TỰ LUẬN đại số 10 đs10 cđi MỆNH đề tập hợp image marked

CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỤC LỤC MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP .2 CHỦ ĐỀ 1: MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ DẠNG TOÁN 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MỆNH ĐỀ DẠNG TOÁN 3: MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU ", $ CHỦ ĐỀ 2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT NGỮ ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ.9 CHỦ ĐỀ 3: TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 11 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP .12 DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BIỂU ĐỒ VEN ĐỂ GIẢI TOÁN 14 DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH TẬP HỢP BẰNG NHAU, TẬP HỢP CON 16 DẠNG TOÁN 4: PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CON CỦA TẬP SỐ THỰC .18 CHỦ ĐỀ 4: SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ 21 DẠNG TỐN 1: TÍNH SAI SỐ TUYỆT ĐỐI, SAI SỐ TƯƠNG ĐỐI CỦA SỐ GẦN ĐÚNG VIẾT SỐ QUY TRÒN 22 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC CHỮ SỐ CHẮC CỦA MỘT SỐ GẦN ĐÚNG, DẠNG CHUẨN CỦA CHỮ SỐ GẦN ĐÚNG VÀ KÍ HIỆU KHOA HỌC CỦA MỘT SỐ 24 CHỦ ĐỀ 5: ÔN TẬP 25 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP 27 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP CHỦ ĐỀ 1: MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai Mệnh đề phủ định Cho mệnh đề P Mệnh đề “Không phải P ” gọi mệnh đề phủ định P Ký hiệu P Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề "nếu P Q " gọi mệnh đề kéo theo Ký hiệu P Þ Q Mệnh đề P Þ Q sai P Q sai Cho mệnh đề P Þ Q Khi mệnh đề Q Þ P gọi mệnh đề đảo Q Þ P Mệnh đề tương đương Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề " P Q " gọi mệnh đề tương đương Ký hiệu P Û Q Mệnh đề P Û Q P Þ Q Q Þ P Chú ý: "Tương đương" gọi thuật ngữ khác "điều kiện cần đủ", "khi khi", "nếu nếu" Mệnh đề chứa biến Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Ví dụ: P ( n ) : " n chia hết cho " với n số tự nhiên P ( x ; y ) :" 2x + y = " Với x, y số thực Các kí hiệu " , $ mệnh đề phủ định mệnh đề có chứa kí hiệu " , $ Kí hiệu ": đọc với mọi, $: đọc tồn Phủ định mệnh đề “ "x Ỵ X , P ( x ) ” mệnh đề “ $x Ỵ X , P (x ) ” Phủ định mệnh đề “ $x Ỵ X , P ( x ) ” mệnh đề “ "x Ỵ X , P (x ) ” B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH MỆNH ĐỀ VÀ TÍNH ĐÚNG SAI CỦA MỆNH ĐỀ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai (1) Ở đẹp quá! (2) Phương trình x - 3x + = vô nghiệm (3) 16 không số nguyên tố (4) Hai phương trình x - 4x + = x - x + + = có nghiệm chung (5) Số p có lớn hay khơng? (6) Italia vơ địch Worldcup 2006 (7) Hai tam giác chúng có diện tích (8) Một tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc với Lời giải: Câu (1) (5) khơng mệnh đề(vì câu cảm thán, câu hỏi) Các câu (3), (4), (6), (8) mệnh đề CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Câu (2) (7) mệnh đề sai Ví dụ 2: Cho ba mệnh đề sau, với n số tự nhiên (1) n + số phương (2) Chữ số tận n (3) n - số phương Biết có hai mệnh đề mệnh đề sai Hãy xác định mệnh đề nào, mệnh đề sai Lời giải: Ta có số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, Vì - Nhận thấy mệnh đề (1) (2) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời n + có chữ số tận nên khơng thể số phương Vậy hai mệnh đề phải có mệnh đề mệnh đề sai - Tương tự, nhận thấy mệnh đề (2) (3) có