Chuyen de Phuong trinh nghiem nguyen

Mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn.. Tãm t¾t lý thuyÕt.[r]

CHUN ĐỀ: PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN

PhÇn I:

Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên

A Tóm tắt lý thuyết 1.Số số nghuyên tố chẵn

2.Phng trỡnh c đa dạng f(x).g(x) = k với f(x) g(x) đa thức hệ số nguyên Ta phân tích k thừa số nguyên tố giải hệ phơng trình

( ) ( ) f x m g x n

 





 víi m.n = k.

3.Phơng trình đối xứng ẩn x, y, z Khi tìm nghiệm nguyên dơng ta giả sử  x  y  z 

4.Kh«ng tån số phơng nằm hai số phơng liên tiếp B dạng toán Thờng gặp

Dạng 1: Sư dơng phÐp chia hÕt vµ chia cã d.

Hai vế phơng trình nghiệm nguyên chia cho số có số d khác nhau phơng trình khơng có nghiệm ngun.

VÝ dơ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau x2 2y2 (1)

Giải:

Rõ ràng x = y = lµ nghiƯm cđa (1)

NÕu x y0, 0 vµ ( , )x y0 lµ nghiƯm cđa (1) Gäi d( , )x y0 , suy

0 , 1.

x y d d

 



 

 

Ta cã:

2

2 0

0 2

x y x

x y

d d d

   

       

    ch½n

2

0

2 y x

d d

 



 

 



ch½n, vô lý Vậy phơng trình (1) có nghiệm nguyên (0,0)

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình sau x2 2y2 (1)

Giải:

1)Nếu x5

2 2

2y  x  5  y5 x  2y 25

v« lý

2)NÕu x5th× tõ y5 ta cã x2 1(mod 5)vµy2 1(mod 5)suy x2 2y2  1, 3(mod 5) Vậy phơng trình nghiệm nguyên

Vớ d 3: Chứng minh tổng bình phơng ba số ngun phép chia cho 8 khơng thể có d từ suy phơng trình 4x225y2144z2 2007 khơng có nghiệm ngun.

Gi¶i:

Gi¶ sư: x2y2z2 7(mod8)mµ x    0, 1, 2, , 4(mod8) nªnx2 0,1, 4(mod8) suy 2 7,6,3(mod8)

Phơng trình cho viết:(2 )x 2(5 )y 2(12 )z  6 125 7 Từ suy phơng trình khơng có nghiệm ngun

Ví dụ 4: Giải phơng trình sau tập sè nguyªn:

4 4

1 2008

x x  x 

Gi¶i:

1)NÕu x = 2k th× x16

2)Nếu x = 2k + x41 ( x1)(x1)(x2 1) 16, (x1)(x 1) (x2 1) Vậy x4 0;1(mod16) Do chia tổng

4 4

1

x x  x cho 16 có số d không vợt 7,

trong 2008 8(mod16) Suy phơng trình khơng cú nghim nguyờn

Dạng 2: Phơng pháp phân tích.

Tìm nghiệm nguyên phơng trình: a( x+ y ) + b = cxy ( víi a, b, c  Z ) (1) Ta cã: (1)

2

( ) a( ) a

cxy ay b y cx a cx a b

c c

         

2

(cx a cy a)( ) a bc

    

Phân tích a2bc m n với m, n  Z, sau lần lợt giải hệ:

cx a m cy a n

 

 

 



VÝ dơ 1: T×m nghiệm nguyên dơng phơng trình: 2(x y ) 16 3  xy Gi¶i:

Ta cã: 2(x y ) 16 3  xy3xy 2x 2y16

2

(3 2) (3 2) 16 (3 2)(3 2) 52

3

y x x x y

         

Giả sử:x y 3 x 3 y 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có hệ sau:

3 ; 52

x y

 

 

 



3 2 ; 26

x y

 

 

 



3 ; 13

x y

 

 

 



Giải hệ ta đợc nghiệm nguyên dơng phơng trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);

VÝ dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: (2x5y1)(2x y x2x) 105. Giải:

Vì 105 số lẻ nên 2x5y1lẻ suy y chẵn mà x2 x x x( 1) chẵn nên 2x lẻ x = Với x = ta có phơng trình ( 5y + ) ( y + ) = 21.5 Do ( 5y + 1, ) =1 nªn

5 21 y y

  



 

 hc

5 21

4

1

y

y y

  

 



 

 Thư l¹i ta thÊy x = 0, y = - nghiệm nguyên

ph-ơng trình

Ví dụ 3: Tìm tất tam giác vuông có cạnh số nguyên có diện tÝch b»ng chu vi.

