TỰ LUẬN đại số 10 đs10 CĐIV bất ĐẲNG THỨC bất PHƯƠNG TRÌNH image marked

CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT MỤC LỤC MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ 1: BẤT ĐẲNG THỨC .3 DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức .4 Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp 12 Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa 17 Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu 19 DẠNG TOÁN 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC 23 DẠNG TOÁN 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ 27 CHỦ ĐỀ 2: ĐẠI CƯƠNG VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH .33 DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH 34 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG .35 CHỦ ĐỀ 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN .37 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MIỀN NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 38 DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ 40 CHỦ ĐỀ 4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .41 DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b < .42 DẠNG TỐN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 45 DẠNG TOÁN 3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 48 CHỦ ĐỀ 5: DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT .53 DẠNG TOÁN 1: LẬP BẢNG XÉT DẤU BIỂU THỨC CHỨA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN 53 DẠNG TOÁN 2: ỨNG DỤNG XÉT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT HAI ẨN VÀO GIẢI TOÁN .56 CHỦ ĐỀ 6: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 62 DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI .62 DẠNG TOÁN 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ LIÊN QUAN ĐẾN TAM THỨC BẬC HAI LUÔN MANG MỘT DẤU 65 CHỦ ĐỀ 7: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 68 DẠNG TỐN 1: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 68 DẠNG TOÁN 2: GIẢI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 71 DẠNG TOÁN 3: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẤU THỨC 74 DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG TAM THỨC BẬC HAI, BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 77 CHỦ ĐỀ 8: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 79 DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 79 Loại 1: Sử dụng định nghĩa tính chất dấu giá trị tuyệt đối 80 Loại 2: Đặt ẩn phụ 84 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT MỤC LỤC DẠNG TỐN 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN .87 Loại 1: Sử dụng phép biến đổi tương đương 87 Loại 2: Đặt ẩn phụ 93 Loại 3: Phương pháp đánh giá .98 CHỦ ĐỀ 9: ÔN TẬP 103 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP 104 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ 1: BẤT ĐẲNG THỨC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho a, b hai số thực Các mệnh đề " a > b ", " a < b ", " a ³ b ", " a £ b " gọi bất đẳng thức Chứng minh bất đảng thức chứng minh