Một Số Dạng Hàm Đặc Trưng Của Phương Trình – Hệ PT Mũ Và Logarit

Ñoù cuõng chính laø nghieäm cuûa phöông trình (1)... Ñoù laø phöông trình Beùc-nu-li..[r]

(1)

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

DẠNG HAØM ĐẶC TRƯNG CỦA PT-HPT MŨ-LOGARIT GVBM : ĐOAØN NGỌC DŨNG

MỘT SỐ KẾT QUẢ QUAN TRỌNG KHI GIẢI BAØI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1) Nếu hàm số y = f(x) liên tục đoạn [a ; b] f(a).f(b) < tồn điểm c  (a ; b) cho f(c) =

2) Nếu hàm số f(x) liên tục đơn điệu (luôn đồng biến ln nghịch biến) khoảng (a ; b) khoảng (a ; b) phương trình f(x) = có nhiều nghiệm 3) Nếu hai hàm số f(x) g(x) đơn điệu ngược chiều khoảng (a ; b) phương trình f(x) = g(x) có tối đa nghiệm khoảng (a ; b)

4) Nếu hàm số y = f(x) tăng khoảng (a ; b) y = g(x) hàm hàm số giảm khoảng (a ; b) phương trình f(x) = g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a ; b)

Do đó, có x0  (a ; b) cho f(x0) = g(x0) phương trình f(x) = g(x) có nghiệm

5) Nếu hàm số f(x) xác định khoảng (a ; b) có f ’’(x) > (hoặc f ’’(x) < 0) (a ; b) f ’(x) ln đồng biến nghịch biến khoảng (a ; b) nên phương trình f ’(x) = có tối đa nghiệm khoảng (a ; b) phương trình f(x) = có nhiều nghiệm khoảng (a ; b)

6) Nếu hàm số f(x) liên tục đơn điệu khoảng (a ; b) : u, v  (a ; b) : f(u) = f(v)  u = v 7) Nếu hàm số f(x) liên tục đơn điệu khoảng (a ; b) : u, v  (a ; b) : f(u)  f(v)  u  v  Chú ý : Định lý cho trường hợp : f(u) > f(v) ; f(u)  f(v) ; f(u) < f(v)

A PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1) 2x12x2x x12 (1) ÑS : x =

 Hướng dẫn :

Ta coù : x2 – x – (x – 1) = (x – 1)2

Đặt   

 

x x v

1 x u

2 (1) trở thành :

u – 2v = v – u  2u + u = 2v + v  f(u) = f(v)

Xét hàm số f(t) = 2t + t

 t ln2 '

f  t   t  f(t) tăng R

Do f(u) = f(v)  u = v  x – = x2 – x  x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = 2) 2x14xx1

Phương trình  2x +1 + (x + 1) = 22x + 2x

Xét hàm soá f(t) = 2t + t , t  R f’(t) = 2t.ln2 +

Vì f’(t) > ,  t nên f đồng biến R

Phương trình f(x + 1) = f(2x)  x + = 2x  x =

3) 32x23x227x2 x23x2 (1) ÑS : x = 1  x = 2

 1 32x2 3x 33x2 x2 3x    

   (2)

Nhận xét : 3x2 – (2x2 – 3x – 2) = x2 + 3x + Do :

2 2 2

2x 3x 3x 2x 3x 3x 2 2x 3x 2 3x

3   3 x 3x 2   3 3x (2x 3x 2)   (2x 3x 2) 3x Ñaët

2

u 2x 3x

v 3x

   

 



 

u + u = 3v + v  f(u) = f(v)

Xét hàm số f(t) = 3t + t ; f ’(t) = 3tln3 + > t  f(t) tăng

Do : f(u) = f(v)  u = v  2x2 – 3x – = 3x2  x2 + 3x + = 

  

 

2 x

(2)

Vậy phương trình cho có nghiệm : x = 1, x = 2

4) 22x 32x 2x3x1x1 (1) ÑS : x =  x =

 1 22x 32x 2x 2x 3x x      

  

Đặt   

  

1 x v

2

u x

ta : 2u + 3u + u = 2v + 3v + v  f(u) = f(v)

Xét hàm số : f(t) = 2t + 3t + t

f’(t) = 2tln2 + 3tln3 + > t  f(t) đồng biến

Do : f(u) = f(v)  u = v  2x = x + i 2x – x – = (2)

Xét hàm số : g(x) = 2x – x –

g’(x) = 2tln2 – ; g’(x) =  x = 

    

