Tìm x, y trong các trờng hợp sau: Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau.. Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm p
Trang 1Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng trình bậc hai
A.Lý thuyết
1 Định nghĩa: Phơng trình bậc hai là phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1) trong đó a, b, c là các
hệ số đẵ biết, x là ẩn
2 Công thức nghiệm:
∆ = b2 – 4ac
∆< 0 phơng trình vô nghiệm
∆= 0 phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = -
a
b
2
∆> 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
x1
a
b
2
∆ +
−
a
b
2
∆
−
−
∆’ = b’2 – ac ( b′ =b 2)
∆’ < 0 phơng trình vô nghiệm
∆’ = 0 phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = -
a b'
∆’ > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt:
a
b
x =− ′ + ∆′
a
b' − ∆ '
−
3 Hệ thức Vi-ét:
* Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì
=
−
= +
a
c x
x
a
b x
x
2 1
2 1
.
*ứng dụng:
+Nhẩm nghiệm:
- Nếu a + b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x1 = 1; x2 =
a c
- Nếu a - b + c = 0 thì (1) có hai nghiệm x1 = - 1; x2 =
a
c
−
+ Tìm hai số biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P và S2 – 4P ≥ 0 thì hai số đó
là hai nghiệm của phơng trình X2 – SX + P = 0
4 Một số bài toán biện luận phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)
3) Phơng trình có hai nghiệm cùng dấu
≥
=
≥
∆′
∆
0
0
2 1
a
c x
x
,
4) Phơng trình có hai nghiệm trái dấu:
≤
=
≥
∆′
∆
0
0
2 1
a
c x
x
,
;
5) Phơng trình có hai nghiệm dơng
≥
=
≥
−
= +
≥
∆′
∆
0 0 0
2 1
2 1
a
c x x
a
b x
x
.
,
; 6) Phơng trình có hai nghiệm âm
≥
=
=
≤
−
= +
=
≥
∆′
∆
0 0 0
2 1
2 1
a
c x x P
a
b x
x S
,
;
Trang 25.Mét sè bµi to¸n øng dông hÖ thøc Vi- Ðt:
1)
P
S x x
x x
x
x + = + =
2 1
2 1
2
1
1
1
2 1
2 2 1 2 1
2 2 2 1
2 1
2
2
2
2 2 2 1
2 2
2 1 2
2
2
1
2 1
1
P
P S x
x
x x x
x
−
=
+
=
+
)
2 1
2 2 2 1
2 1 2 1 2
2 2 2 1
2 1 2 1
3
2
3
Trang 3B.Bµi tËp ¸p dông.
Bµi tËp 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh bËc hai sau:
0
0
60 x2 - 7x + 10 = 0
Trang 438 x2 – 2( 3 + 2 )x + 4 6 = 0 78 2x4 + 5x2 + 2 = 0
Bài tập 2 Tìm x, y trong các trờng hợp sau:
Bài tập 3.Không giải phơng trình,hãy tính tổng và tích các nghiệm của phơng trình sau
Tính giá trị của biểu thức A = x1 + x22 .
Bài tập 4.a)Tìm một phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:
6
2
6
2
b)Không giải phơng trình, hãy tìm tổng lập phơng các nghiệm của phơng trình sau: 3x2 - 5x - 2 = 0 Bài tập 5.Với giá trị nào của b thì phơng trình:
c) ( b - 1 )x2 - ( b + 1 )x - 72 = 0 có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại
Bài tập 6.Chứng minh rằng với bất kì giá trị nào của k phơng trình:
a) 7x2 + kx - 23 = 0 có hai nghiệm trái dấu
b) 12x2 + 70x + k2 + 1 = 0 không thể có hai nghiệm dơng
c) x2 - ( k + 1 )x + k = 0 có một nghiệm bằng 1
Bài tập 7.Chứng tỏ rằng các phơng trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:
Bài tập 8.Tìm điều kiện m để các phơng trình sau đây có nghiệm,vô nghiệm
Bài tập 9.Với giá trị nào của m thì các phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép
Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - 3 )x2 - 2( a - 1 )x + a - 15 = 0
Trang 5a)Giải phơng trình khi a = 13.
