[r]
(1)Chuyên đề Giải, biện luận ph ơng trình bậc hai A.Lý thuyết
1 Định nghĩa: Phơng trình bậc hai phơng trình có dạng: ax2 + bx + c = (a 0) (1) a, b, c
hệ số đẵ biết, x ẩn
2 C«ng thøc nghiÖm:
Δ = b2 – 4ac
Δ < phơng trình vô nghiệm
= phơng tr×nh cã nghiƯm kÐp: x1= x2 = - b
2a
> phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: x1 ¿− b+√Δ
2a ; x2 ¿
− b −√Δ 2a
Δ ’ = b’2 – ac ( b'
=b/2 )
< phơng trình vô nghiệm
= phơng trình có nghiệm kép: x1= x2 = -
b' a
Δ ’ > phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1=− b
' +√Δ'
a ; x2 ¿
− b ' −√Δ'
a
3 HƯ thøc Vi-Ðt:
* NÕu x1, x2 lµ hai nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) th×
¿
x1+x2=−b a x1.x2=c
a
¿{
¿
*øng dông: +NhÈm nghiÖm:
- NÕu a + b + c = th× (1) cã hai nghiƯm x1 = 1; x2 = c
a - NÕu a - b + c = th× (1) cã hai nghiÖm x1 = - 1; x2 = − c
a
+ Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P S2 – 4P hai số
lµ hai nghiƯm phơng trình X2 SX + P =
4 Một số toán biện luận phơng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = (a 0)
1) Phơng trình có nghiệm: , '0 ; 2) Phơng trình có nghiệm: , '>0 ; 3) Phơng trình có hai nghiệm dấu {
Δ, Δ'≥0
x1.x2=c
a≥0
4) Ph¬ng trình có hai nghiệm trái dấu: {
, '0
x1.x2=c
a0
;
5) Phơng trình cã hai nghiƯm d¬ng {
Δ, Δ'≥0 x1+x2=−
b a0 x1.x2=ca0
; 6) Phơng trình có hai nghiƯm ©m {
Δ, Δ'≥0 S=x1+x2=−
b a≤0 P=x1.x2=ca0
;
5.Một số toán ứng dụng hÖ thøc Vi- Ðt:
1)
x1
+
x2
=x1+x2
x1.x2
=S
P ;
2) x12+x
22=x
12+2x1.x2+x
22−2x1.x2=(x1+x2)
2
−2x1.x2=S
(2)3)
x1.x2¿2
¿ ¿
1 x12
+ x22
=x12+x22
¿
;
4) x12− x1.x2+x22¿2=(x1+x2)((x12+2x1.x2+x22)−3x1.x2)=S(S
2
−3P)=S3−3 PS x13+x23=(x1+x2)¿
;
B.Bài tập áp dụng. Bài tập 1: Giải phơng trình bậc hai sau:
TT PTBH KQ TT PTBH KQ
1 x2 - 11x + 30 = 0 5; 6 41 x2 - 16x + 84 = 0
2 x2 - 10x + 21 = 0 3; 7 42 x2 + 2x - = 0
3 x2 - 12x + 27 = 0 3; 9 43 5x2 + 8x + = 0
4 5x2 - 17x + 12 = 0 12/5;1 44
x2 – 2(
√3+√¿ ¿ x +
√6 =
5 3x2 - 19x - 22 = 0 22/3;-1 45 11x2 + 13x - 24 = 0
6 x2 - (1+
√2 )x + √2 = √2 ;1 46 x2 - 11x + 30 =
7 x2 - 14x + 33 = 0 47 x2 - 13x + 42 = 0
8 6x2 - 13x - 48 = 0 48 11x2 - 13x - 24 = 0
9 3x2 + 5x + 61 = 0 49 x2 - 13x + 40 = 0
10 x2 -
(3)12 x2 - 6x - 16 = 0 52 3x2 - 2
√3 x - =
13 2x2 + 3x + = 0 53
x2 - 2
√2 x + =
14 x2 - 5x + = 0 54
x2 - 2 (
√3−1) x - √3 =
15 3x2 + 2x + = 0 55 11x2 + 13x + 24 = 0
16 2x2 + 5x - = 0 56 x2 + 13x + 42 = 0
17 x2 - 7x - = 0 57 11x2 - 13x - 24 = 0
18 3x2 - 2
√3 x - = 58 2x2 - 3x - =
19 -x2 - 7x - 13 = 0 59 x2 - 4x + = 0
20 √2 x2 – 2(
√3−1¿ x -3
√2 =
60 x2 - 7x + 10 = 0
21 3x2 - 2x - = 0 61 4x2 + 11x - = 0
22 x2 - 8x + 15 = 0 62 3x2 + 8x - = 0
23 2x2 + 6x + = 0 63 x2 + x + = 0
24 5x2 + 2x - = 0 64 x2 + 16x + 39 = 0
25 x2 + 13x + 42 = 0 65 3x2 - 8x + = 0
26 x2 - 10x + = 0 66 4x2 + 21x - 18 = 0
27 x2 - 7x + 10 = 0 67 4x2 + 20x + 25 = 0
28 5x2 + 2x - = 0 68 2x2 - 7x + = 0
29 4x2 - 5x + = 0 69 -5x2 + 3x - = 0
30 x2 - 4x + 21 = 0 70 x2 - 2
√3 x - =
31 5x2 + 2x -3 = 0 71 x2 - 9x + 18 = 0
32 4x2 + 28x + 49 = 0 72 3x2 + 5x + = 0
33 x2 - 6x + 48 = 0 73 x2 + = 0
34 3x2 - 4x + = 0 74 x2 - = 0
35 x2 - 16x + 84 = 0 75 x2 - 2x = 0
36 x2 + 2x - = 0 76 x4 - 13x2 + 36 = 0
37 5x2 + 8x + = 0 77 9x4 + 6x2 + = 0
38 x2 – 2(
√3+√2¿ x + √6
=
78 2x4 + 5x2 + = 0
39 x2 - 6x + = 0 79 2x4 - 7x2 - = 0
40 3x2 - 4x + = 0 80 x4 - 5x2 + = 0
Bài tập Tìm x, y trờng hợp sau:
a) x + y = 17, x.y = 180 e) x2 + y2 = 61 , x.y = 30
b) x + y = 25, x.y = 160 f) x - y = 6, x.y = 40 c) x + y = 30, x2 + y2 = 650 g) x - y = 5, x.y = 66
d) x + y = 11 x.y = 28 h) x2 + y2 = 25 x.y = 12
