chuyên đề: phương trình bâc hai, định lý véc tơ

định lý viéte Chuyên đề Bồi dỡng kiến thức cho giáo viên giảng dạy toán THcs và bồi dỡng học sinh khá, giỏi lớp 9 A- Lý luận chung: I- Lý do chọn đề tài: 1, Lý do lý luận: Từ xa đến nay

Một số bài toán về phơng trình bậc hai.

định lý viéte

(Chuyên đề Bồi dỡng kiến thức cho giáo viên giảng dạy toán THcs

và bồi dỡng học sinh khá, giỏi lớp 9)

A- Lý luận chung:

I- Lý do chọn đề tài:

1, Lý do lý luận:

Từ xa đến nay Đảng, Nhà nớc và nhân dân ta luôn luôn nhận thức đầy đủ, sâu sắc vị trí vai trò của giáo dục đào tạo đối với công cuộc phát triển kinh tế -xã hội thực hiện công nghiệp hoá, hiện đại hoá đa đất nớc đi lên thực hiện “Dân giàu, nớc mạnh, xã hội công bằng và văn minh” Đảng, Nhà nớc ta đã khẳng

định rằng :

Giáo dục - đào tạo là động lực, là điều kiện cơ bản đảm bảo việc thực hiện các mục tiêu kinh tế - xã hội xây dựng và bảo vệ tổ quốc

Giáo dục - đào tạo là chìa khoá để mở cửa tiến vào tơng lai

Đầu t cho giáo dục đào tạo là đầu t cho phát triển

Thật sự coi trọng giáo dục - đào tạo là quốc sách hàng đầu

Giáo dục - đào tạo với nhiệm vụ nâng cao dân trí đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài Ba nhiệm vụ này luôn luôn có quan hệ hữu cơ với nhau đan xen nhau trong quá trình phát triển chung của ngành

Song song với việc nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực nhiệm vụ bồi dỡng nhân tài đóng vai trò quan trọng Bởi lẽ nhân tài là vốn quý của đất nớc là bộ phận đầu tầu thúc đẩy quá trình công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc Bộ phận này không đông, song cần phải phát hiện, tuyển chọn, đào tạo, bồi dỡng, sử dụng, đãi ngộ một cách thoả đáng, trí tuệ của bộ phận nhân tài và trí tuệ của cộng đồng là rất lớn sự cống hiến của họ cho đất nớc có giá trị gấp nhiều lần so với giá trị mà nhân dân, đất nớc đãi ngộ họ

Chính vì vậy, nhiệm vụ bồi dỡng nhân tài có liên quan tới tất cả các cấp học, bậc học trong cả nớc là sự quan tâm của toàn xã hội chứ không chỉ là của các thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy

Cho nên việc bồi dỡng nâng cao trình độ kiến thức cho giáo viên giảng dạy

bộ môn Toán trong mỗi nhà trờng đồng thời việc phát hiện, tuyển chọn, đào tạo bồi dỡng học sinh giỏi đợc đặt ra cho mỗi bậc học ngày càng đợc đề cao và chú trọng, đó không chỉ còn là nhiệm vụ của trờng chuyên, trờng trọng điểm chất l-ợng cao mà là nhiệm vụ chung của tất cả các trờng học hiện nay Bậc THCS đã xác định rất rõ nhhiệm vụ ngày hàng năm dới sự chỉ đạo của Sở Giáo dục - đào tạo Bắc Giang, Phòng giáo dục Tân Yên đã chỉ đạo cụ thể, sát xao và thờng xuyên có những t duy mới, sáng tạo phù hợp tình hình cụ thể về việc nâng cao trình độ cho giáo viên và bồi dỡng học sinh giỏi của huyện Cho nên phong trào

giáo viên giỏi, học sinh giỏi ngày càng đợc nâng lên cả về số lợng và chất lợng Thành tích của Phòng Giáo dục Tân Yên về phong trào học sinh giỏi, giáo viên giỏi có sự đóng góp đáng kể của các thầy giáo, cô giáo giảng dạy môn Toán trong toàn huyện, đặc biệt là các thầy giáo, cô giáo dạy giỏi môn này

Hàng năm thi học sinh giỏi các bậc học nhất là bậc THCS để có một học sinh giải nhất, nhì tỉnh về môn Toán là rất hiếm đặc biệt là môn Toán 9, đây cũng là một câu hỏi mà chúng ta phải quan tâm để tìm câu trả lời đúng

2, Lý do thực tiễn:

