Phương pháp lũy thừa là phương pháp tự nhiên nhất và kinh điển nhất để giải phương trình vô tỉ, nhằm mục đích đưa phương trình đã cho về dạng cơ bản hoặc đưa về phương trình hữu tỉ, việc[r]
(1)Ôn thi vào lớp 10 chuyên chọn
NGUYỄN TĂNG VŨ
(2)Mục lục
Chương Phương trình vơ tỉ 2
1.1 Lý thuyết
1.2 Phương pháp lũy thừa
1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ
1.4 Phương pháp nhân lượng liên hợp 16
1.5 Bài tập 19
1.6 Bài tập ôn tập chương 20
Chương Hệ phương trình 21 2.1 Phương pháp 21
2.1.1 Nội dung - Ví dụ 21
2.2 Phương pháp cộng đại số - Hệ phương trình đối xứng loại hai 28
(3)Phương trình vơ tỉ
Phương trình vơ tỉ (phương trình chứa thức) nội dung quan trọng đại số 9, xuất hầu hết đề thi học sinh giỏi đề thi tuyển sinh Kĩ giải phương trình kĩ quan trọng học sinh chun tốn Có nhiều dạng phương trình nhiều phương pháp giải khác cho phương trình vơ tỉ, tựu chung lại phương pháp hữu tỉ hóa phương trình, tức đưa phương trình dạng đa thức biết cách giải lớp 8.Trong chương đưa vài dạng phương trình vơ tỉ với phương pháp nhất, không sâu nhiều vào kĩ thuật dạng khó
1.1 Lý thuyết
Nếu A(x),B(x) biểu thức chứa x, ta có phương trình dạng √A = √B
√
A=Blà phương trình vơ tỉ nhất, giải tính chất sau
Tính chất 1.1.1
√
A=√B⇔
( A≥0 A=B
Tính chất 1.1.2
√
A=B⇔
(4)1.2 Phương pháp lũy thừa
Phương pháp lũy thừa phương pháp tự nhiên kinh điển để giải phương trình vơ tỉ, nhằm mục đích đưa phương trình cho dạng đưa phương trình hữu tỉ, việc lũy thừa địi hỏi khéo léo để không làm cho bậc biểu thức cao, trình lũy thừa ta ý tạo phương trình tương đương phương trình cho hệ phương trình cho, hệ phải có bước thử lại nghiệm
Chú ý.A=B⇔A2=B2đúng khiA,Bcùng dấu
Cịn A= B(1) ⇒ A2 = B2(2)thì phương trình (2) phương trình hệ phương trình (1)
Ví dụ 1.1. Giải phương trình: a) p−x2+4x−3=2x−5
b) √x+1+√x−2=√3x
Lời giải. a) Ta có p
−x2+4x−3=2x−5
⇔
2x−5≥0
−x2+4x−3= (2x−5)2
⇔
x≥
2
5x2−24x+28=0
⇔
x≥
2
x=2hoặcx= 14
5
⇔x = 14
5
Vậy phương trình có nghiệmx= 14
5 b) Điều kiện x ≥ Phương trình tương
đương với x+1+2
q
(x+1)(x−2) +x−2=3x
⇔2px2−x−2=x+1
⇔4(x2−x−2) =x2+2x+1
⇔3x2−6x−9=0
⇔
"
x=3(n)
x=−1(l)
Vậy phương trình có nghiệmx=3
(5)Ví dụ 1.2. Giải phương trình
q
7−x2+x√x+5=p3−2x−x2.
Lời giải. ∙ Ta có
q
7−x2+x√x+5=p3−2x−x2
⇔
3−2x−x2≥0
7−x2+x√x+5=3−2x−x2(2)
∙ (2)⇔√x+5=−x+2
x =⇔
−x+2
x ≤0(**)
√
x+5= (x+1)
2
x2 (3)
∙ (3)⇔x2(x+5) = (x+2)2⇔x=−1(n),x=−4(l),x=4(l) ∙ Vậy phương trình có nghiệmx=−1
Ví dụ 1.3. Giải phương trình√x+1−1=
q
x−√x+8.
Lời giải. ∙ Điều kiện
x≥ −1
√
x+1−1≥0 x−√x+8≥0
(*)
∙ Khi phương trình tương đương:√x+1=1+
q
x−√x+8
⇔x+1=x+1−√x+8+2 q
x−√x+8
⇔√x+8=2 q
x−√x+8
⇔x+8=4(x−√x+8)
⇔4√x+8=3x−8
⇔
x≥
316(x+8) = (3x−8)
2 ⇔
x≥
39x
2−64x−64=0 ⇔x=8.
∙ Vậy phương trình có nghiệm nhấtx=8
Ví dụ 1.4. Giải phương trình
q
x(x−1) +
q
x(x+2) =2
√
x2.
Lời giải. ∙ Điều kiện
x(x−1)≥0 x(x+2)≥0 x≥0
⇔x=0hoặcx≥1
(6)∙ √x−1+√x−2=2√x
⇔x−1+x+2+2 q
(x−1)(x+2) =4x
⇔q(x−1)(x−2) =x−1
2
⇔
x≥
2x
2+x−2=x2−x+1
4 ⇔
x≥
2x=
8 ⇔x=
9 ∙ Vậy phương trình có nghiệmx=
8
Ví dụ 1.5. Giải phương trình
q
x+2√x−1+
q
x−2√x−1= x+3
2 .
Lời giải. ∙ Điều kiệnx≥1
∙ Khi phương trình tương đương q
(√x−1)2+2√x−1+1+q(√x−1)2−2√x−1+1= x+3
2
⇔
q
(√x−1+1)2+q(√x−1)2= x+3
2
⇔ |√x−1+1|+|√x−1−1|= x+3
2 ∙ Với1≤x≤2thì phương trình tương đương
√
x−1+1+1−√x−1= x+3
2 ⇔x=1 ∙ Vớix>2thì phương trình tương đương
√
x−1+1+√x−1−1= x+3
2
⇔4√x−1=x+3
⇔
x≥ −3
16x−16=x2+6x+9
⇔x=5 ∙ Vậy phương trình có nghiệmx=5
Ví dụ 1.6. Giải phương trình√x+3+√3x+1=2√x+√2x+2.
(7)Phương trình trở thành
√
3x+1−√2x+2=√4x−√x+3
⇒3x+1+2x+2−2 q
(3x+1)(2x+2) =4x+x+3−2 q
4x(x+3)
⇒q(3x+1)(2x+2) =
q
4x(x+3)
⇒6x2+8x+2=4x2+12
⇒x=1
∙ Thử lại ta thấyx=1là nghiệm phương trình ∙ Vậy phương trình có nghiệm nhấtx=1
Chú ý.Trong ví dụ trên, ta dùng dấu⇒thay cho⇔, tức phương trình sau hệ phương trình trước khơng phải tương đương, Do giải nghiệm ta phải thử lại phương trình ban đầu để nhận hay loại nghiệm.
Ví dụ 1.7. Giải phương trình√3 x+5+√3 x+6=√3 2x+11.