2 ln

1

log2 = x0

Bảng biến thiên :

x x0 +

f’(x)  +

f(x) Dựa vào bảng biến thiên :

 Đồ thị hàm số g(x) trục cắt trục Ox tối đa hai điểm phân biệt  Phương trình g(x) = có tối đa hai nghiệm phân biệt

Mà g(0) = g(1) = nên x = 0, x = hai nghiệm (2) Vậy phương trình cho có nghiệm x = 0, x =

5) 2x2122x2 x1x2 x11 (1) ÑS : x =

 Hướng dẫn : Điều kiện : x 

Đặt (2x x 1) (x 1) x x 1 v u

2 x x v

2 x

u 2 2 2

2

          

   

   

  

Khi : (1) trở thành ; 2u – 2v = v – u  2u + u = 2v + v  f(u) = f(v)

Xét hàm số : f(t) = 2t + t với t 

f’(t) = 2tln2 + > t   f(t) tăng t 

Do : f(u) = f(v)  u = v  x2 + = 2x2 + x1  x1 = – x2

Do x  neân x

0 x

2  

   

 

 

laø nghiệm (1)

6)

x 2

2 2

2 x

x x

x

  

 

 Hướng dẫn : Điều kiện : x 

Nhận xét : 

             

x 2 x x

x x x

x x

x

2 2

2

Viết phương trình cho dạng : x 2

x

2 x

x

2

x x x

x

x x 2

x x x

x 2

2

   

   

   



   

 

 

Xét hàm số   t 2 t

f  t 

(3)

Viết phương trình cho dạng : x 2x

x x x

x x

x f x

x

f

2

          

       

  

 

  

  

2 x

loại

x

Vậy phương trình có nghiệm : x = B PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1) x 3x

5 x x

3 x x

log 2

2

3     



 ÑS : x = 1  x = 2

 Hướng dẫn : Ta có :

   

    

R x , x x

2

vaø 2x2 + 4x + – (x2 + x + 3) = x2 + 3x +

Do :

(1)  log3(x2 + x + 3) – log3(2x2 + 4x + 5) = (2x2 + 4x + 5) – (x2 + x + 3)

 log3(x2 + x + 3) + (x2 + x + 3) = log3(2x2 + 4x + 5) + (2x2 + 4x + 5)

Đặt    

  

5 x x v

3 x x u

2

(u > , v > 2) Ta có phương trình : log3u + u = log3v + v

Xét hàm số : f(t) = log3t + t , t >

 

3 ln t

1 t '

f    , t >  f(t) hàm số luôn đồng biến t >

Do : f(u) = f(v)  u = v  x2 + x + = 2x2 + 4x +  x2 + 3x + =  x = 1 hay x = 2

Vậy nghiệm phương trình : x = 1 hay x = 2

2) x x

2 x x

1

log     DBÑH 2007 ÑS :

x x

2 x x

1

log     (1)

Điều kiện : x >

(1)  log2(2x – 1) – log2x = + x – 2x

 log2(2x – 1) + (2x – 1) = log2x + x

Đặt u = 2x – 1, u >

Ta coù : log2u + u = log2x + x  f(u) = f(x)

Xét hàm đặc trưng : f(t) = log2t + t, với t >

 

2 ln t

1 t '

f    , t >

 f(t) đồng biến (0 ; +)

Do : f(u) = f(x)  u = x  2x – = x  2x = x +

Ta thaáy x1 = ; x2 = hai nghiệm phương trình

Mặt khác : Xét hàm số y = 2x  y’ = 2xln2  y’’ = 2xln22 > 0, x >

 đồ thị y = 2x đường cong lõm khoảng (0 ; +) Do đó, đường thẳng (d) : y = x + cắt đồ thị (C)

tối đa hai điểm Mà x > nên phương trình cho có nghiệm x =

3) x

1

2 x

log x

x

3   

  

 



 (1) ÑS : x =  x =

(4)

(1)  log3(x + 2) – log3(2x + 1) = (2x + 1) – (x + 2)  log3(x + 2) + (x + 2) = log3(2x + 1) + (2x + 1)

Đặt   

  

0 v

0 x u

x ta : log3u + u = log3v = v  f(u) = f(v)

Xét hàm số f(t) = log3 + t với t >

 

3 ln t

1 t '

f    t >  f(t) tăng ( , +)

Do : f(u) = f(v)  u = v  x + = 2x +  2x – x – = (2

Xét hàm số g(x) = 2x – x –

g’(x) = 2xln2 –

g’(x) =  x = 

    

