Một số ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

nn nnnnnnnmmnnmM + SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Người thực hiện

nn

nnnnnnnmmnnmM

+

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD & ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ ỨNG DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM

CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Người thực hiện : Trịnh Thị Nga Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Mai Ninh SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2016

II SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG

TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM

PHẦN THỨ NHẤT: MỞ ĐẦU

A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình phổ thông các dạng bài tập toán rất phong phú và đadạng Ở sách giáo khoa Toán lớp 9 THCS, học sinh được làm quen với phươngtrình bậc hai một ẩn: Công thức tính nghiệm của phương trình bậc hai, định lýVi-ét và các ứng dụng trong việc giải một số bài toán Tuy nhiên việc ứng dụngchúng vào việc giải quyết các bài toán khó như: chứng minh bất đẳng thức(BĐT), tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN), giải phương trình(PT) nghiệm nguyên thì nhiều học sinh còn lúng túng bởi vì kiến thức toánTHCS rất ít đề cập trực tiếp đến vấn đề này

Nhiều năm gần đây trong các kỳ thi chọn lọc học sinh giỏi bậc THCS vàcác kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và các hệ chuyên thường có các bài toánchứng minh BĐT, tìm cực trị và giải phương trình nghiệm nguyên Đây là haidạng toán tương đối khó đối với học sinh THCS Để giải các bài toán này họctổng hợp các kiến thức và kỹ năng tính toán, tư duy sáng tạo Vậy làm thế nào

để học sinh có thể định hướng được hướng đi, hay hơn thế là hình thành đượcmột công thức "ẩn tàng" nào đó mỗi khi gặp một bài toán

Là một giáo viên bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán THCS, trong quá trìnhgiảng dạy, tôi luôn luôn trăn trở, tìm tòi, chọn lọc những phương pháp hợp lýnhất để để dẫn dắt, hình thành cho học sinh một cách suy nghĩ mới làm quen vớidạng toán này để dần dần các em có được một số phương pháp giải cơ bản nhất Bằng kinh nghiệm và quá trình học hỏi, tích lũy, tôi đi sâu vào nghiên cứu

"Một số ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai" Trong phạm

vi của đề tài này tôi xin được đưa ra một số phương pháp mà bản thân tôi đãsoạn, dạy cho học sinh của mình Mời các bạn cùng tham khảo và đóng góp ýkiến để việc dạy và trang bị cho học sinh giải các dạng toán liên quan đến việc

sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai ngày càng tốt hơn

B MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Trong thực tế khi dạy học sinh cứu "Một số ứng dụng điều kiện có nghiệmcủa phương trình bậc hai" thì ngoài việc cung cấp cho các em các ứng dụng cơbản như: giải phương trình bậc hai và các điều kiện liên quan đến nghiệm củaphương trình bậc hai, lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích hai số,chứng minh đẳng thức, chứng minh chia hết, chứng minh số chính phương, tínhgiá trị biểu thức, chứng minh số vô tỉ, giải hệ phương trình bậc cao, giải hệphương trình có nhiều ẩn số, giải phương trình nghiệm nguyên, chứng minhBĐT, tìm GTLN, GTNN,… và đã có nhiều những tài tiệu, những đề tài khoahọc nghiên cứu về vấn đề này, trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số ứng dụngnhư:

1. Chứng minh bất đẳng thức

2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

C ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đối tượng nghiên cứu là môn toán và những kiến thức toán học có liênquan đến "Một số ứng dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai"

- Đối tượng khảo sát : Học sinh giỏi lớp 9- trường THCS Trần Mai Ninh

D PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Khảo sát, tìm hiểu thực tế học sinh

2 Nghiên cứu SGK, tài liệu hướng dẫn cần thiết

3 Xây dựng phương pháp khi soạn giáo án chính khoá và tự chọn

4 Áp dụng vào các tiết dạy lý thuyết cũng như các tiết luyện tập, các tiết dạy tự chọn, dạy bồi dưỡng HS khá, giỏi