Lời giải. ∙ Sử dụng đẳng thức(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b) Ta
3
√
x+5+√3 x+6=√3 2x+11
⇔2x+11+3√3 x+5.√3 x+6(√3 x+5+√3 x+6) =2x+11
⇒3√3 x+5.√3 x+6.√3 2x+11=0
⇔x =−6hoặc−5hoặcx=−11
2 ∙ Thử lại ta thấy tất nghiệm phương trình
∙ Vậy phương trình có ba nghiệmx=−6hoặcx=−5hoặcx=−11
2
(8)Bài tập rèn luyện
Bài 1.1Giải phương trình sau; a) px2+3x+4−3x=1
b) 1+√x−1=√6−x c) p−x2+4x−3=2x−5
d) x−p4−x2=0
Bài 1.2Giải phương trình sau: a) √2x+3+√2x+2=1 b) √5x−1−√x−1=√2x−4 c) x2−2x+4(x−3)
r x+1 x−3 =0 d)
q
x−1−2√x−2+
q
x+2+4√x−2+3=0 Bài 1.3Giải phương trình sau:
a) x
2
√
3x−2−
√
3x−2=1−x b) √x+√x+1−px2+x=1
c) q
x(x+1) +
q
x(x+2) =2
√
x2
d) p2x2+8x+6+px2−1=2x+2
Bài 1.4Giải phương trình sau a) √3 x+1+√33x+1=√3 x−1 b) √32x−5+√3 3x+7=√3 5x+2 Bài 1.5Giải phương trình sau:
a) px2−3x+4+1−x−√3−x =0
b) px2+3x+4+1+x−√3+x =0
c) px2−3x+3+1−x−√2−x =0
(9)1.3 Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp đặt ẩn phụ sử dụng phương trình chứa biểu thức lặp lặp lại nhiều lần, việc đặt ẩn phụ đưa phương trình phương trình đơn giản hơn, đưa dạng phương trình biết cách giải Có nhiều dạng đặt ẩn phụ với nhiều dạng toán khác nhau, chúng tơi trình bày dạng tập phù hợp với chương trình trung học sở, khơng sâu vào ẩn phụ mẹo mực khác
Chú ý.Khi đặt ẩn phụ nhớ đặt điều kiện cho ẩn phụ để giảm trường hợp cần xét
Ví dụ 1.8. Giải phương trìnhpx2−x+3−p−x2+x+2=1.
Lời giải. ∙ Đặtt=p−x2+x+2,t≥0 Khi đó
t2==−x2+x+2⇔x2−x+3=5−t2
∙ Phương trình trở thànhp5−t2−t=1⇔p5−t2= (t+1)2⇔t2+t−2=0
⇔t=1hoặct=−2(l)⇔p−x2+x+2=1⇔x2−x−1=0
⇔x= 1±
√
5
2
∙ Vậy phương trình có nghiệmx= 1±
√
5
2
Ví dụ 1.9. Giải phương trình2x2−6x+7=5px2−3x+5.
Lời giải. ∙ Đặtt=px2−3x+5,t≥0.
∙ Khi phương trình trở thành2t2−3=5t⇔2t2−5t−3=0⇔t=3hoặct=−1
2(l)
⇔px2−3x+5=3⇔x2−3x−4=0⇔x=−1hoặcx=4.
∙ Vậy phương trình có hai nghiệmx =−1hoặcx=4
(10)Ví dụ 1.10. Giải phương trình(x−1)2+2(x+1)
r x−3 x+1 =12.
Lời giải. ∙ Điều kiện x−3
x+1 ≥0⇔x<−1hoặcx≥ −3 ∙ Khi phương trình tương đương
(x2−2x−3) +2(x+1)
r x−3 x+1 =8
⇔(x+1)(x−3) +2(x+1)
r x−3 x+1 =8 Đặtt= (x+1)
r x−3 x+1 ⇒t
2= (x+1)(x−3).
Khi phương trình trở thành
t2+2t−8=0⇔t=2hoặct=−4 Trường hợpt=2⇔(x+1)
r x−3 x+1 =2
⇔nx≥(x+1)(x−3) =4 ⇔nx≥x2−2x−19=0 ⇔x=1+2√2
Trên phương trình mà ta thấy rõ biểu thức f(x)lặp lặp lại, số trường hợp khác f(x)khơng xuất cách tường mình, mà phải thơng qua số biến đổi xuất Ta xem ví dụ sau:
Ví dụ 1.11. Giải phương trìnhx2+3x r
x−4
x =10x+4.
Lời giải. ∙ Điều kiệnx−4
x ≥0⇔ −2≤x<0hoặcx≥2 Khi phương trình
x2+3x r
x−
x =10x+4
⇔x+3 r
x−
x =10+ x
⇔x−4
x +3 r
x−
x−10=0
∙ Đặtt=
r x−4
x,t≥0 Phương trình trở thành: t2+3t−10=0⇔t=2hoặct=−5(l)⇔
r x−4
x =2⇔x− x =4
(11)Ví dụ 1.12. Giải phương trình√1+x+2√1−x=3p4 1−x2
Lời giải. ∙ Điều kiện−1≤x ≤1
Dễ thấyx=1không nghiệm phương trình Xétx̸=1 Khi phương trình tương đương
r 1+x
1−x +2=3
4
r 1+x 1−x
Đặtt=
r 1+x
1−x, phương trình trở thành
t2−3t+2=0
⇔t=1hoặct=2 Trường hợp
t=1
⇔
r 1+x 1−x =1
⇔ 1+x
1−x =1
⇔x=0 Trường hợp
t=2
⇔
r 1+x 1−x =2
⇔ 1+x
1−x =16
⇔x= 15
17 Vậy phương trình có nghiệmx=0hoặcx= 15
17
Trong số trường hợp phức tạp hơn, ta đặt ẩn phụ biểu thức, tính biểu thức cịn lại theo ẩn phụ Ta xem ví dụ sau:
Ví dụ 1.13. Giải phương trình√11−x+√x+2+2p22+9x−x2=17.
Lời giải. ∙ Điều kiện−2≤x ≤11
∙ Đặtt=√11−x+√x+2,t≥0 Khi đót2=13+2 q
(11−x)(x+2)
(12)∙ Phương trình trở thành√ t+t2−13=17⇔t2+t−30=0⇔t=5hoặct=−6(l).⇔
11−x+√x+2=5
⇔p22+9x−x2=6
⇔x2−9x+14=0⇔x =2hoặcx =7 ∙ Vậy phương trình có nghiệmx=2hoặcx=7
(13)Sau cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình thành phương trình hai ẩn, từ giải ẩn theo ẩn để thiết lập phương trình đơn giản phương trình cho
Ví dụ 1.14. Giải phương trìnhx2+16x−16= (2x+1)p3x2+4.
Lời giải. ∙ Ta có
x2+16x−16= (2x+1)p3x2+4
⇔4(2x+1)2−5(3x2+4) = (2x+1)p3x2+4
∙ Đặt
a=2x+1
b=p3x2+4,b≥2. Phương trình trở thành
4a2−5b2=ab
⇔4a2−ab−5b2=0
⇔a=−bhoặca=
4b
∙ Trường hợp
a=−b
⇔p3x2+4=−(2x+1)
⇔
x≤ −1
2
x2+4x−3=0
⇔x=−2−√7
∙ Trường hợp a=
4b
⇔5p3x2+4=4(2x+1)
⇔
x≥ −1
2
11x2−64x+84=0
⇔x = 42
11hoặcx =2
∙ Vậy phương trình có nghiệmx=−2−√7,x= 42
11 hoặcx=2
Ví dụ 1.15. Giải phương trìnhpx2+1+2px2+2x+3=3px2+4x+5.
