Chuyên đề hệ phương trình

Trang 1

288

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

CHUYÊN ĐỀ 5:

Trang 2

289

Dang Thanh Nam

Trang 3

290

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam

Dang Thanh Nam

Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam Email : dangnamneu@gmail.com

Yahoo: changtraipkt Mobile: 0976266202

Cùng với phương trình, bất phương trình vơ tỷ thì hệ phương trình là bài tốn ln xuất hiện trong đề thi các năm

Thứ tự ưu tiên các hướng khi giải hệ phương trình

+ Các hệ mà 2 phương trình của hệ có dạng tương đương thì trừ 2 vế của hệ, hoặc cộng 2 vế của

hệ sẽ được nhân tử chung

+ Biến đổi tương đương hệ phương trình đã cho, biến đổi rút ra một phương trình trong hệ là phương trình tích

+ Các hệ có biệt thức xy x; y x;( y) ;2 xy x; 2y2, đặt u xy v; xy

+ Có các nhân tử chung ở các phương trình của hệ thì đặt ẩn phụ

+ Thường thì Đề thi Đại Học cho đặt ẩn phụ nhưng ta không thể nhận thấy ngay được nên đặt cái gì Vì vậy phải chia hoặc nhân với một biểu thức của biến nào đó( chẳng hạn như

23, , , , ,

x y x x xy ) sau đó mới đặt ẩn phụ được

+ Hệ có một phương trình dạng là hàm bậc 2 của x hoặc của y, giải phương trình này theo ẩn đó sẽ rút ra x theo y(hoặc ytheo x )

Trang 4

291

Dang Thanh Nam

PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

BÀI TẬP MẪU

Bài 1 Giải hệ phương trình:

2232225 4 3 2( ) 0 (1)( , )( ) 2 ( ) (2)x yxyyxyx yxy xyxy         Lời giải:

Biến đổi phương trình thứ hai của hệ:

2222222( ) 2 ( ) ( ) 2 2 ( )xy x y   xy xy xy  x y   xy 22(xy) (xy 1) 2(xy 1)(xy 1) 0 (xy 1)((xy) 2(xy 1)) 0             22221( 1)( 2) 02xyxyxyxy       

(i) Với xy 1, thay vào (1) ta được: 5x y2 4xy23y3 2xy x( y) 0

22323x y 6xy 3y 0 y x( y) 0       , nhưng do xy 1nên 11xyxyxy      

(ii) Với x2y2  , thay vào (1) ta được: 2 5x y2 4xy23y3(x2y2)(xy) 0

32232 24 5 2 0 ( 2 )( ) 0 xyxx yxyyxy xyxy           Thay vào phương trình (1) ta suy ra các nghệm của hệ là

2 22 21 1 5 5; ; ;1 1 2 25 5xxxxyyyy                     

Bài 2 Giải hệ phương trình

Trang 5

292

Dang Thanh Nam

Hệ tương đương với

2 22 4 5 2 0xyxyxyxyxy     22 2 4 0xyxyxyxyxy      22221, 12 0 3 2 222 8 6 22 8 62 2 ,25 252 4 0 3 2 4 2xyxyxyxyxyxxxxyxyxyxyxyxxx                                       

Vậy hệ có hai nghiệm là  ,   1,1 ; 22 8 6 22 8 6,

25 25

x y     

 

 

Bài 2 Giải hệ phương trình 

22 2 1 7 24 1 7 3xyxyxxyxxy        Lời giải: 322222 2 2 7 24 7 3xx yxyyxxyxxy         

Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình

3222222x 2x yxy y 2x  y 2xx y y x y  2x y 022 22 1 01yxxyxyyx         

Đến đây xét từng trường hợp ta suy ra nghiệm của hệ

Bài 3 Giải hệ phương trình 3 2 3 3

4 12 9 6 5xyxyxxxyy       Lời giải:

Trang 6

293

Dang Thanh Nam

213 32 21 2 2 03yxxyxyxyxyyxxyxyxyxy                    1 11 1 3 1 1 32 2 2 22 2 2 2 3 2 2 2 2 3yxyxxxxxxxxxyxyxxxxxxxxx                                             5 542 2 54xy   

Vậy hệ có hai nghiệm là  ,  5 5 2, 2 5

4 4

x y    

 



