Trong các giá trị tìm đợc của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phơng trình đã cho.. Không giải phơng trình tí[r]
Chủ đề phơng trình bậc hai ẩn A Kiến thức cần nhớ I Định nghĩa : Phơng trình bậc hai ẩn phơng trình có dạng ax bx c x ẩn; a, b, c số cho trớc gọi hệ số a II Công thức nghiệm phơng trình bậc hai : Phơng trình bậc hai ax bx c 0(a 0) b 4ac *) Nếu phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt : x1 b b ; x2 2a 2a *) Nếu phơng trình có nghiệm kép : x x b 2a *) NÕu phơng trình vô nghiệm III Công thức nghiệm thu gọn : Phơng trình bậc hai ax bx c 0(a 0) vµ b 2b ' ' b '2 ac *) NÕu ' phơng trình có hai nghiệm phân biệt : x1 b ' ' b ' ' ; x2 a a *) NÕu ' phơng trình có nghiệm kép : x x b' a *) NÕu ' phơng trình vô nghiệm IV Hệ thức Vi - et vµ øng dơng : NÕu x1; x2 hai nghiệm phơng trình ax bx c 0(a 0) th× : b x1 x a x x c a Muèn t×m hai sè u vµ v, biÕt u + v = S, uv = P, ta giải phơng trình : x Sx P (Điều kiện để có u v lµ S 4P 0 ) NÕu a + b + c = phơng trình ax bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm : c a NÕu a - b + c = phơng trình ax bx c 0(a 0) cã hai nghiÖm : c x1 1; x a x1 1; x V Một số quy tắc, phép biến đổi : - Quy tắc nhân, chia đa thức - Hằng đẳng thức đáng nhớ - Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Phơng pháp quy đồng mẫu thức hai hay nhiều phân thức Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số - Quy tắc biến đổi phơng trình, bất phơng trình - Khái niệm bậc hai phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai - Phơng pháp giải hệ phơng trình B Phơng pháp học làm - Nắm đợc đơn vị kiến thức cần nhớ - Khi làm tập cần đọc kĩ đề bài, xác định dạng Từ có phơng pháp phù hợp để giải C Các dạng hay gặp môn Toán I Phơng trình bậc hai tham số (Bài tập giải phơng trình) Phơng trình bậc hai dạng khuyết : a/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử bậc : Phơng pháp giải : - Chuyển hạng tử tự sang vế phải - Chia c¶ hai vÕ cho hƯ sè bËc hai ®a vỊ d¹ng : x2 = a +) a > phơng trình có nghiệm x a +) a = phơng trình có nghiệm x = +) a < phơng trình vô nghiệm b/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử tự : Phơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử phơng pháp đặt nhân tử chung, đa phơng trình tích giải Phơng trình bậc hai đầy đủ : Phơng pháp giải : - Sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải - Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với số phơng trình đặc biệt Phơng trình đa đợc phơng trình bậc hai : a/ Phơng trình trùng phơng : ax bx c 0(a 0) Phơng pháp giải : Đặt t = x2( t ) đa dạng : at bt c b/ Phơng trình chứa ẩn mẫu : Phơng pháp giải : - Bớc Tìm điều kiện xác định phơng trình - Bíc Quy ®ång mÉu thøc hai vÕ råi khư mẫu - Bớc Giải phơng trình vừa nhận đợc - Bớc Trong giá trị tìm đợc ẩn, loại giá trị không thỏa mÃn điều kiện xác định, giá trị thỏa mÃn điều kiện xác định nghiệm phơng trình đà cho c/ Phơng trình tích Không giải phơng trình tính giá trị biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et) II Phơng trình bậc hai có tham số Giải phơng trình biết giá trị tham số Tìm tham số biết số nghiệm phơng trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm vô nghiệm) áp dụng định lý Vi-et a/ Tìm tham số biết nghiệm phơng trình b/ Tìm tham sè biÕt dÊu cđa nghiƯm (hai nghiƯm tr¸i dÊu, dấu, dơng âm) c/ Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm : - Hệ thức đối xứng - Hệ thức không đối xứng d/ Tính giá trị biểu thức nghiệm theo tham số e/ Tìm hệ thức độc lập nghiệm phơng trình không phụ vào tham số f/ Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm phơng trình D Một số ví dụ Bài Giải phơng trình sau : a / 2x 0 b / 3x 5x 0 c / 2x 3x 0 d / x 3x 0 e / x 3x 2x 0 x 2 f/ 3 x 2 x Gi¶i 2 a / 2x 0 2x 8 x 4 x Vậy phơng trình có nghiệm x x 0 x 0 b / 3x 5x 0 x(3x 5) x 5 3x x 0; x Vậy phơng trình có nghiệm c / 2x 3x 0 *) Cách : Sử dụng công thức nghiệm : 32 4.( 2).5 9 40 49 0; => phơng trình có hai nghiệm phân biÖt : x1 37 3 1; x 2.( 2) 2.( 2) *) C¸ch : NhÈm nghiƯm : Ta cã : a - b + c = - - + = => phơng trình có nghiệm : x1 1; x 5 2 d / x 3x 2 Đặt t x (t 0) Ta có phơng trình : t 3t a+b+c=1+3-4=0 => phơng trình có nghiệm : t1 (tháa m·n); t (lo¹i) t 1 x 1 x Vậy phơng trình có nghiệm x e / x 3x 2x 0 (x 3x ) (2x 6) 0 x (x 3) 2(x 3) 0 (x 3)(x 2) 0 x 0 x 0 x x 2 x x Vậy phơng trình có nghiệm x 3; x x 2 3 x x (§KX§ : x 2; x 5 ) x 2 3 2 x Ph¬ng tr×nh : x f/ (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) x 6x 3x 30 15x 6x 30 4x 15x 0 152 4.( 4).4 225 64 289 0; 17 => phơng trình có hai nghiệm : 15 17 2.( 4) (tháa m·n §KX§) 15 17 x2 4 2.( 4) (tháa mÃn ĐKXĐ) x1 Bài Cho phơng trình bËc hai Èn x, tham sè m : x mx m (1) a/ Giải phơng tr×nh víi m = - 2 3 b/ Gọi x1; x2 nghiệm phơng trình TÝnh x1 x ; x1 x theo m 2 c/ Tìm m để phơng trình cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : x1 x d/ Tìm m để phơng trình cã hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = e/ Tìm m để phơng trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm lại f/ Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu g/ Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào giá trị m Giải a/ Thay m = - vào phơng trình (1) ta có phơng trình : x 2x 0 (x 1) 0 x 0 x 1 VËy víi m = - phơng trình có nghiệm x = b/ Phơng trình : x mx m 0 (1) m 4(m 3) m 4m 12 Ph¬ng tr×nh cã nghiƯm x1; x 0 x1 x m Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : x1x m (a) (b) 2 2 *) x1 x (x1 x ) 2x1x ( m) 2(m 3) m 2m 3 3 *) x1 x (x1 x ) 3x1x (x1 x ) ( m) 3(m 3)( m) m 3m 9m c/ Theo phần b : Phơng trình có nghiệm x1; x 0 2 Khi ®ã x1 x m 2m 2 2 Do ®ã x1 x 9 m 2m 9 m 2m 15 0 '(m) ( 1)2 1.( 15) 1 15 16 0; (m) 4 1 1 m1 5; m 1 => phơng trình có hai nghiƯm : Thư l¹i : +) Víi m 5 => lo¹i +) Víi m 9 => tháa m·n 2 Vậy với m = - phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1; x2 tháa m·n : x1 x 9 d/ Theo phÇn b : Phơng trình có nghiệm x1; x x1 x m Khi ®ã theo định lý Vi-et, ta có : x1x m (a) (b) HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = (c) Tõ (a) vµ (c) ta cã hệ phơng trình : x1 x m 2x1 3x 5 3x1 3x 3m 2x1 3x 5 x1 3m x m x1 x1 3m x 2m x1 3m Thay x 2m vào (b) ta có phơng trình : ( 3m 5)(2m 5) m 6m 15m 10m 25 m 6m 26m 28 0 3m 13m 14 0 (m) 132 4.3.14 1 => phơng trình có hai nghiệm phân biệt : 13 2.3 13 m2 2.3 m1 Thư l¹i : +) Víi m 0 +) Víi VËy víi m 2; m m 7 25 => tháa m·n => thỏa mÃn phơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = e/ Phơng trình (1) có nghiệm x1 ( 3) m.