bất đẳng thức đúng(mệnh đề đúng) Với A, B mệnh đề biến " A > B " mệnh đề chứa biến Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện đó) nghĩa chứng minh mệnh đề chứa biến " A > B " với tất giá trị biến(thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà không nêu điều kiện biến ta hiểu bất đẳng thức xảy với giá trị biến số thực Tính chất * a > b b > c Þ a > c * a > b Û a +c > b +c * a > b c > d Þ a + c > b + d * Nếu c > a > b Û ac > bc Nếu c < a > b Û ac < bc *a >b ³ Þ a > b * a ³ b ³ Û a ³ b2 * a > b ³ Þ a n > bn Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối * - a £ a £ a với số thực a * x < a Û -a < x < a ( Với a > ) éx > a * x > a Û êê ( Với a > ) êë x < -a Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm Cho a ³ 0, b ³ , ta có a +b ³ ab Dấu '=' xảy a = b Hệ quả: * Hai số dương có tổng khơng đổi tích lớn hai số * Hai số dương có tích khơng đổi tổng nhỏ hai số b) Đối với ba số khơng âm a +b +c ³ abc Dấu '=' xảy a = b = c B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN Phương pháp giải Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta sử dụng cách sau: Ta chứng minh A - B ³ Để chứng minh ta thường sử dụng đẳng thức để phân tích A - B thành tổng tích biểu thức khơng âm Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương BĐT cần chứng minh Các ví dụ minh họa Loại 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho hai số thực a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau Cho a ³ 0, b ³ 0, c ³ , ta có CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT ỉ a + b ư÷ b) ab Ê ỗỗ ữ ốỗ ữứ a + b2 a) ab £ c)  a  b  c    a  b  c  d)  a  b  c    ab  bc  ca  2 Lời giải: a) Ta có a + b - 2ab = (a - b)2 ³ Þ a + b ³ 2ab Đẳng thức Û a = b æ a + b ư÷ b) Bất đẳng thức tương đương với çç ÷ - ab ³ çè ÷ø  a  2ab  b  4ab   a  b   (đúng) ĐPCM Đẳng thức xảy Û a = b c) BĐT tương đương  a  b  c   a  b  c  2ab  2bc  2ca   a  b    b  c    c  a   (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy Û a = b = c d) BĐT tương đương a  b  c  2ab  2bc  2ca   ab  bc  ca    a  b  c    ab  bc  ca     a  b    b  c    c  a   (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy Û a = b = c Nhận xét: Các BĐT vận dụng nhiều, xem "bổ đề" chứng minh bất đẳng thức khác Ví dụ 2: Cho năm số thực a, b, c, d, e Chứng minh a + b + c + d + e ³ a(b + c + d + e) Lời giải: Ta có: a + b + c + d + e - a(b + c + d + e) = a2 a2 a2 a2 = ( - ab + b ) + ( - ac + c ) + ( - ad + d ) + ( - ae + e ) 4 4 a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d )2 + ( - e)2 ³ Þ đpcm 2 2 Đẳng thức xảy Û b = c = d = e = a Ví dụ 3: Cho ab ³ Chứng minh rằng: Lời giải: Ta có = = 1 + ³ a + b + 1 + ab 1 1 + =( )+( ) a + b + 1 + ab a + 1 + ab b + 1 + ab ab - a ab - b a -b b a a - b b - a + a 2b - b 2a + = ( ) = + ab (1 + b )(1 + a ) (a + 1)(1 + ab) (b + 1)(1 + ab) + ab + b + a a - b (a - b)(ab - 1) (a - b)2 (ab - 1) = ³ (Do ab ³ 1) + ab (1 + b )(1 + a ) (1 + ab)(1 + b )(1 + a ) Nhận xét: Nếu -1 < b £ BĐT có chiều ngược lại: Ví dụ 4: Cho số