Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên, số chính phương

I. Sử dụng định lý nghiệm của phương trình bậc hai. 1.Một số dịnh lí liên quan. Để giải phương trình bậc hai với nghiệm nguyên hay các vấn đề liên quan nghiệm nguyên của phương trình bậc hai người ta thường dùng một số định lí dưới đây. Định lí 1. Phương trình với các hệ số nguyên nếu có nghiệm nguyên thì . Chứng minh: Giả sử là nghiệm nguyên của PT thì . Do hay Ư( ). Chú ý: Định lí vẫn đúng với phương trình bậc n với các hệ số nguyên. Khi đó phương trình (với ) có nghiệm nguyên thì Ư( ). Định lí 2. Phương trình với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi và chỉ khi là số chính phương. Chứng minh: Giả sử là nghiệm nguyên của PT thì . Do nên là số chính phương. Đảo lại, nếu , mà và k cùng tính chẵn lẻ nên dễ dàng suy ra . Định lí 3. Phương trình hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi và chỉ khi là số chính phương. Chứng minh: Tương tự định lí 2 2. Một số bài toán điển hình. Bài 1.Giải phương trình nghiệm nguyên . . (1) HD: Coi là phương trình bậc hai ẩn và là tham số.

NGHIỆM NGUYÊN

SỐ CHÍNH PHƯƠNG

(Tài liệu tập huấn giáo viên cốt cán)

CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Định lí 1 Phương trình ax2 + + =bx c 0 với các hệ số nguyên c≠0 nếu

Định lí 2 Phương trình x2 + + =bx c 0 với các hệ số nguyên có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ∆ = −b2 4c là số chính phương.

Chứng minh: Giả sử x là nghiệm nguyên của PT thì 0 2

Định lí 3 Phương trình hệ số nguyên x2 +by2 +cxy dx ey+ + + =f 0có

nghiệm nguyên khi và chỉ khi ∆ =(cy d+ )2−4(by2+ +ey f) là số chính

phương

Chứng minh: Tương tự định lí 2

2 Một số bài toán điển hình.

Bài 1.Giải phương trình nghiệm nguyên

Bài 2 Giải phương trình nghiệm nguyên 2xy y− 2 = p s, trong đó p là số

nguyên tố, s là số nguyên dương.

HD: Xét phương trình 2xy− y2 = p s ⇔ y2 −2xy+ p s =0 (1) coi là phương

*Nếu k ≥ ⇒ ∆ <2 0 ⇒ phương trình vô nghiệm Từ đó ⇒ = ⇒ =k 1 y 2Thay k=1 vào ∆ta được: ∆ = −3z2− +8z 32

*Nếu z ≥3 thì ∆ <0⇒ (2) vô nghiệm Do đó z∈{ }1;2 .

*Nếu z = 1 thì ∆không là số chính phương (loại).

*Nếu z= ⇒ =2 x 2 (vì x>0)

Vậy x y z= = = 2⇒ tam giác đã cho là tam giác đều

Cách 2.Do x y z, , là các số nguyên nên x y z, , ≥1.

Từ phương trình đã cho 2x2 +3y2 +2z2 −4xy+2xz−20 0= nhân 2 vào

hai vế và dùng phương pháp dồn biến đưa về dạng:

Vậy x y z= = = 2⇒ tam giác đã cho là tam giác đều

Bài 4.Giải phương trình sau với ,x y là những số nguyên.

*Với y= ⇒0 x2 +7x+ = ⇒ = −10 0 x 2 hoặc x= −5 (thỏa mãn)

*Với y= ⇒1 x2 +9x+19 0= Loại vì không có nghiệm nguyên.

Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên ( , )x y ∈ −{( 2,0),( 5,0)− }

Bài 2 Chứng minh rằng phương trình x2 +3y2 +4xy+2x+4y− =9 0

không có nghiệm nguyên

không có nghiệm nguyên.

II Sử dụng phương pháp khử ẩn để giải phương trình nghiệm nguyên 1.Cơ sở của phương pháp.