( 3) m 0 2m 12 0 m 6 Khi ®ã : x1 x m x m x1 x ( 3) x VËy víi m = phơng trình có nghiệm x1 = x2 = - f/ Phơng trình (1) có hai nghiƯm tr¸i dÊu ac 1.(m 3) m m VËy víi m < - phơng trình có hai nghiệm trái dấu g/ Giả sử phơng trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có : x1 x m x x m m x1 x x x x1 x m x x E Các đà gặp đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 năm gần Các tập tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài Giải phơng trình : a / x 5x 0 b / x 29x 100 0 c / x 3x x 0 d /11x 8x 18x 0 e / 4x 8x x x Bài Cho phơng tr×nh x2 + px - = cã nghiƯm x1; x2 HÃy lập phơng trình có hai nghiệm hai số đợc cho trờng hợp sau : a / x1 vµ x b / x12 vµ x 22 2 (1) Bµi Cho phơng trình : x 3y 2xy 2x 10y 0 2 a/ T×m nghiƯm (x; y) phơng trình (1) thỏa mÃn x + y = 10 b/ Tìm nghiệm nguyên phơng trình (1) (x k 3) x 2(k 3)x 3k 0 (1) Bài Cho phơng trình : a/ Giải phơng trình (1) k = b/ Tìm giá trị k để phơng trình (1) có hai nghiệm dơng nghiệm âm Bài Giải phơng tr×nh : a / x 2x x 2x b / 6x 15x 2x 5x 1 c / 8x 8x 12x 12x 2( 2x 2x 1) 2 (1) Bµi Cho phơng trình ẩn x, tham số t : x 2(t 1)x t 0 a/ T×m t để phơng trình (1) có nghiệm b/ Tìm t để phơng trình (1) có hai nghiệm cho tổng hai nghiƯm b»ng tÝch hai nghiƯm (1) Bµi Cho phơng trình ẩn x, tham số m : mx 5x (m 5) a/ Giải phơng tr×nh (1) m = b/ Chøng tá r»ng phơng trình (1) có nghiệm với giá trị m c/ Trong trờng hợp phơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt x1; x2 H·y tÝnh theo m giá trị 2 biểu thức A 16x1x 3(x1 x ) Tìm m để A = 2 (1) Bµi Cho phơng trình ẩn x, tham số m : (m 3)x 2(m 3m)x m 12 0 a/ Tìm số nguyên m nhỏ cho phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tìm số nguyªn m lín nhÊt cho x12 x 22 số nguyên Các tập đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh Bài (Bắc Ninh 1997 - 1998) Cho phơng trình bậc hai ẩn x, m lµ tham sè : x 2(m 3) x 2m 0 (1) a/ Chứng tỏ phơng trình (1) có nghiệm với mäi m 1 m x ; x x x 1 2 b/ Gọi hai nghiệm phơng trình (1) HÃy tìm m để Bài (Bắc Ninh 1998 - 1999) a Cho 2 ;b 2 a/ H·y tÝnh : ab vµ a b b/ HÃy lập phơng trình bậc hai có nghiệm x1 a b ; x2 b a Cho phơng trình bậc hai Èn x, m lµ tham sè : x 3mx 3m 0 (1) a/ Chøng minh với giá trị m phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt ? b/ HÃy tìm m để phơng trình (1) có nghiệm x1 Khi hÃy tìm nghiệm x2 phơng trình Bài (Bắc Ninh 1999 - 2000) a b a b P : ab b a ab a b b a (víi a 0, b 0, a b ) Cho biÓu thøc a/ Rót gän biĨu thøc P b/ TÝnh sè trị biểu thức P biết a b hai nghiệm phơng trình x x 2 Cho phơng trình bËc hai Èn x, m lµ tham sè : x x m 0 (1) a/ T×m m để phơng trình (1) có nghiệm b/ Chứng minh với m phơng trình (1) có hai nghiệm số âm c/ Tìm m để phơng tr×nh (1) cã hai nghiƯm x1, x2 tháa m·n x1 - 2x2 = Bài (Bắc Ninh 1999 - 2000) Cho hai phơng trình bậc hai ẩn x (a lµ tham sè) : x x a 0 (1) x ax (2) a/ Giải phơng trình (1) (2) trêng hỵp a = -1 b/ Chøng minh với giá trị a hai phơng trình có hai phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài (Bắc Ninh 2000 - 2001) Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) : x (m n) x (m n ) (1) a/ Giải phơng trình (1) m = n = b/ Chøng minh r»ng víi giá trị m, n phơng trình (1) có nghiệm c/ Tìm m, n để phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình x x Bài (Bắc Ninh 2001 - 2002) Cho phơng trình : x 2(m 1) x 2m a/ Giải phơng trình m b/ Tìm tất giá trị m để phơng trình đà cho có nghiệm Bài (Bắc Ninh 2001 - 2002) Cho phơng tr×nh bËc hai : x 2( m 1) x m 3m 0 (1) a/ Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt 2 b/ Tìm giá trị m thỏa mÃn x1 x2 12 (Trong x1 , x2 hai nghiệm phơng trình) ? Bài (Bắc Ninh 2002 - 2003) Cho hai phơng trình : x 3x 2m 0 (1) vµ x x 2m 10 (2) a/ Giải hai phơng trình với m = - b/ Tìm giá trị m để hai phơng trình có nghiệm chung c/ Chứng minh với giá trị m hai phơng trình có nghiệm Bài (Bắc Ninh 2003 - 2004) a/ Chứng minh : Nếu phơng trình bậc hai ax bx c 0 cã hai nghiƯm lµ b c x1 , x2 th× x1 x2 a x1.x2 a b/ Tìm hai số biÕt tỉng cđa chóng b»ng vµ tÝch cđa chóng - 2 c/ Tìm số nguyên a để phơng trình x ax a có nghiệm Bài 10 (Bắc Ninh 2004 - 2005) Cho phơng trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + = Giải phơng trình với m = 2 Tìm m để phơng trình có nghiệm kép; vô nghiệm; có hai nghiệm phân biệt Bài 11 (Bắc Ninh 2005 - 2006) Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) (m tham số) 1) Giải phơng trình (1) với m = 2) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dÊu 3) Víi x1, x2 lµ nghiƯm cđa (1) TÝnh theo m giá trị biểu thức: A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) Bài 12 (Bắc Ninh 2006 - 2007) Cho phơng trình (ẩn x) : 2x2 + mx + m - = (1) 1) Giải phơng trình (1) m = -1 2) Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m 3) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn nghiệm dơng Bài 13 (Bắc Ninh 2007 - 2008) 2 Cho phơng trình bậc hai x 2(2m 1) x 3m 0 (x ẩn) (1) a/ Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt phơng trình (1) HÃy tìm m để x1 x2 Bài 14 (Bắc Ninh 2008 - 2009) Cho phơng trình x2 - 2x - = có hai nghiệm x1, x2 S Tính giá trị cđa biĨu thøc : x2 x1 x1 x2 Bµi 15 (Bắc Ninh 2009 - 2010) Cho phơng trình : (m 1) x 2(m 1) x m a/ Giải phơng trình (1) với m = (1) (m lµ tham sè) 1 x x2 b/ T×m m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mÃn : F Tài liệu ôn thi đà đáp ứng đợc dạng nào, mức ®é khã dƠ nh thÕ nµo ? - Tµi liƯu ôn thi đà cung cấp đợc số đơn vị kiến thức cần nhớ, số tập - Tuy nhiên có nhiều tập mức độ khó, dạng tập cha phong phú để học sinh luyện tập G Đề xuất Năm tới, Sở soạn thảo tài liệu ôn tập riêng Tỉnh, phù hợp với học sinh ... trình bậc hai tham số (Bài tập giải phơng trình) Phơng trình bậc hai dạng khuyết : a/ Phơng trình bậc hai khuyết hạng tử bậc : Phơng pháp giải : - Chuyển hạng tử tự sang vế phải - Chia hai vế cho... = -1 b/ Chøng minh r»ng víi mäi giá trị a hai phơng trình có hai phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài (Bắc Ninh 2000 - 2001) Cho phơng trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) : x (m n) x (m... 2003) Cho hai phơng trình : x 3x 2m 0 (1) vµ x x 2m 10 (2) a/ Giải hai phơng trình với m = - b/ Tìm giá trị m để hai phơng trình có nghiệm chung c/ Chứng minh với giá trị m hai phơng