2 ln

1

log2 = x0

Bảng biến thiên :

x 2 x0 +

g’(x)  +

g(x)

4

5 1

Dựa vào bảng biến thiên :

 đồ thị hàm số g(x) cắt trục Ox tối đa hai điểm phân biệt  g(x) = có tối đa hai nghiệm phân biệt

Mà g(0) = g(1) = nên x =  x = hai nghiệm phương trình (2) nghiệm phương trình cho : x =  x =

4)

 2

2

1 x

1 x log x x

  



 ÑS : x =

2 3  Hướng dẫn :

Điều kiện :

   

  

1

x

1

x Ta coù :  

 2 2  2

2

1 x

1 x log x x 1 x

1 x log x x

  

    

 

  

2x 1 log 2x 4x 2 log

1 x x

2

2      

 (2)

Đặt v u 2x 6x

2 x x v

1 x

u 2

2     

  

  

 

Khi : (2) trở thành : v – u = log2u – log2v  log2u + u = log2v + v  f(u) = f(v)

Xét hàm số : f(t) = log2t + t với t >

 

2 ln t

1 t '

f    t >  f(t) taêng t  (0 ; +)

Do : f(u) = f(v)  u = v  2x + = 2x2 – 4x +  2x2 – 6x + =  x =

2

3

Vậy nghiệm phương trình cho : x =

2

3

5) x(log32 + 1) + 2x = log3(81 – 27x) ÑS : x =

Điều kiện : 81 – 27x >  x <

(1)  xlog32 + x + 2x = log3[27(3 – x)]  log32x + 2x = + log3(3 – x) – x

(5)

Đặt   

  

x v

2

u x

Ta có phương trình : log3u + u = log3v + v (với u, v > 0)  f(u) = f(v)

Xét hàm đặc tröng : f(t) = log3t + t, t >  f’(t) =

3 ln t

1 + > 0, t >  f(t) tăng (0 ; +)

 f(u) = f(v)  u = v  2x = – x

Nhận xét : x = nghiệm phương trình Mặt khác, ta có :

  

   

giảm hàm x y

tăng hàm

y x

 đồ thị hai hàm số cắt điểm x = Vậy phương trình có nghiệm : x =

 Caùch khaùc :

Điều kiện : 81 – 27x >  x <

(1)  x     x x

3 3

x log x 2 log 81 27x log 81 27x log  x

 x 2x x

3 x x

81 27x 81 27x

log x

2



       81 27x  32xx .2x

  Xét hai hàm soá :  

   

   

  

 2 là hàm đồng biến

3 x g

biến nghịch hàm

là x 27 81 x f

x x 2x

Nhận xét x = nghiệm phương trình

 đồ thị hai hàm số cắt điểm có hồnh độ x =  phương trình có nghiệm x =

6) 2log (6x 1)3

7

x    (1) ÑS : x =  x =

 Hướng dẫn : Điều kiện :

6 x x

6     (2)

 Caùch :

Đặt y log 6x 1 7y 6x

7    

 Ta có hệ :

   

 

1 x

1 y

y x

(3) Trừ theo vế phương trình hệ ta : 7x 6x7y6y (4)

Xét hàm số f t 7t6t ; phương trình (4) có dạng f(x) = f(y) (5) f’(t) = 7tn760, t  R nên f(t) đồng biến R

Do vaäy : (5)  x = y (6)

Thế (6) vào (3) có : 7x 6x17x6x10

Xét hàm số g x 7x 6x1 ; g’(x) = 7xln76

g’(x) =  x = x0 = log76log7 ln7 ta có

      

  

  

0

x x x ' g

Suy g(x) nghịch biến với x < x0 ; g(x) đồng biến với x > x0 g(x) có khơng q hai nghiệm R

Lại thấy x = ; x = hai nghiệm g(x) thỏa mãn (2) Đó nghiệm phương trình (1)

 Cách :

Ta có  1 7x 6log77x 6log76x1  6x1 (7) Xét hàm số f t t6log7t ; phương trình (7) có dạng f 7x f6x1 (8)

Rõ ràng f(t) đồng biến R Do (8)  7x = 6x + (9)

(6)

 Chú ý : Xem phương trình (9) : 7x = 6x + Đó phương trình Béc-nu-li Thay khảo sát hàm số g(x), bạn dùng bất đẳng thức Béc-nu-li để chứng minh có hai nghiệm :

Theo Bec-nu-li :   

 

     

1 x

0 x x 7x

7x  (7 – 1)x +   x 

Suy 

 

    

