Tu dang thuc den phuong trinh, he PT
Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 7- 2016 TỪ ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH I Đặt vấn đề - Có số phương trình, hệ phương trình giải nhờ phép biến đổi có sử dụng đẳng thức, đẳng thức, bất đẳng thức - Từ số đẳng thức, đẳng thức, bất đẳng thức đại số có chứa biến chữ, việc lựa chọn “khéo léo” chữ biểu thức chứa biến khác, ta có phương trình hệ phương trình - Chuyên đề đề cập đến cách đề xuất sáng tạo tốn phương trình hệ phương trình dựa khai thác số đẳng thức, đẳng thức bất đẳng thức II Các minh họa cụ thể Khai thác Xét đẳng thức: u2 – (a+b)u + ab = (1) (u-a)(u-b) = (1’) u = a u = b a) Chọn chẳng hạn: u = √ + + 2; a=2x; b=x+1, thay vào (1) ta phương trình: 3x2+ 3x + – (3x+1).√ + + = (P 1.1) Giải (P 1.1): Đặt √ + + = u, (P 1.1) trở thành phương trình: u2 - (3x+1).u + 2x(x+1) = Giải với phương trình bậc ẩn u, tìm được: u = 2x; u = x+1 b) Chọn khác: u = x2+1; a=√2 + + 2; b = 1- √2 + + , thay vào (1) ta phương trình: x4 + √2 + + = x2 + x + (P 1.2.) Giải (P 1.2) cách đặt: u = x2+1, (P 1.2) trở thành: Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT u2 – u + (√2 + + – (√2 Tháng 7- 2016 + 2)2) = + Giải với phương trình bậc ẩn u, tìm được: u =√2 + + 2; u=1 − √2 + +2 * Nếu giải cách lũy thừa vế phức tạp c) Chọn khác: u = 2x2+x+1; a=5x; b= -5x, thay vào (1’) ta phương trình: 4x4 + 4x3 – 20x2 + 2x + = (P 1.3) (2x2+5x+1)(2x2-3x+1) = 9x2 (P 1.4) Giải: Biến đổi (P1.3) (P1.4), đặt u = 2x2+x+1, phương trình: (u+4x)(u-4x) = 9x2 u2 = 25x2 u = 5x; u = -5x; Từ tìm được: x = ±√ ;x= ±√ * Rất khó giải (P 1.3) có nghiệm vơ tỷ ! d) Chọn khác: u = x2 – x; a=4x; b= 5x, thay vào (1’) ta phương trình: x4 - 9x3 + 16x2 + 18x + = (P 1.5) Giải: Biến đổi (P 1.5) (x4 - 4x2 + 4) – 9x(x2-2) + 20x2 = (x2 - 2)2 – 9x(x2-2) + 20x2 = (x2 - 2) = 4x; (x2 - 2) = 5x Từ tìm được: x = ±√ ; x = ± √6 * Có thể giải phép biến đổi: x4 - 9x3 + 16x2 + 18x + = (x2 – 4x – 2)(x2 – 5x – 2) không dễ! e) Chọn khác: u = √3 + 1; a=x; b= x+1, thay vào (1) ta phương trình: x2 + 4x + – (2x+1) √3 + = (P 1.6) Giải: Đặt : t = √3 + 1, (P 1.6) trở thành: t2 – (2x+1)t + x2 + x = 0, Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 7- 2016 Từ tìm t = x ; t= x+1, tìm nghiệm là: x = 0; x = 1; x = g) Chọn khác: u = √ + 3; a=3x+2; b= 3x-1, thay vào (1) ta phương trình: 10x2 + 3x + = (6x+1) √ Giải: Đặt : t = √ √ + (P 1.7) + 3, (P1.6) trở thành: t2 – (6x+1)t + 9x2 + 3x + = 0, Từ tìm t = 3x+2 ; t= 3x-1, tìm nghiệm là: x = 1; x = √ h) Biến đối (1’) với b = -a, (1’) (u+a)(u-a) = (u+a)(u-a)2 = (u+a)(u2-2ua+a2) = u3 + a3 – ua(u+a) = (u+a)3 = 4(u3 + a3) u+a = 4( + ) (1’’) Chọn : u = v = √ ; a = √2 − 3; thay vào (1’’) ta phương trình: √ + √2 − = 12( − 1) (P 1.8) Giải (P 1.8) cách đặt: u = √ ; v = √2 − 3, biến đổi (P 1.8) thành: u+v = 4( + ) (u+v)3 = 4(u3+v3) … (u+v)(u-v)2 = (u+v)(u-v) = Từ tìm được: u = v; u = -v suy nghiệm: x=1; x =3 Khai thác Xét đẳng thức: (u-a)(v-b)=0 (2) uv+ab = ub+va (2’) u = a v = b a) Chọn chẳng hạn: u=(x-1)5; v= (2x+1)5; a=25; b=1; thay vào (2’) ta phương trình: (2x2-x-1)5 + 32 = (x-1)5 + 32.