Phương pháp này thường sử dụng cho các phương trình bậc cao, bằng kỹ thuật thêm bớt, chặn trên, chặn dưới ta sẽ đưa nghiệm nguyên vào trong khoảng giá trị của nó, việc làm này là co hẹp miền giá trị của nghiệm trên tập hợp Ζ

Cụ thể, ta sử dụng tính chất lũy thừa cùng bậc của các số nguyên liên tiếp hặc tích các số nguyên liên tiếp…để đưa phương trình nghiệm nguyên cần giải

về phương trình ít ẩn hơn và quen thuộc hơn Từ đó, dễ dàng tìm được nghiệm nguyên của phương trình đã cho

Trong phương pháp này, thường sử dụng hai nhận xét cơ bản sau, trong

Bài 1.Giải phương trình nguyện nguyên.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên là: ( , )x y ∈{(0, 1),( 1, 0) − }

Bài 2 Giải phương trình nghiệm nguyên.

0

y y

 ≥



+ >

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là ( , )x y ∈ − −{( 1, 1),(1, 0) }

Bài 3 Giải phương trình nghiệm nguyên.

 + + >



+ >

41

x x

Bài 5 Một số bài toán đề nghị Giải các phương trình nghiệm nguyên sau

2 Một số bài toán sử dụng phương pháp xuống thang.

Bài 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

Từ (3) suy ra z là số chẵn, đặt z =2z1 , thay vào (3) ta có:

 cũng là nghiệm của phương trình ban đầu

nên x y z, , đều chia hết cho 2n

với mọi n do đó x y z= = =0 là nghiệm của phương trình đã cho

Bài 2 Tìm nghiệm nguyên của phương trình.

*Nếu trong bốn số trên có hai số chẵn thì x2 + y2 + +z2 t2 ≡ 2(mod 4),

2xyzt 0(mod 4)≡ ⇒phương trình không có nghiệm nguyên.

Trong đó n 2n , n 2n, n 2n, n 2n

(với n∈ Ν*)

Suy ra x y z= = =0 là nghiệm của phương trình đã cho.

*Chú ý: Có thể chỉ ra x y z= = =0 là một nghiệm của phương trình sau

đó chứng minh không còn nghiệm nào thỏa mãn đề bài, rồi kết luận nghiệm Có thể áp dụng cho bài toán sau

Bài 4 Tìm các số tự nhiên , ,x y z thỏa mãn:

4 4 4 5 2 2

x + y + =z x y

HD: Dễ thấy x y z= = =0 là một nghiệm của phương trình Ta chứng tỏ ngoài nghiệm này không còn nghiệm nào khác

Giả sử tồn tại các nghiệm khác x y z= = =0, gọi ( , , )x y z là một 0 0 0

nghiệm sao cho x04 + y04 + =z04 5x y0 02 2 có giá trị nhỏ nhất.

* Nếu x y z đều lẻ thì VT0, ,0 0 ≡3(mod 4), VP≡1(mod 4) ⇒ loại.

* Nếu x y lẻ và 0, 0 z chẵn thì VT0 ≡ 2(mod 4), VP≡1(mod 4) ⇒ loại.

*Nếu x y có một trong hai số chẵn, giả sử 0, 0 x chẵn thì 0 4 4

Suy ra x y z= = =0 là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 5 Bài tập đề nghị Giải các phương trình nghiệm nguyên sau:

a) x3+3y3 +9z3 =0;

b) 8x4 +4y4 +2z4 =t4;

IV Một số bài toán khác.

Bài 1 Giải phương trình nghiệm nguyên.

1 4031

y  

, thay y=3 vào (2) được: zt t+ = ⇒ + =1 94 z 1 9t 4

(3)

Từ (3) tìm được z=2,t=4 ⇒Nghiệm của PT là ( , , , ) (1,3,2,4)x y z t = .

Bài 3.Tìm x y, ∈ Ζ sao cho 3x − y3 =1.

HD:Từ phương ta có x≥ 0,y≥0

3x − y = ⇔1 y + = ⇔1 3x (y+1)(y − + =y 1) 3x

Vì y2− + >y 1 0 nên ta có 2

m n

Vậy phương trình có hai nghiệm là (0,0) và (2,2).

Bài 4.Tìm các số nguyên x y, ,z thỏa mãn

SỐ CHÍNH PHƯƠNG I.MỘT SỐ NÉT VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG.

Định nghĩa: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên

- Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9

- Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa

số nguyên tố với số mũ chẵn

- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n+1

Không có số chính phương nào có dạng 4n+2 hoặc 4n+3 (n N∈ ).

- Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n+1

Không có số chính phương nào có dạng 3n+ 2 (n N∈ )

II Một số dạng bài tập về số chính phương.

