Sử dụng các biểu thức liên hợp để giải toán

SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI TOÁN Trong chương trình lớp 9 có một số bài toán có chứa dấu căn rất cồng kềnh và phức tạp nếu khéo léo sử dụng biểu thức liên hợp để biến đổi thì ta sẽ thu được một biểu thức rất gọn trong chuyên đề này tôi nêu một số cách sử dụng biểu thức liên hợp để giải toán. Sau khi học xong chuyên đề này học sinh sẽ không lúng túng khi gặp các bài toán có chứa dấu căn;

S DNG BIU THC LIấN HP GII TON Cao Quốc Cờng ( GV THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc) Sử dụng biểu thức liên hợp để giải toán kỹ học sinh THCS Trong viết muốn giới thiệu với bạn số toán trình giải có sử dụng biểu thức liên hợp )( ( ) Bài 1: Cho x + x + 2010 y + y + 2010 = 2010 (*) Tính giá trị biểu thức M = x + y ) ( ( ) 2 Lời giải: Lần lợt nhân hai vế đẳng thức (*) với x x + 2010 y y + 2010 ta ( ( ) ) ) ( 2010 y + y + 2010 = 2010 x x + 2010 (1) đợc: 2010 x + x + 2010 = 2010 y y + 2010 (2) Cộng vế với vế (1) (2) ta đợc: 2010 ( x + y ) = 2010 ( x + y ) x + y = Vậy giá trị biểu thức M = x + y = ) ( Bài 2: Giải phơng trình: a, 3x + x + 3x 14 x = ( x R ) (Trích: Đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 môn toán khối B) b, c, ( ( ) ( x2 + x + ) ( x + x2 + + x 2+ ) x ) = 123 =4 (2b) (2c) x + x6 x Lời giải: a, ĐKXĐ: Ta có: 3x + x + 3x 14 x = ( 3x + ) + ( x ) + 3x 14 x = ( x 5) x + + 3x + 1ữ = + ( x ) ( x + 1) = ( x ) x +1 3x + + x +1 3x + + x = 0(1) + + x + = 0(2) 3x + + x +1 + PT (1) có nghiệm x = thỏa mãn ĐKXĐ + + x + > với x ;6 3x + + x +1 PT (2) vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm x = a + b = x + b, ĐKXĐ: x R Đặt a = x + x ; b = x + + x Khi đó: a.b = PT(2b) có dạng: a + b 123 = a + b + a b ( a + b ) ( a + b ) 123 = 5 5 2 ( a + b3 ) ( a + b ) ( a + b ) 123 = ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) ( a + b ) 123 = ( a + b ) ( a + b ) + ( a + b ) 123 = ( a + b 3) ( a + b ) + ( a + b ) + ( a + b ) + 12 ( a + b ) + 41 = (*) 2 Vì a + b = x + > ( a + b ) + ( a + b ) + ( a + b ) + 12 ( a + b ) + 41 > Từ (*) suy a + b = a + b = x + = x = Vậy PT có nghiệm là: x = c, Ta thấy + = Đặt ( ) x = t (Với t > ) t ( 2+ ) x = t PT (2c) có dạng : t + = t 4t + = t = + 3; t = *Với t = + ta có : ( x ) = ( 3) ( * Với t = ta có : ( ) x = 2+ ( ) x = ( + 3) ( 3) x = x = 2 ) x ( = ) x = x = Vậy phơng trình có nghiệm x = Nhận xét: - Trong cách giải 2a ta nhân với biểu thức liên hợp để làm xuất hạng tử chung, nhân tử chung - Với 2b ta sử dụng tích hai biểu thức liên hợp a.b = để biến đổi phơng trình a5 + b5 123 = dạng phơng trình tích - Với 2c bên cạnh việc sử dụng biểu thức liên hợp để đặt ẩn phụ ta sử dụng biểu thức liên hợp để giải PT ( ) x = 2+ Bài 3: Tính giá trị biểu thức : M = 3+ 9+ 125 125 + 9+ + 2010 27 27 Lời giải: Đặt A = 3 + + 125 125 ta có: M = A + 2010 + 9+ 27 27 (1) 125 x = 3+ + 27 x y = *Tính A: Đặt A = x + y 125 y = 3 + 27 ữA A + A = 3 Vì A = x + y A3 = ( x + y ) A3 = x3 + y + 3xy ( x + y ) A = + ( A 1) ( A2 + A + ) = A = (Vì PT A2 + A + = vô nghiệm có = 23 < ) Vậy A = (2) Kết hợp (1) (2) ta có giá trị biểu thức M = + 2010 Nhận xét: Ta thấy + + 125 125 + hai biểu thức liên hợp Vì 27 27 ta nghĩ đến việc biến đổi để làm xuất tích hai biểu thức Bài 4: Cho phơng trình: x + 4 x + 2m3 + 21m = (1) ( Với m tham số) Giải phơng trình (1) với M = + + 343 343 + 5+ 8 343 Ta có: a.b = m = a + b 3 Với m = a + b m3 = ( a + b ) m3 = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) m = + ữm Lời giải: Đặt a = + + 343 ;b = 5+ 2m3 21m = (*) Mặt khác PT(1) có: / = 2m3 21m (**) Kết hợp (*) (**) ta thấy PT(1) có = Vậy PT(1) có nghiệm kép x1,2 = Nhận xét: Nếu ta làm theo thứ tự tính m ( Tơng tự 3) sau thay vào PT(1) giải PT khó khăn Sự sáng tạo toán khai khác kiện 2m3 21m = Bài tập áp dụng: / )( ( ) 2 Bài1: Cho x + x + y + y + = Tính M = x + y + Bài 2: Tính giá trị biểu thức: E = + + Bài 3: Cho x = + 2010 847 847 Tính giá trị biểu thức: M = ( x3 x 11) + 27 27 Bài 4: Giải phơng trình: a, x x + x + x = b, ( + ) ( ) + = x x 2 2 Bài 5: Cho biểu thức: A = x 3x + ( x 1) x + x 3x ( x 1) x Tính giá trị biểu thức với x = 2010 ... bên cạnh việc sử dụng biểu thức liên hợp để đặt ẩn phụ ta sử dụng biểu thức liên hợp để giải PT ( ) x = 2+ Bài 3: Tính giá trị biểu thức : M = 3+ 9+ 125 125 + 9+ + 2010 27 27 Lời giải: Đặt A =... nghiệm x = Nhận xét: - Trong cách giải 2a ta nhân với biểu thức liên hợp để làm xuất hạng tử chung, nhân tử chung - Với 2b ta sử dụng tích hai biểu thức liên hợp a.b = để biến đổi phơng trình a5... Vậy A = (2) Kết hợp (1) (2) ta có giá trị biểu thức M = + 2010 Nhận xét: Ta thấy + + 125 125 + hai biểu thức liên hợp Vì 27 27 ta nghĩ đến việc biến đổi để làm xuất tích hai biểu thức Bài 4: Cho