TỰ LUẬN đại số 10 đs10 CĐIII PHƯƠNG TRÌNH và hệ PHƯƠNG TRÌNH image marked

CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ MỤC LỤC MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TỐN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH .2 DẠNG TỐN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN DẠNG TOÁN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = .9 DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax2 + bx + c = 11 DẠNG TOÁN 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT .14 Loại 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai, phân tích thành nhân tử 14 Loại 2: Bài toán liên quan đến biểu thức đối xứng hai nghiệm x1, x2 phương trình bậc hai 16 DẠNG TOÁN 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 19 Loại 1: Tìm điều kiện để hai phương trình bậc hai ax2 + bx + c = a’x2 + b’x + c’ = có nghiệm chung .19 Loại 2: Chứng minh phương trình bậc hai có phương trình có nghiệm 20 Loại 3: Chứng minh bất đẳng thức có chứa hệ số phương trình bậc hai với nghiệm có điều kiện .20 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI 22 DẠNG TỐN 1: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 22 DẠNG TOÁN 2: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 26 DẠNG TOÁN 3: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG CĂN BẬC HAI 31 Loại 1: Bình phương hai vế phương trình 31 Loại 2: Phân tích thành tích cách nhân liên hợp 33 Loại 3: Đặt ẩn phụ 35 Loại 4: Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn .40 DẠNG TỐN 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO 42 Loại 1: Đưa phương trình tích 42 Loại 2: Đặt ẩn phụ 44 CHỦ ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 49 DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN 49 DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 53 CHỦ ĐỀ MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 56 DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI 56 DẠNG TỐN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG 58 DẠNG TỐN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI 62 DẠNG TỐN 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN 64 Loại 1: Hệ phương trình đưa phương trình tích .64 Loại 2: Hệ phương trình giải cách đặt ẩn phụ 71 DẠNG TỐN 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH76 CHỦ ĐỀ 6: ÔN TẬP 82 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP 83 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df Ç Dg Mệnh đề chứa biến " f ( x ) = g ( x ) " gọi phương trình ẩn ; x gọi ẩn số (hay ẩn) D gọi tập xác định phương trình x Ỵ D gọi nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) " f ( x ) = g ( x ) " mệnh đề Chú ý: Các nghiệm phương trình f ( x ) = g ( x ) hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) Phương trình tương đương, phương trình hệ a) Phương trình tương đương: Hai phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi tương đương chúng có tập nghiệm Kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) Û f2 ( x ) = g2 ( x ) Phép biến đổi không làm thay đổi tập nghiệm phương trình gọi phép biến đổi tương đương b) Phương trình hệ quả: f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi phương trình hệ phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) Kí hiệu f1 ( x ) = g1 ( x ) Þ f2 ( x ) = g2 ( x ) c) Các định lý: Định lý 1: Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) có tập xác định D ; y = h ( x ) hàm số xác định D Khi D , phương trình cho tương đương với phương trình sau 1) f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + h ( x ) 2) f ( x ) h ( x ) = g ( x ) h ( x ) h ( x ) vi mi x ẻ D nh lý 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho f (x ) = g (x ) Þ f (x ) = g2 (x ) Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần ý Đặt điều kiện xác định(đkxđ) phương trình tìm nghiệm phương trình phải đối chiếu với điều kiện xác định Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương hai vế ta thu phương trình tương đương Khi biến đổi phương trình thu phương trình hệ tìm nghiệm phương trình hệ phải thử lại phương trình ban đầu để loại bỏ nghiệm ngoại lai B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải - Điều kiện xác định phương trình bao gồm điều kiện để giá trị f ( x ), g ( x ) xác định điều kiện khác (nếu có yêu cầu đề