mâu thuẫn Bởi vì, giả sử mệnh đề đồng thời n - có chữ số tận nên khơng thể số phương Vậy ba mệnh đề mệnh đề (1) (3) đúng, cịn mệnh đề (2) sai Bài tập luyện tập Bài 1.0: Các câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề? Nếu mệnh đề hay cho biết mệnh đề hay sai a) Không lối này! b) Bây giờ? c) Chiến tranh giới lần thứ hai kết thúc năm 1946 d) 16 chia dư e) 2003 không số nguyên tố f) số vơ tỉ g) Hai đường trịn phân biệt có nhiều hai điểm chung Bài 1.1: Tại Tiger Cup 98 có bốn đội lọt vào vịng bán kết: Việt Nam, Singapor, Thái Lan Inđônêxia Trước thi đấu vòng bán kết, ba bạn Dung, Quang, Trung dự đốn sau: Dung: Singapor nhì, cịn Thái Lan ba Quang: Việt Nam nhì, cịn Thái Lan tư Trung: Singapor Inđơnêxia nhì Kết quả, bạn dự đốn đội sai đội Hỏi đội đạt giải mấy? DẠNG TOÁN 2: CÁC PHÉP TOÁN VỀ MỆNH ĐỀ Các phép toán mệnh đề sử dụng nhằm mục đích kết nối mệnh đề lại với tạo mệnh đề Một số phép toán mệnh đề là: Mệnh đề phủ định(phép phủ định), Mệnh đề kéo theo(phép kéo theo), mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương(phép tương đương) Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau, cho biết mệnh đề hay sai? P : " Hình thoi có hai đường chéo vng góc với nhau" Q : " số nguyên tố" R : " Tổng hai cạnh tam giác lớn cạnh lại" S : " > -3 " K : " Phương trình x - 2x + = có nghiệm " H :" ( - 12 ) = " Lời giải: Ta có mệnh đề phủ định P : " Hai đường chéo hình thoi khơng vng góc với nhau", mệnh đề sai Q : " số nguyên tố", mệnh đề CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP R : " Tổng hai cạnh tam giác nhỏ cạnh lại", mệnh đề sai S : " £ -3 ", mệnh đề sai K : " phương trình x - 2x + = vô nghiệm ", mệnh đề x - 2x + = ( x - ) + > H :" ( - 12 ) ¹ ", mệnh đề sai Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề P Þ Q phát biểu mệnh đề đảo, xét tính sai a) P : " Tứ giác ABCD hình thoi" Q : " Tứ giác ABCD AC BD cắt trung điểm đường" b) P : " > " Q : " < "   c) P : " Tam giác ABC vuông cân A" Q : " Tam giác ABC có A = 2B " d) P : " Ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam" Q : " Ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ" Lời giải: a) Mệnh đề P Þ Q " Nếu tứ giác ABCD hình thoi AC BD cắt trung điểm đường", mệnh đề Mệnh đề đảo Q Þ P : "Nếu tứ giác ABCD có AC BD cắt trung điểm đường ABCD hình thoi ", mệnh đề sai b) Mệnh đề P Þ Q " Nếu > < ", mệnh đề mệnh đề P sai Mệnh đề đảo Q Þ P : " Nếu < > ", mệnh đề mệnh đề Q sai   c) Mệnh đề P Þ Q " Nếu tam giác ABC vuông cân A A = 2B ", mệnh đề   Mệnh đề đảo Q Þ P : " Nếu tam giác ABC có A = 2B vng cân A", mệnh đề sai d) Mệnh đề P Þ Q " Nếu ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ" Mệnh đề đảo Q Þ P : " Nếu ngày 27 tháng ngày thương binh liệt sĩ ngày tháng ngày Quốc Khánh nước Việt Nam" Hai mệnh đề mệnh đề P,Q Ví dụ 3: Phát biểu mệnh đề P Û Q hai cách và xét tính sai a) P : "Tứ giác ABCD hình thoi" Q : " Tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau" b) P : " Bất phương trình x - 3x > có nghiệm" Q : " ( -1 ) - ( -1 ) > " Lời giải: a) Ta có mệnh đề P Û Q mệnh đề P Þ Q, Q Þ P phát biểu hai cách sau: "Tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau" "Tứ giác ABCD hình thoi nêu tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo vng góc với nhau" b) Ta có mệnh đề P Û Q mệnh đề P, Q đúng(do mệnh đề P Þ Q, Q Þ P đúng) phát biểu hai cách sau: " Bất phương trình x - 3x > có nghiệm ( -1 ) - ( -1 ) > " CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 " Bất phương trình CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP x - 3x > có nghiệm ( -1 ) - ( -1 ) > " Bài tập luyện tập Bài 1.2: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau, cho biết mệnh đề hay sai? P : " Trong tam giác tổng ba góc 1800" Q: " ( 3- 27 ) số nguyên " R : " Việt Nam vô địch Worldcup 2020" S : "- > -2 " K : " Bất phương trình x 2013 > 2030 vơ nghiệm " Bài 1.3: Phát biểu mệnh đề P Þ Q phát biểu mệnh đề đảo, xét tính sai a) P : " Tứ giác ABCD hình chữ nhật" Q : "Tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC BD vng góc với nhau" ( b) P : "- > - " Q : " - ) ( > - ) "  =B  +C  " Q : " Tam giác ABC có BC = AB + AC " c) P : " Tam giác ABC có A d) P : "Tố Hữu nhà Toán học lớn Việt Nam" Q : "Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc Thế giới " Bài 1.4: Phát biểu mệnh đề P Û Q hai cách và xét tính sai a) Cho tứ giác ABDC Xét hai mệnh đề P: " Tứ giác ABCD hình vng" Q: " Tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với " b) P: " Bất phương trình x - 3x + > có nghiệm" Q: " Bất phương trình x - 3x + £ vô nghiệm" Bài 1.5: Cho mệnh đề: A: “Nếu ABC có cạnh a, đường cao h h = B: “Tứ giác có bốn cạnh hình vuông” ; C: “15 số nguyên tố” ; a ”; D: “ 125 số nguyên” a) Hãy cho biết mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai: A Þ B, A Þ D, B Þ C b) Hãy cho biết mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai: A Û B, B Û C, B Û D Bài 1.6: Hãy phát biểu mệnh đề kéo theo P Þ Q, Q Þ P xét tính sai mệnh đề a) Cho tứ giác ABCD hai mệnh đề: P: " Tổng góc đối tứ giác lồi 1800 " Q: " Tứ giác nội tiếp đường tròn " b) P: " - > -1 " Q: " ( 2- ) > ( -1 ) " DẠNG TOÁN 3: MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA KÍ HIỆU ", $ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho mệnh đề chứa biến " P ( x ) : x > x " , xét tính sai mệnh đề sau: a) P ( ) ỉ1ư b) P ỗỗ ữữ ỗố ữứ c) "x ẻ N , P ( x ) Lời giải: d) $x Ỵ N , P ( x ) CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP a) Ta có P ( ) : > 13 mệnh đề sai ổ1ử ổ1ử b) Ta cú P ỗỗ ữữ : > ỗỗ ữữ õy l mnh ỳng ỗố ữứ ỗố ữứ c) Ta cú "x Ỵ N , x > x mệnh đề sai P ( ) mệnh đề sai d) Ta có $x Ỵ N , x > x mệnh đề x - x = x ( - x )( + x ) £ với số tự nhiên Ví dụ 2: Dùng kí hiệu để viết câu sau viết mệnh đề phủ định a) Tích ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho sáu b) Với số thực bình phương số khơng âm c) Có số ngun mà bình phương nó d) Có số hữu tỉ mà nghịch đảo lớn Lời giải: a) Ta có P : "n Ỵ N , n ( n + )( n + ) , mệnh đề phủ định P : $n Ỵ N , n ( n + )( n + ) 6 b) Ta có Q : "x Ỵ , x ³ , mệnh đề phủ định Q : $x Î , x < c) Ta có R : $n Ỵ Z , n = n , mệnh đề phủ định R : "n Ỵ Z , n ¹ n 1 > q , mệnh đề phủ định " q Ỵ Q, £ q q q Ví dụ 3: Xác định tính sai mệnh đề sau tìm phủ định nó: d) $ q Ỵ Q, a) A: " "x Ỵ R, x ³ " b) B: " Tồn số tự nhiên số ngun tố" c) C: " $x Ỵ N , x chia hết cho x + " d) D: " "n Ỵ N , n - n + hợp số " e) E: " Tồn hình thang hình vng " f) F: " Tồn số thực a cho a + + Lời giải: £ 2" a +1 a) Mệnh đề A A : $x Ỵ R, x < b) Mệnh đề B B : "Với số tự nhiêu số nguyên tố" c) Mệnh đề C sai C : " "x Ỵ N , x  ( x + ) " d) Mệnh đề D sai với n = ta có n - n + = 13 hợp số Mệnh đề phủ định D : " $n Ỵ N , n - n + số số nguyên tố" e) Mệnh đề E E : " Với hình thang khơng hình vuông " f) Mệnh đề F mệnh đề phủ định F : " Với số thực a a + + > 2" a +1 Bài tập luyện tập Bài 1.7: Xét mệnh đề chứa biến sau, tìm giá trị biến để mệnh đề đúng, mệnh đề sai a) P ( x ) : " x Ỵ R, x - 2x ³ " b) Q ( n ) : "n chia hết cho 3, với n Ỵ N " CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP c) R ( x ) : " -4x + 4x - £ với x Ỵ  " Bài 1.8: Xét (sai) mệnh đề phủ định mệnh đề sau: ( b) "x Ỵ , x - x + = x + a) "x Ỵ , x - x + > c) $x Ỵ N , n + chia hết cho d) $q Î Q, 2q - = )( 3x + x - 3x + ) e) $n Ỵ N , n ( n + ) số phương Bài 1.9: Xác định tính - sai MĐ sau: a )"x Ỵ R, x > -2 Þ x > c)"x Î R, x > Þ x > b)"x ẻ R, x > ị x > d )"x Ỵ N , x > Û x > e) "m, n Ỵ , m n số lẻ Û m + n số chẵn Bài 1.10: a) Với n Î  , cho mệnh đề chứa biến P (n ) : " n + chia hết cho 4” Xét tính sai mệnh đề P(2007) b) Xét tính sai mệnh đề P(n): “ $n Ỵ *, n(n + 1) chia hết cho 11” Bài 1.11: a) Cho mệnh đề P: "Với số thực x, x số hữu tỉ 2x số hữu tỉ" Dùng kí hiệu viết P, P xác định tính - sai b) Phát biểu MĐ đảo P chứng tỏ MĐ Phát biểu MĐ dang MĐ tương đương Bài 1.12: Cho số tự nhiên n Xét hai mệnh đề chứa biến: A(n): "n số chẵn", B(n): "n2 số chẵn" a) Hãy phát biểu mệnh đề A(n) Þ B(n) Cho biết mệnh đề hay sai ? b) Hãy phát biểu mệnh đề “ "n ẻ , B(n ) ị A(n ) c) Hãy phát biểu mệnh đề “ "n Ỵ , A(n ) Û B(n ) ” Bài 1.13: Xét tính sai mệnh đề sau: a) P :" "x Î R, "y Î R : x + y = 1" b) Q :" $x Ỵ R, $y Ỵ R : x + y = " c) R :" $x Ỵ R, "y Ỵ R : x + y = " d) S :" "x Ỵ R, $y Î R : x + y = " CHỦ ĐỀ 2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí chứng minh định lí · Trong tốn học định lý mệnh đề Nhiều định lý phát biểu dạng "x Ỵ X , P ( x ) Þ Q ( x ) ", P ( x ),Q ( x ) mệnh đề chứa biến · Có hia cách để chứng minh định lí dạng Cách 1: Chứng minh trực tiếp gồm bước sau: - Lấy x Ỵ X mà P ( x ) - Chứng minh Q ( x ) đúng(bằng suy luận kiến thức toán học biết) Cách 2: Chứng minh phản định lí gồm bước sau: - Giả sử tồn x Ỵ X cho P ( x ) Q ( x ) sai - Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn Định lí đảo, điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần đủ · Cho định lí dạng " "x Ỵ X , P ( x ) Þ Q ( x ) " (1) Khi " CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP P ( x ) điều kiện đủ để có Q ( x ) Q ( x ) điều kiện cần để có P ( x ) · Mệnh đề "x Ỵ X , Q ( x ) Þ P ( x ) gọi định lí đảo định lí dạng (1) Lúc (1) gọi định lý thuận gộp lại thành định lí "x Ỵ X , Q ( x ) Û P ( x ) , ta gọi " P ( x ) điều kiện cần đủ để có Q ( x ) " Ngồi cịn nói " P ( x ) Q ( x ) ", " P ( x ) Q ( x ) ", B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh với số tự nhiên n n chia hết cho n chia hết cho Lời giải: Giả sử n khơng chia hết cho n = 3k + n = 3k + , k Ỵ Z Với n = 3k + ta có n = ( 3k + ) = 27k + 27k + 9k + không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Với n = 3k + ta có n = ( 3k + ) = 27k + 54k + 36k + không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Vậy n chia hết cho Ví dụ 2: Cho tam thức f ( x ) = ax + bx + c, a ¹ Chứng minh tồn số thực  cho a.f (  ) £ phương trình f ( x ) = ln có nghiệm Lời giải: ỉ b D Ta có f ( x ) = a ỗỗ x + ữữữ - , D = b - 4ac 2a ứ 4a ốỗ Gi sử phương trình cho vơ nghiệm, nghĩa  < ỉ b  Khi ta cú: af ( x ) = a ỗỗ x + ữữữ - > 0, "x ẻ ỗố 2a ứ 2 Suy không tồn  để af (  ) £ , trái với giả thiết Vậy điều ta giả sử sai, hay phương trình cho ln có nghiệm Ví dụ 3: Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = Chứng minh a + b + c > ba số a, b, c lớn 1 + + có a b c Lời giải: Giả sử ngược lại, ta có