thực x Chứng minh a) x + ³ 4x Lời giải: b) x   x  x 1 + £ a + b + 1 + ab c) x12  x   x9  x CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT a) Bất đẳng thức tương đương với x - 4x + ³   x  1  x  x  x  3    x  1 x  x  3  2   x  1  x  1  1  (đúng với số thực x )   Đẳng thức xảy x  b) Bất đẳng thức tương đương với x  x  x    x  x   x  x     x  1   x    2 Ta có  x  1  0,  x      x  1   x    2 2  x2 1  Đẳng thức xảy  (không xảy ra) x20 Suy  x  1   x    ĐPCM 2 c) Bất đẳng thức tương đương với x12  x  x  x   + Với x  : Ta có x12  x  x  x   x12  x 1  x   1  x  Vì x  nên  x  0,  x  x12  x  x  x   + Với x  : Ta có x12  x9  x  x   x9  x3  1  x  x3  1  Vì x  nên x - ³ x 12 - x + x - x + > Vậy ta có x 12 + x + > x + x Ví dụ 5: Cho a, b, c số thực Chứng minh a) a + b - 4ab + ³ b) ( a + ) + (b + ) ³ (ab + ) 2 ( c) ( a + b ) - ab + ³ a b + + b a + Lời giải: ) a) BĐT tương đương với ( a + b - 2a 2b ) + ( 2a 2b - 4ab + ) ³ Û (a - b ) + (ab - ) ³ (đúng) 2 Đẳng thức xảy a = b = ±1 b) BĐT tương đương với ( a + ) + (b + 2b + ) - ( a 2b + 2ab + ) ³ Û ( a + b - 2a 2b ) + ( 2a - 4ab + 2b ) + ( a - 4a + ) ³ Û (a - b )2 + 2(a - b)2 + (a - 1)2 ³ (đúng) Đẳng thức xảy a = b = ±1 ( ) c) BĐT tương đương với ( a + b ) - 2ab + - a b + + b a + ³ Û éê a - 4a b + + (b + ) ùú + éê b - 4b a + + ( a + ) ùú + ( a - 2ab + b ) ³ ë û ë û ( Û a - b2 + ) + (b - 2 a2 + ) + (a - b ) 2 ³ (đúng) Đẳng thức khơng xảy Ví dụ 6: Cho hai số thực x , y thỏa mãn x ³ y Chứng minh rằng; a) ( x - y ) ³ ( x - y ) CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT b) x - 3x + ³ y - 3y Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương ( x - y ) ( x + xy + y ) - ( x - y ) ³ Û ( x - y ) éê ( x + xy + y ) - ( x - y ) ùú ³ Û ( x - y ) éë 3x + 3xy + y ùû ³ ë û éæ y ửữ 3y ựỳ ỗ ( x - y ) ỗ x + ữữ + ³ (đúng với x ³ y ) ĐPCM 2ø ỳỳ ờở ỗố ỷ ng thc xy x = y b) Bất đẳng thức tương đương x - y ³ 3x - 3y - Theo câu a) ta có x - y ³ ( x - y ) , ta cần chứng minh ( x - y ) ³ 3x - 3y - (*), Thật vậy, BĐT (*) Û ( x - y ) - 12 ( x - y ) + 16 ³ Û ( x - y - ) éê ( x - y ) + ( x - y ) - ùú ³ ë û Û ( x - y - ) ( x - y + ) ³ (đúng với x ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy Loại 2: Xuất phát từ BĐT ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại thường cho lời giải không tự nhiên ta thường sử dụng biến có ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng a Ỵ éë a; b ùû Þ (a - a )(a - b ) £ ( * ) a, b, c Î éë a; b ùû Þ (a - a )(b - a )(c - a ) + ( b - a )( b - b )( b - c ) ³ ( * * ) Ví dụ 7: Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a + b + c < 2(ab + bc + ca ) Lời giải: Vì a,b,c độ dài ba cạnh tam giác nên ta có: a + b > c Þ ac + bc > c Tương tự bc + ba > b ; ca + cb > c cộng ba BĐT lại với ta có đpcm Nhận xét: * Ở toán ta xuất phát từ BĐT tính chất độ dài ba cạnh tam giác Sau cần xuất bình phương nên ta nhân hai vế BĐT với c Ngoài xuất phát từ BĐT | a - b |< c bình phương hai vế ta có kết Ví dụ 8: Cho a, b, c Ỵ [0;1] Chứng minh: a + b + c £ + a 2b + b 2c + c 