33224 161 5 1xxyxyx     Lời giải:

Hệ đã cho tương đương với

 2  2 2216 44 5x xy yyx    

Bình phương hai vế phương trình thứ nhất của hệ ta được

Trang 7

294

Dang Thanh Nam

222212 1 312 1 1xxyyxy             Lời giải: Điều kiện x0,y0

Khi đó hệ phương trình tương đương với

2222221 3 2 3 112 2 21 1 3 11 2 (*)2 2 2xyxxyxyxyyxy                 

Nhân theo vế hai phương trình của hệ ta được

422422224 9 19 8 04 4 yx yxx y  x  y     22 22 229yxyx 0 x 9yx 3y        

Từ đây thay vào phương trình (*) ta được nghiệm của hệ là  ,  3, 12 2

x y   

 

2 6 2 (1)2 3 2 (2)xyxyyxxyxy       Lời giải:

Từ phương trình (1) của hệ ta suy ra: x2yy x2y6y2 0 (*)

Ta đặt t  x2y, khi đó phương trình (*) trở thành: t2yt6y2  , phương trình này có biệt 0

Trang 8

295

Dang Thanh Nam

(i) Với x2y 3y, khi đó ta có hệ

2 32 3 2xyyxxyxy      (ii) Với x2y  2yta có hệ 2 22 3 2xyyxxyxy       

Bài 7 Giải hệ phương trình :

333  2 222216 9 2 4 34 2 3x yyxyyxyx yxyy      Lời giải :

Nhận thấy y 0không là nghiệm của hệ đã cho, khi đó ta chia hai vế của phương trình thứ nhất cho y và chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho 3 y , khi đó hệ trở thành : 2

3222316 9 2 1 4 (1)34 2 1 (2)xxxyxxy            Thế 32

y từ phương trình (2) vào phương trình (1), ta được :



3232

16x  9 2x1 4x4x 2x1 16x  9 2x1 4x 2x1

33

16x 9 8x 1 x 1

      , thay vào phương trình (2) ta suy ra 32

3 y 1

y    

Vậy hệ có hai nghiệm là x y ,  1, 1 ; 1,1   

Trang 9

296

Dang Thanh Nam

2 221 1 3 4 11xyxyxxxyxx        Lời giải:

Nhận thấy x 0không là nghiệm của hệ, từ phương trình thứ hai của hệ ta có 211 xyx

  ta thế vào phương trình thứ nhất, ta được

222 1 1 232 13 4 1 1 2 2 4 02xxxxxxxxxxxxxx                      do x 0  Với x  1 y 0  Với 2 52x  y 

Vậy hệ có hai nghiệm là  ,  1; 0 ; 2; 52

x y     

2 53 4xyxyxyxyxyxyxyxy      Lời giải :

Nhận thấy x0,y0là một nghiệm của hệ

Với x0,y0hoặc x0,y0không là nghiệm của hệ

Ta xét xy 0, khi đó chia theo vế cả hai phương trình trong hệ cho xythì hệ trở thành 1 12 51 13 4xyxyxyxy       

Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta suy ra : 2y x   1 x 2y1 ta thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được :

 32

Trang 10

297

Dang Thanh Nam

 2 1 1; 11 10 9 1 0 9 41 1 41 9 41;20 10 20yxyyyyyxy                  

2211xyxyxyxy       Lời giải : Điều kiện : x y 0

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với  1 1 0 1

1xyxyxyxy          

(i) Với xy 1khi đó hệ trở thành 1 0; 11; 01xyxyxyxy         

(ii) Với xy 1 khi đó hệ trở thành 1 1; 01xyxyxy     Vậy hệ có hai nghiệm là x y ;  1; 0 ; 0;1 

2324254( , )5(1 2 )4xyx yxyxyx yxyxyx        Lời giải:

Hệ đã cho tương đương với:

22225( 1) (1)45( ) (2)4xyxy xyxyxy       

Lấy (1) trừ (2) theo vế ta được :

22222

Trang 11

298

Dang Thanh Nam

2201 ( ) 0xyxyxy      + Với 2 2 2 5 3 5 3 250 ( )4 4 16x y y x HPT  x x  x  y + Với 22251 ( 2)41 ( ) 0 15( 1)4xyxy xyxyxyxyxyHPTxyxy                22319 3 2( ) 3 0 314 222xxyxyxyxyyxy               