Bài tập 3.Không giải phơng trình,hÃy tính tổng tích nghiệm phơng trình sau a) x2 + 6x + = 0 e) x2 + 13x + 42 = 0
b) 11x2 + 13x - 24 = 0 f) 11x2 - 13x - 24 = 0
TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc A = x12 + x22
Bài tập 4.a)Tìm phơng trình bậc hai có hai nghiƯm lµ: √3+√2 vµ
√3−√2
6
b)Không giải phơng trình, hÃy tìm tổng lập phơng nghiệm phơng trình sau: 3x2 - 5x - = 0.
Bµi tËp 5.Víi giá trị b phơng trình: a) 2x2 + bx - 10 = cã mét nghiÖm b»ng 5.
(4)c) ( b - )x2 - ( b + )x - 72 = có nghiệm 3, tìm nghiệm lại.
Bài tập 6.Chứng minh với giá trị k phơng trình: a) 7x2 + kx - 23 = cã hai nghiƯm tr¸i dÊu.
b) 12x2 + 70x + k2 + = có hai nghiệm dơng.
c) x2 - ( k + )x + k = cã mét nghiƯm b»ng 1.
Bµi tËp 7.Chøng tá r»ng phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt với giá trị tham số m: a) x2 - 4x – m2 = d) x2 + ( m + )x + m + =
b) 2x2 - 3x + m - = e) x2 - ( + 2m )x + m =
c) x2 + 2( m - )x + m2 = f) ( 2m2 +1 )x2 - 2( m2 + )x + =
Bài tập 8.Tìm điều kiện m để phơng trình sau có nghiệm,vơ nghiệm
a) x2 + x - m = d) x2 - ( m - )x + =
b) 2x2 - 3x + m - = e) x2 + 2x + m2 =
c) x2 + 2( m - )x + m2 = f) ( m2 +1 )x2 - 2( m + )x + =
Bµi tËp 9.Với giá trị m phơng trình sau đây: có nghiệm,vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt, cã nghiÖm kÐp
a) 3x2 - 2x + m = c) 4x2 + mx + m2 =
b) 5x2 + 18x + m = d) 4x2 + mx - =
Bài tập 10.Cho phơng trình: ( a - )x2 - 2( a - )x + a - 15 =
a)Giải phơng tr×nh a = 13
b)Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bµi tập 11.Cho phơng trình: x2 + ( m + )x + m =
a)Chøng minh phơng trình có nghiệm
b)Tính y = x12 + x22 theo m, tìm m để y có giá trị nhỏ nhất, biết x1, x2 nghiệm phơng trình đẵ cho
Bµi tËp 12.Cho phơng trình: x2 - 2( m + )x + 2m + 10 =
a)Giải biện luận số nghiệm phơng trình theo m
b)Tìm m cho 10 x1 x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất, tỡm giỏ tr ú
Bài tập 13.Cho phơng trình: 3x2 + mx + 12 =
a)Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b)Tìm m để phơng trình có nghiệm 1, tìm nghiệm cịn lại Bài tập 14.Cho phơng trình: x2 - 2( k + )x + 2k - =
a) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt
b) Chứng minh tổng tích hai nghiệm có liên hệ khơng phụ thuộc vào k c)Tìm k để có hai nghiệm phơng trình thoả mãn hệ thức
x1+ x2+
3
x1x2=2 Bµi tËp 15.Cho phơng trình: ( 2m - )x2 - 2( m + )x + 5m + =
a)Xác định m để phơng trình có nghiệm
b)Trong trêng hỵp cã nghiƯm h·y tính theo m tổng S tích P nghiệm c)Tìm hệ thức liên hệ tổng S tích P
Bài tập 16.Cho phơng trình: x2 - (2m + )x + m - =
a) Chứng minh với m phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Xác định m để phơng trình có hai nghim i
Bài tập 17.Cho phơng trình: x2 - 2( m - )x + m - =
a) Xác định m để phơng trình có nghiệm 3, tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình cú hai nghim bng
Bài tập 18.Cho phơng tr×nh: x2 +
√3 x - √5 = , gọi hai nghiệm phơng trình x1, x2 Không giải phơng
(5)a) 1 x1+
1 x2
b) x
12+x22 c)
x12
+ x22
d) x
13+x23
Bài tập 19.Cho phơng trình: x2 - 2(m + )x + m - =
a)Giải phơng trình m =
b) Chứng minh phơng trình có hai nghiệm phân biệt với m
c) Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa phơng trình, chứng minh biểu thức A=x1(1 x2)+x2(1 x1) không phụ
thuộc vào giá trị m
Bài tập 20.Cho phơng trình: x2 - m x + m - =
a)Gi¶i phơng trình m =
b) Chứng minh phơng trình có nghiệm với giá trị m
c) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình, tìm giá trị nhỏ nhÊt biĨu thøc A = x12+x22
Bµi tËp 21.Cho phơng trình: x2-2(m+1)x + m2+4m-3 = 0.