bài) - Điều kiện để biểu thức f ( x ) xác định f ( x ) ³ xác định f ( x ) ¹ f (x ) CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 f (x ) CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ xác định f ( x ) > Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) x + =1 x -4 b) + c) + 2x - = 3x - d) 3-x = - 2x = Lời giải: x -2 x +1 x - 3x + a) Điều kiện xác định phương trình x - ¹ Û x ¹ Û x ¹ ±2 ì3 - x ³ ìx £ ï ï b) Điều kiện xác định phương trình ïí Ûï Û2£x £3 í ï ï x ³ x ³ ï ï ỵ ỵ ìï ïï x ³ ïìï 2x - ³ Ûx ³3 Û ïí c) Điều kiện xác định phương trình í ïï 3x - ³ ïï 2 î ïï x ³ î d) Điều kiện xác định phương trình ì ì x £2 - 2x ³ ï ï ï Ûï í í ï ï x - 3x + ¹ x - 1)( x + x - ) ¹ ï ï ỵ ỵ( ìx £ ï ï ì ìx < x £2 ï ï ï ï ï Ûí Û íx ¹ Û ï í ï ï ï x ¹1 x x ¹ ( ) ( ) ï ï ï ỵ ù ợ x ù ù ợ Vớ d 2: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: a) 4x + c) 4x - = - 4x + x + x -2 = -3 - x b) d) -x + 6x - + x = 27 ( x - ) ( - 3x ) + 2x = 3x - + Lời giải: ìï ïï x ³ ìï 4x - ³ Ûx = Û ïí a) Điều kiện xác định phương trình ïí ïï - 4x ³ ï ỵ ïïï x £ ỵ Thử vào phương trình thấy x = thỏa mãn ì ï3ü ï Vậy tập nghiệp phương trình S = ï í ù ý ù ù4ù ù ợ ỵ b) iu kin xác định phương trình -x + 6x - ³ Û - ( x - ) ³ Û x = Thay x = vào thấy thỏa mãn phương trình Vậy tập nghiệp phương trình S = { } ì ì x ³0 x ³0 ï ï ï ï ï ï c) Điều kiện xác định phương trình ï íx - ³ Û ï íx ³ ï ï ï ï x ³ ï ï ï ï x £ -3 ỵ ỵ Khơng có giá trị x thỏa mãn điều kiện Vậy tập nghiệm phương trình S = Ỉ CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ìï x - - 3x ³ )( ) ï( d) Điều kiện xác định phương trình í (*) ïï x ³ ïỵ Dễ thấy x = thỏa mãn điều kiện (*) ìï ïï x £ ìï - 3x ³ Ûx =5 Û ïí Nếu x ¹ (*) Û ïí ïï 3x - ³ ïï ỵ ïï x ³ ỵ Vậy điều kiện xác định phương trình x = x = Thay x = x = vào phương trình thấy có x = thỏa mãn Vậy tập nghiệm phương trình S = { } Bài tập luyện tập Bài 3.0: Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) = x -x -1 b) + x - = x x -1 x +1 x - 3x + Bài 3.1: Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nó: c) + 2x - = - 4x d) a) 4x + 4x - = 4x - + 2x - = -x + x - + x = b) c) 2x + x - = - x + d) x - 4x + 5x - + x = - x DẠNG TOÁN 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ HỆ QUẢ Phương pháp giải Để giải phương trình ta thực phép biến đổi để đưa phương trình tương đương với phương trình cho đơn giản việc giải Một số phép biến đổi thường sử dụng Cộng (trừ) hai vế phương trình mà khơng làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương phương trình cho Nhân (chia) vào hai vế với biểu thức khác không không làm thay đổi điều kiện xác định phương trình ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Bình phương hai vế phương trình ta thu phương trình hệ phương trình cho Bình phương hai vế phương trình(hai vế ln dấu) ta thu phương trình tương đương với phương trình cho Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải phương trình sau = x -3 x -x -6 b) x + 3(x - 3x + 2) = d) a) + c) x2 x -2 = x -2 x - 1(x - x - 2) = Lời giải: ì ì x ¹3 x ¹3 ï ï a) ĐKXĐ : ï Ûï í í ï ï x ¹ -2 ïx - x - ¹ ï ỵ ỵ Với điều kiện phương trình tương đương với 1+ - x -2 = Û ( x - )( x + ) + x + = x - ( x - )( x + ) CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Û x = Û x = ±3 Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = -3 b) ĐKXĐ: x > Với điều kiện phương trình tương đương với -1 ± 13 Đối chiếu với điều kiện ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm c) ĐKXĐ: x ³ -3 é x +3 = Phương trình tương đương với êê êë x - 3x + = é x = -3 é x = -3 ê ê é x = -3 ê ê x = Û ê Û ê Û êê x = ±1 x - )( x - ) = êx = ± êx2 - = ëê ( êë êë Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x = - (x - 2) Û x + x - = Û x = x = -3, x = ±1 x = ± ìï x ³ ìï x ³ d) ĐKXĐ: ïí Û ïí Û x ³1 ïï x - ³ ïï x ³ ỵ ỵ Với điều kiện phương trình tương đương với é x =1 é ê x = ê ê x = -1 Û ê ê êë x - x - = êx = êë Đối chiếu với điều kiện ta có ngiệm phương trình x = x = Ví dụ 2: Giải phương trình sau 2x - = 4x - 15 c) 2x + = x - b) x - 3x + = - 3x a) d) 2x + = x - Lời giải: ì 2x - ³ ï a) ĐKXĐ: ï (*) í ï 4x - 15 ³ ï ỵ Với điều kiện (*) phương trình tương đương với ( 2x - ) = ( ) 4x - 15 Û 2x - = 4x - 15 é x =2 ê Û 4x - 2x - 12 = Û ê êx = - êë Thay vào điều kiện (*) ta thấy có x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x = ỉ 3ư b) ĐKXĐ: x - 3x + ỗỗ x - ÷÷ + ³ (ln với x ) ữ ỗố 2ứ 2 Bỡnh phng hai vế phương trình ta x - 3x + = ( - 3x ) Û x - 3x + = 9x - 48x + 64 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 8x - 45x + 60 = Û x = 45 ± 105 16 Thay vào phương trình ta thấy có x = c) Phương trình tương đương với CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ 45 - 105 nghiệm phương trình 16 ( 2x + ) Û 4x + 4x + = x - 4x + é x = -3 ê Û 3x + 8x - = Û ê ê x =1 êë = ( x -2 Vậy phương trình có hai nghiệm x = -3 x = d) Ta có 2x + = x - Þ ( 2x + ) = ( x - ) 2 ) Þ 4x + 4x + = x - 2x + Û 3x + 6x = é x =0 Þ êê êë x = -2 Thử vào phương trình ta thấy khơng có giá trị thỏa mãn Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ 3: Tìm nghiệm ( x ; y ) với x số nguyên dương phương trình sau 20 - 8x + 6x - y = y - 4x Lời giải: ìï ïï x £ 20 ìï 20 - 8x ³ Ûx £7 Û ïí Nếu phương trình có nghiệm ( x ; y ) x phải thỏa mãn ïí ïï - 4x ³ ïï ỵ ïï x £ ỵ Vì x số ngun dương nên x = Thay x = vào phương trình ta 12 + - y = y (*) Điều kiện xác định phương trình (*) - y ³ (*) Þ - y2 = (y - ) Þ - y2 = (y - ) Þ 4y - 12y + = Þ y = 3± 3+ thỏa mãn ỉ + ư÷ ÷÷ Vậy phương trỡnh cú nghim tha bi l ỗỗỗ 1; ứữ ốỗ Th vo phng trỡnh (*) thy ch có y = Ví dụ 4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a) mx - ( m - ) x + m - = (1) ( m - ) x - 3x + m - 15 = (2) b) 2x + mx - = (3) 2x + ( m + ) x + ( m - ) x - = (4) Lời giải: a) Giả sử hai phương trình (1) (2) tương đương CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ é x =1 Ta có ( ) Û ( x - )( mx - m + ) = Û êê êë mx - m + = Do hai phương trình tương đương nên x = nghiệm phương trình (2) Thay x = vào phương trình (2) ta é m =4 ( m - ) - + m - 15 = Û m + m - 20 = Û êê m = -5 êë éx = ê Với m = -5 : Phương trình (1) trở thành -5x + 12x - = Û ê êx = êë é x =1 ê Phương trình (2) trở thành -7x - 3x + 10 = Û ê ê x = - 10 ëê Suy hai phương trình khơng tương đương é êx = Với m = : Phương trình (1) trở thành 4x - 6x + = Û ê êx = êë éx = ê Phương trình (2) trở thành 2x - 3x + = Û ê êx = êë Suy hai phương trình tương đương Vậy m = hai phương trình tương đương b) Giả sử hai phương trình (3) (4) tương đương Ta có 2x + ( m + ) x + ( m - ) x - = Û ( x + ) ( 2x + mx - ) = é x = -2 Û êê êë 2x + mx - = Do hai phương trình tương đương nên x = -2 nghiệm phương trình (3) Thay x = -2 vào phương trình (3) ta ( -2 ) + m ( -2 ) - = Û m = é x = -2 ê Với m = phương trình (3) trở thành 2x + 3x - = Û ê ê x =1 ëê 2 Phương trình (4) trở thành 2x + 7x + 4x - = Û ( x + ) ( 2x + ) = é x = -2 ê Û ê ê x =1 ëê Suy phương trình (3) tương đương với phương trình (4) Vậy m = Bài tập luyện tập Bài 3.2: Giải phương trình sau a) + = 2-x - x2 b) 2x 3-x = 3-x - 3-x CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 c) x + 1(x - 16) = CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ d) Bài 3.3: Giải phương trình sau a) x - = x - c) 2x + = 2x - 3-x =0 x - 2x - b) 3x - x - = x - d) 2x - = 3x - Bài 3.4: Tìm m để cặp phương trình sau tương đương a) x + mx - = (1) ( m - ) x + ( m - ) x + m - = (2) b) ( 2m - ) x - ( 2m + ) x + m + m - 17 = (3) ( - m ) x + 3x + 15 - m = (4) CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng ax + b = với a, b số thực a ¹ Phương trình bậc hai ẩn phương trình có dạng ax + bx + c = với a, b, c số thực a ¹ Giải biện luận phương trình ax + b = (1) b b phương trình có nghiệm x = a a Nếu a = : phương trình (1) trở thành 0x + b = Th1: Với b = phương trình nghiệm với x Ỵ R Th2: Với b ¹ phương trình vơ nghiệm Nếu a ¹ : ( ) Û x = - Giải biện luận phương trình ax + bx + c = Nếu a = : trở giải biện luận phương trình dạng (1) Nếu a ¹ : D = b - 4ac Th1: D > phương trình có hai nghiệm phân biệt x = TH2: D = phương trình có nghiệm kép x = Th3: D < phương trình vơ nghiệm Định lí Vi-ét ứng dụng a) Định lí Vi-ét b 2a -b ± D 2a Hai số x x nghiệm phương trình bậc hai ax + bx + c = chúng thỏa mãn hệ thức x + x = - b c x 1x = a a b) Ứng dụng Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f ( x ) = ax + bx + c có hai nghiệm x x phân tích thành nhân tử f ( x ) = a ( x - x )( x - x ) Tìm hai số biết tổng tích chúng: Nếu hai số có tổng S tích P chúng nghiệm phương trình x - Sx + P = Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai: b c Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = (*), kí