Vậy nghiệm của hệ là:  3 3 5 3 25

, 1, ; ,

2 4 16

x y      

  

22( 1) 3 0( , )5( ) 1 0x xyx yxyx      Lời giải: Điều kiện x 0

Khi đó hệ phương trình tương đương với:

22223 31 0 15 3 5( ) 1 0 ( 1) 1 0xyxyxxxyxxx                     2131 131213 2 0 322xxyyxyxxxxxxxy                         Vậy hệ có hai nghiệm:  ,   1,1 ; 2, 3

2

Trang 12

299

Dang Thanh Nam

22( 9) 1 1 0 (1)(18 1) 3 22 ( 1) (2)x yyyxxxy         Lời giải:Điều kiện: y 1

Khi đó từ (1) ta suy ra: y   1 1 0 x y( 9)81x2x y2 2 18x y2  y 2 y 1 0 (3)

và (2) tương đương với: 222

18x y y3x22x y 2xy 1

222

18x yy 3xx y 2xy 22 0 (4)

      

Lấy (3) cộng với (4) theo vế ta được: 2

81x 3x22 2( xy y1)0 (*)

Mặt khác từ (1) ta lại có: xy y 1 9x1, thay vào (*) ta suy ra:

22

81x 3x22 2(9 x1)081x 21x200

32xyxyxyxy      Lời giải: Điều kiện: 0 (*)0xyxy  

Khi đó hệ tương đương với:

23 ÐK (*) 22( ) ( ) ( ) ( 1) 02( ) ( ) 2xyxyxyxyxyxyxy              20 1 21 021xyxyxxyyxyxy                

Trang 13

300

Dang Thanh Nam

219( 3 4 5 )2 2( 3 8)log 1yxxxxyx       Lời giải: + Điều kiện 0 x5+ Từ (2) ta có 1 log2 log2 2 2y 2yxxx

     , thay vào phương trình (1) ta được phương trình:23x4 5x 19 3 x 8x2( 3x 4 4) (1 5 x) 16 3x 8x        3 12 4( 4)(3 4)3 4 4 1 5xxxxxx         3 1( 4)( 3 4) 03 4 4 1 5xxxx        4 0 ( 0) 4 1xxxy        Vậy nghiệm của hệ là ( ; )x y (4; 1)

432222 2 9 (1)( , ) (*)2 6( 1) (2)xx y x yxx yxxyx      Lời giải:

Trang 14

301

Dang Thanh Nam

+ Với 0 90 (*)0 6x    VN+ Với 44 (*) 174xxy     

Vậy hệ có nghiệm duy nhất  ,  4,174

x y    

31 1 4xyxyxy      Lời giải: + Điều kiện 0(*), 1xyx y 

Khi đó hệ phương trình tương đương với 332 1 14 3 2 4 14xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy                    23 34( 4 ) (11 ) 3 26 105 0xyxyxyxyxyxyxyxyxy                 (*) 3 6 3333xyxyxyxyxyxy              

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ,  3, 3

Trang 15

302

Dang Thanh Nam

Nhận thấy y 0, không là nghiệm của hệ, do đó ta chia cả 2 vế của (1) cho y; chia cả 2 vế của (2) cho y 2 Khi đó hệ trở thành:2217113xxyyxxyy     21( ) 71( ) 13xxyyxxyy      221 1( ) 7 ( ) 7(7 ) 13 ( ) 15 36 0xxxxyyyyxxxxyyyy                  1( ) 7 12112 113 3xxxyyyxxyxyy             

Vậy hệ có hai nghiệm  ,  12,1 ; 1, 1

3

x y    

333yxyxxxyxx       Lời giải : Điều kiện : x0;y3

Khi đó phương trình thứ nhất của hệ tương đương với 33 333yyyxxyxxxyx         

(i) Với y 3, khi đó 2 x30x  loại 3

(ii) Với xy x 3 x, khi đó hệ trở thành

Trang 16

303

Dang Thanh Nam

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ,  1,8

242223 03 5 0xxyxyxx yxy       Lời giải:

Hệ đã cho tương đương với

2 22 2222223 35 0 3 5 0xyxxyxyxxyxyx yxxxyx yx                  22235 4 0xyxxyxyy      2200 0012 1 0 1144 0xyxyyxxxyyxx                  

Vậy hệ có hai nghiệm là x y ;  0; 0 ; 1;1  

33333 5 2 62 3 3 8xyxyxyxy     Lời giải:

33333 5 2 62 3 3 8xyxyxyxy      

Lúc này coi đây là hệ với hai ẩn là 33;

x y từ đó suy ra hệ tương đương với

3322 2113 12xxyyxy   

nhận thấy x 0hoặc y 0 không thỏa mãn hệ nên nhân hai vế của hệ với nhau ta được

 3    2 

22 21 13 12 1 274 264 0

Trang 17

304

Dang Thanh Nam

1137 19033xyxy   - Với 1 11xxyy  - Với 3322 21 137 19033137 1903313 12 137 19033xxyy            Vậy hệ có ba nghiệm

Bình luận: Dạng bài tốn này có cách giải rất hay và hết sức cơ bản, ta có thể sáng tạo nhiều bài toán tương tự

3222 1 11 1 10xxyx yyxyy         Lời giải: Điều kiện: 22 1 01xyy    

Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ

322222 1 1 2 1 1 0x  x  y x y  yxxy  x  y  y  Nếu cả 2211 2 1 01yyxyx       

thay vào phương trình đầu của hệ ta được

32

1 1 3 0

x  x  x   xy    không thỏa mãn vậy chúng không đồng thời bằng 0, khi đó biến đổi phương trình như sau

22222 0 2 02 1 1 2 1 1xyxyxxyxyxxyyxyy                    nhưng do x y1 y 1 10 x y1 nên 22 02 1 1xyxxyy    

Trang 18

305

Dang Thanh Nam

2  2 112 1 1 10 33 4 4 17 01 2 1 100xxxxxxxxxx               

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  3; 3

333221 196x yxyxyx    Lời giải:

Nhận thấy x 0không thỏa mãn hệ phương trình, với x 0nhân vào hai vế của phương trình thứ hai với x ta được hệ

3322333223333191 01 19661 19x yxyx yx yxxyx yxx yx             333132 31 0 23 211 1923xxyxyxyyxx yxy                        

Vậy hệ có hai nghiệm là  ;  1; 2 ; 1;3

3 2

x y      

   

22 2 16 04 32xxyxyxyxy       Lời giải:

Trang 19

306

Dang Thanh Nam

0816 322 242 16 22 1662xyxyxxxyxyxyxyxyxxy                      Vậy hệ có ba nghiệm x y ;  0;8 ; 2; 2 ;  6; 2

Bài 25 Giải hệ phương trình 33 

12 7 16 02 2 2xyxyxyxyxy       Lời giải: Điều kiện 2 02 0xyxy  

Khi đó hệ tương đương với

2222233 2 022 2 4 44 2xyxyxyxyxxyxxy              232; 15 2 39 3 5 3 5;22 22 2xyxyyyxyxyy             

Vậy hệ có hai nghiệm là  ;  2;1 ; 9 3 5 3; 5

2 2

x y     

 

 

2322 1 4 1 02 2 1 1x xyxyxyyxyx           Lời giải:

Trang 20

307

Dang Thanh Nam

 3  2 3  2

2 y 2y x 1  yx1 2 y 2y  yx1 2 x1

 2  2 

2y y 2 x 1 y 2 2yx 1

        , thay vào phương trình đầu tiên của hệ ta được phương trình



2

2 2 3 1 0

x x  x  x 

Nếu x 0 thì vế trái của phương trình luôn lớn hơn 0, vậy nên phương trình có nghiệm nếu 0

x  , nên chia cả hai vế của phương trình cho 2

, 0x x  ta được 22221 1 1 1 1 1 1 11 2 3 0 1 2 3xxxxxxxx                             222221 13 01 1 1 1091 1 1 11 2 9xxxxxxxx                          20 3 13 4 10 10 11 1061 09xxxx        Suy ra 3 13 4 10 10 1 612y   

Bài 27 Giải hệ phương trình 

22222231 4 1 8xyxy xxxyyx     Lời giải:

Hệ phương trình tương đương với

Trang 21

308

Dang Thanh Nam

222222222222203 0 0; 001 0 51 1;533xxy xxyyx yxxxyxyx yxxyx yx                        Vậy hệ có ba nghiệm là  ;  0; 0 ; 1; 55x y      

234622 22 1 1x yyxxxyx      Lời giải: Điều kiện y   1

Biến đổi phương trình thứ nhất của hệ

 23462224222x yy 2x x 2xyx  yxx x yy 022242224222422 02 2 0yxxyxxx yyxxx yyxyxy               - Nếu 2 422 0 0

xy x y  x y thử lại nghiệm thấy không thỏa mãn - Nếu yx2thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được phương trình

 2 2 22 1 1 2 1x x   x x  x (*) Đến đây ta đặt 21t x  khi đó phương trình (*) trở thành 2221 22 2 2 0 31xtxxttx txxx               suy ra y  3Vậy hệ có hai nghiệm là x y  ;  3; 3

Trang 22

309

Dang Thanh Nam

Điều kiện: 01 0xxy  

Khi đó hệ tương đương với

2221 1 2 1 11 2 0 2 0xxyxxxyyxxy xyy xxxy                      2 22 22 2 yxyxyxy xyxx yyxy x               4; 23 2 2 11; 13 2 2 142 2 17 1; 2 17 2 22xyxxxxyxxxyxxy                       

322 1 34 1 9 8 52 4xyxxyxyxy         Lời giải: Điều kiện: y   1

Trang 23

310

Dang Thanh Nam

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  7; 3

33333312 6 3 5 5xyxyxyxyxyxyxy          Lời giải: Điều kiện: xy 0

Khi đó biến đổi phương trình thứ nhất của hệ ta được

33 3 331 3 0xyxyxyxyxyxyxy         2 22 3 0xyxyxyxyxy        xy 2 xy2 3xy 3xy xy 0       4 23 1 0xyxyxyxy        3 2 1 1 3 1 0xyxyxyxyxy xy             (*) Nhưng do xy3xy2   xy 1 3xy x  y 1332222221 0xyxyxyxyxyxyxyxyxy               Với xy 0

Vậy nên phương trình (*) tương đương với x   ; lúc này thay vào phương trình thứ hai y 1 0của hệ ta được phương trình

333

3x 1 5x 1 2 x ( phương trình này được giải bằng cách lập phương hai vế; chi tiết xem

Chun đề phương trình, bất phương trình vơ tỷ)

Giải phương trình trên có 3 nghiệm

Trang 24

311

Dang Thanh Nam

Vậy hệ có ba nghiệm là  ;  0;1 ; 1 6; ; 1 2;5 5 3 3

x y      

   

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Giải các hệ phương trình sau:

Bài 1 Giải hệ phương trình: 

 223 3 1414 36xyxyxyxyxxyy      

1215xyxyxyxyxy      

22 2 2 22 3 04 0xy xyxyxy xyx yxy         

33222 3 45 1 3 4 3 2xyyxyx     

Bài 5 Giải hệ phương trình 

222221 2 3 2 2 1 517 12 4 7 3 8 5x xxyxyy xyyxyxyxxy              

33332 2 12 2 5xyxyxyxy     

33223321xyx yxyxyxy       

32221 3 11 1 10xxyyxyyxyy          

Bài 8 Giải hệ phương trình 

Trang 25

312

Dang Thanh Nam

Bài 9 Giải hệ phương trình  3  2

2222 2 1 12 2 2 2 3yyxyxxyyxxy           

Bài 10 Giải hệ phương trình 2

22 5 6 7 05 4 5 11 2 7xyyxyxy        

223226 123 3 0xyyx yxxyxyx y        



313

322

log 3 log 1 log 2

2 3 35 0xyxyxyxy          

 22 235121xyxx xyxxxy       

2 2 2221 1 36 5 2 3 6x yy xxyxyxyxyxyyx           HỆ ĐỐI XỨNG

(i) Hệ đối xứng loại 1

Hệ đối xứng loại 1 là hệ mà vai trò của x y, trong hệ là như nhau Nếu x y0, 0là nghiệm của hệ thì y x0, 0cũng là nghiệm của hệ

