CHUYÊN ĐỀ: SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI TOÁN Với nhiều dạng toán (như tìm GTLN, GTNN, timgf giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên..) nếu khéo léo sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai thì sẽ cho ta một lời giải ngắn gọn. Trong chuyên đề này trình bày một số bài toán được giải bằng phương pháp trên;
Trang 1CÁCH SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN Cể NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRèNH BẬC HAI ĐỂ GIẢI TOÁN Cao Quốc Cờng ( GV THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc)
Các kiến về phơng trình bậc hai là những nội dung kiến thức cơ bản trong chơng trình toán lớp 9 Trong bài viết này tôi muốn trình bày với các bạn cách vận dụng điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai để giải một số dạng toán.
Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức
Bài 1: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện: 2x2 2xy 2x y 2 z2 y 2yz (1)
Chứng minh rằng : 1 y 2z 1
Lời giải: Viết đẳng thức (1) dới dạng phơng trình bậc hai ẩn x ta có:
2x 2 y 1 x y 2yz z y 0 (2)
Ta có / y2 2 2yz 2z2 1 Vì x, y, z thỏa mãn đẳng thức (1) nên PT(2) có nghiệm phải có / 0 y2 2 2yz 2z2 1 0 y 2z2 1
y 2z 1 1 y 2z 1 ( ĐPCM)
Dạng 2: Giải phơng trình nghiệm nguyên
Bài 2: Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức: 2 2
x y y xy (1)
Lời giải: Viết lại đẳng thức (1) dới dạng phơng trình bậc hai ẩn x.
x2 4xy5y2 2y 3 0 (2) Giả sử tồn tại cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn đẳng thức (1) thì PT(2) phải có nghiệm / 0 y 12 4 3 y 1 Vì y Z nên ta có:
y 3; 2; 1;0;1 Lần lợt thay các giá trị của y vào PT(2) ta đợc:
* Với y = - 3 x =- 6 (Thỏa mãn)
* Với y = - 2 x 4 3 (Loại vì x Z )
* Với y = - 1 x = 0; x = - 4 ( Thỏa mãn)
* Với y = 0 x 3 (Loại vì x Z )
* Với y = 1 x = 2 (Thỏa mãn)
Vậy có bốn cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức (1) là
( ; )x y 6; 3 ; 4; 1 ; 0; 1 ; 2;1
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho biểu thức
2 2
1
P x
Tìm GTLN, GTNN (nếu có) của P
Lời giải: ĐKXĐ: x R
Giả sử k là một giá trị của biểu thức P ta có:
2 2
1
k x
2
( Là phơng trình bậc hai ẩn x)
4
k k x (*)
TH2: k 1 0 k 1 PT(1) có nghiệm khi
Trang 2GTLN của P là Max P = 9 đạt đợc khi
2
0
Bài 4: Tìm cặp số (x; y) thỏa mãn đẳng thức: x2 y2 6x 3y 2xy 7 (1)
Sao cho y đạt giá trị lớn nhất
Lời giải: Viết biểu thức (1) về dạng phơng trình ẩn x tham số y ta có:
x2 2 3 y x y2 3y 7 0 (2)
Giả sử tồn tại cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức (1) thì PT(2) phải có nghiệm
3
3 thay y =
2
3 vào (1) ta
tìm đợc x = 7
3
Vậy cặp số (x; y) cần tìm là 7 2
;
3 3
Dạng 4 : Tìm giá trị nguyên của biểu thức
Bài 5: Cho biểu thức 1
1
x P
Tìm tất cả các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên
Lời giải: ĐKXĐ : x 0; Đặt a x a; 0 Giả sử tồn tại giá trị của x để P nhận giá trị nguyên thì phơng trình 2 1
1
a P
( ẩn a tham số P) có nghiệm
(*) Vì P 0 nên PT(*) luôn là phơng trình bậc hai ẩn a PT(*)
Vì P 0;P Z P1; 2
Với P = 1 ta tính đợc x = 0 hoặc x = 4
Với P = 2 ta tính đợc x = 1 hoặc x = 1
4.
0; ;1; 4 4
thì biểu thức P nhận giá trị nguyên
Dạng 5 : Giải hệ phơng trình
Bài 6: Giải hệ phơng trình:
3
2 2
4 (3) 0(4)
z
Lời giải: Từ PT(2) ta có : y2 2 3y z 9 4z 0 (*) phơng trình (*) là phơng trình bậc hai ẩn y có nghiệm khi và chỉ khi ' 2 2
0
z
z
(I) Mặt khác từ PT(3) ta có :x2 4x z 2 0 (**) PT (**) là phơng trình bậc hai ẩn x có nghiệm khi và chỉ khi / 4 z2 0 2 z 2 (II) Kết hợp (I); (II) và (4) ta có 0
2
z z
*Với z = 0 thay vào HPT ban đầu ta có:
Trang 3
3 2
3 2
3 2
4
x x
x
Hệ phơng trình (a) vô nghiệm
Hệ PT (b) có nghiệm (x; y) = (4; -3) kết hợp với z = 0 ta có: (x; y; z) = (4; - 3; 0) *Với z = 2 thay vào hệ phơng trình ban đầu ta có:
2
2
Hệ phơng trình có nghiệm (x; y) = (2; - 1) kết hợp với z =2 ta có (x; y; z) = ( 2; - 1; 2) Vây hệ PT có nghiệm là: (x; y; z) = (4; - 3; 0) ; (2; - 1; 2)
Bài tập áp dụng
Bài1: Cho đẳng thức x2 x 3y2 y 3xy Chứng minh rằng:
2
y
Bài 2: Cho biểu thức:
2
2 2 2010
x P
Tìm GTLN (nếu có) của P
Bài 3: Chứng minh rằng nếu phơng trình : 2x2 x a 2x b 2 c
có nghiệm thì 4c2 3a2 b2 ab
Bài 4: Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn đẳng thức: x2 yx2 y 8x 7 0 Sao cho y đạt GTLN
Bài 5: Cho biểu thức:
2 2
2
x A
Tìm các giá trị của x để A nhận giá trị nguyên