hiệu S = - , P = a a + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu P < CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ïìï D ³ ï + Phương trình (*) có hai nghiệm dương ïí P > ïï ïïỵ S > ïìï D ³ ï + Phương trình (*) có hai nghiệm âm ïí P > ïï ïïỵ S < B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + b = Phương pháp giải Để giải biện luận phương trình dạng ax + b = ta dựa vào kết nêu Lưu ý: é a ¹0 Phương trình ax + b = có nghiệm Û êê êë a = b = ìa = ï Phương trình ax + b = vơ nghiệm Û ï í ï bạ0 ù ợ Phng trỡnh ax + b = có nghiệm Û a ¹ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình sau với m tham số a) ( m - ) x + - m = b) m ( mx - ) = 9x + c) (m + 1)2 x = (3m + 7)x + + m Lời giải: a) Phương trình tương đương với ( m - ) x = m - + Với m - = Û m = : Phương trình trở thành 0x = -1 Suy phương trình vơ nghiệm + Với m - ¹ Û m ¹ : Phương trình tương đương với x = Kết luận m = : Phương trình vơ nghiệm m ¹ : Phương trình có nghiệm x = m -2 m -1 m -2 m -1 b) Ta có m ( mx - ) = 9x + Û ( m - ) x = m + + Với m - = Û m = ±3 : Khi m = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vơ nghiệm Khi m = -3 : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x Ỵ R + Với m - ¹ Û m ¹ ±3 : Phương trình tương đương với x = Kết luận: m = : Phương trình vơ nghiệm m = -3 : Phương trình nghiệm với x Ỵ R m ¹ ±3 : Phương trình có nghiệm x = m -3 c) Phương trình tương đương với éë (m + 1)2 - 3m - ùû x = + m m+3 = m -3 m -9 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Û (m2 - m - )x = + m é m =3 + Với m - m - = Û êê : êë m = -2 Khi m = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vơ nghiệm Khi m = -2 : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x ẻ R ộ m ạ3 m +2 = + Với m - m - ¹ Û êê : Phương trình tương đương với x = m -3 m -m -6 êë m ¹ -2 Kết luận: m = : Phương trình vơ nghiệm m = -2 : Phương trình nghiệm với x Ỵ R m -3 Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình sau với a, b tham số m ¹ m ¹ -2 : Phương trình có nghiệm x = a) a ( x - a ) = b ( x - b ) b) b (ax - b + ) = (ax + ) Lời giải: a) Ta có a ( x - a ) = b ( x - b ) Û ( a - b ) x = a - b + Với a - b = Û a = ±b Khi a = b : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình nghiệm với x Ỵ R Khi a = -b b ¹ : Phương trình trở thành 0x = -2b suy phương trình vơ nghiệm (Trường hợp a = -b, b = Þ a = b = rơi vào trường hợp a = b ) + Với a - b ¹ Û a ¹ ±b : Phương trình tương đương với x = Kết luận a = b : phương trình nghiệm với x Ỵ R a = -b b ¹ : phương trình vơ nghiệm a ¹ ±b : Phương trình có nghiệm x = a - b3 a + ab + b = a +b a - b2 a + ab + b a +b b) Ta có b (ax - b + ) = (ax + ) Û a (b - ) x = b - 2b + éa = + Với a (b - ) = Û êê êë b = Khi a = : Phương trình trở thành 0x = b - 2b + , b - 2b + = (b - ) + > nên phương trình vơ nghiệm Khi b = : Phương trình trở thành 0x = suy phương trình vơ nghiệm ì ïa ¹ b - 2b + + Với a (b - ) ¹ Û ïí : Phương trình tương đương với x = ï b ¹ a b ( ) ï ỵ Kết luận a = b = phương trình vơ nghiệm a ¹ b ¹ phương trình có nghiệm x = b - 2b + a (b - ) Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 10 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ìï x + = u Bài 3.53: Đặt: ïí (u, v > 0) ïï y = v ïỵ ì ï mu + v = m + Khi hệ có dạng: ï í ï ux + mv = ù ợ ổ m ửữ ữữ = m - Ta cú: D = ỗỗỗ ỗố m ÷ø ỉ m + 1 ÷ư ỉ m am + ư÷ ÷÷ = m + m - 2; Dv = ỗỗ ữ = m -1 Du = ççç çç m ÷ø ÷÷ø çè è  Nếu D ¹ Û m - ¹ Û m ¹ ±1 m +2 v = m +1 m +1 ì m +2 ï ï ³0 ï Vì điều kiện u, v > nên ta có : ïí m + Û m > -1 ï ï ³0 ï ï ïm + ỵ 2m + ïìï ìï ïï x + = m + ïï x = (m + 1)2 ï m + Û ïí Khi ta được: í ïï ïï 1 ïï y = ïï y = m +1 (m + 1)2 ỵï ïỵ Hệ có nghiệm u = ém =  Nếu D = Û m - = Û êê êë m = -1 Với m = Þ Du = Dv = , hệ có vô số nghiệm thoả x +1 + y = Vi m = -1 ị Du = , hệ vơ nghiệm Bài 3.54: a) Ta có y = - 2x vào phương trình hai ta được: éx = Þ y = ê 4x + (5 - 2x ) = 17 Û 2x - 5x + = Û ê êx = Þ y = êë 2 2 Vậy nghiệm hệ là: (x ; y ) = (2;1),( ; 4) b) Tacó y = - 3x đầu x (8 - 3x ) = 16 Û 3x - 8x + 16 = Û (x - 2)2 (3x + 4x + 4) = Ûx =2x =y =2 c) phương trình Þ x = 3(y + 2) phương trình éx = ê x2 2 x - 8x = y(y + 2) = y Û x (3x - xy - 24) = Û ê ê y = 3x - 24 êë x 102 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ỉ 3x - 24 ư÷ 3x - 24 x = 0y +2 = 0y = x = ỗỗ ÷÷ + Û 13x - 213x + 864 = ỗố x x ứ ộ x = ±3 Þ y = ±1 éx2 = ê ê 96 78 (x ; y ) = (±3; ±1), (± ; ) Û ê Û ê 96 96 78 êx = ± êx = 14 13 Þ y =  êë êë 13 13 13 2 Bài 3.55: Ta có x = m - y thay vào phương trình hai ta được: 2(m - y )2 - 3y = Û y + 4my + - 2m = (*) Hệ có nghiệm Û (*) có nghiệm Û D ' = 4m - (1 - 2m ) ³ Û m ³ Vậy m ³ 6 giái trị cần tìm ìï ïï P = - S ïìï S + 2P = 2 Û ïí Bài 3.56: a) 1) Đặt S = x + y, P = xy Khi hệ trở thành: í ïï S (S - 3P ) = ïï - 3S ỵ )=8 ïï S (S ỵ Þ 2S + 3S - 6S - 16 = Û (S - 2)(2S + 7S + 8) = Û S = Þ P = Þ x , y nghiệm phương trình: X - 2X = Û X = 0, X = ìx = ìx = ï ï Vậy nghiệm hệ là: ïí È ï í ï ï ïy = ïy = î î b) Đặt S = x + y; P = xy Khi hệ trở thành: ì S (S - 3P ) = 19 ì SP = -8S ì SP = - 8S ï ï ï ï Ûï Ûï í í í ï ï ï S (8 + P ) = ï ï S - 3(2 - 8S ) = 19 ï S + 24S - 25 = ỵ ỵ ỵ ì ïS = Þ x , y nghiệm phương trình : X - X - = Û X1 = 3; X = -2 Ûï í ï P = ï ỵ Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm: (x ; y ) = (-2; 3), (3; -2) c) (x ; y ) = (1;1) d) ( -2; ), ( 0; -2 ), ( - )( 2; , Bài 3.57: a) Trừ vế với vế hai phương trình ta được: éx = y x - y = x - y Û (x - y )(x + y - 1) = Û êê x = y êë 2; - ) * Với x = y Þ x = 3x Û x = 0, x = é y = -1 Þ x = * Với x = - y Þ y = 3y + 2(1 - y ) Û y - y - = Û êê êë y = Þ x = -1 Vậy nghiệm hệ: (x ; y ) = (0; 0), (3; 3), (-1;2), (2; -1) b) : x , y ¹ ì ï 2x + x 2y = ï Hệ Û í Þ 2(x - y ) + xy(x - y ) = Û (x - y )(2x + 3xy + 2y ) = ï y + y x = ï ỵ Û x = y (Do 2x + 3xy + 2y = 2(x + y )2 + y > ) Thay vào hệ ta được: 3x = Û x = = y Vậy hệ có nghiệm: x = y = 103 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 ( ) ( c) ( -1; -1 ), ( 0; ), ( 1;1 ), - 3; , 3; - ) CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ d) ( 1;1 ) Bài 3.58: · Giả sử hệ có nghiệm (x ; y ) (y ; x ) nghiệm hệ nên để hệ có nghiệm trước hết x = y Thay vào hệ ta được: x 02 - 2x + m = phương trình có nghiệm Û D ' = - m = Û m = ì ïx = y - y + · Với m = hệ trở thành: ï Þ x + y - 2x - 2y + = í ï y = x x + ï ỵ Û (x - 1)2 + (y - 1)2 = Û x = y = Thử lại ta thấy thỏa mãn hệ Vậy m = giá trị cần tìm Bài 3.59: Ta thấy x=0 khơng thoả hệ phương trình ì ï 3x + 5tx - 4t 2x = 38 ï Xét x ¹ Đặt x = ky thay vào hệ ta được: í ï 5x - 9tx - 3t 2x = 15 (*) ï ỵ ì ï x (3 + 5t - 4t ) = 38 Ûï Þ 15 ( + 5t - 4t ) = 38 ( - 9t - 3t ) í 2 ï x (5 t t ) = 15 ï ỵ é ê t = Û 54t + 417t - 145 = Û êê ê t = - 145 êë 18 é x =3Þy =1 Với t = (*) Û x = Û êê êë x = -3 Þ y = -1 145 15.108 Với t = (*) Û x = : Phương trình vơ nghiệm 18 12655 ì ì ïx = ï x = -3 Vậy ï hay ï í í ï ï y =1 y = -1 ï ï ỵ ỵ Bài 3.60: Dễ thấy x = khơng thoả hệ ì ï x (3 + 2k + k ) = 11(*) Với x ¹ , đặt y = tx , thay vào hệ ta ï í ï x (1 + 2k + 3k ) = 17 ï ỵ Suy 17 ( + 2k + k ) = 11 ( + 2k + 3k ) é êk = Û 16k - 12k - 40 = Û ê ê k =2 êë Thay vào (*) ta được: é 5 ê x = Þy =- =5 33 16 ê 3 x = 11 Û x = k= - Þ Ûê 5 16 ê Þ y = - (- ) = êx = êë 3 é x =1Þy =2 k = Þ 11x = 11 Û x = Û êê êë x = -1 Þ y = -2 ỉ ư÷ ỉ ư÷ Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) l ỗỗ ; ;ữữ ; ỗỗ ữữ ; ( 1;2 ) ; ( -1; -2 ) ỗố 3 ứ ỗố 3ứ Bi 3.61: D thy y = nghiệm hpt 104 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Đặt x = ty , ta có : ì ï t - 4t + m 2 2 2 ì ì ï ï t y ty + y = m ï y ( t t + 1) = m = ï Hệ  ï ï  í - 3t í í (I) ï ï ï y - 3ty = y (1 - 3t ) = ï ï ï y (1 t ) = ỵ ỵ ï ỵ Do y ¹ nên từ y ( - 3t ) = Þ - 3t > Û t < ì ï t - 4t + 1 ï = ï a) Với m = ta có hệ phương trình í - 3t ï ï y (1 t ) = ï ỵ Ta có nghiệm ( ; ), ( -1 ; -4 ) ì ï 4(t - 4t + 1) = m(1 - 3t ) b) Ta có : (I)  ï í ï y (1 - 3t ) = ï ỵ ì ï 4t - (16 - 3m )t + - m = (*) ï í ï y (1 - 3t ) = ï î Đặt f ( t ) = 4t - ( 16 - 3m ) t + - m Hệ có nghiệm  (*) có nghiệm thoả mãn t < ổ 1ử t ẻ ỗỗ -Ơ; ữữữ ct trc honh "m ỗố 3ứ th hàm số f ( t ) = 4t - ( 16 - 3m ) t + - m với ìx ³ y ï Bài 3.62: a) ĐKXĐ : ï í ï x ³ -y ï ỵ x +y = x + y Û ( x + y )6 = ( x + y )6 é x = -y Û (x + y )3 = (x + y )2 Û (x + y )2 (x + y - 1) = Û êê êë x + y = Thay x = -y vào b) Đặt a  x  y  x -y = x - y - 12 ta y = -2 Þ x = ,b  x  y x y    5 ( x  y)2    3( x  y)2  13 2   ( x  y)  Hệ   nên ta có:  )x y1 ( x  y  x y  5(a2  2)  3b2  13    a  b   a   5a2  3b2  23 a   giải hệ ta tìm     a  b  b  3 b    1     11    ;  ,  ;   ,  ; 2    2  4  2   Từ ta tìm nghiệm hệ:  x; y    Bài 3.63: a) Điều kiện: x , y > ìï(x + y ) + (- xy ) = ï