Phương pháp: Đặt SxyPxy 

với điều kiện S24P

(ii) Hệ đối xứng loại 2

Hệ đối xứng loại 2 là hệ mà khi ta đổi vai trò x y, cho nhau thì phương trình này chuyển thành phương trình kia

Nếu x y0, 0là nghiệm của hệ thì y x0, 0cũng là nghiệm của hệ

Phương pháp:

Trang 26

313

Dang Thanh Nam

 , 0, 0xyxy f x yf x y   BÀI TẬP MẪU

3 32 28xyxyxy   Lời giải: Đặt S  xy P, xy Khi đó hệ trở thành  2 222 2 2 26 33 8 082SPSPSSS SPPS S                  220002xyxxxyyy

Vậy hệ có hai nghiệm là x y ,  2, 0 ; 0, 2 

33198 2xyxyxy    Lời giải: Đặt S  xy P, xy Khi đó hệ trở thành 232 83 19 163 2 8 198 2SPSS SPSPSSSP                 1 3 26 2 3xyxxxyyy              

Trang 27

314

Dang Thanh Nam

3 2 3 23 32 36xyx yxyxy     Lời giải : Đặt 3 x a,3 y b khi đó hệ trở thành :  33 22 2 36aba bb aab    Đặt S ab P, abkhi đó hệ trên trở thành  2 2 3 3 6 6 4 64 28 8 2 8 46S SPSPSabaxaPabbybS                             

Từ đó suy ra nghiệm của hệ là x y ,  64, 8 ; 8, 64 

31 1 4xyxyxy      Lời giải : Điều kiện : 0, 1xyx y Đặt S xy P,xykhi đó hệ trở thành 223 , 332 2 1 16 2 3 1 14PSSSPSSPSSS                  6 6 39 9 3SxyxPxyy           

Trang 28

315

Dang Thanh Nam

3223223 23 2xxyyyx   Lời giải :

Từ hai phương trình của hệ suy ra hệ có nghiệm nếu x y , 0 Trừ theo vế hai phương trình của hệ, ta được

 33 22 22 3 x y   x y  xy 3 x y xy  xy 0 22 3 0xyxyxyxy     

(i) Nếu x y, khi đó ta được hệ 3 2 2 013 2xyxyxyxxy       (ii) Nếu  22 3 x y xy  xy0, khi đó ta có hệ  22 3223 03 2xyxyxyxxy      

Từ x 0suy ra để hệ có nghiệm thì phương trình thứ nhất phải có nghiệm y 0 Do đó 0

xy là nghiệm duy nhất của hệ này Vậy hệ có hai nghiệm là x y ,  0, 0 ; 1,1  

2222xxyyyx   Lời giải : Điều kiện : x y , 0 Xét hàm số f t( )t2 t trên đoạn 0;  Ta có '( ) 2 1 0, 0; 2f tttt      Do đó hàm số f t( )đồng biến trên 0; 

Trang 29

316

Dang Thanh Nam

2 ( )2 ( ) ( )2 ( )yf xy xf xf yxf y   

Do f t( )là hàm đồng biến nên, nếu y xf x( ) f y( )và nếu y xf x( ) f y( ) Vậy

xy, khi đó hệ trở thành 2213 51 1 02 2 02xyxyxyxyxxxxxyxxxxy                         

Vậy hệ có hai nghiệm là  ,   1,1 ; 3 5 3, 5

2 2

x y     

 

 

22221 6 11 6 1xyy xyxx y       Lời giải :

2222226 66 6xyxyyxyyxyxxyx         

Trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được

 2 7 02 7 0xyxy xyxyxyxy          

(i) Nếu x ykhi đó ta có hệ 2 2 2 2 2

36 6 5 6 0xyxyxyxyxyxyyxyxx                  

(ii) Nếu x y 2xy 7 0, khi đó cộng theo vế hai phương trinh của hệ ta được

Trang 30

317

Dang Thanh Nam

22 6 5 01, 45 2 12 075, 62 7 02SSSPSSPSSPSPP                    Chỉ nhận nghiệm 5 5 2; 36 6 3; 2SxyxyPxyxy              Vậy hệ có bốn nghiệm là 2, 2 ; 3, 3 ; 3, 2 ; 2, 3    BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Giải các hệ phương trình sau :

