chuyen de phuong trinh bac hai

[r]

Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng trình bậc hai A.Lý thuyết

1 Định nghĩa: Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = (a 0) (1) a, b, c

hệ số đẵ biết, x ẩn

2 C«ng thøc nghiÖm:

Δ = b2 – 4ac

Δ < phơng trình vô nghiệm

= phơng tr×nh cã nghiƯm kÐp: x1= x2 = - b

2a

> phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: x1 ¿− b+√Δ

2a ; x2 ¿

− b −√Δ 2a

Δ ’ = b’2 – ac ( b'

=b/2 )

< phơng trình vô nghiệm

= phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = -

b' a

Δ ’ > phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1=− b

' +√Δ'

a ; x2 ¿

− b ' −√Δ'

a

3 HƯ thøc Vi-Ðt:

* NÕu x1, x2 lµ hai nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) th×

¿

x1+x2=−b a x1.x2=c

a

¿{

¿

*øng dông: +NhÈm nghiÖm:

- NÕu a + b + c = th× (1) cã hai nghiƯm x1 = 1; x2 = c

a - NÕu a - b + c = th× (1) cã hai nghiÖm x1 = - 1; x2 = − c

a

+ Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P S2 – 4P hai số

lµ hai nghiƯm phơng trình X2 SX + P =

4 Một số toán biện luận phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a 0)

1) Phơng trình có nghiệm: , '0 ; 2) Phơng trình có nghiệm: , '>0 ; 3) Phơng trình có hai nghiệm dấu {

Δ, Δ'≥0

x1.x2=c

a≥0

4) Ph¬ng trình có hai nghiệm trái dấu: {

, '0

x1.x2=c

a0

;

5) Phơng trình cã hai nghiƯm d¬ng {

Δ, Δ'≥0 x1+x2=−

b a0 x1.x2=ca0

; 6) Phơng trình có hai nghiƯm ©m {

Δ, Δ'≥0 S=x1+x2=−

b a≤0 P=x1.x2=ca0

;

5.Một số toán ứng dụng hÖ thøc Vi- Ðt:

1)

x1

+

x2

=x1+x2

x1.x2

=S

P ;

2) x12+x

22=x

12+2x1.x2+x

22−2x1.x2=(x1+x2)

2

−2x1.x2=S

3)

x1.x2¿2

¿ ¿

1 x12

+ x22

=x12+x22

¿

;

4) x12− x1.x2+x22¿2=(x1+x2)((x12+2x1.x2+x22)−3x1.x2)=S(S

2

−3P)=S3−3 PS x13+x23=(x1+x2)¿

;

B.Bài tập áp dụng. Bài tập 1: Giải phơng trình bậc hai sau:

TT PTBH KQ TT PTBH KQ

1 x2 - 11x + 30 = 0 5; 6 41 x2 - 16x + 84 = 0

2 x2 - 10x + 21 = 0 3; 7 42 x2 + 2x - = 0

3 x2 - 12x + 27 = 0 3; 9 43 5x2 + 8x + = 0

4 5x2 - 17x + 12 = 0 12/5;1 44

x2 – 2(

√3+√¿ ¿ x +

√6 =

5 3x2 - 19x - 22 = 0 22/3;-1 45 11x2 + 13x - 24 = 0

6 x2 - (1+

√2 )x + √2 = √2 ;1 46 x2 - 11x + 30 =

7 x2 - 14x + 33 = 0 47 x2 - 13x + 42 = 0

8 6x2 - 13x - 48 = 0 48 11x2 - 13x - 24 = 0

9 3x2 + 5x + 61 = 0 49 x2 - 13x + 40 = 0

10 x2 -

12 x2 - 6x - 16 = 0 52 3x2 - 2

√3 x - =

13 2x2 + 3x + = 0 53

x2 - 2

√2 x + =

14 x2 - 5x + = 0 54

x2 - 2 (

√3−1) x - √3 =

15 3x2 + 2x + = 0 55 11x2 + 13x + 24 = 0

16 2x2 + 5x - = 0 56 x2 + 13x + 42 = 0

17 x2 - 7x - = 0 57 11x2 - 13x - 24 = 0

18 3x2 - 2

√3 x - = 58 2x2 - 3x - =

19 -x2 - 7x - 13 = 0 59 x2 - 4x + = 0

20 √2 x2 – 2(

√3−1¿ x -3

√2 =

60 x2 - 7x + 10 = 0

21 3x2 - 2x - = 0 61 4x2 + 11x - = 0

22 x2 - 8x + 15 = 0 62 3x2 + 8x - = 0

23 2x2 + 6x + = 0 63 x2 + x + = 0

24 5x2 + 2x - = 0 64 x2 + 16x + 39 = 0

25 x2 + 13x + 42 = 0 65 3x2 - 8x + = 0

26 x2 - 10x + = 0 66 4x2 + 21x - 18 = 0

27 x2 - 7x + 10 = 0 67 4x2 + 20x + 25 = 0

28 5x2 + 2x - = 0 68 2x2 - 7x + = 0

29 4x2 - 5x + = 0 69 -5x2 + 3x - = 0

30 x2 - 4x + 21 = 0 70 x2 - 2

√3 x - =

31 5x2 + 2x -3 = 0 71 x2 - 9x + 18 = 0

32 4x2 + 28x + 49 = 0 72 3x2 + 5x + = 0

33 x2 - 6x + 48 = 0 73 x2 + = 0

34 3x2 - 4x + = 0 74 x2 - = 0

35 x2 - 16x + 84 = 0 75 x2 - 2x = 0

36 x2 + 2x - = 0 76 x4 - 13x2 + 36 = 0

37 5x2 + 8x + = 0 77 9x4 + 6x2 + = 0

38 x2 – 2(

√3+√2¿ x + √6

=

78 2x4 + 5x2 + = 0

39 x2 - 6x + = 0 79 2x4 - 7x2 - = 0

40 3x2 - 4x + = 0 80 x4 - 5x2 + = 0

Bài tập Tìm x, y trờng hợp sau:

a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30

b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40 c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66

d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12

Bài tập 3.Không giải phơng trình,hÃy tính tổng tích nghiệm phơng trình sau a) x2 + 6x + = 0 e) x2 + 13x + 42 = 0

b) 11x2 + 13x - 24 = 0 f) 11x2 - 13x - 24 = 0

TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A = x12 + x22

Bài tập 4.a)Tìm phơng trình bậc hai có hai nghiƯm lµ: √3+√2 vµ

√3−√2

6

b)Không giải phơng trình, hÃy tìm tổng lập phơng nghiệm phơng trình sau: 3x2 - 5x - = 0.

Bµi tËp 5.Víi giá trị b phơng trình: a) 2x2 + bx - 10 = cã mét nghiÖm b»ng 5.

c) ( b - )x2 - ( b + )x - 72 = có nghiệm 3, tìm nghiệm lại.

Bài tập 6.Chứng minh với giá trị k phơng trình: a) 7x2 + kx - 23 = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu.

b) 12x2 + 70x + k2 + = có hai nghiệm dơng.

c) x2 - ( k + )x + k = cã mét nghiƯm b»ng 1.

Bµi tËp 7.Chøng tá r»ng phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: a) x2 - 4x – m2 = d) x2 + ( m + )x + m + =

b) 2x2 - 3x + m - = e) x2 - ( + 2m )x + m =

c) x2 + 2( m - )x + m2 = f) ( 2m2 +1 )x2 - 2( m2 + )x + =

Bài tập 8.Tìm điều kiện m để phơng trình sau có nghiệm,vơ nghiệm

a) x2 + x - m = d) x2 - ( m - )x + =

b) 2x2 - 3x + m - = e) x2 + 2x + m2 =

c) x2 + 2( m - )x + m2 = f) ( m2 +1 )x2 - 2( m + )x + =

Bµi tËp 9.Với giá trị m phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, cã nghiÖm kÐp

a) 3x2 - 2x + m = c) 4x2 + mx + m2 =

b) 5x2 + 18x + m = d) 4x2 + mx - =

Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - )x2 - 2( a - )x + a - 15 =

a)Giải phơng tr×nh a = 13

b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bµi tập 11.Cho phơng trình: x2 + ( m + )x + m =

a)Chøng minh phơng trình có nghiệm

b)Tính y = x12 + x22 theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x1, x2 nghiệm phơng trình đẵ cho

Bµi tËp 12.Cho phơng trình: x2 - 2( m + )x + 2m + 10 =

a)Giải biện luận số nghiệm phơng trình theo m

b)Tìm m cho 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tỡm giỏ tr ú

Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x2 + mx + 12 =

a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

b)Tìm m để phơng trình có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại Bài tập 14.Cho phơng trình: x2 - 2( k + )x + 2k - =

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt

b) Chứng minh tổng tích hai nghiệm có liên hệ khơng phụ thuộc vào k c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức

x1+ x2+

3

x1x2=2 Bµi tËp 15.Cho phơng trình: ( 2m - )x2 - 2( m + )x + 5m + =

a)Xác định m để phơng trình có nghiệm

b)Trong trêng hỵp cã nghiƯm h·y tính theo m tổng S tích P nghiệm c)Tìm hệ thức liên hệ tổng S tích P