(2x+1)5 (P 2.1) Giải (P 2.1) cách đặt ẩn phụ: u=(x-1)5; v=(2x+1)5, biến đổi (P 2.1) thành: ((x-1)5 – 25)((2x+1)5 – 1) = 0, từ tìm nghiệm x = x = 3 Khai thác 3 Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 7- 2016 Xét đẳng thức: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2; (a+b)3 = (a+b)(a+b)2 = a3 + b3 + 3ab(a+b); a3 + b3 = (a+b)( a2 - 2ab + b2); a) Chọn chẳng hạn: a=x; b=2y; x=y=1 => a2 + b2 = ; a+b = ; (a+b)3 = 27 hay (a+b)(a2 + b2 + 2ab) = (a+b)(5 + 2ab) = 27 Kết hợp đẳng thức: a2 + b2 = (a+b)3 = (a+b)(a+b)2 ta hệ phương +4 =5 trình: (H 1) ( + )(5 + ) = 27 Hoặc viết lại thành hệ phương trình: +8 +4 =5 + + 10 = 27 (H 1’) Giải hệ (H 1) (H 2) phương pháp thế, hệ (H 1’) khó b) Chọn khác: a=x; b=y; x=y=1 => a2 + b2 = 2; ab=1; Kết hợp đẳng thức: a2 + b2 = (a+b)3 = (a+b)(a2+b2-ab), ta hệ + =2 phương trình : (H 2) ( + )(2 − ) = + + 2( + ) − = Hoặc viết lại thành hệ phương trình: + + =2 + + (H 2’) =2 =2 (H 2’’) Giải hệ phương pháp thế, hệ (H 2’) (H 2’’) khó * Nếu chọn a, b có chứa thức hệ hay khó !! Khai thác Xét đẳng thức: (a+b)4 = a4 + b4 + 2ab(2a2 + 2b2 + 3ab) = (a+b)(a+b)3 ; a) Chọn chẳng hạn: a=b=1 => 2a2 + 2b2 + 3ab = 7; ab=1; (a+b)4 = 16 Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 7- 2016 Kết hợp với đẳng thức: (a+b)4 = a4 + b4 + 2ab(2a2 + 2b2 + 3ab), ta có hệ phương +2 +3 =7 trình: (H 3) + + 14 = 16 Giải hệ (H 3) phương pháp thế, được: x+y=2; xy=1, từ tìm x, y b) Chọn khác: a2+b2=1 => 2a2 + 2b2 =2 + Ta có hệ phương trình: + +2 =1 (H 4) (2 + ) = 16 Hệ (H 4) giải phương pháp khó ! Khai thác Xét đẳng thức: A2 + B2 + C2 = A = B = C = a) Chọn chẳng hạn: A = √ + 1; B = √ − + 1; Kết hợp với đẳng thức A2 + B2 = 0, phương trình: x2+ = 2√ Giải: Biến đổi (P 5.1) ( (√ + - √ − + 1) + (x+1) - 2√ − + 1)2 = √ + = √ + (P 5.1) +1=0 − +1 Từ tìm nghiệm phương trình là: x = 0; x = b) Chọn khác: A=(√ − − 1); B=( − − 2); C=(√ − − 3); Kết hợp với đẳng thức A2 + B2 + C2 = 0, phương trình: x + y + z + = 2√ − + − + 6√ − (P 5.2) Giải: Có (P 5.2) (√ − − 1)2 + ( √ − − = 0; − − 2)2 + (√ − − 3)2 = − − = 0; √ − − = Từ tìm nghiệm phương trình là: x = 2; y = 6; z = 12 c) Chọn khác: A=(x-y) ; B=(y-z) ; C=(z-x) Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 7- 2016 có: A2 + B2 + C2 = x2+y2+z2 = xy+yz+zx Kết hợp đẳng thức: a3 = b3 a=b, ta có hệ phương trình: + + + = + + + z = 81 Giải: Biến đổi hệ (H 5) = + (H 5) ( − ) +( − ) +( − ) =0 + + z = 81 = = = + z = 81 = 81 = = x=y=z=3 = 27 Vậy hệ có nghiệm: (x; y; z) = (3; 