Gäi x, y, z cạnh tam giác vuông : 1  x y z Ta cã: 2 2(1)

2( )(2)

x y z xy x y z

  



  



Tõ (1) ta cã: z2 (x y )2 2xy(x y )2 4(x y z  )

2

2

( ) 4( ) 4

( 2) ( 2)

x y x y z z

x y z

       

    

2

x y z

     (x y 2) Thay z x y   4 vào (2) ta đợc:

4

4 12

( 4)( 4)

4

4

x x

y y

x y

x x

y y

    

 

 

  

 

 

    

    

 

  

 

  vËy cặp: ( , , ) (5,12,13);(6,8,10);x y z

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: p x y( )xy. với p số nguyên tè. Gi¶i:

Ta cã:



 



2 2

( )

p x y xy xy px py p   p  x p y p  p

Mà p2 p p  ( p).( p) 1. p2  ( p2).( 1) Từ phơng trình cho có nghiệm ngun là: ( , ) (0, 0);(2 , );(x y  p p p1,p2p);(p2p p, 1);(p p p 2, 1);(p1,p p 2);

Dạng 3: Phơng trình đối xứng.

Để tìm nghiệm nguyên phơng trình đối xứng ta giả sử  x  y  z  chặn trên ẩn.

VÝ dô 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x y z xyz (1) Giải:

Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta giả sử x  y  z Tõ (1) suy ra:

1 1

1 x

xy yz zx x

     

Víi x = ta cã

1

1 ( 1)( 1)

1

y y

y z yz y z

z z

  

 

          

  

 .

Vậy (1) có nghiệm nguyên dơng ( x, y, z ) = ( 1, 2, ) hoán vị

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 5(x y z t ) 10 xyzt(1) Giải:

Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta gi¶ sư x  y  z  t 1 Tõ (1) suy ra:

1

5 5 10 30

2

2 t t xyz xzt xyt xyzt t

 

      

 

*)Víi t1ta cã:

2

1

5 5 15 30

5( ) 15 2 15

3 z

x y z xyz z z

xy yz xz xyz z

z

  

             

1)Víi z = ta cã:

2 65 35

2

5( ) 20 (2 5)(2 5) 65

2 13

2 5

x x

y y

x y xy x y

x x

y y

    

 

 

  

 

 

        

    

 

  

 

 

Ta cã c¸c nghiƯm( x, y, z, t) =( 35, 3, 1, ),( 9, 5, 1, ) hoán vị chúng, 2) Với z = 2, z= 3, phơng trình nghiệm nguyên dơng

*) Víi t2, ta cã:

2

5 5 20 35 35

5( ) 20 4

4

x y z xyz z

xy yz xz xyz z

            

2 z

  v× (z t 2).

Khi đó: 5(x y ) 30 8  xy  (8x 5)(8y 5) 265.

Do x   y z t nªn 8x 8 y 11 , mà 265 = 53.5 Trờng hợp phơng trình nghiệm nguyên dơng

Vớ d 3: Mt tam giác có số đo độ dài đờng cao mhững số nguyên dơng đờng tròn nội tiếp tam giác có bán kính Chứng minh tam giác tam giác đều.