Bài tập 16.Cho phơng trình: x2 - (2m + )x + m - =

a) Chứng minh với m phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phơng trình có hai nghim i

Bài tập 17.Cho phơng trình: x2 - 2( m - )x + m - =

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm 3, tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình cú hai nghim bng

Bài tập 18.Cho phơng tr×nh: x2 +

√3 x - √5 = , gọi hai nghiệm phơng trình x1, x2 Không giải phơng

a) 1 x1+

1 x2

b) x

12+x22 c)

x12

+ x22

d) x

13+x23

Bài tập 19.Cho phơng trình: x2 - 2(m + )x + m - =

a)Giải phơng trình m =

b) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m

c) Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình, chứng minh biểu thức A=x1(1 x2)+x2(1 x1) không phụ

thuộc vào giá trị m

Bài tập 20.Cho phơng trình: x2 - m x + m - =

a)Gi¶i phơng trình m =

b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với giá trị m

c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhÊt biĨu thøc A = x12+x22

Bµi tËp 21.Cho phơng trình: x2-2(m+1)x + m2+4m-3 = 0.

a)Vi giá trị m phơng trình cho có nghiệm?

b)Xác định m để hiệu tổng hai nghiệm tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nht?

Bài tập 22.Cho phơng trình : x2+(2m-5)x-3n = 0

a)Giải phơng trình m=3 n=2/3

b) Xác định m n để phơng trình có hai nghiệm -2 c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?

Bµi tập 23 Cho phơng trình: x2 2(m-1)x +2m = 0 a) Chøng minh víi víi mäi m phơng trình có nghiệm

b) Xỏc nh m để phơng trình có nghiệm -1 tính nghiệm cịn lại Bài tập 24 Cho phơng trình : x2 – 2(m+1)x +m2 + =0

a)Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2

b)Tỡm m để hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1- x2 =4

Bài tập 25.Cho phơng trình : x2 -4x +m =0 (1)

a)Tính phơng trình (1) theo m

b)Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm ?

c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn x12+x22=12

d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 , tìm giá trị m để biểu thức A=x12 + x22 đạt giá trị nhỏ

nhÊt

Bài tập 26. Cho phơng trình x2 -8x +m =0 (1)

a)Giải phơng trình (1) m = 12

b)Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm kép ?

c)Tỡm giỏ trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 =2

Bài tập 27.Cho phơng trình : x2 2(a-1)x + 2a – = 0.

a) Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm với a

b) a phơng trình cho có hai nghiệm x1,, x2 thoả mãn : x1 < < x2

a)Giải phơng trình (1) víi m=3

b)Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình (1) thoả mãn x12 + x22 =

Bµi tËp 29.Cho phơng trình: x2+ ( m + )x + m - = (1)

a Chøng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mäi m

b Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x1 2x2+ x1 x22 + x1 x2 t giỏ tr ln nht

Bài tập 30.Cho phơng tr×nh x2- 2mx + m2 - m +1 =0(1)

a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép

b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 +x22 - x1x2 = 15

Bài tập 31.Cho phơng trình x2 - (k+1)x+k = (1) ( Èn x, tham sè k).

a Chứng minh phơng trình (1) có nghiƯm víi mäi k ?

b Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (1) Hãy tìm k để A= x1 2x2+ x1 x22 +2005 đạt giá tr nh nht Tỡm

giá trị nhỏ ?

Bài tập 32.Cho phơng trình (ẩn x tham sè m): x2 + 4x – 2m = (1)

a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép b)Giải phơng trình với m =

Bµi tËp 33.Cho phơng trình : 2x2 + (2m - 1)x+ m - =0 (1)

a) Giải phơng trình (1) m = -1

b) Chøng minh r»ng ph¬ng trình (1) có nghiệm với m

c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm ny gp ụi nghim

Bài tập 34.Cho phơng tr×nh: x2 + 2(m+1)x + m2 + m + = (1) (x lµ Èn, m lµ tham sè)

a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt?

b)Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phơng trình (1) Tìm m để biểu thức A= 2x1+2x2- x1x2+7 =

Bµi tập 35 Cho phơng trình : x2 2(m 1)x2m 50 a) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mäi a

b) a phơng trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 <1<x2 c) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m

Bµi tập 36 Cho phơng trình: x2 8xm0 a) Giải phơng trình (1) m = 12

b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiÖm kÐp ?