3; 3) Khai thác Xét: Hệ bất đẳng thức, đẳng thức: a≥b a≤b a = b a) Chọn a=√ − ; b= biểu thức “gây nhiễu” + + √ − = − √ , với phương trình phụ: x2+y2=1 + + 2016, ta có hệ phương trình: =1 ( + + −√ + 2016) (H 6) Giải: Đ/k: x, y ≥ -Nếu x ≥ √ − - Tương tự, x ≤ ≥ => −√ ≥ => y ≥ x => x=y suy x=y - Với x=y, tìm dược nghiệm hệ là: (x; y) = ( √ ; √ ), (x; y) = (− √ ;− √ ) b) Sử dụng hệ thống với BĐT: A2+1 ≥ > ∀A, ta có hệ phương − = 2( + 1)( − 3) trình sau: (H 7) − = −( + 1)( − 3) Viết lại hệ thành: + +3=2 ( − +6= ( + 1) (H 8), ta hệ hay ! + 1) Giải: Biến đổi hệ (H 8) thành hệ (H 7) Nếu x≥3 => … => y≥3 => … =>x≤3 => x=3 => y=3 Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 7- 2016 Tương tự x≤3 => … => x≥3 => x=3 => y=3 Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (3; 3) * Với cách chọn biểu thức phụ A2 khác với ( trình khác theo ý muốn! − = 2( + 1) ( − 2) viết − = −( + 1) ( − 2) Chẳng hạn: chọn A2=(a+1)2, ta hệ: lại thành hệ: − +3 +4= −6 +2= + 1), ta hệ phương (H 9) * Biểu thức phụ A2 thực chất để “gây nhiễu”, khơng tham gia vào q trình giải hệ phương trình * Bằng cách thay biến, thay số hạng tự do, ta có hệ khác hay khó hơn, ( − 1) = ( + 1) ( + − 2) chẳng hạn: (H 10) (2 − − ) = ( + 1) ( − 1) Giải: Xét trường hợp xy>1; xy hệ: xy=1; x+y=2 Từ tìm nghiệm hệ (H 10) b) Sử dụng BĐT (a+b)2≤2(a2+b2), chọn a=√ +√2 − ; b= ta được: √ +√2 − ≤2; Từ ta có hệ phương trình: + 2− + − ; x, y ≥ 0, ≤2 Dấu đt xảy khi x=2 y=2 √ + 2− =2 + √2 − =2 (H 11) Giải: Cộng vế, vế hệ, được: (√ +√2 − ) + ( + 2− )=4 Thấy: VT ≤ + = 4; dấu đt xảy khi x=2 y=2 Từ suy hệ (H 11) có nghiệm (x; y) = (2; 2) c) Sử dụng hệ ĐT, BĐT: a=b; a≥ k => b≥k; chọn: a= √ + − √2 + ; b= √5 − √4 + 1, ta thấy: - Nếu a ≥ √ + ≥ √2 + 1, suy ra: x – 1≥ 0, suy ra: √5 − √4 + ≤0 Nên a=b có x-1=0 hay x=1 - Tương tự, a≤0 √ + ≤ √2 + => x=1 Cầm Thanh Hải – Phòng GDTrH Sở GD&ĐT Tháng 7- 2016 Từ có phương trình: √ + − √2 + = √5 − √4 + Hay phương trình: √ + + √4 + = √5 + √2 + (P 6.1) (P 6.2) Giải: Có (P 6.2) √ + − √2 + = √5 − √4 + Nếu VT ≥ => x=1 Nếu VT ≤ => x=1 Vậy (P 6.1) có nghiệm x = * Bản chất chọn a b biểu thức hàm ngược tính đồng, nghịch biến Từ (P 6.1) có phương trình: (x+2)5 + (4x+1)5 = (5x)5 + (2x+1)5 (P 6.2) - ... ta phương trình: x4 - 9x3 + 16x2 + 18x + = (P 1.5) Giải: Biến đổi (P 1.5) (x4 - 4x2 + 4) – 9x(x 2-2 ) + 20x2 = (x2 - 2)2 – 9x(x 2-2 ) + 20x2 = (x2 - 2) = 4x; (x2 - 2) = 5x Từ tìm được:... (u+v)(u-v)2 = (u+v)(u-v) = Từ tìm được: u = v; u = -v suy nghiệm: x=1; x =3 Khai thác Xét đẳng thức: (u-a)(v-b)=0 (2) uv+ab = ub+va (2’) u = a v = b a) Chọn chẳng hạn: u=(x-1)5; v=... trình: (2x2-x-1)5 + 32 = (x-1)5 + 32.(2x+1)5 (P 2.1) Giải (P 2.1) cách đặt ẩn phụ: u=(x-1)5; v=(2x+1)5, biến đổi (P 2.1) thành: ((x-1)5 – 25)((2x+1)5 – 1) = 0, từ tìm nghiệm x = x = 3 Khai thác