Qua quá trình giảng dạy Toán lớp 9 cùng với việc hàng năm có ôn luyện cho các em thi vào lớp 10 cũng nh thi vào các trờng năng khiếu bậc THPT của những năm trớc, và hiện nay với cơng vị chỉ đạo dạy và học trong nhà trờng tôi thấy phần kiến thức về phơng trình bậc hai, định lý Viéte đối với giáo viên rất cần thiết và học sinh lĩnh hội còn nhiều hạn chế Trong khi đó kiến thức phần này

đóng vai trò rất quan trọng trong chơng trình Toán 9 và là nền tảng không thể thiếu đợc cho việc học đại số sơ cấp của các em từ lớp 10 trở lên

Một câu hỏi đặt ra phải chăng do khuôn khổ sách giáo khoa Toán 9 viết về vấn đề này còn hạn hẹp hay là một số đồng chí cha đợc dạy toán 9 liên tục không có thời gian để đi sâu Theo tôi nghĩ không phải thế mà có thể là do các thầy giáo, cô giáo cha quan tâm nhiều tới các sách tham khảo, sách toán nâng cao, các cuốn ôn luyện thi vào lớp 10 THPT, năng khiếu, các tạp chí toán học và

kể các các sách giáo khoa ở lớp trên viết về vấn đề này

Tôi xét thấy việc cần thiết phải trang bị cho giáo viên giảng dạy bộ môn Toán hiểu thật sâu, thật đa dạng các dạng bài tập về phơng trình bậc hai, định lý viéte đồng thời giáo viên có thể sử dụng tài liệu này để bồi dỡng học sinh khá, giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 cho các em

II- Nhiệm vụ của đề tài:

1, Cung cấp, trang bị cho giáo viên giảng dạy môn Toán cùng học sinh khá,

giỏi lớp 9 chuyên đề : “Phơng trình bậc hai, định lý viéte” để nâng cao trình độ

kiến thức cho giáo viên và bồi dỡng cho học sinh khá, giỏi của trờng

2, Phân loại dạng bài tập, đa ra phơng pháp giải từng dạng có lời giải các bài tập mẫu và kèm theo các bài tập tơng tự

III- Đối tợng, địa điểm, phạm vi nghiên cứu:

1, Đối tợng :

- Giáo viên giảng dạy môn Toán

- Học sinh khá, giỏi lớp 9

- Phụ huynh học sinh

2, Địa điểm :

Trờng THCS Phúc Hoà

3, Phạm vi nghiên cứu:

- Về kiến thức : Phơng trình bậc hai, định lý Viéte

- Thời gian nghiên cứu từ năm học 2004 - 2005 đến nay

IV- Phơng pháp nghiên cứu:

1, Đọc các sách tham khảo (các cuốn ôn luyện vào lớp 10, cuốn 1001bài toán sơ cấp) các đề thi vào lớp 10 của tỉnh và ngoài tỉnh, các đề thi tuyển vào lớp

10 năng khiếu trong và ngoài tỉnh Bắc Giang

2, Tham gia giảng dạy trực tiếp cho học sinh khá, giỏi lớp 9 và làm chuyên

đề kiến thức cho giáo viên Toán của trờng

B- Nội dung :

Một bài toán về phơng trình bậc hai có chứa tham số có thể chỉ có một yêu cầu và cũng có thể có nhiều yêu cầu khác nhau (Tức là một bài có nhiều phần) Song các yêu cầu đó có thể kể đến nh sau:

1, Không giải phơng trình hãy tính giá trị một biểu thức liên hệ giữa hai nghiệm x 1 x 2

* Phơng pháp :

+Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm;

+ Biến đổi biểu thức đã cho về dạng sử dụng đợc x1+x2, x1 x2, thay x1 + x2 =

a

b



, x1 x2 = vào biểu thức rồi tính

2, Chứng minh một phơng trình có nghiệm hoặc vô nghiệm.

* Phơng pháp :

+ Tính  (hoặc ’)

+ Chỉ ra   0 (hoặc ’  0) nếu yêu cầu chứng minh phơng trình có nghiệm

+ Chỉ ra  < 0 (hoặc ’ < 0) nếu yêu cầu chứng minh phơng trình vô nghiệm

3, Chứng minh một trong hai (hay nhiều) phơng trình có nghiệm.

* Phơng pháp :

+ Tính tổng các  (hoặc tổng các ’)

+ Chứng minh tổng trên không âm

4, Tìm giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm (hoặc vô nghiệm).