5 Hoàn thành phương pháp sau khi đã cho học sinh thực hành qua đó rút ra bài học kinh nghiệm

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG

A CƠ SỞ LÍ LUẬN

Mục tiêu của môn Toán ở trường THCS là nhằm cung cấp cho học sinhnhững kiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện các kĩnăng giải toán và ứng dụng vào thực tế, rèn luyện khả năng suy luận hợp lí, sửdụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy linh hoạt, độc lập,sáng tạo Xuất phát từ mục tiêu trên, phương pháp dạy học trong giai đoạn mới

là tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tựphát hiện và giải quyết các vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ởhọc sinh phẩm chất tư duy cần thiết

Toán học là một bộ môn khoa học đòi hỏi sự tư duy cao độ của người dạy,người học và cả người nghiên cứu Qua việc dạy và học toán, con người đượcrèn luyện năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy linh hoạt và khả năng sáng tạo,góp phần hình thành kĩ năng, nhân cách cần thiết của người lao động trong thờiđại mới Muốn học giỏi toán, học sinh phải luyện tập, thực hành nhiều, tức làphải học giải toán Học giải toán là một cách tư duy sáng tạo về toán đồng thời

là một vấn đề trừu tượng và khá khó đối với học sinh, nhưng đó lại là điều cầnthiết cho mỗi học sinh trong quá trình học toán ở trường THCS Vì vậy, để nângcao chất lượng dạy và học toán, người thầy giáo cần truyền cho học sinh sự hamthích giải toán, bằng những phương pháp, kĩ năng cơ bản và ứng dụng của mỗidạng toán

B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

Với mỗi em học sinh lớp 9 trường THCS Trần Mai Ninh thì ước mơ vàcũng là mục tiêu đặt ra cho mình là tham dự các kì thi HSG các cấp, thi đậu vàolớp 10 chuyên Lam Sơn, các trường chuyên ở Hà Nội, nhưng cũng có không íthọc sinh đã không thực hiện được mục tiêu đó vì thiếu điểm

Trong những năm gần đây, các đề thi HSG cấp tỉnh, thi vào lớp 10 các trường chuyên thường có những câu liên quan đến các ứng dụng về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai như: chứng minh BĐT, tìm GTLN, GTNN, giải phương trình nghiệm nguyên, …

Đây là một nội dung khó đối với chương trình toán 9 Khi giải bài tậpdạng này học sinh gặp rất nhiều vướng mắc dẫn đến không hứng thú, bởi vì các

em chưa tìm ra được phương pháp thích hợp Mặt khác công cụ giải các bài tậpdạng trên còn nhiều hạn chế Không vì thế mà giáo viên xem nhẹ khi dạy cácbài tập dạng này mà giáo viên cần phải bắt đầu từ đâu, dẫn dắt như thế nào đểcác em không ngại Chính vì vậy giáo viên cần đưa các em từ những bài toánđơn giản đến phức tạp bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp

Trong chương trình toán THCS chắc hẳn các bạn đã gặp ít nhiều nhữngứng dụng về điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai như: giải hệ phươngtrình có nhiều ẩn số, giải phương trình nghiệm nguyên, chứng minh BĐT, tìmGTLN, GTNN đơn giản và trong sáng, từ lâu đã là một phương pháp hay vàhiệu quả Thực tế, có nhiều dạng bài tập liên quan, song tôi chỉ đưa ra một số bàitập điển hình và sắc màu của nó qua mỗi bài toán

C NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2 2

x1 = 2 = − '

)

- Nếu ∆ < 0 (hoặc ∆ ' < 0): Phương trình (1) vô nghiệm

3 Hệ thức Vi - ét: 1 Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương

=

a

c x x P

a

b x

x S

2 1

2 1

.

bằng P thì x1, x2 là nghiệm của phương trình

X2 – SX + P = 0 với điều kiện S2 – 4P ≥ 0

4.Xác định dấu của các nghiệm :

Xét tam thức bậc hai f x( ) ax = 2 + +bx c với a ≠ 0 Ta có:

a) Nếu ∆ < 0thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x.

b) Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với a với mọi giá trị của x khác

2

b a

− .

c) Nếu ∆ > 0thì:

• f(x) trái dấu với a với mọi giá trị của x nằm trong khoảng hai nghiệm;

• f(x) cùng dấu với a mọi giá trị của x nằm ngoài khoảng hai nghiệm.

II SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

- Phương pháp này được sử dụng với các phương trình có dạng: f( )x y; = 0

(trong đó: f( )x y; là đa thức bậc hai)

- Ý tưởng chính của phương pháp này là xét phương trình bậc hai theomột ẩn nào đó, ẩn còn lại coi là tham số Sau đó tìm điều kiện của tham số đểphương trình bậc hai có nghiệm Từ đây ta thiết lập được bất đẳng thức để chặngiá trị của tham số và liệt kê nghiệm(nếu có)

- Biến đổi phương trình đưa về dạng phương trình bậc hai(một ẩn là ẩn của phương trình bậc hai; một ẩn là tham số) Biện luận nghiệm theo điều kiện

nghiệm của phương trình bậc hai

GHI NHỚ: Sau khi biến đổi phương trình đưa về dạng phương trình bậc

hai(một ẩn là ẩn của phương trình bậc hai; một ẩn là tham số) rồi tính ∆, ta thấy

có 5 khả năng xảy ra:

(1) ∆ là một tam thức bậc hai có hệ số của bậc cao nhất âm.

(2) ∆ là một tam thức bậc hai có hệ số của bậc cao nhất dương

(3) ∆ là một biểu thức không dương với mọi giá trị của biến

(4) ∆ là một biểu thức âm với mọi giá trị của biến

(5) ∆ là một biểu thức có bậc lớn hơn 2

Sau đây là các ví dụ cho từng dạng và cách xử lí tương ứng.

Ta có ∆’= 4 – 2(3y2 – 19) ≥ 0 ⇔ 4 – 6y2 + 38 ≥ 0 ⇔ 42 - 6y2 ≥ 0 ⇔ y2 ≤ 7.

Mà y ∈ Z nên y ∈ {0; 1; 1; 2; 2− − }

+ Với y = 0, ∆’ = 42, không chính phương (loại)

+ Với y = ±1, ∆’ = 36 ; phương trình (1’) trở thành 2x2 + 4x - 16 = 0 Hay x2 + 2x - 8 = 0 ; x1 = 2 , x2 = -4

Vậy PT đã cho có 4 nghiệm nguyên: (x;y)∈{(2 ; 1); (2; -1); (-4 ; 1); (-4 : -1)}

Với y = ± 2, ∆’ = 18, không chính phương (loại)

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y)∈(2;1); (2;-1); (-4;1); (-4;-1)}

Cách giải: PT được biến đổi về dạng: x2+ (3 – 2y)x + 2y2 - 3y + 2 = 0 (2)

Ta coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y Điều kiệncần để phương trình (2) có nghiệm là ∆ ≥ 0 ⇔ (3 – 2y)2 – 4(2y2 – 3y + 2) ≥ 0

⇔ 9 – 12 y + 4y2 – 8y2 + 12y – 8 ≥ 0 ⇔ 4y2 – 1 ≤ 0

⇔-1 y 1

2 ≤ ≤ 2 Do y là số nguyên nên y = 0

Với y = 0, ta có phương trình x2 + 3x + 2 = 0 ⇔ x = - 1 hoặc x = -2

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên (x; y) ∈ { (-1; 0); (-2; 0)}.

Ví dụ 3: Tìm các số nguyên x, y thoả mãn: 12x2 + 6xy+ 3y2 = 28(x y+ ) (3)

Nhận xét: Ta thấy phương trình này có thể xem là một phương trình bậc hai ẩn y

tham số x

Cách giải: Phương trình (3) ⇔ 3y2 + 2 3( x− 14) y+ 12x2 − 28x = 0.Ta có: y nhận

giá trị nguyên với giá trị nguyên x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (x; y) { 0; 0 ; 1; 8 ; 1; 10 } ∈ ( ) ( ) (− )

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 = (x + y)2

Cách giải: Phương trình đã cho ⇔(x + y)(x2

Cách xử lí: Ta tính ∆ rồi tìm giá trị của biến để ∆ ≥ 0, sau đó xét các giá trịnguyên của biến để ∆ là số chính phương

Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x2 + 3y2 - 5xy + 3x - 2y - 3 = 0 (1)

Cách giải: Phương trình (1)⇔ 2x2 + (3 - 5y)x + 3y2 - 2y - 3 = 0 (1’)

∆ = (3 - 5y)2 – 8(3y2 – 2y – 3) = 9 – 30y + 25 y2 - 24y2 + 16y + 24

⇔ y2 - 14y + 33 Điều kiện cần để phương trình có nghiệm nguyên thìphải có ∆ là số chính phương