Hệ đối xứng loại 1 :

4422226 4110xyx yxy xy    

224422721xyxyxyx y     

2244221391xyxyx y    

 22 334280xyxyxy   

222211 4911 5xyx yxyxy               

222 8 24xyxyxy    

 22121 1 36xyxyx xy y      

Bài 8 Giải hệ phương trình : 

Trang 31

318

Dang Thanh Nam

2222221585xyxyyxxyxyyx           

 322126xxyyxyxy           

 222234 4 712 3xyxyxyxxy       

2231 1 22 2 3xyxyxxyy     Hệ đối xứng loại 2 :

22222323yyxxxy  

331 21 2xyyx   

31 12 1xyxyyx    

333 83 8xxyyyx   

Bài 5 Giải hệ phương trình : 2 2

2 2xyyx     

Trang 32

319

Dang Thanh Nam

222221 121 1xyyyxx       

223 2 33 2 3xxyyyx       

22212 22 2xxyyy xy      

322232223 1 23 1 2xxyxxxyyyx yyyxyx           HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP Phương pháp :

Xét xem hệ phương trình có nghiệm x 0hoặc y 0hay khơng, xét x 0, khi đó đặt ytx

22222 310y xyxx xyy   Lời giải :

Nhận thấy x0,y0là một nghiệm của hệ Xét x 0, đặt ytx khi đó hệ trở thành

Trang 33

320

Dang Thanh Nam

(i) Với 225 8533 1755 3 851 1017xyxtxtty            (ii) Với 222 17011 1744 1701 1034xyxtxtty           

Vậy hệ có năm nghiệm là  ,  0, 0 , 5 85, 3 85 ; 2 170, 170

17 17 17 34

x y        

   

   

22223 12 2 1xxyyxxyy      Lời giải:

Nhận thấy y 0không là nghiệm của hệ, đặt xtykhi đó hệ trở thành

22223 1 12 2 1yttytt      

Chia theo vế hai phương trình của hệ, ta được 22213 11 2 1 0 12 22tttttttt           (i) Với 221 13 1 1xytxyytt        (ii) Với 2211223 1 1xytytt        

hệ này vô nghiệm

Trang 34

321

Dang Thanh Nam

2  2222 1 33 2xx yyyxxyyxy       Lời giải:

Hệ phương trình đã cho tương đương với

22222 33 2xxyyyxxxyyxy       

Nếu y  0 x 0là một nghiệm của hệ Xét y 0, đặt xtykhi đó hệ trở thành 22222 1 33 2yttytytty t       Từ đó suy ra  2   2  322t  t 1 t2  3tt  t 3 3t 7t 3t70 2  71 3 7 0 1,3tttt       

Thế ngược trở lại hệ đã cho tìm được các nghiệm là  ,  0, 0 , 1,1 ,    1,1 , 7 , 343 43

x y    

 

33228 23 3 1xxyyxy     Lời giải:

Hệ phương trình tương đương với 33228 23 6xyxyxy    

Nhận thấy x 0khơng là nghiệm của phương trình, đặt ytx, khi đó hệ trở thành

Trang 35

322

Dang Thanh Nam

Từ đây suy ra  3 2 2136 1 2 8 1 3 12 1 014ttttttt           (i) Với 221313131 3 6yxxtyxt         (ii) Với 224 781 1344 781 3 613xxytxty             Vậy hệ có bốn nghiệm là  ,  3,1 ;  3, 1 ; 4 78, 78 ; 4 78, 7813 13 13 13x y                BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1 Giải phương trình:

2223 2 163 2 8xxyxxyy    

22222 3 92 13 15 0xxyyxxyy     

223232xyxyxy   

22333035x yy xxy   

3324414 4xyxyxyxy     

Trang 36

323

Dang Thanh Nam

33222 3 45 1 3 4 3 2xyyxyx     

3233 2 03 2 0xx yyxyy     

2222222221741xy xyxyyx xyxy      

DẠNG TOÁN CỘNG, TRỪ THEO VẾ CÁC PHƯƠNG TRÌNH TRONG HỆ

(PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH)