2a Lời giải: Cỏch 1: Vỡ a, b, c ẻ [0;1] ị (1 - a )(1 - b )(1 - c ) ³ Û + a 2b + b 2c + c 2a - a 2b 2c ³ a + b + c (*) Ta có: a 2b 2c ³ 0; a 2b + b 2c + c 2a £ a 2b + b 2c + c 2a nên từ (*) ta suy a + b + c £ + a 2b + b 2c + c 2a £ + a 2b + b 2c + c 2a đpcm Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a ( - b ) + b ( - c ) + c ( - a ) £ CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT Mà a, b, c Ỵ éë 0;1 ùû Þ a £ a, b £ b, c £ c a (1 - b ) + b2 (1 - c ) + c2 (1 - a ) £ a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) Ta cần chứng minh a ( - b ) + b ( - c ) + c ( - a ) £ Thật vậy: a, b, c Ỵ éë 0;1 ùû nên theo nhận xét ( * * ) ta có abc + ( - a )( - b )( - c ) ³ Û a + b + c - (ab + bc + ca ) £ Û a (1 - b ) + b (1 - c ) + c (1 - a ) £ BĐT ban đầu chứng minh Ví dụ 9: Cho số thực a,b,c thỏa mãn: a + b + c = Chứng minh: 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) + abc ³ Lời giải: Vì a + b + c = ị a, b, c ẻ [-1;1] nên ta có: (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ Û + a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ (*) (1 + a + b + c)2 ³ Û + a + b + c + ab + bc + ca ³ (**) Cộng (*) (**) ta có đpcm Mặt khác: Ví dụ 10: Chứng minh a ³ 4, b ³ 5, c ³ a + b + c ³ 16 Lời giải: Từ giả thiết ta suy a < 9, b < 8, c £ áp dụng ( * ) ta có (a - )(a - ) £ 0, (b - )(b - ) £ 0, (c - )(c - ) £ a + b + c = 90 nhân cộng BĐT chiều lại ta được: a + b + c - 13(a + b + c) + 118 £ suy (a + b + c + 118 ) = 16 a + b + c = 90 13 a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy a = 4, b = 5, c = a +b +c ³ Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû không đồng thời không Chứng minh a 4b + b 4c + c 4a + ³2 a 2012 + b 2012 + c 2012 Lời giải: Vì ba số a, b, c thuộc éë -1;1 ùû nên £ a , b , c £ Suy (1 - b )(1 + b - a ) ³ Û a + b - a 4b £ (*) Mặt khác a ³ a 2012 , b ³ b 2012 với a, b thuộc éë -1;1 ùû Suy a + b - a 4b ³ a 2012 + b 2012 - a 4b (**) Từ (*) (**) ta có a Tương tự ta có 2012 +b 2012 a 4b + c 2012 + £ a b + hay 2012 ³1 a + b 2012 + c 2012 b 4c + a 2012 + c 4a + b 2012 + ³ ³1 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 2012 + b 2012 + c 2012 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Cộng vế với ta CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT a 4b + b 4c + c 4a + a 2012 + b 2012 + c 2012 + ³3 a 2012 + b 2012 + c 2012 a 4b + b 4c + c 4a + ³ ĐPCM a 2012 + b 2012 + c 2012 Bài tập luyện tập Bài 4.0 Cho số thực a, b, c số thực Chứng minh rằng: Hay a) a + b + c ³ ab + bc + ca b) a + b + ³ ab + a + b c) a + b + c + ³ 2(a + b + c) d) a + b + c ³ 2(ab + bc - ca ) Bài 4.1: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh a) a a a +c với < < b b b +c c) < b) a b c + + 0; c > ab a +b c +b 1 + ³ với a, b, c > + = 2a - b 2c - b a c b d) a(b - c)2 + b(c - a )2 + c(a - b)2 > a + b + c với a, b, c ba cạnh tam giác Bài 4.3: Cho x ³ y ³ z ³ Chứng minh rằng: a) xy + yz + zx ³ xz + zy + yx x 2y y 2z z 2x x 2z y 2x z 2y + + ³ + + z x y y z x Bài 4.4: Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh rằng: b) + 1 £ 1 + a +c b +d Bài 4.5: Cho a, b, c Ỵ éë 1; ùû thoả mãn điều kiện a + b + c = Chứng minh a + b + c £ 14 DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Phương pháp giải Một số ý sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt côsi số phải số khơng âm * BĐT côsi thường áp dụng BĐT cần chứng minh có tổng tích * Điều kiện xảy dấu ‘=’ số * Bất đẳng thức cơsi cịn có hình thức khác thường hay sử dụng 1 + a b 1 + c d Đối với hai số: x + y ³ 2xy; 2 x +y ³ 2 (x + y )2 ; ỉ x + y ÷ư xy Ê ỗỗ ữ ốỗ ữứ CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT æ a + b + c ư÷ a + b3 + c3 , abc Ê ỗỗ i vi ba s: abc Ê ữữ 3 ốỗ ứ Cỏc vớ d minh họa Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức cơsi Ví dụ 1: Cho a, b số dương thỏa mãn a + b = Chứng minh ỉ a b ưỉ a b a) ỗỗ + ữữữ ỗỗ + ữữữ ỗố b a ứốỗ b a ứ b) (a + b ) ³ 16ab ( + a )( + b ) Lời giải: a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a b a b a b a b + ³ = 2, + ³ 2 = b a b a b a b a ab æ a b öæ a b ö Suy çç + ÷÷ çç + ÷÷ ³ (1) çè b a ÷øèç b a ÷ø ab Mặt khác ta có = a + b ³ a 2b = 2ab Þ ab £ (1) ỉ a b ưỉ a b Từ (1) v (2) suy ỗỗ + ữữữ ỗỗ + ữữữ PCM ỗố b a ứốỗ b a ø Đẳng thức xảy a = b = b) Ta có (a + b ) = ( a + 2ab + b )( a + 3ab + 3a 2b + b ) Áp dụng BĐT côsi ta có a + 2ab + b ³ 2ab ( a + b ) = ab (a + 3ab ) + ( 3a 2b + b ) ³ (a + 3ab )( 3a 2b + b ) = Suy ( a + 2ab + b )( a + 3ab + 3a 2b + b ) ³ 16ab Do (a + b ) ³ 16ab ( + a )( + b ) (a + )(b + ) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = Ví dụ 2: Cho a, b, c số dương Chứng minh ỉ ưỉ ưỉ 1ử a) ỗỗa + ữữữ ỗỗb + ữữữ ỗỗc + ữữữ ỗố b ứốỗ c ứốỗ aứ b) a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc c) (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ ( + abc ) d) a bc + b ac + c ab £ a + b + c Lời giải: a) Áp dụng BĐT côsi ta có a+ a b c ³2 ,b+ ³2 ,c+ ³2 b b c c a a æ öæ öæ 1ö a b c = PCM Suy ỗỗa + ữữữ ỗỗb + ữữữ ççc + ÷÷÷ ³ b øèç c ứốỗ aứ b c a ốỗ ng thc xy a = b = c b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có + a ³ a = 2a , tương tự ta có + b ³ 2b, + c ³ 2c ab ( + b )( a + ) CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT Suy a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ ( a 2b + b 2c + c 2a ) Mặt khác, áp dụng BĐT cơsi cho ba số dương ta có a 2b + b 2c + c 2a ³ a 2b.b 2c.c 2a = 3abc Suy a (1 + b ) + b (1 + c ) + c (1 + a ) ³ 6abc ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c = c) Ta có (1 + a )(1 + b)(1 + c) = + (ab + bc + ca ) + (a + b + c ) + abc Áp dụng BĐT cơsi cho ba số dương ta có ab + bc + ca ³ 3 ab.bc.ca = ( abc Suy (1 + a )(1 + b)(1 + c) ³ + ( ) a + b + c ³ abc abc ) + 3 abc + abc = ( + abc ) ĐPCM Đẳng thức xảy a = b = c d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có ỉ b + c ư÷ ỉ a + c ÷ư ỉ a + b ư÷ a bc Ê a ỗỗ ữ, b ac Ê b ỗỗ ữ, c ab Ê c çç ÷ çè ÷ø çè ÷ø çè ÷ø a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b (1) Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có Suy a bc + b ac + c ab £ a 2b £ c 