trường hợp sau: · TH1: Với ba số lớn ba số nhỏ mâu thuẫn với giả thiết abc = · TH2: Với hai ba số lớn 1, khơng tính tổng qt giả sử a > 1, b > Vì abc = nên c < (a - )(b - )(c - ) < Û abc + a + b + c - ab - bc - ca - < 1 + + (mâu thuẫn) a b c Vậy có ba số a, b, c lớn Û a + b + c < ab + bc + ca Û a + b + c < Ví dụ 4: Chứng minh tam giác có đường trung tuyến vừa phân giác xuất phát từ đỉnh tam giác cân đỉnh Lời giải: Giả sử tam giác ABC có AH vừa đường trung tuyến vừa đường phân giác không cân A A L B H D C CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Khơngmất tính tổng qt xem AC > AB Trên AC lấy D cho AB = AD Gọi L giao điểm BD AH  = LAD  AL chung nên DABL = DADL Khi AB = AD, BAL Do AL = LD hay L trung điểm BD Suy LH đường trung bình tam giác CBD Þ LH / /DC điều mâu thuẫn LH , DC cắt A Vậy tam giác ABC cân A Bài tập luyện tập Bài 1.14: Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = vơ nghiệm a c dấu Bài 1.15: Chứng minh phương pháp phản chứng: Nếu hai số ngun dương có tổng bình phương chia hết cho hai số phải chia hết cho Bài 1.16: Chứng minh rằng: Nếu độ dài cạnh tam giác thỏa mãn bất đẳng thức a + b > 5c c độ dài cạnh nhỏ tam giác Bài 1.17: Cho a, b, c dương nhỏ Chứng minh ba bất đẳng thức sau sai 1 , b (1 - c ) > , c (1 - a ) > 4 Bài 1.18: Nếu a1a2 ³ (b1 + b2 ) hai phương trình a (1 - b ) > x + a1x + b1 = 0, x + a2x + b2 = có nghiệm Bài 1.19: Chứng minh số vơ tỉ ì ï a +b +c > ï ï ï Bài 1.20: Cho số a, b, c thỏa điều kiện: íab + bc + ca > ï ï abc > ï ï ỵ Chứng minh ba số a, b, c dương (1) (2) (3) Bài 1.21: Chứng minh phản chứng định lí sau: “Nếu tam giác ABC có đường phân giác BE, CF nhau, tam giác ABC cân” Bài 1.22: Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh ln tìm đoạn để ghép thành tam giác DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG THUẬT NGỮ ĐIỀU KIỆN CẦN, ĐIỀU KIỆN ĐỦ, ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho định lí: “Cho số tự nhiên n Nếu n5 chia hết cho n chia hết cho 5” Định lí viết dạng P Þ Q a) Hãy xác định mệnh đề P Q b) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần” c) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ” d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) định lí dùng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” phát biểu gộp hai định lí thuận đảo Lời giải: a) P: “n số tự nhiên n5 chia hết cho 5”, Q: “n chia hết cho 5” b) Với n số tự nhiên, n chia hết cho điều kiện cần để n5 chia hết cho ; phát biểu cách khác: Với n số tự nhiên, điều kiện cần để n5 chia hết cho n chia hết cho c) Với n số tự nhiên, n5 chia hết cho điều kiện đủ để n chia hết cho CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP d) Định lí đảo: “Cho số tự nhiên n, n chia hết cho n5 chia hết cho 5” Thật vậy, n = 5k n5 = 55 k5: Số chia hết cho Điều kiện cần đủ để n chia hết cho n5 chia hết cho Ví dụ 2: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ "Điều kiện cần", "Điều kiện đủ" a) Nếu hai tam giác chúng có diện tích b) Nếu số nguyên dương chia hết cho chia hết cho c) Nếu hình thang có hai đường chéo hình thang cân d) Nếu tam giác ABC vng A AH đường cao AB = BC BH Lời giải: a) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có diện tích Hai tam giác có diện tích điều kiện cần để chúng b) Số nguyên dương chia hết cho điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho c) Hình thang có hai đường chéo điều kiện đủ để hình thang cân Hình thang