HPT Û í ïï(x + y )(- xy ) = -78 ïỵ 105 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ Suy x + y - xy nghiệm phương trình: é x + y = 13 é t = 13 é x + y = 13 t - 7t - 78 = Þ êê Û êê Û êê t = -6 - xy = -6 êë xy = 36 ëê ëê éì ïx êï êí éu = ïy ỵ ê Suy x , y nghiệm phương trình: u - 13 u + 36 = Û ê Û êê ï ìx u = êë êï ï êí ï êëỵ ïy Vậy, hệ phưong trình có nghiệm ( 4, ), ( 9, ) b) Điều kiện :x ³ ,y ³ ìï 2x + 2y + 4xy = 16 ìï 2x + 2y = x + y ï ï HPT Û í Ûí ïï x + y + 4xy = 16 ïï x + y = ïỵ ïỵ ì ìï(x - y )2 = ï 2x + 2y = x + y + 2xy ï Ûï Û Ûx =y =4 í í ï ï x + y = x + y = ï ïỵ ỵ Vậy hệ có nghiệm ( 4; ) = = = = 9 ìx ³ ï c) Điều kiện: ïí ï y³0 ï ỵ ìï S = x + y ï Đặt í , điều kiện S , P ³ S - 4P ³ ïï P = xy ïỵ ïìï é ù ïï ê x + y - xy ú - 2xy + 2xy = Khi hệ phương trình có dạng: í êë úû ïï ïïỵ x + y = ì ï ï S - 2P ) - 2P + 2P = ( ï Ûí ï S =4 ï ù ợ ị P - 32P + 128 = ì ï8 - P ³ Ûï ÛP =4 í ï P - 32P + 128 = (8 - P )2 ï ỵ ìï S = ïìï x + y = Þí Ûx =y =4 Vậy ta được: ï í ïï P = ïï xy = ỵ ïỵ ì ì ïx + y ³ ï y ³ -x Bài 3.64: a) Điều kiện: ïí Ûï Û -x £ y £ x Þ x ³ í ï ï x -y ³ y £x ï ï ỵ ỵ ì ï x +y + x -y = ì x +y + x -y = ï ï ï ï Viết lại hệ phương trình dạng: í Û í 2 ï ï (x + y )2 + (x - y )2 = 256 (x + y ) (x - y ) = 128 ï ï ỵ ï ỵ2 ( ) ìï u = x + y , u, v ³ Đặt: ï í ïï v = x - y ïỵ 106 CHUN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ì é uv = ï ï ê ìu + v = ìu + v = ï ï ï ï ï ê uv = 32 Ta được: ï Û Û í í í ëê ï ï ï uv ( uv 32) u + v = 256 ï ï ï ỵ ỵ u +v = ï ï ỵ ìu + v = ìu + v = ï ï Hoặc ï Ûï í í ï ï ï uv = 32 ï uv = î î Giải hệ ta nghiệm ( 8, ) ; ( 8, -8 ) b) Hệ có nghiệm ( 4;9 ), ( 9; ) c) Hệ có nghiệm ( 8;64 ), ( 64; ) Bài 3.65: · Giả sử hệ có nghiệm (x , y ) Þ (y - 2, x + 2) nghiệm hệ phương trình Vậy hệ có nghiệm điều kiện cần x = y - ì ì ï ï y0 - = a y0 - + y0 - = a ï Khi hệ có dạng: í Ûï í ï ï 2y = 2a + ï y - + y = 2a + ï ỵ ỵ ì ïa ³ Þ 2(2a + 3) - = a Û ïí Ûa =2+ ï a = a ï ỵ ìï x + + y - = + Û · Với a = + , hệ có dạng: ï í ïï x + y = 2(2 + 6) + ỵï ìï u = x + ï ; u, v ³ Ta được: Đặt: í ïï v = y - ïỵ Suy u,v nghiệm phương trình: t - (2 + 6)t + (5 + 2 ì ï 2+ ï x +1 = ï ï Ûí Û ï + ï y -1 = ï ï ï ỵ ïì x + + y - = + ïí ïï(x + 1) + (y - 1) = + ỵï ì ï ìu + v = + ïu + v = + ï ï ï Ûí í 5+2 ï ï u + v = + uv = ï ï ï ỵ ï ï ỵ 6) = Û t = 2+ 2+ Þu =v = 2 ì ï 6+4 ï x = ï ï nghiệm í ï 14 + ï y = ï ï ï ỵ Vậy hệ phương trình có nghiệm a = + ïìï( x - y )2 - 3xy = ( x - y ) Bài 3.66: a) Ta có: HPT Û ïí ïï xy = ( x - y )2 ïỵ ì ìï u = ï u - 3u + v = ïí Đặt u = x - y, v = xy Hệ trở thành ï Û í ï ïï v = v = u ï ỵ ỵ Từ giải nghiệm hệ ( 0; ), ( 2;1 ), ( -1; -2 ) ìï ïï x + y + xy(x + y ) + xy = - Đặt a = x + y;b = xy b) HPT Û ï í ïï ïï(x + y ) + xy = ỵ 107 ì u =1 ï ï í ï v =2 ï ỵ CHUN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ 5 ïìï ïìï ïïa + ab + b = ïïb = - - a Ûí Ta có: í ïï ïï 5 5 2 ïïa + b = ïïa + a(- - a ) - - a = ỵ ỵ 4 ì ïìï ï ìïa = ï a =ïïb = - - a ï ïï Ûí Ûí ï í ïï ïïb = ï ï b=ïïa + a + a = ïỵ ï ï ỵ ỵ ì ï ìx + y = ìa = ï ï ï x = ï ï ï ï ï *ï í Ûí Ûí ï ï ï 25 b=xy = ï ï ï ï ï ïy = -3 ỵ ỵ ï ï ỵ 16 1 ïìï ïìï ìï x = ïïa = ïï x + y = ï Ûí Û ïí *í ïï ïï ïï y = - 3 ïïb = ïï xy = ỵï ỵ ợ ổ 24 ửữ ổỗ 3ử ữữ, ç 1; - ÷÷ Vậy hệ có hai cặp nghim (x ; y ) = ỗỗỗ ; - ỗố 16 ữứ ốỗ ứữ ỡ x ï ï x+ + =7 ï ï y y Bài 3.67: a) Vì y = khơng thỏa hệ hệ cho Û ï í ï x ï x + + = 13 ï ï y y ï ỵ x Đặt a = a = x + ; b = Þ x + = a - 2b y y y ì ìa + b = ì a = -5 ïa + b = ï ïìa = ï Ta có hệ ï  ïí ï Ûï í í í ï ï ï b = 12 ïa - b = 13 ïa + a - 20 = ïïỵb = ï ỵ ỵ ỵ ì ï ï é x+ =4 ï ì ï x - 4x + = êx = Þ y = ï y ï ï Ûí Û ê *í ï ï x x = 3y êx = Þ y = ï ï ỵ = ï ëê ï ï îy ì ï ï x + = -5 ï ì ï x + 5x + 12 = ï y ï Û *ï hệ vơ nghiệm í í ï ï x x = 12 y ï ï ỵ = 12 ï ï ï ỵy Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm: (x ; y ) = (1; ), (3;1) b) Ta thấy x = không nghiệm hệ nên ta biến đổi hệ trở thành ìï 1 ïï 2y ( + 2y ) = ï x3 x3 Đặt a = 2y, b = , ta có hệ í ïï x ïï + (2y ) = ỵx ì ì 6 ï ï ì ï ï ab(a + b) = ï a +b = ï ïa + b = ï Û Û í í í ab ab ï ï ï 3 ïa + b = ï ï ( a + b ) ab = a b + a 2b - 36 = î ï ï î î 108 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ìab = ìa = ìa = ï ï ï Ûï Ûï v ï í í í ï ï ï ïa + b = ïb = ïb = ỵ ỵ î ì ï ï ì ì ì ïy = a = ï ïa = ïy = * ïí *ï Þï Þï í í í ï ï ï ï b =1 x =1 b=2 ï ï ï ï ỵ ỵ ỵ x = ï ï ï ỵ 