Đặt: y2 - 14y + 33 = k2 ⇔ y2 - 14y + 49 = k2 + 16

⇔ y− 7 2 - k 2 = 16 ⇔ ( y− + 7 k)(y− − 7 k)= 16

Nhận xét: Hai thừa số ở vế trái có tổng bằng 2 y− 7 là số chẵn nên chúng cùngtính chẵn lẻ mà tích bằng 16 là số chẵn nên chúng cùng chẵn

y y

y y

Vậy phương trình (1) có 4 nghiệm là (x; y)∈{ (3; 3); (13 ; 11); (-1 : 2); (15; 12)}

Cách xử lí: Ta chứng tỏ ∆ ≤ 0 với mọi giá trị của biến rồi kết hợp với điều kiện

để phương trình có nghiệm nguyên ∆ ≥ 0 để suy ra ∆ = 0

Ví dụ 6: Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + xy + y2 + x - y + 1 = 0 (1)

Cách giải: Phương trình (1) ⇔x2 + (y + 1)x + y2 - y + 1 = 0 (1’)

Ta coi phương trình ( 1’) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y

Điều kiện cần để phương trình (1’) có nghiệm là ∆ ≥ 0

Ta có: ∆= -3(y - 1)2 ≤ 0 ∀y ; ta phải có ∆ ≥ 0 mà -3(y - 1)2 ≤ 0 với mọi y Do

đó ∆ =0 Hay -3(y - 1)2 = 0 ⇔y = 1;

Phương trình (3) trở thành: x2 + 2x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)2 = 0 ⇒ x = -1 hoặc x = 1

Vậy phương trình (3) có nghiệm duy nhất: (x; y) = (-1; 1)

∆ có dạng A(y) .(ay2+ by+ c) phải xét A(y)= 0 rồi xét A(y) ≠0 suy ra ay2+ by + c là

số chính phương

Ví dụ 7 : Giải phương trình nghiệm nguyên x2 + xy + y2 = x2y2 (1)

Cách giải: Phương trình (1) ⇔ (1 – y2).x2 + yx + y2 = 0 (1’)

+ Nếu 1 - y2 = 0 tức y = ±1 thì (1) trở thành ±x + 1 = 0 ⇒x = -1; x = 1phương trình có hai nghiệm là (-1 ; 1) ; (1 ; -1)

+ Nếu 1- y2 ≠ 0 tức y ≠ ± 1 thì phương trình (1’) là phương trình bậchai ẩn x tham số y có ∆ = y2(4y2 - 3)

+ Nếu y = 0 thì ∆ = 0; phương trình có nghiệm kép x = 0, do đó phươngtrình có thêm một nghiệm là (0 ; 0)

+ Nếu y ≠ 0 thì phải có 4y2 - 3 là số chính phương

Đặt 4y2- 3 = k2 ⇔4y2- k2 = 3 Giải ra ta được y = ± 1 (loại)

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: (x; y) ∈ {(-1 ; 1); (1 ; -1); (0 ; 0)}

Cách xử lí: Ta phải lùng lập luận để chỉ ra ∆ < 0 với mọi giá trị của biến rồikhẳng định phương trình vô nghiệm thực nên không có nghiệm nguyên

Ví dụ 8: Giải phương trình nghiệm nguyên: 6x2 + 2y2- 6xy - 8x - 3y + 168=0(1)

Cách giải: Phương trình (5)⇔6x2 - 2(3y + 4)x + 2y2 - 3y + 168 = 0;

Phương trình (1) vô nghiệm thực nên không có nghiệm nguyên

Ví dụ 9 (tổng hợp các dạng trên): Tìm số tự nhiên a sao cho phương trình

1) Nếu a = 0 ⇒∆ = -4 < 0 ⇒ (1) vô nghiệm

2) Nếu a = 1 ⇒∆ = -7 < 0 ⇒ (1) vô nghiệm

3) Nếu a = 2 ⇒∆ = 4 ⇒ (1) có hai nghiệm x = 1; x = 3

III SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT(GTLN), GIÁ TRỊ NHỎ

NHẤT(GTNN)