cân điều kiện cần để có hai đường chéo d) Tam giác ABC vuông A AH đường cao điều kiện đủ để AB = BC BH Tam giác ABC có AB = BC BH điều kiện cần để vng A AH đường cao Ví dụ 3: Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu định lí sau a) Tam giác ABC vuông AB + AC = BC b) Tứ giác hình chữ nhật có ba góc vng c) Tứ giác nội tiếp đường trịn có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho có chữ số tận số chẵn Lời giải: a) Tam giác ABC vuông điều kiện cần đủ để AB + AC = BC b) Tứ giác hình chữ nhật điều kiện cần đủ để có ba góc vng c) Tứ giác nội tiếp đường tròn điều kiện cần đủ để có hai góc đối bù d) Một số chia hết cho điều kiện cần đủ để có chữ số tận số chẵn Bài tập luyện tập Bài 1.23: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm " Điều kiện cần", " Điều kiện đủ " a) Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ hai đường thẳng song song với b) Nếu số nguyên dương có chữ tận chia hết cho c) Nếu tứ giác hình thoi đường chéo vng góc với d) Nếu tam giác chúng có góc tương ứng e) Nếu số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho Bài 1.24 Dùng thuật ngữ điều kiện cần đủ để phát biểu định lí sau a) Một tam giác tam giác cân, có hai góc b) Tứ giác hình bình hành tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) x ³ y Û x ³ y   d) Tứ giác MNPQ hình bình hành MN = QP Bài 1.25: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau: a) “Nếu tứ giác hình vng có bốn cạnh nhau” Có định lí đảo định lí khơng, sao? b) “Nếu tứ giác hình thoi có hai đường chéo vng góc” Có định lí đảo định lí khơng, sao? Bài 1.26: Dùng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lí sau: 10 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Vậy chữ số Cách viết dạng chuẩn 1, Ví dụ 2: Viết số gần sau dạng chuẩn a) a = 467346 ± 12 b) b = 2, 4653245 ± 0, 006 Lời giải: a) Ta có 10 100 = < 12 < = 50 nên chữ số hàng trăm trở chữ số chữ số số gần 2 viết dạng chuẩn 4673.102 0, 01 0,1 = 0, 005 < 0, 006 < = 0, 05 nên chữ số hàng phần chục trở chữ số chữ số 2 số gần viết dạng chuẩn 2, b) Ta có Ví dụ 3: Các nhà khoa học Mỹ nghiên cứu liệu máy bay có tốc độ gấp bảy lần tốc độ ánh sáng Với máy bay năm(giả sử năm có 365 ngày) bay bao nhiêu? Biết vận tốc ánh sáng 300 nghìn km/s Viết kết dạng kí hiệu khoa học Lời giải: Ta có năm có 365 ngày, ngày có 24 giờ, có 60 phút phút có 60 giây Vậy năm có 24.365.60.60 = 31536000 giây Vì vận tốc ánh sáng 300 nghìn km/s nên vịng năm 31536000.300 = 9, 4608.109 km Bài tập luyện tập Bài 1.58: Một hình lập phương tích V = 180, 57cm ± 0, 05cm Xác định chữ số chắn V Bài 1.59: Số dân tỉnh A = 1034258 ± 300 (người) Hãy tìm chữ số viết A dạng chuẩn Bài 1.60: Người ta đo chu vi khu vườn P = 213, 7m ± 1,2m Hãy đánh giá sai số tương đối phép đo viết kết tìm dạng khoa học Bài 1.61: Khi xây hồ cá hình trịn người ta đo đường kính hồ 8,52m với độ xác đến 1cm Hãy đánh giá sai số tương đối phép đo viết kết tìm dạng khoa học Bài 1.62: Đo chiều dài dốc, ta số đo a = 192, 55 m , với sai số tương đối không vượt 0,3% Hãy tìm chữ số d nêu cách viết chuẩn giá trị gần a Bài 1.63: Cho 3,141592 < p < 3,141593 Hãy viết giá trị gần số p dạng chuẩn đánh giá sai số tuyệt đối giá trị gần trường hợp sau: a) Giá trị gần p có chữ số ; b) Giá trị gần p có chữ số ; c) Giá trị gần p có chữ số CHỦ ĐỀ 5: ƠN TẬP Bài 1.64: Cho Oxy , lập mệnh đề kéo theo mệnh đề tương đương hai mệnh đề sau cho biết tính đúng, sai chúng: P: “Điểm