1.Chứng minh một số là số chính phương.

Bài 1 Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính

phương.

HD: Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n n, +1, n+2, n+3 (n N∈ ).

Sau đó chứng minh n2 −2n+ 2không là số chính phương.

Bài 4 Cho k là số nguyên dương và a= 3k2 + +3k 1.

a) Chứng minh rằng 2a và a2 là tổng ba số chính phương.

b) Chứng minh rằng nếu a là một ước của một số nguyên dương b và b

là một tổng gồm ba số chính phương thì b n cũng là một tổng của ba số chính

phương

HD:a) Biến đổi 2a =6k2 +6k + =2 (2k +1)2 + +(k 1)2 +k2

Dùng kỹ thuật phân ô biến đổi a2 =9k4 +18k3+15k2 +6k +1

* Với n=2s+2 thì b n =b2s+2 =( ) b s 2b2 =( )b s 2 2c a( 12 +a22+a32)

Vậy b n là số chính phương

Bài 5 Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là

một số chính phương.

HD: Do a b, là hai số lẻ nên a2 +b2 ≡2(mod 4) ⇒điều cần chứng minh.

Bài 6 Giả sử số nguyên dương n có tất cả k ước số dương là d d1, , ,2 d k

chứng minh rằng nếu d1+ + +d2 d k + =k 2n+1thì 2n là số chính phương.

( Đề thi HSG TP.HCM 2012 – 2013)

HD: Gọi l l1 2, , ,l là các ước lẻ của s n và 2m

là lũy thừa lớn nhất trong phân tích ra thừa số nguyên tố của n (s≥1,m≥0)

2.Tìm giá trị của biến để một biểu thức là số chính phương.

Bài1 Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:

Vậy n = 13k2 ± 8k + 1 (Với k ∈ N) thì 13n + 3 là số chính phương.

Bài 2 Tìm số tự nhiên n≥1 sao cho tổng 1! 2! 3! !+ + + … + n là một số chính phương

HD: Với n≤ ⇒ =4 n 1;3

Với n≥ ⇒ ≡5 n! 3(mod10) nên không có số nào thỏa mãn.

Bài 3 Tìm số tự nhiên n sao cho 9 2+ n là số chính phương.

n 2

HD :9 2+ =a (a N)∈

u n

v

a 3 2(a 3)(a 3) 2

Vì vế trái chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4 nên u 1= ⇒ =a 5,n 4= .

Bài 4 Tìm số tự nhiên n sao cho 3n +19 là số chính phương.

HD: Xét 2 trường hợp.

Trường hợp 1 Xét n nguyên dương:

Ta có: A (n= 2 +3n)(n2 +3n 2) (n+ > 2 +3n)2.

Hơn nữa: A (n= 2 +3n 1)+ 2 − <1 (n2+3n 1)+ .

Vậy A nằm giữa hai số chính phương liên tiếp là (n2+3n)2 và

Thử trực tiếp ta thấy n = −3, n= −2, n = −1, n 0= đều thỏa mãn.

Bài 7 Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n4 +2n3 +2n2 + +n 7 là một số chính phương

(Đề thi vào lớp 10 chuyên ĐHKHTN – ĐHQGHN 1992)

Bằng cách thử trực tiếp ta được n 2= thỏa mãn

Bài 8 Tìm các cặp số nguyên dương ( , )x y để x2+3y và y2+3x đều là các số

3.Tìm số chính phương thỏa mãn điều kiện.

Bài 1 Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau và 2

chữ số cuối cũng giống nhau

Bài 2 Cho a N∈ * sao cho a 1+ và 2a 1+ là các số chính phương.

Chứng minh rằng a chia hết cho 24

Bài 3 Chứng minh rằng hiệu các lập phương của hai số nguyên liên tiếp là bình

phương của một số tự nhiên n thì n là tổng của hai số chính phương liên tiếp.HD: n2 =(m 1)+ 3−m3 (với n N∈ , m Z∈ )

2n 1 3a2n 1 b

2n 1 b2n 1 3a

Với ab 2m 1= + và (a,b) 1= ; b 3M mà b lẻ nên b 6k 1= ±

Có hai trường hợp xảy ra:

Bài 5 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho n2 biểu diễn được thành tổng của một số lẻ các số chính phương liên tiếp.

HD: Giả sử số lẻ n2 được biểu diễn 2k +1 số chính phương liên tiếp với 0