* Phơng pháp :

Tìm giá trị của tham số qua bất phơng trình   0 (hoặc  < 0)

5, Tìm giá trị của tham số để hai nghiệm của phơng trình thoả mãn một

đẳng thức (hoặc một bất đẳng thức) giữa các nghiệm của phơng trình.

* Phơng pháp :

Giá trị tham số cần tìm phải thoả mãn hệ phơng trình:

  0

x1 + x2 = p

x1 x2 = s

Đẳng thức giữa 2 nghiệm ( hoặc bất đẳng thức giữa hai nghiệm)

6, Tìm giá trị lớn nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của một biểu thức có gắn với hai nghiệm của phơng trình.

* Phơng pháp :

+ Biến đổi biểu thức về dạng chứa các tổng và tích giữa hai nghiệm

+ Thay x1 + x2 = s, x1 x2 = p vào biểu thức trên rồi biến đổi biểu thức đó về dạng không âm (hoặc không dơng) Từ đó tìm ra cực trị của biểu thức

7, Chứng minh các nghiệm của phơng trình thoả mãn 1 đẳng thức (hoặc một bất đẳng thức) nào đó.

* Phơng pháp :

+ Chứng minh phơng trình có nghiệm: x1, x2

+ Biến đổi biểu thức đã cho về dạng sử dụng đợc x1+x2, x1 x2

+ Thay x1+x2 = s, x1 x2 = p vào biểu thức biến đổi ở trên, rồi chứng minh theo yêu cầu bài cho

8, Viết một hệ thức giữa hai nghiệm không chứa tham số

* Phơng pháp :

+ Chứng minh   0 (hoặc ’  0) để có x1 x2

+ Tính x1 + x2 , x1x2

+ Biến đổi tổng, tích giữa hai nghiệm để khi cộng hoặc trừ theo vế triệt tiêu

đợc tham số

9, Lập một phơng trình bậc hai mới.

* Phơng pháp :

+ Tính tổng hai nghiệm x1 + x2 = s, tính tích hai nghiệm x1x2 = p

+ Thay s,p vào phơng trình :X2 - SX + P = 0

10, Tìm giá trị của tham số để hai (hoặc nhiều phơng trình) có nghiệm chung hoặc tơng đơng.

11, Các bài toán thuộc dạng khác (nh chứng minh sự chia hết, chứng minh một biểu thức không phụ thuộc tham số…).

* Sau đây là một số bài tập điển hình của các dạng trên :

Bài 1: Không giải phơng trình: 3x2 + 17x - 14 = 0 (1)

Hãy tính giá trị của biểu thức :

x x x x S

x x x x





Giải:

Ta có :

x x x x x x x x S

x x x x x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

Thay 1 2 17

3

x x  ; 1 2 14

3

x x  vào S, ta đợc 909

952

S 

Bài 2: Cho phơng trình: x2 - ax + a - 1 = 0 (1)

a, Không giải phơng trình hãy tính giá trị biểu thức :

3x 3x 3

M

x x x x





b, Tìm giá trị của a để tổng bình phơng các nghiệm đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

a, Ta có  = (-a)2 - 4 (a - 1)

= a2 - 4a + 4 = (a - 2)2  0

Với a  phơng trình luôn luôn có nghiệm

Từ

M

2

2

M

x x x x

x x x x









Theo định lý Viéte : 1 2

x x a

  (*)

Thay (*) vào M ta đợc :

M

2

( 1)



b, Giá trị a cần tìm phải thoả mãn hệ :

x1 + x2 = a

x1 x2 = a - 1 A= x12 +x2 đạt GTNN

Ta có : A x 12 x22 (x1x2)2  2x x1 2

Hay : A a 2  2(a 1)a2  2a2

= a2 - 2a + 1 + 1 = (a - 1)2 + 1  1

GTNN của A bằng 1, dầu bằng xảy ra khi a = 1

Thông qua bài 1, bài 2 giúp cho ta thành thạo khi biến đổi và sử dụng tổng, tích các nghiệm

Bài 3: Chứng minh rằng phơng trình :

(x - a) (x - b) + (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) = 0 luôn luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Giải:

Ta biến đổi phơng trình:

(x - a) (x - b) + (x - b) (x - c) + (x - c) (x - a) = 0

 x2 - (a + b) x + ab + x2 - (b + c) x + bc + x2 - (a + c) x + ac = 0

 3x2 - 2(a + b + c) x + ab + bc + ac = 0

Ta có : ’ =  (a b c  )2  3(ab bc ac  )