Lời giải. ∙ Ta có p
x2+1+2px2+2x+3=3px2+4x+5
⇔px2+1+2px2+2x+3=3q−(x2+1) +2(x2+2x+3).
∙ Đặt
a=px2+1,a≥1
b=px2+2x+3,b≥√2. Phương trình trở thành:
a+2b=3p−a2+2b2⇔(a+2b)2=9(−a2+2b2)⇔5a2+2ab−7b2=0
(14)Khi ta có⇔px2+1=px2+2x+3⇔x2+1=x2+2x+3⇔x=−1.
∙ Vậy nghiệm phương trình làx=−1
Ví dụ 1.16. Giải phương trình√1+x−2√1−x−3p1−x2=x−3.
Lời giải. ∙ Điều kiện−1≤x ≤1 ∙ Đặt
a=√x+1,a≥1
b=√1−x,b≥0 Khi đóx−3
=−a2−2b2và phương trình trở thành a−2b−3ab=−a2−2b2⇔(a2−3ab+2b2) + (a−2b) =0
⇔(a−2b)(a−b) + (a−2b) =0⇔(a−2b)(a−b+1) =0 ⇔a=2bhoặcb=a+1
∙ Trường hợp
a=2b
⇔√1+x =2√1−x
⇔
−1≤x≤1 1+x=4(1−x)
⇔x=
5
∙ Trường hợp b=a+1
⇔√1−x=√1+x+1
⇔1−x=x+2+2√1+x
⇔2√1+x =−2x−1
⇔
−1≤x≤ −1
2 4(1+x) = (2x+1)2
⇔
−1≤x≤
2 x2=
4
⇔x=− √
3 ∙ Vậy phương trình có hai nghiệmx =
5 hoặcx=−
√
3
Ví dụ 1.17. Giải phươg trìnhx2+5x−3=2(2x+3)√x−1.
Lời giải. ∙ Điều kiệnx≥1 ∙ Khi
x2+5x−3=2(2x+3)√x−1
(15)∙ Đặtt=√x−1,t≥0 Ta
3t2−2(2x+3)t+x2+2x=0
∙ Đặt∆′ = (2x+3)2−3(x2+2x) = (x+3)2.Do phương trình có hai nghiệm t=x+2hoặct= x
3 ∙ Trường hợp
t=x+2
⇔√x−1=x+2
⇔
x≥1
x2+3x+5=0 (vô nghiệm)
∙ Trường hợp t= x
3
⇔3√x−1=x
⇔
x≥1
x2−9x+9=0
⇔x = 9±3
√
5
2
Vậy phương trình có nghiệmx= 9±3
√
5
3
(16)Ngồi cịn có cách đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 1.18. Giải phương trình:√3 7+x−√2−x=1
Lời giải. Phương trình có nhiều dấu bậc khác nhau, biểu thức lại có mối liên hệ rõ ràng
Ta đặtu=√3 7+x,v=√2−xta có hệu−v=1,u3+v2=9
Sử dụng phương pháp ta cóv = u−2vàu3+ (u−1)2−9 =0 ⇔u3+u2−2u−8 =
0⇔u=2vàv=1
(17)Bài tập rèn luyện
Bài 1.6Giải phương trình sau
a) p2x2−4x+8+p2x2−4x+3=5
b) (x+5)(2−x) =3px2+3x
c) (x+4)(x+1)−3px2+5x+2=6
d) 4x2+10x+9=5p2x2+5x+3
Bài 1.7Giải phương trình sau: a) 1+2
3 p
x−x2=√x+√1−x
b) √2x+3+√x+1=3x+2p2x2+5x+3−16
c) √3x−2+√x−1=4x−9+2p3x2−5x+2
d) √2x+3+√x+1=3x+2p2x2+5x+3−16.
Bài 1.8Giải phương trình sau
a) p3x2−2x+15+p3x2−2x+8=7
b) √4x−1
4x−3+
11−2x
√
5−x = 15
2 c) √3−x
13−6x +
3+x
√
13+6x =2 Bài 1.9Giải phương trình sau:
a) 2x2+5x−1=7px3−1
b) 2(x2+2) =5px3+1
c) p5x2+14x+9−px2−x+20=5√x+1
d) (x2−6x+11)px2−x+1=2(x2−4x+7)√x−2
Bài 1.10Giải phương trình sau: a)
r 3x−1
x =
x 3x−1+1 b) (x+5)(2−x) =3px2+3x
c) 2(1−x)px2+2x−1=x2−2x−1
d) (x+4)(x+1)−3px2+5x+6+4=0
e) (x−1)(x+2) +2(x−1)
r x+2 x−1 =8 f)
r 2x x+1+
3
r 2+
1 2x =2
1.4 Phương pháp nhân lượng liên hợp
Phương pháp nhân lượng liên hợp dụng phương trình có độ phức tạp cao, lệch bậc nhiều biểu thức chứa nghiệm phương trình thường dễ đốn có nghiệm Nội dung phương pháp ta phải đoán nghiệm, thêm bớt (tách) nhóm số hạng phù hợp nhân chia với biểu thức liên hợp để xuất nhân tử Ta xét ví dụ sau
Ví dụ 1.19. Giải phương trình:
p
(18)Lời giải. Ta có p
3x2−5x+1−px2−2=q3(x2−x−1)−px2−3x+4
⇔p3x2−5x+1−q3(x2−x−1) =px2−2−px2−3x+4
⇔ √ −2x+4
3x2−5x+1+p
3(x2−x+1) =
3x−6
√
x2−2+√x2−3x+4
⇔ −(x−2)
"
2
√
3x2−5x+1+p
3(x2−x+1)+
3
√
x2−2+√x2−3x+4
#
=0
⇔x=2
(Rõ ràng biểu thức ngoặc "[]" dương) Thử lại ta thấyx=2thoả mãn
Vậyx =2là nghiệm phương trình
(19)Ví dụ 1.20. Giải phương trình
3
p
x2−1+x =px3−1
Lời giải. Điều kiệnx≥√3
2
3
p
x2−1−2+x−3=px2−2−5
⇔(x−3)[1+ x+3
3
p
(x1−1)2+2√x2−1+4] =
(x−3)(x2+3x+9)
√
x3−2+5
⇔(x−3)[1+ x+3
3
p
(x2−1)2+2√3
x2−1+4−
x2+3x+9
√
x3−x+5] =0
⇔x=3 Vì
1+ x+3
3
p
(x2−1)2+2√3
x2−1+4 =1+
x+2
(√3 x2−1+1)2+3 <2<
x2+3x+9
√
x3−x+5
Vậy phương trình có nghiệm nhấtx=3
Ví dụ 1.21. Giải phương trình√x−2+√4−x=2x2−5x−1
Lời giải. Điều kiện2≤x≤4 Khi
√
x−2+√4−x=2x2−5x−1
⇔√x−2−1+√4−x−1=2x2−5x−3
⇔ √ x−3
x−2+1 −
x−3
√
4−x+1 = (x−3)(2x+1)
⇔(x−3)[√
x−2+1−
√
4−x+1−(2x+1)] =0
⇔x =3 Vì
1
√
x−2+1 ≤1
√
4−x+1 ≥
√
2+1 =
√
2−1
⇒ √
x−2+1−
√
4−x+1 ≤2−
√
2
và2x+1≥5(dox≥2)
(20)Ví dụ 1.22. Giải phương trìnhx2+x−1= (x+2)px2−2x+2.