Gi¶i:

Đặt a = BC, b = CA, c = AB Gọi độ dài đờng cao ứng với cạnh a, b, c tam giác Bán kính đờng trịn nội tiếp nên x, y, z > Giả sử x  y  z >

DiÖn tÝch tam gi¸c ABC:

1 1

(1)

2 2

S  a x b y c z

Mặt khác:

1

( )(2)

2

AOB BOC AOC

S S S S  a b c 

Tõ (1) vµ (2) Suy ra:

1 1 1

a b c a b c a x b y c z a b c a b c

x y z x y z

 

           

 

1 1

1 z z

x y z z

        

Thay z = vµo

1 1 x y z

   

ta đợc:

2

( )

2

1

3( ) (2 3)(2 3)

3 3

2 3

x x

Loai

y y

x y xy x y

x y x x

y y

    

 

 

  

 

 

          

    

 

  

 

 

Vậy x = y = z = 3, a = b = c Vậy tam giác ABC tam giác

D¹ng 4: Phơng pháp loại trừ.

Tính chất: Nếu có số nguyên m cho m2 n(m1)2thì n số ph-ơng.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 1! 2! 3! 4!   x!y2 Gi¶i:

Có chữ số tận nên số chinh, Vậy x  phơng trình cho khơng có nghiện ngun dơng

Víi  x < 5, b»ng c¸ch thư trùc tiÕp x = 1, 2, 3, phơng trình có nghiệm (1,1) (3,3)

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x6 3x3 y4 Giải:

Rõ ràng x = 0, y = nghiệm nguyên phơng trình +)Với x > ta có:

3 6 3

(x 1) x 2x  1 x 3x  1 y (x 2)  x  1 y x 2 ( v« lý ).

+)Víi x  - th× :

3 3

(x 2) y (x 1)  x 2 y  x 1

( vô lý ) +)Với x = - : y4 1, ( v« lý )

Vậy phơng trình cho có hai cặp nghiệm ( 0; ); ( 0; -1 )

VÝ dơ 3: T×m nghiƯm nguyên phơng trình: x2 (x1)2 y4(y1) Giải:

Khai triển rút gọn hai vế ta đợc:

4 2 2

2 2

( 1) ( 1) ( 1)

1 ( 1) (1)

x x y y y y x x y y y y

x x y y

          

     

+)NÕu x > th× tõ x2   1 x x2(x1) suy 1 x x2 không số phơng nên (1) nghiệm nguyên

+)Nếu x < - tõ (x1)2   1 x x2 x2suy ra(1) kh«ng có nghiệm nguyên

+)Nếu x = x = - th× tõ (1) suy

2 1 1

1 y y y

y

 

     

.

Vậy phơng trình có nghiệm nguyªn ( x; y ) = ( 0; ); ( 0; -1 ); ( -1; ); (-1; -1 );

Dạng 5: Phơng pháp xuống thang.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x3 3y3 9z3 0 Gi¶i:

Giả sử



x y z0, ,0 0



nghiệm ngun phơng trình x03đặt x0 3 x1 thay x0 3 x1 vào (1) ta đợc:

3 3

1 0

9x  y  9z  0 y 3 đặt y0 3y1 z03,khi đó:

3 3 3

1 1 0

9x  27y  3z  0 3x  9y  z  0 z 3.đặt z0 3z1 đó: x13 3y13 9z13 0.

VËy

0 , 0,

3 3 x y z

 

 

Quá trình tiếp tục đợc:

0, 0,

3 3k k k x y z

là nghiệm nguyên (1) với k điều này

chỉ xảy x0 y0 z0 0.Vậy ( 0, 0, ) nghiệm phơng trỡnh ó cho

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2y2z2t2 2xyzt(1) Giải:

Gi s

x y z t0, , ,0 0



nghiệm ngun phơng trình đó: 2 2

0 0 0 0(1)

x y z t  x y z t là số chẵn nên số x y z t0, , ,0 0 0 ph¶i cã sè

chẵn số lẻ (0; ) +)Nếu x y z t0, , ,0 0 lẻ

2 2 0 0

(x y z t ) 4 , 2x y z t0 0 04.