= (a + b + c)2 - 3 (ab + bc + ca)

= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca - 3ab - 3bc - 3ca

= a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca 2’ = 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca

= (a2 - 2ab + b2) + (b2 - 2bc + c2) + (c2 - 2ca + a2)

= (a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2  0 với  a, b, c

Vậy phơng trình đã cho luôn luôn có nghiệm

Bài 4: Cho1 1 1

2

a b  CMR ít nhất một trong hai phơng trình sau phải có

nghiệm : x2 + ax + b = 0 (1)

x2 + bx + a = 0 (2)

Giải :

Ta có 1 = a2 - 4b

2 = b2 - 4a

Xét 1 + 2 = a2 + b2 - 4 (a + b) (*)

Từ 1 1 1

2

a b   2(a + b) = ab (**)

Thay (**) vào (*) : 1 + 2 = a2 + b2 - 2ab = (a - b)2 0

 (đpcm)

Bài 5: Cho 3 phơng trình :

x2 + ax + b - 1 = 0 (1)

x2 + bx + c - 1 = 0 (2)

x2 + cx + a - 1 = 0 (3) Chứng minh rằng trong ba phơng trình có ít nhất một phơng trình có nghiệm:

Giải :

Ta có : 1 = a2 - 4 (b - 1) = a2 - 4b + 4

2 = b2 - 4 (c - 1) = b2 - 4c + 4

3 = c2 - 4 (a - 1) = c2 - 4a + 4

Xét : 1+ 2 + 3 = (a2 - 4a + 4) + (b2 - 4b + 4) + (c2 - 4c + 4)

= (a - 2)2 + (b - 2) 2 + (c - 2)2  0  (đpcm)

Bài 6: Cho 2 phơng trình : x2 + ax + b = 0 (1)

x2 - cx - d = 0 (2)

Có các hệ số a, b, c, d thoả mãn:

a(a - c) + c (c - a) + 8 (d - b) > 0

Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt :

Giải :

Phơng trình (1) có : 1 = a2 - 4b

Phơng trình (2) có : 2 = c2 + 4d

Xét 1 + 2 = a2 + c2 + 4d - 4b

 2 (1 + 2) = 2(a2 + c2 + 4d - 4b)

= 2(a2 + c2) + 8 (d - b)

Từ giả thiết : a(a - c) + c(c - a) + 8 ( d - b) > 0

 8 (d - b) > 2 ac - a2 - c2

 2(1 + 2) = 2 (a2 + c2) + 8(d - b) > a2 + c2 + 2ac = (a + c)2 > 0

 2(1 + 2) > 0  1 + 2 > 0

 ít nhất một trong hai biểu thức thức 1, 2 dơng  (đpcm)

Bài 7: Cho phơng trình (ẩn x)

x2 - 2(m + 1)x + m - 4 = 0 (1)

a, Chứng minh (1) có 2 nghiệm với  m

b, m = ? thì (1) có 2 nghiệm trái dấu

c, Giả sử x1, x2 là nghiệm của (1) Chứng minh rằng

M = (1 - x2)x1 + (1 - x1)x2 không phụ thuộc m

d, Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m

e, Lập phơng trình bậc 2 có 2 nghiệm là

1

1

x và 2

1

x (x1, x2 là hai nghiệm

của (1))

Giải:

a, Trớc khi làm bài yêu cầu học sinh xác định hệ số : a = 1, b = -2 (m + 1) b’ = - (m + 1) ; c = m - 4

Ta có :

2

1 1 19

b, (1) có 2 nghiệm trái dấu  ac < 0

 m - 4 < 0  m < 4

c, Vì phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1x2

Theo Viéte 1 2

1 2

2( 1) 4

x x m





 



(*)

Ta có : M = (1 - x2)x1 + (1 - x1)x2

= x1 - x1x2 + x2 - x1x2

= (x1 +x2) - 2x1x2

Thay (*) vào M ta đợc :

M = 2 (m + 1) - 2 (m - 4)

= 2m + 2 - 2m + 8 = 10  (đpcm)

d, Theo Viéte áp dụng cho phơng trình (1) :

x1 + x2 = 2(m + 1) = 2m + 2

 2m = (x1 + x2) - 2 (3)

x1x2 = m - 4  2 x1x2 = 2m - 8

 2m = 2x1x2 + 8 (4)

Từ (3), (4) suy ra x1 + x2 - 2 = 2x1x2 + 8

Hay x1 + x2 - 2x1x2 = 10

e, Ta có :