Lời giải. Ta có
x2+x−1= (x+2)px2−2x+2
⇔x2−2x−7+3(x+2)−(x+2)px2−2x+2=0
⇔x2−2x−7+ (x+2)(3−px2−2x+2) =0
⇔x2−2x−7−(x+2)(x
2−2x−7)
√
x2−2x+2+3 =0
⇔(x2−2x−7)(1− √ x+2
x2−2x+2+3) =0
⇔(x2−2x−7)[
p
(x−1)2+1−(x−1)
√
x2−2x+2+3 ] =0
⇔x2−2x−7=0
⇔x=1±√7
Vậy phương trình có nghiệmx=1±√7
1.5 Bài tập
Bài 1.11Giải phương trình sau: a) √2x−3−√x =2x−6 b) √x+1+1=4x2+√3x
c) √10x+1+√3x−5=√9x+4+√2x−2 d) 2x
2
(3−√9+2x)2 =x+21
e) 9(x+1)2= (3x+7)(1−√3x+4)2
Bài 1.12Giải phương trình sau:
a) √3x+1−√6−x+3x2−14x−8=0 b) p2x3+3x2+6x+16−√4−x=2√3
c) px2+12+5=3x+px2+5
d) x2−4x−2+px2−4x+7+√5x−6=0
e) 33
√
x2+px2+8−2=px2+15
Bài 1.13Giải phương trình sau:
a) p2x2−x+3−√21x−17+x2−x=0
(21)c) 2x2−x−2=√5x+6
d) √x+1+√2x+3=x2−x−1 Bài 1.15Giải phương trình sau
a) x2−3x+4=2√x−1
b) p2x2+8−2√2x−3+x−4=0
c) x2−9x+24=2√x−3+2√9−2x Bài 1.16Giải phương trình sau:
a) x2−x+1−√2x−1=0 b) x2−x+2−2√x=0 c) 2x+1=2√x+√2x−1
1.6 Bài tập ôn tập chương Bài 1.17Giải phương trình sau
a)
√
x+1
√
x+1−√3−x = b) x+
q
5+√x−1=6 c) 9+
q
9+√x=x d) q3
(3x−2)2+ (x+1)√3
3x−2+3x−6=0 Bài 1.18Giải phương trình sau:
a) √3
x+1+√3 x+2+√3 x+3=0 b) √32x−1+√3 x−1=√33x+1 c) √3 x+1+√3 x−1=√3 5x Bài 1.19Giải phương trình sau:
a) 2√1−x−√x+1+3p1−x2=3−x
b) 4√1−x=x+6−3p1−x2+5√1+x
c) 4+2√1−x=−3x+5√x+1+p1−x2
Bài 1.20Giải phương trình sau
a) p2x2+13x+5+p2x2−3x+5=8√x
b) (2−x)√1−x+ (4x−2)√1+x=3x√x c) 3x(x−2)√2x−1=2(x3−4x2+5x−2)
d) x−√x+2+
1
x−2√x+2 = 2√x
e) 2√x+1+px2+3x−1=2p2x2+2x−8
Bài 1.21Giải phương trình sau a) 3x2+4x−3=4x√4x−3=0 b) 3x2+2x+7=3(x+1)px2+3=0
c) x2−5x√2x−3+4(2x−3) =0 d) x−1+√2x−3=p5x2−12x+8
(22)Hệ phương trình
Trong chương đề cập đến số phương pháp giải hệ phương trình nhất: Phương pháp thế, phương pháp cộng đại số, phương pháp ẩn phụ, phương pháp đánh giá Qua phương pháp qua số dạng phương trình mẫu mực như: hệ phương trình đối xứng loại một, loại hai, hệ đẳng cấp, hệ hoán vị vịng quanh, Ngồi hệ khơng mẫu mực mức độ vừa phải, không xấu mặt hình thức, phù hợp với bạn THCS
2.1 Phương pháp thế
2.1.1 Nội dung - Ví dụ
Nội dung phương pháp: Từ phương trình, tính nhiều biến theo nhiều biến khác, sau hết vào phương trình cịn lại để số biến giảm lại
Trong phương pháp giải hệ phương trình thìPhương pháp thếlà phương pháp quan trọng sử dụng nhiều Mục tiêu việc đưa hệ nhiều ẩn thành hệ ẩn hơn, đưa phương trình ẩn, từ giải tốn
Ví dụ 2.1. Giải hệ phương trình
(
x+2y=3
x2−3y2+4xy=2
Lời giải.
(
x+2y=3(1)
x2−3y2+4xy=2(2)
Từ (1) ta cóx=3−2y, vào (2) ta có:
(3−2y)2−3y2+4(3−2y)y=2⇔y2=1⇔
( y=1 y=−1 Vớiy=1⇒x=1
(23)Ví dụ 2.2. Giải hệ phương trình
(
2x2+x+y2=7 xy−x+y=3
Lời giải. Nếux=−1thì phương trình thứ hai vơ nghiệm
Xétx̸=−1.Từ phương trình thứ hai ta đượcxy−x+y=3⇔y= x+3
x+1 Thay vào phương trình đầu hệ ta
2x2+x+ (x+3
x+1)
2=7
⇔(2x2+x−6) + [(x+3
x+1−1)]
2=0
⇔(x+2)(2x−3) +
(x+1)2(x+2) =0
⇔x=−2hoặc2x3+x2−4x+1=0
Trường hợpx=−2thay vào phương trình thứ hai ta đượcy=−1 Trường hợp 2x3+x2−4x+1=0
⇔(x−1)(2x2+3x−1) =0
⇔x=1hoặcx= −3±
√
17
4
Vớix=1thay vào phương trình thứ hai ta đượcy=2
Vớix= −3±
√
17
4 thay vào phương trình thứ hai hệ ta đượcy=
9±√17 1+√17 Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (−2;−1),(1; 2), −3±
√
17
4 ;
9±√17 1+√17
!
Ví dụ 2.3. Giải hệ phương trình
(
2x2y+3xy=4x2+9y 7y+6=2x2+9x
Lời giải. Từ phương trình thứ hai suy ray= 2x
2+9x−6
7
Thay vào phương trình thứ ta 2x2(2x
2+9x−6
7 ) +3x(
2x2+9x−6
7 ) =
7.4x2
7 +9(
2x2+9x−6
7 )
⇔(2x2+9x−6)(2x2+3x−9) =28x2
⇔2x4+24x3−31x2−99x+54=0
⇔(x−1
2)(x+2)(4x
2+18x−54) =0
⇔x=
2 hoặcx=2hoặcx=
−9±√33
(24)Trường hợpx=
2 thay vào phương trình thứ hai ta đượcy=− Trường hợpx=−2thay vào phương trình thứ hai ta đượcy=−16
7 Trường hợpx= −9±
√
33
4 thay vào phương trình thứ hai ta đượcy=3 Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1
2;−
7),(−2;− 16
7 ),
−9±√33
4 ;
!