1 Vậy hệ cho có hai cặp nghiệm : (x ; y ) = (1;1), ( ; ) 2 c) Nếu x = thay vào hệ Þ y = Þ x = y = nghiệm hệ ìï ïï x + y = 2y - x Với x ¹ ta có hệ cho Û ï í ïï y ïï x + = 4y - ỵ x ìï ìï ïï x + y = 2y - ï x + y = 2y - (1) ï x Ûí Û ïí x ïï ïï(2y - 1)2 = 6y - y (2) ïï(x + ) = 6y - ïỵ ỵ x (2) Û 2y - 5y + = Û y = 2; y = 2 * y = Þ (1) Û x + = Û x - 3x + = Û x = 1; x = x 1 = phương trình vơ nghiệm * y = Þ (1) Û x + 2x Vậy hệ cho có ba cặp nghiệm: (x ; y ) = (0; 0), (1;2), (2;2) ì ï x - y = 35 ï í ï 2x + 3y = 4x - 9y ï ỵ Bài 3.68: a) Nhân phương trình thứ hai hệ với cộng hai phương trình theo vế ta có x + 3x + 3y (x + 1) - 24xy = 6xy + 30y - 78x - 76 Û (x + 1)(x + 2x + 76) + 3y (x + 1) - 30y(x + 1) = Û (x + 1)(x + 2x + 3y - 30y + 76) = (*) Do x + 2x + 3y - 30y + 76 = (x + 1)2 + 3(y - 5)2 ³ khơng có đẳng thức xảy nên (*) tương đương với x = -1 Thay vào hệ ta tìm y = -3, y = b) Phương trình thứ hai hệ tương đương với (6x - 12x + 8) + (9y + 12y + 27) = 35 Thay vào phương trình thứ hệ, ta được: x - y = (6x - 12x + 8) + (9y + 12y + 27) Û (x - 2)3 = (y + 3)3 Û x = y + Lại thay vào phương trình thứ hai hệ, ta được: 2(y + 5)2 + 3y = 4(y + 5) - 9y Û 5y + 25y + 30 = Û (y + 2)(y + 3) = Û y = -2 Ú y = -3 Với y = -2 , ta có x = , với y = -3 , ta có x = Thử lại ta thấy thỏa Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm (x , y ) = (-2, 3),(-3,2) 109 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ì x, y ³ ï Bài 3.69: Điều kiện: ï í ï x +y ¹ ï ỵ Ta thấy x = (y = 0) không nghiệm hệ nên hệ cho tương đương với ïìï ïï + ï4 í ïï ïï ïỵ Suy ïìï x + y x + y 2 = = ïï x +y x +y x Ûï x y í ïï x + y = = + ï ï 4 x +y y x y ỵï ỉ 2 x + y ửổ ữữ ỗỗ + ửữữ = - = ỗỗỗ ữ ữ 4 x +y ố x y ữứốỗ x y ÷ø x y Û x x - 2x y + 2y x - 4y y = x ta có: t - 2t + 2t - = Û t = Û x = 4y y Đặt t = ìï ïï ïï x = Từ ta tìm ï í ïï ïï ïïỵ y = ( ( +1 +1 16 ) ) Bài 3.70: a) Đặt: u = 3x + v = 3x - ì ï u + v + u.v = Þ u -v = Þ u = v +2 (6) trở thành: ïí 3 ï u v = ï ỵ Do đó: ( v + ) + v + v ( v + ) = Û 3v + 6v + = Û ( v + ) = Û v = -1 Þ u = ìï u = 3x + = ï Þx =0 Vậy ta có: í ïï v = 3x - = -1 ïỵ b) ĐKXĐ: £ x £ Đặt a = x; b = 17 - x ; a, b ³ Ta có hệ phương trình ì ì ì ì a +b = a +b = a +b = a +b = ï ï ï ï ï ï ï ï Û Û Û í í í í ï ï ï ï ab = V ab = 16 a + b = 17 [(a + b)2 - 2ab ]2 - 2a 2b = 17 a 2b - 18ab + 32 = ï ï ï ï î î î î ì ì ì é x =1 ïa + b = ïa = ïa = Với ï Þï V ï Þ êê í í í ï ï ï ab = b = b = x = 16 ê ï ï ï ỵ ỵ ỵ ë ìa + b = ï Với ïí Þ hệ vơ nghiệm.Vậy phương trình cho có hai ngiệm x = 1; x = 16 ï ab = 16 ï ỵ Bài 3.71: a) ĐKXĐ: x ³ -3 Phương trình Û 2(x + 1)2 - = Đặt t = x + 1; y = x +1 +1 = (x + 1) + x +1 Û (x + 1)2 - = +1 2 t t + Þ y - = , ta có hệ phương trình: 2 110 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ìï ét = y ïït - = y ï Þ (t - y )(t + y + ) = Û êê í ïï ê y = -t - y = t ïï ëê ỵ * t = y Û t2 - = t ± 17 -3 ± 17 Û 2t - t - = Û t = Ûx = (thỏa đk x ³ -3 ) 4 1 t -1 ± 13 -5 ± 13 Þ (t + )2 - = Û 4t + 2t - = Û t = Ûx = 2 4 (thỏa đk x ³ -3 ) * y = -t - Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x = b) ĐKXĐ: x ³ -3 ± 17 -5 ± 13 ;x = 4 Phương trình Û (2x + 1)2 + 3x = 2(2x + 1) - 3x Đặt t = 2x + 1; y = 2t - 3x Þ y + 3x = 2t Þ ta có hệ phương trình ìt + 3x = 2y éy = t ï ï Þ (t - y )(t + y + 2) = Û êê í ï y = t y + x = t ï ëê ỵ é x = -1 ê 2 * y = t Û t - 2t + 3x = Û 4x + 3x - = Û ê êx = êë é x = -1 ê * y = -t - Þ t + 3x + 2(t + 2) = Û 4x + 11x + = Û ê êx = - êë 2 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x = -1; x = - ; x = 4 Cách khác : pt Û 4x + 8x + = c) Ta có phương trình Û Đặt 3 ( x +2 +1 ) 3x - = (2x - 3)3 - x + 3x - = 2y - Þ (2y - 3)2 = 3x - , ta có hệ phương trình ì ï (2x - 3)3 = 2y - + x - ï Þ a - b = b - a (Với a = 2x - 3;b = 2y - ) í ï (2 y 3) = 2x + x ï ỵ Û (a - b)(a + ab + b + 1) = Û a = b Û (2x - 3)3 = 3x - éx = ê Û 8x - 36x + 51x - 22 = Û (x - 2)(8x - 20x + 11) = Û ê êx = ± êë 2 Vậy phương trình cho có ba nghiệm x = 2; x = Bài 3.72: a) ĐK: £ x £ 5± ìa + b = ï x ;b = - x , ta có hệ phương trình: ïí (I) ï a + b4 = ï ỵ (I) Û a = b = Û x = nghiệm phương trình cho Đặt a = b) ĐKXĐ: x £ 111 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Đặt a = CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ - x2 , a ³ Þ a = - x Û a + x = Mặt khác từ phương trình ban đầu Þ a = - x Û x + a = ì ïa + x = Vậy