a)Vi giá trị m phơng trình cho có nghiệm?
b)Xác định m để hiệu tổng hai nghiệm tích hai nghiệm đạt giá trị lớn nht?
Bài tập 22.Cho phơng trình : x2+(2m-5)x-3n = 0
a)Giải phơng trình m=3 n=2/3
b) Xác định m n để phơng trình có hai nghiệm -2 c) Khi m=4, xác định n để phơng trình có nghiệm dơng?
Bµi tập 23 Cho phơng trình: x2 2(m-1)x +2m = 0 a) Chøng minh víi víi mäi m phơng trình có nghiệm
b) Xỏc nh m để phơng trình có nghiệm -1 tính nghiệm cịn lại Bài tập 24 Cho phơng trình : x2 – 2(m+1)x +m2 + =0
a)Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2
b)Tỡm m để hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1- x2 =4
Bài tập 25.Cho phơng trình : x2 -4x +m =0 (1)
a)Tính phơng trình (1) theo m
b)Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm ?
c) Tìm giá trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn x12+x22=12
d) Khi phơng trình (1) có hai nghiệm x1 x2 , tìm giá trị m để biểu thức A=x12 + x22 đạt giá trị nhỏ
nhÊt
Bài tập 26. Cho phơng trình x2 -8x +m =0 (1)
a)Giải phơng trình (1) m = 12
b)Với giá trị m phơng trình (1) có nghiệm kép ?
c)Tỡm giỏ trị m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn: x1 - x2 =2
Bài tập 27.Cho phơng trình : x2 2(a-1)x + 2a – = 0.
a) Chøng minh r»ng phơng trình có nghiệm với a
b) a phơng trình cho có hai nghiệm x1,, x2 thoả mãn : x1 < < x2
(6)a)Giải phơng trình (1) víi m=3
b)Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phơng trình (1) thoả mãn x12 + x22 =
Bµi tËp 29.Cho phơng trình: x2+ ( m + )x + m - = (1)
a Chøng minh phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với mäi m
b Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (1), tìm m để biểu thức :A= x1 2x2+ x1 x22 + x1 x2 t giỏ tr ln nht
Bài tập 30.Cho phơng tr×nh x2- 2mx + m2 - m +1 =0(1)
a.Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép
b Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 +x22 - x1x2 = 15
Bài tập 31.Cho phơng trình x2 - (k+1)x+k = (1) ( Èn x, tham sè k).
a Chứng minh phơng trình (1) có nghiƯm víi mäi k ?
b Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình (1) Hãy tìm k để A= x1 2x2+ x1 x22 +2005 đạt giá tr nh nht Tỡm
giá trị nhỏ ?
Bài tập 32.Cho phơng trình (ẩn x tham sè m): x2 + 4x – 2m = (1)
a)Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm kép b)Giải phơng trình với m =
Bµi tËp 33.Cho phơng trình : 2x2 + (2m - 1)x+ m - =0 (1)
a) Giải phơng trình (1) m = -1
b) Chøng minh r»ng ph¬ng trình (1) có nghiệm với m
c) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm ny gp ụi nghim
Bài tập 34.Cho phơng tr×nh: x2 + 2(m+1)x + m2 + m + = (1) (x lµ Èn, m lµ tham sè)
a) Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt?
b)Gọi x1 , x2 hai nghiệm phân biệt phơng trình (1) Tìm m để biểu thức A= 2x1+2x2- x1x2+7 =
Bµi tập 35 Cho phơng trình : x2 2(m 1)x2m 50 a) Chứng minh phơng trình có nghiệm với mäi a
b) a phơng trình cho có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1 <1<x2 c) Tìm hệ thức liên hệ x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m
Bµi tập 36 Cho phơng trình: x2 8xm0 a) Giải phơng trình (1) m = 12
b) Với giá trị m phơng trình (1) có nghiÖm kÐp ?