+)NÕu c¸c sè x y z t0, , ,0 0 có hai số lẻ

2 2 0 0

(x y z t )2(mod 4), đó

0 0

2x y z t 4

VËy x y z t0, , ,0 0phải sè ch½n,

đặt x0 2 x1 ,y0 2 y1 ,z0 2 z1 ,t0 2 t1 phơng trình trở thành: 2 2

1 1 1 1(1)

x y z t  x y z t

Lý luËn t¬ng tù ta cã:

2 2

2 2 2 2(1)

x y z t  x y z t

Víi

1 1

2 , , , ,

2 2

x y z t

x  y  z  t 

tiÕp tôc ta cã:

0 , 0, , ,

2 2

n n n n n n n n

x y z t

x  y  z  t 

Là số nguyên vơi n, điều xảy x0 y0 z0  t0 0.Vậy ( 0, 0, 0, ) là nghiệm phơng trình cho

Dạng 6: Hạn chế tập hợp chứa nghiệm dựa vào điều kiện ẩn. Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: x y 50

Gi¶i:

Ta thÊy 0x y, 50 tõ y  50 x ta cã y 50 x 50x 50 x 10 x

Vì y nguyên nên 2x4k2 x2 (k2 kZ)với 2k250 k225.(kZ) k nhận giá trị: 0; 1; 2; 3; 4; Lựa chọn k số để thoả mãn phơng trình ta đ-ợc nghiệm: ( ; ) (0;50);(2;32);(8;18);(18;8);(32;2);(50;0)x y 

D¹ng 7: Mét sè d¹ng khác.

Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3x25y212(1) Giải:

Do ú:

2

1

1

3 1

x k k

k l

y l l



    

 

   

 

  



  

 VËy x = 2, y = 0.

Phơng trình có hai nghiƯm nguyªn ( 2, ); ( -2, )

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x2 4xy5y2 16 Giải:

Tac có: x2 4xy5y2 16 (x )y 2y2 16

V×: 16 4 202 nªn

2

0 x y y

 

 



 hc

2

4 x y y

 

 

 

Giải hệ phơng trình ta đợc nghiệm nguyên phơng trình là:

( ; ) (4;0);( 4;0);(8;4);( 8; 4);x y    

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 3(x2xy y 2) x y Gi¶i:

Phơng trình cho đợc viết lại là: 3x2(3y 1)x3y2 8y 0(1)

Phơng trình (1) có nghiệm khi: (3y1)212(3y2 ) 0y   27y290y 1 Do y nguyªn nªn 0  y y



0;1;2;3



+)Víi y = ta cã x = +)Víi y = ta cã x =

+)Với y = y = ta có khơng tỡm c x nguyờn

Vậy phơng trình có hai nghiệm nguyên ( x ; y ) = ( ; ); ( ; );

Phần II: Bài tập Dạng 1: Sử dụng phép chia hết chia có d.

Giải phơng trình tËp sè nguyªn.

a)x2 3y2 17 b)x2 5y2 17 c)x2 2y2 1 d)2x122 y2 32 e)15x2 7y2 9 f)x22x4y2 37

Dạng 2: Phơng pháp phân tích.

Giải phơng trình tập số nguyên.

a)5(x y ) 3  xy b)2(x y ) 3 xy c)x2  y2 91

d)x2  x y2 e)x2  y2 169 e)x2  y2 1999

Dạng 3: Phng trỡnh i xng.

Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình sau.

a)x y xyz b)x y    z xyz c)x y z t   xyzt

d)

1

x y  . e)

1 1 1

x yz t  . f) 2 2

1 1

Giải phơng trình tập số nguyên.

a)x2 6xy13y2 100 b)1 x x2x3 y3 c)1 x x2 x3x4 y2 d) ( 1)( 2)( 3)

x y y y y . e)(x 2)4 x4 y3. f)x x( 1)(x7)(x8)y2. Dạng

5: Phơng pháp xuống thang.

Giải phơng trình tập số nguyên.

a)x3 2y3 4z2 0 b)8x44y42z4 u4 c)x2y2z2 2xyz

D¹ng Dạng 7.

Giải phơng trình tập sè nguyªn.

a)(x y 1)2 3(x2y21) b)x22y22z2 2xy 2yz 2z4 c)





1

1

2

x y  z  x y z 