ta có hệ phương trình: ï trừ hai phương trình hệ ta í ï x + a2 = ï ỵ a - x - (a - x ) = Û (a - x )(a + ax + x - a - x ) = (*) Ta có: a + ax + x - a - x = a + (a + x )(x - 1) * Với x ³ Þ a + x > Þ (a + x )(x - 1) ³ Þ a + (a + x )(x - 1) > * Với £ x < Þ a ³ Þ a + ax + x - a - x = a(a - 1) + ax + x (a - 1) > * Với x < Þ a + x < Þ (a + x )(x - 1) > Þ a + (a + x )(x - 1) > Þ a + ax + x - a - x > "x ìï £ x £ Do đo (*) Û a = x thay vào hệ ta được: - x = x Û ïí Û x = ïï x + x - = ỵ Vậy phương trình cho có nghiệm x = ì ì ï 2y - 2x = ï 2y - 2x = Bài 3.73: Đặt y = 4x - x + (1) có dạng: ïí (I ) (I) Û ï í 3 ï ï ï 4x - x + = y ï 2x + 2y - (x + y ) = ỵ ỵ ì ï 2y - 2x = 3(2) ï Ûí ï (x + y )(2x - 2xy + 2y - 1) = 0(3) ï ỵ TH1: y = -x kết hợp(2), có nghiệm (1): x = - 3 TH2: 2x - 2xy + 2y - = 0; D 'x = - 3y Nếu có nghiệm y £ ỉ ư÷ ÷÷ = Khi VT (2) Ê ỗỗỗ < Chng t TH2 vụ nghim ỗố ữứ 3 Tng tự có x £ 3 Bài 3.74: a) Dễ thấy x = không nghiệm phương trình KL (1) có nghiệm x = - Xét x ¹ phương trình tương đương với ( x - ) + x + = x x (x - 1) - x - ì ïu = Đặt ï í ï ï ỵ x (x - 1) - x - Þ u + x + = x 2v v = x -1 Phương trình trở thành v + x + = x 2v ì ï u + x + = x 2v ï Vậy ta có hệ phương trình í ï v + x + = x 2v ï ỵ é u =v Þ u - v = x ( v - u ) Û ( u - v ) ( u + uv + v + x ) = Û êê 2 êë u + uv + v + x = éx = Với u = v ta có ( x - ) + x + = x ( x - ) Û 2x - 4x = Û êê (loại x = ) êë x = 112 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ ỉ vư Với u + uv + v + x = ỗỗ u + ữữữ + v + x = Û u = v = x = (loi) 2ứ ốỗ 2 2 Vậy phương trình có nghiệm x = b) Phương trình cho tương đương với 3 x   x   ( x  1)3 ( x  1)  x  y  Đặt y   3 x  Ta có hệ phương trình  ( y  1)  x  Trừ hai phương trình hệ, vế theo vế, ta ( x  y ) ( x  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1)   y  x x  y   x y 2 ( x  1)  ( x  1)( y  1)  ( y  1)  1 Suy x   3 x   ( x  1)3  x   x3  x   ( x  1)( x  2)   x   x  2 Thử lại ta thấy thỏa Vậy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x  1, x  2 Bài 3.75: a) Xét phương trình: 2x - x - = - x + 16 (1) ì ì x ³8 ïx - ³ ï ï Điều kiện : ï Û Û x = í í ï ï x ³ x £ ï ï ỵ ỵ Thay x = ta thấy (1) thoả Vậy, nghiệm phương trình (1) x = b) Xét phương trình: 3x + x - = - x ì ìx ³ ïx - ³ ï Điều kin: ù ù x ẻ ặ ớ ù ï ï4 - x ³ ïx £ ỵ ỵ Vậy, phương trình (2) vơ nghiệm Bài 3.76: a) PT Û (m + 3)x = -2m - Û x = Vậy, nghiệm (1) : x = -(2m + 3) m2 + -2m - (vì m2 +  0, m) m2 + b) PT Û (m - 4)x = m + m - Û (m + 2)(m - 2)x = (m - 2)(m + 3) m+3 m +2 + m + = Û m = -2 : (2) trở thành: 0x = -4 : vô nghiệm + m - = Û m = : (2) trở thành : 0x = : x Ỵ  + ( m + )( m - ) ¹ Û m ¹ ± Nghiệm (2) là: x = m+3 m +2 m = 2 : phương trình vơ nghiệm m = : x   c) Điều kiện: x + ¹ Û x ¹ -1 Với điều kiện thì: PT Û mx - m - = 2x + Û (m - 2)x = m + Kết luận: m ¹ ± : x = + m -2 ¹ Û m ¹ : x = m +5 Để nghiệm (3) thì: m -2 m +5 ¹ -1 Û m ¹ - m -2 + m - = Û m = : (3) Û 0x = : vơ nghiệm x ¹ -1 Û 113 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ m +5 Vậy: m ¹ m ¹ - , nghiệm phương trình là: x = m -2 m = hay m = - : phương trình vơ nghiệm Bài 3.77: a) m = 1: PT trở thành:  x    x  m  1: (1) có: D¢ = - ( m - ) = -3m + + D¢ = -3m + < Û m > : phương trình (1) vơ nghiệm + D¢ = -3m + = Û m = + D¢ = -3m + > Û m < x = : phương trình (1) có nghiệm kép x = = 3 m -1 : phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: ± -3m + m -1 b) Điều kiện : x - ¹ Û x ¹ ±1 Với điều kiện đó, thì: PT Û f ( x ) = x - 2mx + m - m + = ìm ¹ ï Với x  thì: f ( ) = m - 3m + ¹ Û ïí ï m ¹2 ï ỵ Với x  1 thì: f ( -1 ) = m + m + ¹ : với m (*) Khi đó, ( * ) có biệt thức: D¢ = m - ( m - m + ) = m - ì ïm >1  ïí D¢ > 0, nên ( * ) có hai nghiệm phân biệt x = m ± m - ï m ¹ ï ỵ hai nghiệm (2)  m = thì: D¢ = 0, nên ( * ) có nghiệm kép x = m = (không thoả điều kiện), suy cho vô nghiệm é x = (loại ) m = 2, ( * ) trở thành: x - 4x + = Û êê êë x = Do nghiệm cho x = ¢  m < D < 0, nên ( * ) vô nghiệm, suy cho vô nghiệm  Kết luận : m  : cho vô nghiệm m > m  2: (2) có hai nghiệm phân biệt x = m ± m - m = : (2) có nghiệm x = Bài 3.78: a) Với m = -1 phương trình trở thành: x - + x - + x = x - Vì VT ³ Þ x - ³ Û x ³ Khi ta có: x - + x - + x = x - Û| x - | +x = phương trình vơ nghiệm b) Xét hàm số : ì 2x - x ³ ï ï ï ï ï1 £ x < y = f (x ) = x - + x - + x - x = ï í ï2x + £ x < ï ï ï -4x + x