Ví dụ 2.4. Giải hệ phương trình
(
1+x3y3=19x3 y+xy2=−6x2
Lời giải. Nếux=0thì hệ vơ nghiệm
Xétx̸=0 Nhân hai vế phương trình thứ hai choxta đượcxy+x2y2=−6x3 Thay vào phương trình thứ ta
−6(1+x3y3) =19(xy+x2y2)
⇔xy=−2
3 hoặcxy=−
2 hoặcxy=−1
Trường hợpxy=−2
3 thay vào phương trình thứ ta
x=
3 y=−2
Trường hợpxy=−3
2 ta
x=−1
2 y=3 Trường hợpxy=−1ta đượcx=0(loại) Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1
3;−2),(
−1 ; 3)
Một số hệ phương trình nhiều phải biến đổi vài bước xuất phép
Ví dụ 2.5. Giải hệ phương trình
xy+x+y=x2−2y2 xp2y−ypy−1=2(x−y)
Lời giải. Điều kiệnx≥1,y≥0 Phương trình thứ tương đương
(x+y)2−(x+y)−3y2−3xy=0
(25)Xétx=2y+1thay vào phương trình thứ hai ta
(2y+1)p2y−yp2y=2y+2
⇔(y+1)(p2y−2) =0
⇔y=2(doy≥0)
Suy rax=2
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (5, 2) Trong ví dụ từ phương trình ta phân tích thành thừa số, từ có phương trình đơn giản sử dụng phương pháp thế.Ta xét tiếp ví dụ sau:
Ví dụ 2.6. Giải hệ phương trình
xy+x−2=0
2x3−x2y+x2+y2−2xy−y=0
Lời giải.
x3−x2y+x2+y2−2xy−y=0
⇔(x2−y)(2x−y+1) =0
⇔y=x2hoặcy=2x+1 Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1, 1),(−1±
√
5
2 ,±
√
5)
Ví dụ 2.7. Giải hệ phương trình
y2= (5x+4)(4−x)
y2−5x2−4xy+16x−18y+16=0
Lời giải. Viết lại phương trình thứ hai hệ dạng y2−(4x+8)y−5x2+16x+16=0 Coi phương trình bậc hai theoyta
∆= (4x+8)2−4(−5x2+16x+16) =36x2 Suy ray= 4x+8+6x
2 =5x+4hoặcy=
4x+8−6x
2 =4−x Trường hợpy=5x+4thay vào phương trình đầu hệ ta
x(5x+4) =0⇔x=0hoặcx=
5 Trường hợp hệ có nghiệm(x,y) = (0, 4),(−4
(26)Trường hợpy=4−xthay vào phương trình thứ hệ ta x(4−x) =0⇔x=0hoặcx=4
Trường hợp hệ có nghiệm(x,y) = (0, 4),(4, 0) Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (0, 4),(4, 0),(−4
5, 0)
Ngồi cách phân tích thành nhân tử, ta cịn có số biến đổi khác phức tạp hơn, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 2.8. Giải hệ phương trình
x2+y2=x−y y3−x3=y−x2 .
Lời giải. Ta có
x2+y2=x−y y3−x3=y−x2
⇔
x(x−1) =−y(y+1)
y(y−1)(y+1) =x2(x−1) Thay phương trình thứ hai vào phương trình thứ ta
−x(x−1)(y−1) =x2(x−1)
⇔x(x−1)(x+y−1) =0
⇔x=0hoặcx=1hoặc hoặcx=1−y
Trường hợpx=0thay vào phương trình thứ ta đượcy=0hoặcy=−1 Trường hợpx=1thay vào phương trình thứ ta đượcy=0hoặcy=−1
Trường hợpx=1−ythay vào phương trình thứ ta đượcy=0
Ví dụ 2.9. Giải phương trình
(x−y)4=13x−4 p
x+y+p3x−y=√2
Lời giải. Điều kiện
(27)Khi
p
x+y+p3x−y=√2
⇔x+y+3x−y+2 q
(x+y)(3x−y) =2
⇔1−2x=
q
(x+y)(3x−y)
⇔
4x2−4x+1=3x2+2xy−y2 x≤
2
⇔
(x−y)2=4x−1
4 ≤x ≤ Thay vào phương trình đầu hệ ta
(4x−1)2=13x−4
⇔16x2−21x+5=0
⇔x=
16 hoặcx=1(loại)
Vớix=
16thìy=− 16 Vậy hệ có nghiệm(x;y)là
16;−
3 16
Bài tập
Bài 2.1Giải hệ phương trình sau
a)
p
x+y+√2x−4=5 2x+y=14
b)
x+y=−1 x3−3x=y3−3y
c)
x2y+2(x2+y) =8 xy+x+y=5
d)
x2+5x+y=9
3x3+x2y+2xy+6x2=18
Bài 2.2Giải hệ phương trình sau:
a)
y2−xy+1=0
x2+y2+2x+2y+1=0 b)
x3−2xy+5y=7 3x2−2x+y=3 c)
x−p
y+1=
2
y+2(x−3)√x+1=−3
4
d)
x4+2x3y+x2y2=2x+9 x2+2xy=6x+6
e)
x2+1+y(y+x) =4y
(x2+1)(y+x−2) =y f)
x(x+y+1)−3=0
(x+y)2−
x2+1=0
(28)a)
x−2y−√xy=0
√
x−1+p
4y−1=2
b)
√
2x−3= (y2+2018)(5−y) +√y y(y−x+2) =3x+3
c)
2x2+4xy+2y2+3x+3y−2=0 x2+y2+4xy+2y=0
d)
2x2+xy−y2−5x+y+2=0 x2+y2+x+y−4=0 e)
2x2−5xy+3y2=0 x2−2xy=−1 f)
x3+3x2y+3xy2+2y3=0 4x2+y2=5
Bài 2.4Giải hệ phương trình sau
a)
x+1
x =y+ y x+2y=3
b)
x3−4y3=6x2y−9xy2 p
x+y+p
x−y=2
c)
−x2y+2xy2+3y3−4(x+y) =0 xy(x2+y2)−1=3xy−(x+y)2
d)
√
x−1+√x(3√x−y) +x√x=3y+p y−1 3xy2+4=4x2+2y+x
e)
x2+y2+ 2xy
x+y =1 p
x+y=x2−y
f)
y2−x s
y2+2
x =2x−2 q
y2+1+√3
2x−1=1
Bài 2.5Giải hệ phương trình sau:
a)
2x2+y2−3xy+3x−2y+1=0 4x2−y2+x+4=p2x+y+px+4y b) 6x y −2=