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là một dạng toán khó với nhiều cách giải trong chương trình toán THCS Ở trường THCS dạng toán này thường được giải bằng cách nhận xét giá trị của biến và biến đổi biểu thức cần tìm GINN, GTLN về dạng f(x) =g(x) 2n +a (hoặc f(x) = −g(x) 2n +a) với n∈N khi

đó GTNN của biểu thức f(x) =a ⇔ g(x) = 0( hoặc GTLN của f(x) =a

⇔ g(x) = 0)

Do việc biến đổi biểu thức cần tìm GTNN, GTLN về dạng f(x) =g(x) 2n +a

(hoặc f(x) = −g(x) 2n +a) với n∈N là việc làm khó cần tư duy linh hoạt Điều

đó không phải học sinh nào cũng làm được Để khắc phục điều này, ta có một phương pháp giải vận dụng kiến thức đơn giản hơn

a là tham số của phương trình và giải tìm điều kiện của a để phương trình có nghiệm

1

x x A

x x

− +

= + + .

Cách giải: A nhận giá trị a khi và chỉ khi PT ẩn x: 22 1

1

x x

x x

− + + + = a (1) có nghiệm.

Do x2 + +x 1 ≠ 0 suy ra: (1)⇔x2 − + =x 1 ax2 +ax a+ ⇔ − (a 1) 2 + + (a 1)x+ − = (a 1) 0(2)

Trường hợp 1: Nếu a = 1 thì (2) có nghiệm x = 0

Trường hợp 2: Nếu a ≠ 1 thì (2) có nghiệm, cần và đủ là: ∆ ≥ 0, tức là

( 1) 4( 1) 0 ( 1 2 2)( 1 2 2) 0 (3 1)(a 3) 0 3

3

a+ − a+ ≥ ⇔ + +a a− a+ − a+ ≥ ⇔ a− − ≤ ⇔ ≤ ≤a (a≠1).Với a = 1

x x

− +

= + + .

Cách giải: Chuyển về xét điều kiện có nghiệm của phương trình 2 2

7

x y z

x y

+ +

= + +

a) z≠0 thì PT (1) luôn có nghiệm x khi biệt thức ∆’ không âm

DẠNG 2: BIỂU THỨC CÓ CĂN THỨC CHỨA BIẾN

Phương pháp chung: Sử dụng phương pháp đổi biến để đưa về dạng tam thức

bậc hai rồi sử dụng điều kiện có nghiệm

c= x+ − +x Cách giải: Điều kiện: 0 ≤ ≤x 1 Đặt z= x y, = 1 −x thì z2 +y2 = 1 (1) Ta cần tìm GTLN của d = 4z + 3y với 2c = d + 7 Điều kiện: 0 ≤ y z, ≤ 1.

Thay 9y2 = (d− 4 )z 2 vào (1) được: 2 2

Vậy GTNN của c là 5 tại x = 0

DẠNG 3: TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ BIỂU THỨC ĐẠT GTNN, GTLN

Phương pháp chung: Sử dụng điều kiện có nghiệm của PT bậc hai để tìm miền

giá trị của tham số rồi tìm điều kiện của tham số nhờ miền giá trị đã ràng buộc

x mx n A

Điều kiện để (1) có nghiệm là: ∆ ≥ ⇔ 0 12a2 + 4(m n− − 4)a+ (4 n −m2 ) 0 ≤

Nghiệm của BPT (2) là a1 ≤ ≤a a2 trong đó a a1, 2 là các nghiệm của PT:

12a2 + 4(m n− − 4)a+ (4 n −m2 ) 0 = (2’)

Theo đề bài, ta phải có 1 3

3 ≤ ≤a Như vậy cần tìm m, n để (2’) có hai nghiệm là

x x

+ +

= + + có GTNN là

x x

+ +

= + + có GTNN là

   nghĩa là (u, v) bằng (4; 3) hoặc (-4; 3).

Ví dụ 3 Tìm giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm lớn nhất, nhỏ

Do tồn tại m để PT có nghiệm là x0 nên PT (*) (ẩn m) phải có nghiệm PT (*) có

DẠNG 4: TÌM GTNN, GTLN CỦA ĐA THỨC BẬC HAI VỚI ĐIỀU KIỆN

RÀNG BUỘC CỦA BIẾN

Phương pháp chung: Xét đa thức bậc hai: f(x) ax= 2 + +bx c

= −