M nằm phân giác góc Oxy ” Q: “Điểm M cách hai cạnh Ox, Oy” Bài 1.65: Cho định lí: "Cho số tự nhiên n Nếu n5 chia hết cho n chia hết cho 5" Định lí viết dạng P Þ Q a) Hãy xác định mệnh đề P Q b) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện cần” c) Phát biểu định lí cách dùng thuật ngữ “điều kiện đủ” 25 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP d) Hãy phát biểu định lí đảo (nếu có) định lí dùng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” phát biểu gộp hai định lí thuận đảo Bài 1.66: Cho tập X = { ; ; ; ; ; ; } a) Hãy tìm tất tập X có chứa phần tử 1, 3, 5, b) Có tập X chứa phần tử ? Bài 1.67: Xét tính sai mệnh đề sau nêu mệnh đề phủ định b) $x Ỵ , x = ; a) $x Ỵ Q : 4x - 1= ; c) "n Ỵ N * : 2n + số nguyên tố ; d) "x Ỵ , x + 4x + > e) "x Ỵ , x - x + 2x + ³ Bài 1.68: Xét định lí: “Nếu x số thực âm x + £ -2 ” x a) Viết định lí dạng kí hiệu b) Định lí có định lí đảo khơng ? Giải thích c) Sử dụng thuật ngữ "điều kiện cần" "điều kiện đủ" để phát biểu định lí Bài 1.69: Chứng minh phản chứng định lí sau: a) Chứng minh với n  N, ta có: n: lẻ  3n + 1: chẵn b) Cho x, y Ỵ  Nếu x + y – 2x + 4y + > x ¹ y ¹ -2 c) Nếu x  – y  – x + y + xy  – Bài 1.70: Cho tập hợp: A = {x Ỵ  | -1 £ x < 6}, B = {x Ỵ  | (1 - 3x )(x - 3x + 2) = 0}, C = {0;1;2;3;4;5;6} a) Viết tập hợp A, B dạng liệt kê phần tử, tập C dạng rõ tính đặc trưng phần tử b) Tìm A Ç B, A È B, A \ B, C B ÈAA Ç B c) Chứng minh A Ç (B È C ) = A Bài 1.71: Tìm quan hệ bao hàm hay tập hợp sau đây: a) A = {x Ỵ  x < }; b) A = { x Ỵ  4.x - = } ; c) A = { x Ỵ  < x < } ; B = { x Ỵ  (x - x ) (x - 2) = } B = { x Ỵ  x + 4x = } B = {x Ỵ  x - = } Bài 1.72: Cho A = { ; ; ; } , B = { ; ; } a) Hãy xác định tất tập khác rỗng X , Y A biết X È Y = A (A Ç B ) Ì X ; b) Hãy xác định tất tập P biết (A Ç B ) Ì P Ì (A È B ) Bài 1.73: Cho ba tập hợp: A = { x Ỵ  - £ x < 1} ; B = { x Ỵ  - £ x £ } ; C = { x Ỵ  x ³ } a) Xác định tập hợp sau viết kết dạng khoảng, đoạn hay nửa khoảng: A  B, A  B, (B \ A)  C b) Chứng minh rằng: C  ( A È B ) = (C A ) Ç (C B ) Bài 1.74: a) Cho tập G = [-2; +¥), H = {x Ỵ  | | x |£ 3}, K = (-1; 1) Tìm: K Ç , H \ K , (C G ) È éëC  (H È K ) ùû b) Tìm số a, b, c, d thuộc  cho x Ỵ [a; b ] Û c £ x £ Û| x - d |£ Bài 1.75: Viết số gần số 2011, 2012 xác đến hàng phần trăm 26 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Bài 1.76: Cho hai tập hợp A, B Chứng minh rằng: A È B = A Ç B Û A = B HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1.0: Câu mệnh đề a), b) Câu d),f) mệnh đề Câu e) sai Câu g) Bài 1.1: Ta xét dự đốn bạn Dung + Nếu Singgapor nhì Singapor sai Inđơnêxia nhì đúng(mâu thuẫn) + Như Thái lan thứ ba suy Việt Nam nhì Singapor Inđơnêxia thứ tư Bài 1.2: Ta có mệnh đề phủ định P : " Trong tam giác tổng ba góc khơng 1800", mệnh đề sai Q: " ( 3- 27 ) số nguyên ", mệnh đề sai R : " Việt Nam không vô địch Worldcup 2020", mệnh đề chưa xác định hay sai S : "- £ -2 ", mệnh đề K : " Bất phương trình x 2013 > 2030 có nghiệm ", mệnh đề Bài 1.3 a) P Þ Q : " Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật tứ giác ABCD có hai đường thẳng AC BD vng góc với nhau", mệnh đề Q Þ P : " Nếu tứ giác ABCD hai đường thẳng AC BD vng góc với tứ giác ABCD có hình chữ nhật ", mệnh đề sai ( b) P Þ Q : " Nếu - > - - ( P Þ Q : " Nếu - ) ( > - ) ) ( ) > - ", mệnh đề - > - ", mệnh đề sai  =B  +C  tam giác ABC có BC = AB + AC " c) P Þ Q : " Nếu tam giác ABC có A  =B  +C " Q Þ P : "Nếu