4

4





Ta có phơng trình : 2 2( 1) 1

0

m



(m - 4) x2 - (2m + 1) = 0

Tính tổng 2 nghiệm là S

Tính tích 2 nghiệm là P

Thay tổng, tích vào phơng trình : X2 - SX + P = 0

Bài 8: Cho phơng trình (ẩn x) x2 - 2x + m = 0 (1)

a, Tìm m sao cho phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 đều là các

số dơng

b, Tìm m sao cho phơng trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn :

1 2

10 3

x  x 

Giải :

a, Điều kiện để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt cùng dơng là :

1

0

2 0

m

m

m S

   













  



b, m cần tìm phải thoả mãn hệ phơng trình :

’ = 1 – m > 0 m < 1 (1’)

x1 + x2 = 2 x1 + x2 = 2 (2’)

x1 x2 = m  x1x2 = m (3’)

1 2

10 3

x  x 

10 3

x  x  (4’)

Ta có : (4’)

1 2

10 3

x x



2

1 2

 3(4 - 2m) = - 10m  4m =-12

 m =- 3 kết hợp với điều kiện m < 1

Thì m =-3 là giá trị cần tìm

Thực tế khi trình bày lời giải học sinh có thể giải dời dạc các điều kiện song song phải biết đợc bản chất của m cần tìm phải thoả mãn một hệ phơng trình nh thế và biết kết hợp các điều kiện để lấy m

Bài 9: Cho phơng trình : x2 - 2(a - 1) x + 2a - 5 = 0 (1)

a, Chứng minh : (1) có nghiệm với mọi a

b, a = ? thì (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < 1 < x2

c, a = ? thì (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 = 6

Giải:

a, Phơng trình (1) có nghiệm với  a 

’ = (a - 1)2 - (2a - 5) = a2 - 2a + 1 + 2a + 5

= a2 + 4a + 6 = (a - 2)2 + 2  2 ? o với  a

b, Từ x1 < 1 <x2  (x1 - 1) (x2 - 1) < 0

 x1x2 - x1 - x2 + 1 < 0  x1x2 - (x1 + x2) + 1 < 0 (*)

Theo Viéte : x1 + x2 = 2(a - 1) , x1x2 = 2a - 5

Thay vào (*) ta có (*) 2a - 5 - (2a - 2) + 1 < 0

 2a - 5 - 2a + 2 + 1 < 0  oa - 2 < 0

 luôn luôn đúng với  a

Vậy với  a thì x1 < 1 < x2

Bài 10: Cho phơng trình : x2 - (2m - 3)x +m2 - 3m = 0 (1)

a, Chứng minh phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt

b, Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 1 < x1 <x2 <6

c, Xác định m để x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

a, Ta có :  = (2m - 3)2 - 4(m2 - 3m)

= 4m2 - 12m + 9 - 4m2 + 12m = 9 > 0

b, Phơng trình (1) có 2 nghiệm là x1 = m - 3, x2 = m

Suy ra : 1 < x1 < x2 < 6  1 < m - 3 < m < 6

 4 < m < 6

c, Từ x1 + x2 = (m - 3)2 + m2 = m2 - 6m + 9 + m2

= 2m2 - 6m + 9

= 2 (m2 - 3m + 9 3 2 9 9

2  m 2  22 Vậy giá trị nhỏ nhất của x1 + x2 là 9

2 khi m =

3 2 Thực tế cho thấy dạng toán về bất đẳng thức giữa các nghiệm học sinh rất lúng túng, thờng không làm đợc đúng khi cha đợc rèn luyện

Bài 11: Cho 2 phơng trình : x2 - (2m + n) x - 3m = 0 (1)

x2 - (m + 3n)x - 6 = 0 (2)

Tìm m và n để hai phơng trình tơng đơng

Giải :

Xét 2 phơng trình:

x2 - (2m + n)x - 3m = 0

x2 - (m + 3n)x - 6 = 0

Ta có : 1 = (2m + n)2 + 12m 0  m0 (2)

2 = (m + 3n)2 + 24 > 0 với  m, n (3)

Từ ( 2), (3) hai phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm khi m0,vớin (*)

áp dụng định lý Viéte ta có :

1

1

2

3









và 2

2

3 6

P

 









Để phơng trình (1) tơng đơng phơng trình (2) thì phải có :











 3 6

m





  



 2

1

m n









 Kết hợp với điều kiện (*) ở trên thì không có m, n để hai phơng trình tơng

đ-ơng

Bài 12: Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) (1)