đặt ẩn phụ: 5) 2 2 ¬

Bài tâp luyện tập

21> +6y =1988 x’ =(y-1)(z+2) x 2)4y”=(z—1)(x+2) 2° =(x-1)(y+2) 2 3)421~ +6z =1988 y 21> +6x=1988 2 z x?+y?+z?=3 2 y 2 x

Đơi khi bài tóan sẽ phức tạp nếu ta giải hệ với ẩn (x,y,z ) nhưng chỉ sau một phép

Trang 7

x*y+z)”=Œ@x?+x+I)y?z?

y(x+z)? =(4y?+y+l)x?z?

z*(x+y)?=(5z?+z+1)x”y?

Nếu x=0 dễ dàng suy ra được: y= z=0.Như vậy (x, y,z) = (0,0,0) là một nghiệm của hệ

Ta tìm các nghiệm khác (0, 0,0)

Chia hai về cho x’ y’z” ta thu được hệ tương đương:

Ta lai dat a= Tự =1, al ta nhận được: # y Zz (a+b}?=c?+c+5() (b+e}=a?+a+3(2) (a+e)? =b?+b+4@) (2)~() = (a~b)(2(a+b+e)+1) =1 ()~(@)=(b~e)2(a+b+e)+1)=1

Từ đây suy ra ø—b=b—c >a+c=2b Thay vào (2) ta được 3b”—b+4=0

Từ đây các bạn có thể dễ dàng giải tiếp bài tốn Ví dụ 3: Giải hệ

x°(6+21y)=1 oe -6)=21

Nếu giải hệ với ẩn (x, y) thì ở đây ta thật khó đề thấy đwocj hướng giải

1 Nhưng mọi chuyện sẽ rõ ràng khi ta đặt x=—

“

zÌ=2ly+6 y`=2lz+6

Đây là hệ đối xứng mà ta có thể dé dàng tìm ra đước hướng giải ©

Sau đây là bài tập áp dụng dành cho bạn đọc: Bài tập luyện tập

Trang 8

2x?+2x+y”+2=6 fans Bai 2: Giai hé: (xt y+z) =128 (y+z+Ð =12x° (zt+t+x)? =12y° (tt+x+yy =122° C.Tính các đại lượng chung

Y tưởng của phương pháp này là tính các đại lượng trong đó Ví dụ 1:Giải hệ: xy+y+2x+2=4 yz+2z+3y=6 (*) Xz+z+3x =5 (x+l(y+2)=6 (9 © 4(y+2)( +3) =12 = (x+l)(y+2)(z+3) = £24 (z+3)(x+1) =8

Từ đây các bạn có thẻ có thể giải tiếp một cách đễ đàng

Ví dụ 2:Giải hệ: ut+v=2(l) ux +vy = 3(2) ux’ +vy? =5(3) ux? +vy° =9(4) Giai:

Nhan x+y vao (3)

= uy) +vy°+ux”y+vxy” =5(x+ y) =2S9+3xy=5(x+y)

Nhân x+ y vào (2) => ty„+vx=2(x+ y)—3

Nhân x”+yŸ vào (2)

3(x? + y7?)=9+ xy(uy + vx) =9 + xy [2x4 y)—3] Dat a=x+y;b=xy

Trang 9

x?+y?+z?+/” =50 Vay tz? -1 =-24 xz = yt x-y+z+t=0 Bài 2:Giải hệ y°—xz=b z?—xy=c_ (a,b,c là những hằng số) x’ -yz=a Bài 3:Giải hệ ax+by =(x—y)Ÿ by+cz=(y—z)? (a,b,c là những hằng số) cz+ax=(z—*x)Ÿ Bài 4:Giải hệ x*+x(y—z)”=2 y`+y(z—z)”=30 z?+z(x- y)” =l6 D.Nhân liên hợp SỐ

Phương pháp này chủ yêu bỏ dâu căn thức đề dễ tính tốn hay đề xuât hiện những đại lượng có thê đặt ân phụ

Trang 10

u+v=10 11 2 uv 5 „+y=10 > uv =25 =Su=y=5>x=y=2 Ví dụ 2: Giải hệ: nà me y+42x [s+ ` ta y+42x Giải:

Từ hệ ta suy ra điều kiện: x,y>0

Hệ đã cho tương đương với: 4 2 =6 ay Ve 10 2 4° y+42x Vx 2y l5 1 2 y+42x “x y => 15xy =(y—2x)(y + 42x) = y?+25xy—84x” =0 =@Gzx-y)(y+28x)=0 3x= => ỷ oe

Trường hợp thứ hai ta loại do không thỏa điều kiện x, y >0 Thay vào hệ ban đầu ta thu được nghiệm sau:

5+2\6 5+2\6

(x,y)= >

27 9

Bai tap luyén tap Bai 1: Giai hé

Trang 11

Bai 2: Giải hệ

thụ +4jxy+ =5-42

(x=D@-D=l Bài 3: Giải hệ

Veta Fee yin =-Ð

y+xz+2j(Œœx+J)(y+l)=0

Kết thúc bài viết là phần bài tập tổng hợp các mục về hệ phương trình mà ta đã xem xét:

IIDBai tap tông hợp

Bài I: Giải các hệ phương trình sau:

?y+xy” =6 a) xy+xy =6 xy+x+y=5ð5 4 2.2 4 x +xy +y =2l1 »{ Da x -xy+y =7

Bai 2: Giai hé phuong trinh sau:

xtytx+y =8

+x(x+])+ y(y+1)=12 Bài 3:Giải hệ phương trình sau:

"mm

x\|y =-2 Bài 4:Giải hệ phương trình sau:

x-y=6

te -y =126

Bài 5:Giải hệ phương trình sau: x+y? =2a