2a £ a + a + b3 b3 + b3 + a a + a + c3 ,ba £ ,ac £ , 3 c3 + c3 + a b3 + b3 + c3 c3 + c3 + b3 ,bc £ ,cb £ 3 Suy a 2b + b 2a + a 2c + c 2a + b 2c + c 2b £ ( a + b + c ) (2) Từ (1) (2) suy a bc + b ac + c ab £ a + b + c Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 3: Cho a, b, c, d số dương Chứng minh a +b +c +d ³ abcd ổa b c d b) ỗỗ + + + ÷÷÷ (a + b )(b + c ) 16 ốỗ b c d a ứ a) c) a +b +c + 8abc ³ (a + b)(b + c)(c + a ) abc Lời giải: a) Áp dụng BĐT cơsi ta có a + b ³ ab, c + d ³ cd ab + cd ³ ab cd = abcd a +b +c +d ab + cd ³ ³ abcd ĐPCM 4 Dấu xảy a = b = c = d b) Áp dụng câu a) ta có Suy a b c d a b c d + + + ³ 44 = b c d a b c d a abcd 10 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT ì ï ï ì x > ï ï x > ï ï ï ï ï Bài 4.120: a) Bpt Û ï x ³ Û x ³ Ûx ³3 í í ï ï ï ï 4x - 5x + > ï ï ï x - < (2x - 1) ï î ï ï î ïìï x - x + ³ ï Ûx ³b) Bpt Û ï íx + ³ ïï ïï x - x + £ (x + 3)2 ỵ é2 ê £x < ì ì x ³ x < ï ï Û £x (4x - 3) ê3 £ x < ï ï ỵ ỵ êë éì ïx + £ é êï êx £ êí ï x + x ³ ê ỵ d) Bpt Û êê ï Û ê ì x + > ï + 41 ê êï êx ³ êí 2 ï ë êëỵ ï 3x + x - ³ (x + 1) Bài 4.121: a) Ta xét hai trường hợp TH 1: 2x - 3x - = Û x = 2, x = - Khi BPT ln ì ï ì ï ï 2x - - > x 2 ï ï TH 2: Bpt Û í Ûí Û x < - V x ³ ï ï x - 3x ³ ï ï x £0Vx ³3 ỵ ï ỵ Vậy nghiệm Bpt cho là: T = (-¥; - ] È {2} È [3; +¥) b) ĐK: x ³ -1 * Với x = ta thấy Bpt luụn ỳng * Vi x ị - x + ¹ Nhận lượng liên hợp VT Bpt ta x (1 - x + 1)2 (1 + x + 1) (1 - x + 1) 2 > x - Û (1 - x + 1)2 > x - Û x +1 < Û x < Vậy nghiệm Bpt cho là: T = [ - 1; 8) c) Bất phương trình Û x (x + 3) - (x + 3) x + + £ Û (x + 3)(x - x + 1) + ( x + 1)2 - x £ Û Do ( x2 + - x )( x2 + - x > Þ (*) Û ) x2 + - £ (*) x2 - x = x - x ³ x + £ Û x £ Û -2 £ x £ 2 Vậy -2 £ x £ 2 nghiệm bất phương trình cho ì x £8 ï ì ï ï 8-x ³ ï ï ï ï 1 Bài 4.122: a) bpt Û ï Ûï Û £x £5 í 2x - ³ íx ³ ï ï 2 ï ï 2x - £ (8 - x )2 ï ï x 18 x + 65 ³ ï ï ỵ ï ỵ 138 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT ìx - < ï 2x - 6x + > x - Û ï í ï 2x - 6x + ³ ï ỵ ì x ( x - ) ï ê ï ïỵ ï ê 3+ ï êx ³ ï ï ỵ êë c) ĐS: < x £ ì ï x +3³0 ï ï ï d) ĐKXĐ: í 2x - ³ Û £ x £ ï ï -x ³ ï ï ỵ b) bpt Û bpt Û x + ³ Û2³ ( 2x - + - x ) Û ³ -1 + ( 2x - )( - x ) Û ³ -2x + 22x - 56 é x >3 ìx ³ ï ê ï Û ê í êx £ - ï x - 2x - > ï ỵ êë ( 2x - )( - x ) éx £ Û x - 11x + 30 ³ Û êê êë x ³ é4 £ x £ Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt êê êë £ x £ ìx + ³ ï ï ï e) ĐKXĐ: ï íx + ³ Û x ³ ï ï x ³0 ï ï ỵ bpt Û x +2 < x + + x Û x + < 2x + + (x + 1)x ì ïìï1 - x ³ ï1 - x < í Û - x < (x + 1)x Û ï í ïï( - x ) < 4x (x + 1) ï x ³0 ï ỵ ïỵ é êx < - + ê Û ê ê -3 + -3 + 3 ì ï ì + 2x ³ ï ï x ³ï ï f) ĐKXĐ: í Ûí ï ï - + 2x ¹ ï ï x ¹ ỵ ï ỵ bpt Û ( 2x + + 2x 4x ) < x + 21 Û + 2x < Û x < ì ï ï- £ x < Đối chiếu điều kiện ta nghiệm bpt ï í 2 ï ï x ¹ ï ỵ 139 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ IV BẤT ĐẲNG THỨC, BPT ì ï ï -1 £ x £ ï Bài 4.123: a) ĐKXĐ: í 3: ù ù x ạ0 ù ợ Vi < x £ -3x + x + + í 2 ïï -3x + x + < ( 2x - ) ïï 7x - 9x > ỵ ïỵ Suy nghiệm bất phương trình Với -1 £ x < : bpt