1 x

0 x x 7x

7) log2[3log2(3x – 1) – 1] = x ÑS : x =  x =

Điều kiện : 3x – > 0, 3log2(3x – 1) >  x >

3

3 

Đặt y = log2(3x – 1) có hệ :  

  

 

1 x log y

1 y log x

2

Do log2(3x – 1) + x = log2(3y – 1) + y

Xeùt f(t) = log2(3x – 1) + t, t >

3

1 f’(t) =

3t 1ln2



 > với t >

1 nên f hàm đồng biến,

phương trình f(x) = f(y)  x = y  x = log2(3x – 1)  3x – = 2x  2x – 3x + =

Xeùt g(x) = 2x – 3x – 1, x >

3

Ta có g’(x) = 2x.ln2 – 3, g”(x) = 2x.ln22 > nên g’(x) đồng biến D Do g(x) = có tối đa nghiệm,

mà g(1) = g(3) = nên suy nghiệm x =  x =

8) log21x x1x 3x (1) ÑS : x =  x =

 Hướng dẫn : Điều kiện : x 

     3

2

2 1 x x x

x log x

x x x

1

x x x log

1  

  

  

  



       3

2

21 x log x 31 x 31 x

log       



1 x  31 x  log 1 x 31 x

log 3 2

2       

 Ñaët

   

 

x v

x

u

Ta có phương trình : log2u 3ulog2v 3v (với u, v > 0)  f(u) = f(v)

Xét hàm đặc trưng : f(t) = log2t + , t   f’(t) = t

2 ln t

1   , t 

 f(t) hàm số luôn đồng biến t 

Do : f(u) = f(v)  u = v   

 

     

      

1 x

0 x x x x x x

1 x

1 3

Vậy nghiệm x =  x =

9)   x

x 1 x

1 x log x x log

1

2

2   

        

 

  1

 Hướng dẫn : Điều kiện :

   



     

  

 

    

  

 

0

x

1 x

x x

2 x x

1 x

0 x

Ta biến đổi phương trình  1 dạng 2   2 2

x x x log x x 2 x

log   

      

(7)

  2

2 x 2 x x log 1x 2 1x x1

log                             

  2

Xét hàm soá  

2t 2t t

log t

f    khoảng 0;

Ta coù  

2 ln 2 t 2 ln t 2 t 2 ln t t

'f         

Suy hàm số f t đồng biến khoảng 0; Khi phương trình  2 viết dạng  

2 x 2 x x f x f                    x 1x 3x 1 0 x x

x3 2     2  



Đối chiếu với điều kiện ta thấy tập nghiệm phương trình  1

         13 ; S

C HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 1)          ) ( 12 y xy x ) ( x y 3 2 y x

ÑS : (–2 ; –2) ; (2 ; 2)

Từ phương trình (1), ta có :3x3y yx3xx3yy f(x)f(y)

Xét hàm đặc trưng f t 3tt, t  f' t 3tln310

Do : f(x) = f(y)  x = y Khi : phương trình (2)  3x2 12x24

              y x y x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (–2 ; –2) ; (2 ; 2)

2)          27 y xy x x y e e 2 y x

ÑS : (3 ; 3); (–3 ; –3)

Từ phương trình (1), ta có :exey yxexxeyy f(x)f(y)

Xét hàm đặc trưng f t 3tt, t  f' t 3tln310  hàm số f(t) đồng biến R Do : f(x) = f(y)  x = y Khi : phương trình (2)  3x2 27x2 9

              y x y x Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (3 ; 3); (–3 ; –3)

3)             ) y ( x ) y y )( x ( 2 y x x y 3

ÑS : (–1 ; –1) ; (1 ; 1)

 Hướng dẫn : Hệ              ) ( ) y ( x ) y y )( x ( ) ( y x y x

Từ phương trình (1), ta có :x32x y32yf(x)f(y)

Xét hàm đặc trưng   t

2 t t

f   , t  f' t 2t2 2tln20,t  hàm số f(t) đồng biến R

Do : f(x) = f(y)  x = y Khi : phương trình (2)  (x41)(x2x1)x(x2)1 ) x x x )( x

( 2 4 3  

           x x x x

Ta thaáy :

x , x ) x ( ) x x ( ) x ( ) x )( x ( ) x ( ) x ( x x x x 2 2 3

4   

(8)

Do hệ trở thành :

             x y x x y x               y x y x

Vậy nghiệm (1 ; 1); (–1 ; –1)

4)           y log x log e e y x 2 y x

ĐS : (2 ; 2) ; (4 ; 4)  Hướng dẫn :