p
3x−y+3y
q
(29)2.2 Phương pháp cộng đại số - Hệ phương trình đối xứng loại hai
Từ hệ phương trình gồm có hai hay nhiều phương trình, ví dụ (
f(x,y) =0(1)
g(x,y) =0(2) , ta
tạo hệ tương đương với hệ cho, cách tạo thêm phương trình dạng a f(x,y) +bg(x,y) =0, việc chọn lựa hệ sốa,bđòi hỏi nhiều kinh nghiệm phương trình tạo phải đơn giản hơn, có ý để giúp giải hệ
Hệ đối xứng loại hai hệ có dạng (
f(x,y) =0(1)
g(x,y) =0(2) f(y,x) = g(x,y)và g(y,x) =
f(x,y) Để giải hệ ta lấy (1) trừ (2), sau xử lý tiếp
Ví dụ 2.10. Giải hệ phương trình
x+3y=2x2 y+3x=2y2
Lời giải. Ta có Hệ⇔
x+3y=2x2
−2(x−y) =2(x2−y2)
⇔
x+3y=2x2 (1)
2x(x−y) =0 (2)
Từ (2) suy rax=0hoặcx=y
Trường hợpx=0thay vào (1) ta đượcy=0
Trường hợpx=ythay vào (1) ta được4x=2x2⇔2x(x−2) =0⇔x=2hoặcx=0
Vậy(x,y) = (2, 2)hoặc(x,y) = (0, 0)
Ví dụ 2.11. Giải hệ phương trình
x3+1=2y y3+1=2x
Lời giải. Hệ⇔
x3+1=2y
(x−y)(x2+xy+y2) =−2(x−y)
⇔
x3+1=2y (1)
(x−y)(x2+xy+y2+2) =0 (2)
(2)⇔x=yhoặcx2+xy+y2+2=0 Trường hợpx=ythay vào (1) ta đượcx3−2x+1=0⇔(x−1)(x2+x−1) =0 Suy rax=1hoặcx= −1±
√
5
2
Trường hợpx2+xy+y2+2=0⇔(x−y
2)
2+3y2
4 +2>0(vô lý.) Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1, 1)hoặc(x,y) = (1− ±
√
5
2 ,
1− ±√5 )
(30)Ví dụ 2.12. Giải hệ phương trình
3y= x
2+2
x2
3x= x
2+2
y2
Lời giải. Điều kiệnxy̸=0 Hệ⇔
32=y2+2 3xy2=x2+2
⇔
3yx2=y2+2 (1)
3xy(x−y) =−(x−y)(x+y) (2) (2)⇔(x−y)(x+y+3xy) =0
Trường hợpx=y, thay vào (1) ta được3x3−x2−2=0
⇔(x−1)(3x2+2x+2) =0
⇔x=1hoặc3x2+2x+2=0(vô nghiệm) Vậy(x,y) = (1, 1)
Trường hợpx+y+3xy = 0không xảy Thật vậy, để ý từ hệ phương trình cho có nghiệm(x,y)thìx,y>0do đóx+y+3xy>0
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1, 1)
Trên hệ phương trình đối xứng loại hai, sau ta xét ví dụ số hệ khơng mẫu mực khác, sử dụng phương pháp cộng đại số Chú ý, tạo phương trình phương trình xuất đẳng thức, phân tích thành nhân tử
Ví dụ 2.13.
x2+6y=6x y2+9=2xy
Lời giải. Lấy phương trình (1) cộng phương trình (2) ta cóx2+y2−2xy+6(y−x) +9 =
0⇔(y−x+3)2=0⇔y=x−3
Thế vào (1) ta có:x2+6(x−3) =6x⇔x=3√2,x=−3√2 Vớix=3√2⇒y=3√2−3
Vớix=−3√2⇒y=−3√2−3 Vậy hệ có hai nghiệm(x;y)là(3√2; 3√2−3);(−3√2;−3√2−
3)
Ví dụ 2.14. Giải hệ phương trình
(31)Lời giải. Cộng vế theo theo vế hai phương trình ta 2x2+y2+3xy−7x−5y+6=0
⇔y2−(5−3x)y+2x2−7x+6=0
⇔y2−(5−3x)y+ (2x−3)(x−2) =0
⇔(y+2x−3)(y+x−2) =0.⇔y+2x−3=0hoặc y+x−2=0
Trường hợp
y+2x−3=0
x2+y2+xy=3 ⇔
y=3−2x
3x2−9x+6=0 Ta
x=1
y=1
x=2 y=−1
Trường hợp
yy+x−2=0
x2+y2+xy=3 ⇔
y=2−x
x2−2x+1=0 ⇔
x=1 y=1
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1, 1),(2,−1)
Ví dụ 2.15. Giải hệ phương trình
x2+y2+4xy=6 2x2+8=3y+7x .
Lời giải. Hệ⇔
x2+y2+4xy=6 4x2+16=6y+14x Cộng vế theo vế hai phương trình ta
5x2+y2+4xy−6y−14x+10=0
⇔(x−1)2+ (2x+y−3)2=0
⇔
x=1 2x+y=3
⇔
x=1 y=1
Ví dụ 2.16. Giải hệ phương trình
(32)Lời giải. Trừ vế theo vế hai phương trình ta
x2y−3xy+x+2y−1=0
Dễ thấy vớiy=0thì(x, 0)khơng thể nghiệm hệ nên ta xéty̸=0 Chia hai vế phương trình choyta
x2−3x+x
y +2− y =0
⇔x2−(3−
y)x+ (2− y) =0
⇔(x−1)(x+1
y −2) =0
⇔x=1hoặcx+1
y−2=0
Trường hợp
x =1
3xy+x+y=5 ⇔
x =1 y=1
Trường hợp
x+1
y −2=0 3xy+x+y=5
⇔
x+
y =2 3x+x
y +1= y Suy
y =2−xvà
3x+x(2−x) +1=5(2−x))
⇔x2−10x+9=0
⇔x=1hoặcx=9
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1, 1),(9,−1
7)
Ví dụ 2.17. Giải hệ phương trình
x2+2xy+2y2+3x=0 xy+y2+3y+1=0
Lời giải. Lấy phương trình thứ cộng hai lần phương trình thứ hai ta
(x+2y)2+3(x+2y) +2=0
⇔(x+2y+1)(x+2y+2) =0
(33)Vớiy= 1−
√
5
2 ⇒x =−3+
√
5 Vớiy= 1+
√
5
2 ⇒x=−3−
√
5 Trường hợpx+2y+2=
0⇔x=−2y−2thay vào phương trình thứ hai hệ ta
y2−y+1=0⇔y= 1±
√
5 Vớiy= 1−