- Đôi khi việc giải hệ phương trình, đơn giản nhất chỉ là cộng hoặc trừ theo vế 2 phương

trình của hệ

- Nâng cao hơn thì nhân vào hai vế của một phương trình với một biểu thức rồi cộng vào

phương trình còn lại của hệ

Các cách trên sẽ đưa về một phương trình tích( hay là các hằng đẳng thức) và ta dễ dàng tìm ra mối liên hệ giữa x và y

Bài 1 Giải hệ phương trình sau:

Trang 37

324

Dang Thanh Nam

Phân tích: Lấy (1) .(2) ta được: 332235 2 3 4 9 0x y    x  y  x y 32322 4 3 9 35 0xxxyyy            Ta sẽ chọn các số a b   , , sao cho:  3 332322 4 3 9 35x  x   xy  y   y  x a  y b33235 33 2 233 4abaaba                 

Vậy đi đến lời giải cho bài toán này như sau:

Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình(2) ta được: x233y3  xy 5 (3)

Thế (3) vào phương trình (2) của hệ ta được : 2 2 3

5 6 03 2yxyyyx           

Vậy nghiệm của hệ là 3, 2 , 2, 3    

332291 (1)4 3 16 9 (2)xyxyxy    Lời giải:

Lấy phương trình (1) trừ đi 3 lần phương trình (2) theo vế ta được:

x433y3  x 7 y (3)

Thay (3) vào phương trình (2) của hệ ta được

2 4 37 12 03 4yxyyyx         

Trang 38

325

Dang Thanh Nam

32223 49 (1)8 8 17 (2)xxyxxyyyx      Lời giải:

Lấy phương trình (1) cộng theo vế với 3 lần phương trình (2) ta được

32223 24 3 49 24 51x xy  x  xy y    y x 2 2 1; 41 1 3 4 01; 4xyxxyxy             Vậy nghiệm của hệ là  1, 4 , 1, 4

2221 (1)5574 3 (3 1) (2)25xyxxyx      Lời giải:

Lấy 25 lần phương trình (1) cộng theo vế với 50 lần phương trình (2) ta được 273525(3 ) 50(3 ) 119 01735xyxyxyxy          

Giải ra ta được nghiệm của hệ là 2 1, , 11 2,5 5 25 25

   

   

   

Bài 5 Giải hệ phương trình sau :

2222 2 3 0 (1)3 1 0 (2)xxyyxxyyy       Lời giải:

Trang 39

326

Dang Thanh Nam

 2 2 3( 2 ) 2 0 2 12 2xyxyxyxy           

+ Với x2y 1, thay vào (2) ta được: 2 1 2 3 2 2

2 1 01 2 3 2 2yxyyyx               

+ Với x2y 2, thay vào (2) ta được: 21 53 521 01 53 52yxyyyx             Vậy hệ có 4 nghiệm  3 2;1 2 , 3 5;1 52       

23226 2 35 0 (1)5( ) 2 5 13 0 (2)x yyxyxyxy       Lời giải:

Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) ta được

232(6y15)x 3(2y5)x2y 15y 39y35 0225 11 5 2 22 5 3 01 52 2;2 2yxyxyxy                            Vậy nghiệm của hệ là 1; 5 , 1; 5

2 2 2 2

   

  

   

   

Trang 40

327

Dang Thanh Nam

Lời giải:

+ Với y  0 x 0là một nghiệm của hệ

+ Xét y 0, nhân vào 2 vế của (1) với ysau đó cộng theo vế với phương trình (2) ta được

3322

2x 2y 4x y4xy 0xy (3)

Thay (3) vào phương trình (1) ta được: 2y2 2y y1 (y0)x 1Vậy nghiệm của hệ là 0; 0 , 1;1  

2223 (1)2 7 5 9 0 (2)xxyyxxyxy       Lời giải:

Cộng theo vế 2 phương trình của hệ ta được:  2 2 3 0 2 0

2 3 0xyxyxyxy            Với x  y 2 0khi đó ta có hệ:  222222 0 113 2 2 3yxxyxyxxyyxxxx                    Với 2x y  3 0khi đó ta có hệ:  222213 2 12 3 03 3 2 3 2 3 21xyxyxyxxyyxxxxxy                      Vậy hệ có hai nghiệm là x y ;    1;1 ; 2; 1 

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Định dạng
Số trang	114
Dung lượng	855,41 KB