Điều kiện : x > 0, y > Từ phương trình (1), ta có :exey yxexxeyyf(x)f(y)

Xét hàm đặc trưng f t ett, t >  f' t et 1e01110,t0

 hàm số f(t) đồng biến (0 ; +)

Do : f(x) = f(y)  x = y Khi : phương trình (2)  log x 3log2x

2

2    

           x x x log x log 2             y x y x

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (2 ; 2); (4 ; 4)

5)                 2 2 2 x y y y y x x

x (DBÑH 2007) ÑS : (1 ; 1)

 Hướng dẫn : Ta có :

                                 x y x y ) y ( ) y ( ) x ( ) x ( y y y x x x Đặt        y v x u

Ta hệ  

              v v 1 u u u v

Từ (1) (2) ta có : 2 v u

3 v u v

u       u u2 13u v v2 13v (3) Xét hàm đặc trưng f t t t213t, t   

3 ln t t t t ' f t 2     

Vì t2 1 t2 t t21t0  f’(t) > 0, t, hàm số f(t) đồng biến R Do : f(u) = f(v)  u = v Khi : phương trình (1)  u

3 u

u   (4) Nhaän xét : u = nghiệm phương trình (4)

Theo nhận xét u u210 nên phương trình (4) lnu u21uln30 Xét hàm số g u lnu u2 1uln3    ln3 ln3

1 u u ' g

2     

 , u  R

 hàm số g(u) nghịch biến R  phương trình (4) có nghiệm u = Từ ta nghiệm hệ cho (x ; y) = (1 ; 1)

6)       

           y 20 xy 12 x y x y ln x ln

2 (DBÑH 2006) ÑS : (0 ; 0)

Điều kiện : x > 1, y > 1

(2)  x2 + 20y2 = 12xy  xy  (x, y dấu) (*)

(1)  ln(1 + x) – x = ln(1 + y) – y  f(x) = f(y) Xét hàm số đặc trưng : f(t) = ln(1 + t) – t, t > 1

  t t t 1 t 'f     

  f ’(t) =  t =

(9)

t 1 +

f’(t) + 

f(t)

 

Từ bảng biến thiên, ta thấy : Hàm số đồng biến (–1 ; 0) hàm số nghịch biến (0 ; +) Ta thấy : x = y = nghiệm phương trình (2)

Nếu x, y  (1 ; 0) f(x) = f(y)  x = y Khi (2)  x = y = (loại  (1 ; 0)) Nếu x, y  (0 ; +) f(x) = f(y)  x = y Khi (2)  x = y = (loại  (0 ; +))

Nếu x, y thuộc hai khoảng khác x, y trái dấu  x.y < khơng thỏa (*) (vì vế trái (2) ln

dương)  phương trình vô nghiệm

Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (0 ; 0)

D MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN HAØM ĐẶC TRƯNG

BAØI : (ĐỀ THI THPT QG 2017) Xét số thực dương x, y thỏa mãn 3xy x 2y

y x

xy

log3    





Tìm giá trị nhỏ Pmin P = x + y ĐS :

3 11 Pmin

 

Câu 47: Xét số thực dương x, y thỏa mãn 3xy x 2y y

2 x

xy

log3    





Tìm giá trị nhỏ Pmin P = x + y

A

9 19 11

Pmin   B Pmin 9 11919 C

21 29 11 18 Pmin



 D

3 11

Pmin  

 Điều kiện: xy <

Ta có: 3xy x 2y log 1 xy log x 2y 3xy x 2y y

2 x

xy

log3      3   3     

 

1 xy 31 xy log x 2y x 2y

log3        



 

log31xy log33 31xylog3x2yx2y 

1 xy 31 xy log x 2y x 2y

log3     3   

 (1)

Xét hàm số f(t) = log3t + t, t >

Ta coù:  

3 ln t

1 t

'f    , t >

Suy hàm số f(t) đồng biến t > 0, (1) có dạng: f(3(1 – xy)) = f(x + 2y)  – 3xy = x + 2y  x + 3xy = – 2y  x(1 + 3y) = – 2y 

y

y x

  

Vì x > 0, y > nên

2 y 0  Ta có:

y

3 y y y y

y y x

P

        

 , 

      

2 ; y

P’ =

 2

2

y

10 y y

 

 ; P’ =  9y2 + 6y – 10 = 

      

         

         

2 ;

11 y

2 ;

11 y

(10)

y

3 11

1



2

P’  

P

3 11

2 

Vaäy

3 11

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	283,7 KB