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 11.Cho phơng trình: x2 + ( m + 1 )x + m = 0
a)Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm
b)Tính y = x1 + x2 theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x1, x2 là nghiệm của phơng trình đẵ cho
Bài tập 12.Cho phơng trình: x2 - 2( m + 1 )x + 2m + 10 = 0
a)Giải và biện luận số nghiệm của phơng trình theo m
b)Tìm m sao cho 10 x1 x2 + x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x2 + mx + 12 = 0
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng 1, tìm nghiệm còn lại
Bài tập 14.Cho phơng trình: x2 - 2( k + 3 )x + 2k - 1 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Chứng minh rằng tổng và tích hai nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc vào k
2 1 2 1
= + +
x x x
Bài tập 15.Cho phơng trình: ( 2m - 1 )x2 - 2( m + 4 )x + 5m + 2 = 0
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm
b)Trong trờng hợp có nghiệm hãy tính theo m tổng S và tích P của các nghiệm
c)Tìm hệ thức liên hệ giữa tổng S và tích P
Bài tập 16.Cho phơng trình: x2 - (2m + 3 )x + m - 3 = 0
a) Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau
Bài tập 17.Cho phơng trình: x2 - 2( m - 1 )x + m - 1 = 0
a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng 3, tìm nghiệm còn lại
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm bằng nhau
Bài tập 18.Cho phơng trình: x2 + 3x - 5 = 0 , gọi hai nghiệm của phơng trình là x1, x2 Không giải phơng trình tính giá trị của các biểu thức sau;
a)
2 1
1 1
x
2
2 2
2 1
1 1
x
3
x +
Bài tập 19.Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1 )x + m - 4 = 0
a)Giải phơng trình khi m = 1
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, chứng minh rằng biểu thức A=x1(1−x2)+ x2(1−x1)không phụ thuộc vào giá trị của m
Bài tập 20.Cho phơng trình: x2 - m x + m - 1 = 0
a)Giải phơng trình khi m = 5
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m
Trang 6c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức A =x12 +x22.
Bài tập 21.Cho phơng trình: x2-2(m+1)x + m2+4m-3 = 0
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho có nghiệm?
b)Xác định m để hiệu giữa tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nhất?
Bài tập 22.Cho phơng trình : x2+(2m-5)x-3n = 0
a)Giải phơng trình khi m=3 và n=2/3
b) Xác định m và n để phơng trình có hai nghiệm là 3 và -2
c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?
a) Chứng minh với với mọi m phơng trình luôn có nghiệm
b) Xác định m để phơng trình có một nghiệm bằng -1 và khi đó hãy tính nghiệm còn lại
Bài tập 24 Cho phơng trình : x2 – 2(m+1)x +m2 + 2 =0
a)Với giá trị nào của m thì phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b)Tìm m để hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1- x2 =4
Bài tập 25.Cho phơng trình : x2 -4x +m =0 (1)
a)Tính ∆ hoặc ∆’ của phơng trình (1) theo m
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn 2 12
2
2
1 +x =
x
d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 và x2 , hãy tìm giá trị của m để biểu thức A=x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài tập 26. Cho phơng trình x2 -8x +m =0 (1)
a)Giải phơng trình (1) khi m = 12
b)Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c)Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 =2
Bài tập 27.Cho phơng trình : x2 – 2(a-1)x + 2a – 5 = 0
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1,, x2 thoả mãn : x1 < 1 < x2
Bài tập 28.Cho phơng trình : x2 + mx + m-2 =0
a)Giải phơng trình (1) với m=3
Trang 7b)Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình (1) thoả mãn x1 + x2 = 4.
Bài tập 29.Cho phơng trình: x2+ ( m + 1 )x + m - 1 = 0 (1)
a Chứng minh phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x1 2x2+ x1 x2 + 4 x1 x2 đạt giá trị lớn nhất Bài tập 30.Cho phơng trình x2- 2mx + m2 - m +1 =0(1)
a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 2 +x2 - x1x2 = 15
Bài tập 31.Cho phơng trình x2 - (k+1)x+k = 0 (1) ( ẩn x, tham số k)
a Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi k ?
b Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Hãy tìm k để A= x1 2x2+ x1 x2 +2005 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất ấy ?
Bài tập 32.Cho phơng trình (ẩn x tham số m): x2 + 4x – 2m = 0 (1)
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b)Giải phơng trình với m = 6
Bài tập 33.Cho phơng trình : 2x2 + (2m - 1)x+ m - 1 =0 (1)
a) Giải phơng trình (1) khi m = -1
b) Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có nghiệm với mọi m
c) Tìm giá trị của m để phơng trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
Bài tập 34.Cho phơng trình: x2 + 2(m+1)x + m2 + 4 m + 3 = 0 (1) (x là ẩn, m là tham số)
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
b)Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1) Tìm m để biểu thức A= 2x1+2x2- x1x2+7 = 0
Bài tập 35 Cho phơng trình : x2 −2(m−1)x+2m−5=0
a) Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi a
b) a bằng bao nhiêu thì phơng trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 <1<x2
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 , x2 không phụ thuộc vào m
Bài tập 36 Cho phơng trình: x2 −8x+m=0
a) Giải phơng trình (1) khi m = 12
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c) Tìm giá trị của m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1−x2 =2