√
5
2 ⇒x=−3+
√
5 Vớiy= 1+
√
5
2 ⇒x=−3−
√
5
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (−3−2√2, 1+√2),(−3+2√2, 1−√2),(−3+√5,1−
√
5 ),
(−3−√5,1+
√
5
2 )
Ví dụ 2.18. Giải hệ phương trình
x3(2+3y) =1 x(y3−2) =3
Lời giải. Dễ thấyx ̸=0.Khi hệ tương đương
2+3y=
x3
y3−x=
x Cộng vế theo vế hệ phương trình ta
y3+3y=
x3+
3 x ⇔y
3−
x3+3(y−
1 x) =0
⇔(y−1
x)(y
2+
x2+
y
x+3) =0
⇔(y−1
x[(y+ 2x)
2+
4x2+3=0]
⇔(y−1
x)(y
2+
x2+
y
x) +3(y− x) =0
⇔y=
x Thay vào phương trình thứ hai hệ ta
1 x3−2=
3 x ⇔2x
3+3x2−1=0⇔x=−1hoặcx=
2 Vớix=−1ta đượcy=−1, vớix =
2 ta đượcy=2 Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (−1,−1),(1
(34)Bài tập rèn luyện
Bài 2.6Giải hệ phương trình sau:
a)
x2−2x−y−1=0 y2−2y−x−1=0 b)
x3+3x=8y y3+3y=8x c)
x3=5x+y y3=5y+x d)
x−3y=4y x y−3x=4x y
xy+x2=1+y xy+y2=1+x
e)
3y= y
2+2
x2
3x= x
2+2
y2
3x3=x2+2y2 3y3=y2+2x2 f)
3x2y−y2−2=0 3y2x−x2−2=0
Bài 2.7Giải hệ phương trình sau:
a)
x+p
y+3=3 y+√x+3=3
b)
√
x+5+p
y−2=7 p
y+5+√x−2=7
c)
√
x+√2−x=√2
√
y+√2−x=√2
d) x q
1+y2+yp1+x2=2
xp1+x2+yq1+y2=2
e)
p
x2+3+2√x=3√y
q
y2+3+2√y=3√x
f)
x+2
y = x y+2
x = y g)
2x+3p5−y=8 2y+3√5−x=8
h) √
3x+5=y+1
3
p
3y+5=x+1
i)
x+1=
q
2+py+3 y+1=
q
2+√x+3
Bài 2.8Giài hệ phương trình sau
a)
x2(1−2y) =y2(4x+2y)
2x2+xy−y2=x b)
x2(y2+1) =2 x2y2+xy+1=3x2
c)
x2+2=x(y−1)
y2−7=y(x−1)
d)
4x2+y4−4xy3=1 2x2+y2−2xy=1
Bài 2.9Giải hệ phương trình sau:
(35)e)
x2+y2+x+y=4 x2+2xy+9=7x+5
Bài 2.10Giải hệ phương trình
x2+7=5y−6z y2+7=10z+3x z2+7=−x+3y
Bài 2.11Giải hệ phương trình
x3+3xy2+3xz2−6xyz=1 y2+3yx2+3yz2−6xyz=1 z3+3zy2+3zx2−6xyz=1
Bài 2.12Giải hệ phương trình
(x−2y)(x−4z) =3
(y−2z)(y−4x) =5
(z−2x)(z−4y) =−8
Bài 2.13Giải hệ phương trình
x(yz−1) =3 y(zx−1) =4 z(xy−1) =5
Bài 2.14Giải hệ phương trình
ab+c+d=3 bc+d+a=5 cd+a+b=2 da+b+c=6
Bài 2.15Choa∈R Giải hệ phương trình
x12+ax1+ (
a−1 )
2=x
x22+ax2+ (a
−1 )
2=x
x2n+axn+ (a
−1 )
(36)2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ - Hệ đối xứng loại một
Mục đích đặt ẩn phụ ta đưa hệ phương trình cho hệ phương trình đơn giản biết cách giải, giải hệ từ ta giải hệ cho
Trong phương pháp này, ứng dụng áp dụng cho giải hệ đối xứng loại Hệ đối xứng loại hệ có dạng
(
f(x,y) =0(1)
g(x,y) =0(2) f(y,x) = f(y,x)vàg(x,y) =
g(y,x), hay nói cách khác biểu thức f(x,y),g(x,y)là biểu thức đối xứng theo hai biến x,y Để giải hệ, ta thường đặts=x+y,p=xy, từ đưa hệ theo ẩns,p Giảis,pta giải đượcx,y Sau số ví dụ, bạn theo dõi
Ví dụ 2.19. Giải hệ phương trình
x+y+xy=1 x2+y2+3xy=3
Lời giải. ĐặtS=x+y,P=xy Điều kiệnS2≥4P Khi hệ trở thành
S+P=1 S2+P=3 ⇔
P=1−S
S2−S−2=0 Ta cóS2−S−2=0⇔S=−1hoặcS=2
NếuS=−1thìP=2(loại) NếuS=2thìP=−1
Khi đóx,ylà nghiệm phương trình: X2−2X−1=0⇔X=1±√2
Suy ra(x,y) = (1+√2, 1−√2)hoặc(x,y) = (1−√2, 1+√2)
Vậy hệ cho có nghiệm(x,y) = (1+√2, 1−√2)hoặc(x,y) = (1−√2, 1+√2)
Ví dụ 2.20. Giải hệ phương trình
x−y+xy=1 x2+y2=2
Lời giải. Đặtu=x−y,v=xy Ta hệ
u+v=1 u2+2v=2
⇔
v=1−u
u2+2(1−u) =2
⇔
(37)Trường hợp
u=0 v=1
⇔
x−y=0 xy=1
⇔
x=1
y=1
x=1 y=−1 Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1, 1),(−1,−1)hoặc(1,−1)
Ví dụ 2.21. Giải hệ phương trình
2(x+y) =3(q3 x2y+q3 xy2)
3
√
x+√3 y=6
Lời giải. Đặtu = √3 x,v = √3 y Hệ ⇔
2(u3+v3) =3(u2v+uv2)
u+v=6 ĐặtS = u+v,P =
u.v(S2≥4P), hệ cho trở thành
2(S3−3SP) =3SP S=6
⇔
2(36−3P) =3P S=6
⇔
S=6 P=8
Suy rau,vlà nghiệm phương trìnhX2−6x+8=0⇔X=2hoặcX=4 Trường hợp(u,v) = (2, 4)suy ra(x,y) = (8, 64)
Trường hợp(u,v) = (4, 2)suy ra(x,y) = (64, 8)
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (8, 64)hoặc(x,y) = (64, 8)
Ví dụ 2.22. Giải hệ phương trình
x y + y x = 26 x2−y2=24
.
Lời giải. Điều kiệnxy̸=0 Hệ⇔
x2+y2= 26
5 xy
(x−y)(x+y) =24
⇒
(x+y)2−2xy= 26
5 xy
[(x+y)2−4xy](x+y)2=242
Đặt u = (x+y)2,v = xy ta
u= 36
v
u2−4uv=242
⇔
u=36
(38)phương trình
(x+y)2=36
xy=5
Trường hợp
x+y=6
xy=5 ⇔
x=1
y=5
x=5 y=1
Trường hợp
x+y=−6
xy=5 ⇔
x=−1
y=−5
x=−5
y=−1
Ví dụ 2.23. Giải hệ phương trình
x2
(y+1)2 +
y2
(x+1)2 =
1 3xy=x+y+1
Lời giải. Điều kiện(x+1)(y+1)̸=0 Hệ⇔ ( x
y+1)
2+ ( y
x+1)
2=
2 xy
(x+1)(y+1) =
1
Đặtu= x
y+1,v= y
x+1 ta
uv=
4 u2+v2=
2
⇔
u+v=1 uv=
4
hoặc
u+v=−1 uv=−1
4 Trường hợp
u+v=1 uv=
4 ⇔ x y+1 =
1 y x+1 =
1 ⇔
2x−y=1
2y−x=1 ⇔x=y=1
Trường hợp
u+v=−1 uv=
4
giải tương tự ta đượcx =y=−1
3 Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (−1
3,−
3),(1, 1)
Bài tập
Bài 2.16Giải hệ phương trình sau:
a)
x2+xy+y2=4 x+xy+y=2
b)
x+y+xy=3 x2y+xy2=2 c)
x2+y2+x+y=8
e)
x2+y2=1 x8+y8=x10+y10 f)
3xy−x2−y2=5 7x2y2−x4−y4=155 x +
(39)
(x2+y2)xy=78 x4+y4=97
Bài 2.17Giải hệ phương trình sau:
a)
x2+xy+y2=1 x−y−xy=3
b)
x−y+xy=1 x2+y2=2 c)
x3y3+1=2y3 x2
y + x y2 =2
d)
x2+y2+x2y2=1+2xy
(x−y)(1+xy) =1−xy
e) y x + x y = 26 x2−y2=24 f)
x2+y2+xy=3 xy3+x3y=2 g)
x+y+x
y =4 x2+xy−y=0
h)
x−2y+x
y =6 x2−2xy−6y=0 i) y x + x y =2
x +
y+x+y=4
j)
x+y+ x
y + y x =4 x+y+ x
2
y + y2
x =4
k)
x+y+x2y2=3xy
x +
y−xy=1
l)
x(x+1) +
y(
y+1) =4 x3y3+xy+x2y2+1=4y3
m)
(x2+y2)(1+
x2y2) =49
(x+y)(1+
(40)Ví dụ 2.24. Giải hệ phương trình
x2+y2=xy+x+y x2−y2=3
Lời giải. Đặtu=x+y,v=x−ykhi hệ trở thành
u2+v2
2 =
u2−v2
4 +u
uv=3
⇔
u2+3v2−4u=0 uv=3⇔
⇔
u2+27
u2−4u=0
v=
u
⇔
u4−4u3+27=0 v=
u
⇔
(u−3)2(u2+2u+3) =0 v=
u
⇔
u=3 v=1
⇔
x+y=3 x−y=1 ⇔
x=2 y=1
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (2, 1)
Ví dụ 2.25. Giải hệ phương trình
y(x2+1) =2x(y2+1) (x2+y2)(1+
x2y2) =24
Lời giải. Điều kiệnxy̸=0 Đặtu=x+1
x,v=y+
y ta hệ
u v =2 u2+v2=20
⇔
u=2v 5v2=20
⇔
u=±4 v=±2
Trường hợp
u=4
v=2 ta
x+
1 x =4
1 ⇔
x2−4x+1=0
⇔
x=2±
√
(41)Trường hợp
u=−4
v=−2 ta
x+
x =−4 y+1
y =−2
⇔
x2+4x+1=0 y2+2y+1=0 ⇔
x=−2±√3 y=−1
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (2±√3, 1),(−2±√3,−1)
Ví dụ 2.26. Giải hệ phương trình
(x2+y2)(1+
xy)
2=9
(x3+y3)(1+
xy)
3=27.
Lời giải. Điều kiệnxy̸=0.Đặtu=x+
y,v=y+
x.Ta hệ
u2+v2=9 u3+v3=27
⇔ (u 3)
2+ (v
3)
2=1
(u
3)
3+ (v
3)
3=1
⇔
u =1 v=0
hoặc
v=0
v =1
Trường hợp
u=3 v=0
⇔
x+1
y =3 y+
x =0
⇔hệ vơ nghiệm
Trường hợp cịn lại tương tự
Vậy hệ cho vô nghiệm
Ví dụ 2.27. Giải hệ phương trình
2x−y=1+qx(1+y)
x3−y2=7
Lời giải. Điều kiệnx(y+1) ≥ 0.Dễ dàng kiểm tra (0,y)và(x,−1)không nghiệm hệ Xétx̸=0vày̸=−1
Từ phương trình thứ hệ ta 2x=1+y+
q
x(y+1)
⇔2
r x
y+1 = r
(42)Đặtt=
r y+1
x >0ta
t2+t−2=0
⇔t=1hoặct=−2(loại)
Trường hợpt=1⇔y=x−1thay vào phương trình thứ hai hệ ta x3−x2+2x−8=0
⇔(x−2)(x2+x+4) =0
⇔x=2 Vớix=2thìy=x−1=1
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (2, 1)
Ví dụ 2.28. Giải hệ phương trình
(2x−y+2)(2x+y) +6x−3y=−6
√
2x+1+p
y−1=4
Lời giải. Điều kiệnx≥ −1
2,y≥1 Đặt
u=√2x+1
v=py−1 Hệ trở thành
(u2−v2)(u2+v2) +3(u2−v2−2) =−6 u+v=4
⇔
4(u−v)(u2+v2+3) =0 u+v=4
⇔
u=v u+v=4
⇔
u=2 v=2
⇔
x=
2 y=5
Vậy hệ có nghiệm
x =
2 y=5
(43)Ví dụ 2.29. Giải hệ phương trình
x2+y+x3y+xy2+xy=−5
4 x4+y2+xy(1+2x) =−5
4
Lời giải. Hệ⇔
x2+y+x3y+xy2+xy=−5
4
(x2+y)2+xy=−5
4 Đặt
u=x2+y
v=xy Hệ trở thành
u+v+uv=−5
4 u2+v=−5
4 Trừ vế theo vế hai phương trình ta
u2−uv−u=0
⇔u(u−v−1) =0
⇔u=0hoặcu=1+v
Vớiu=0⇒v=−5
4
Vớiu=v+1thay vào phương trình thứ hai hệ ta
4u2+4u+1=0⇔u=−1
2 ⇒v=− Trường hợp
u=0 v=−5
4
⇔
y=−x2 x3=
4
⇔
x=
r y=−3
(44)Trường hợp
u=−1
2 v=−3
2 ⇔
x2+y=−1
2 xy=−3
2 ⇔
x2−
2x =− xy=−3
2
⇔
x=1 y=−3
2
Vậy hệ có nghiệm(x,y) = (1,−3
2),(
3
r 4,−
3
r 25
16)
Bài tập
Bài 2.18Giải hệ phương trình
a)
p
7x+y+p
2x+y=5 p
2x+y+x−y=2
b)
x2+y2=
2 2x3+6y2x=1 c)
x3+3xy2=−49 x2−8xy+y2=8y−17
d)
(x+y)(1+
xy) =4 xy+
xy+
x2+y2 xy =4
e)
(x+y)(1+xy) =18xy
(x2+y2)(1+x2y2) =208x2y2
f)
(x+y)(1+
xy) =5 xy+
xy =4
g)
(x+y)(1+
xy) =6
(x2+y2)(1+
xy)
2=18
Bài 2.19Giải hệ phương trình sau:
(45)b)
xy(2x+y−6) +y+2x=0
(x2+y2)(1+
xy)
2=8
c)
2x2y+y2x+2y+x=6xy xy+
xy+ y x+
x y =4
d)
x2y2+y4+1=3y2 xy2+x =2y e)
2x+y+
x =4 x2+xy+
x =3
f)
x2y+y=2 x2+
x2 +x
2y2=3.
g)
x2+y2+x+y=4xy
x + y +
y x2+
x y2 =4
h)
x4+4x2+y2−4y=2 x2y+2x2+6y=23
i) x + y =9
(√31
x+
3
√
y)(1+
3
√
x)(1+
3
√
y) =18
j)