tam giác ABC có BC = AB + AC A Cả hai mệnh đề d) P Þ Q : " Nếu Tố Hữu nhà Toán học lớn Việt Nam Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc Thế giới ", Q Þ P : " Nếu Évariste Galois nhà Thơ lỗi lạc Thế giới Tố Hữu nhà Tốn học lớn Việt Nam " Hai mệnh đề Bài 1.4: a) Ta có mệnh đề P Û Q mệnh đề P Þ Q, Q Þ P phát biểu hai cách sau: "Tứ giác ABCD hình vng tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với " "Tứ giác ABCD hình vng tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với " b) Ta có mệnh đề P Û Q sai mệnh đề P cịn Q sai Phát biểu mệnh đề P Û Q hai cách " Bất phương trình x - 3x + > có nghiệm bất phương trình x - 3x + £ vơ nghiệm" " Bất phương trình x - 3x + > có nghiệm bất phương trình x - 3x + £ vơ nghiệm" Bài 1.5:Ta có A D mệnh đề đúng, B C mệnh đề sai Do đó: a) Mệnh đề A Þ B sai A B sai Mệnh đề A Þ D A D Mệnh đề B Þ C B sai 27 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP b) Mệnh đề A Û B sai mệnh đề A Þ B sai (Hoặc A B sai) Mệnh đề B Û C hai mệnh đề B C sai Mệnh đề A Û D hai mệnh đề A D Bài 1.6: a) P Þ Q : " Nếu tổng góc đối tứ giác lồi 1800 tứ giác nội tiếp đường trịn " Q Þ P : "Nếu Tứ giác khơng nội tiếp đường trịn tổng góc đối tứ giác 1800" Mệnh đề P Þ Q đúng, mệnh đề Q Þ P sai b) P Þ Q : " Nếu Q Þ P : " Nếu ( - > -1 2- ) ( 2- £ ( -1 ) ) > ( -1 ) " 2 - > -1 " Mệnh đề P Þ Q sai P đúng, Q sai, mệnh đề Q Þ P P Q Bài 1.7: a) x = ta có P ( ) : " 32 - 2.3 ³ " mệnh đề b) n = , c) x = Bài 1.8: a) Mệnh đề "x Ỵ , x - x + > sai chẳng hạn x = -1 ta có ( -1 ) - ( -1 ) + = -1 < Mệnh đề phủ định $x Ỵ , x - x + £ ( )( ) = ( x + 3x + )( x - 3x + ) - x + ¹ ( x + 3x + )( x - b) Mệnh đề "x Ỵ , x - x + = x + 2x + x - 2x + x - x + = ( x + ) - 3x 2 Mệnh đề phủ định $x Ỵ , x 2 2 ) 3x + c) Mệnh đề $x Ỵ N , n + chia hết cho n = Ỵ N n + =  Mệnh đề phủ định " "x Ỵ N , n + khơng chia hết cho 4" d) Mện đề $q Ỵ Q, 2q - = sai Mệnh đề phủ định l "q ẻ Q, 2q - e) Mệnh đề " $n Ỵ N , n ( n + ) số phương" Mệnh đề phủ định " "n Ỵ N , n ( n + ) số phương" Bài 1.9: a) Sai ; b) Đúng ; c)Sai ; d) Đúng, e) sai Bài 1.10: a) Ta có: Với n = 2007 n2 + = 20072 + số lẻ nên không chia hết cho Vậy P(2007) mệnh đề sai b) Xét biểu thức n(n + 1) , với n Ỵ * ta có: n(n + 1) = 55 : chia hết cho 11.Vậy mệnh đề cho mệnh đề Bài 1.11: a) Mệnh đề P " "x ẻ R, x ẻ Q ị 2x ẻ Q " MĐ Với n = 10 P : " $x ẻ R, x ẻ Q ị 2x Ï Q " MĐ sai b) MĐ đảo P " Với số thực x, x Î Q 2x Î Q" Hay " "x Ỵ R, x Ỵ Q Û 2x Ỵ Q " Bài 1.12: a) A(n) Þ B(n): “Nếu n số chẵn n2 số chẵn” Đây mệnh đề đúng, n = 2k (k ẻ ) ị n2 = 4k2 l s chn b) "n ẻ , B(n ) ị A(n ) ”: Với số tự nhiên n, n2 số chẵn n số chẵn c) “ "n Ỵ , A(n ) Û B(n ) ”: Với số tự nhiên n, n số chẵn n2 số chẵn 28 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Bài 1.13: a) Mệnh đề P sai chẳng hạn x = Î , y = Î  x + y ¹ b) Mệnh đề Q x = y = Þ x + y = c) Vì x + y = nên với y Ỵ  ln tồn x = - y mệnh đề R d) Mệnh đề S Bài 1.14: Giả sử phương trình vơ nghiệm a,c trái dấu Với điều kiện a,c trái dấu có a c Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt, điều mâu thuẫn với giả thiết phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình vơ nghiệm a,c phải dấu Bài 1.15: Giả sử hai số nguyên dương a b có số khơng chia hết cho 3, chẳng hạn a không chia hết cho Thế a có dạng: a = 3k+1 a = 3k+2 Lúc a2 =3m+1, nen b chia hết cho b khơng chia hết cho a2 + b2 có dạng: 3n+1 3n+2, tức a2 + b2 không chia hết cho 3, trái giả thiết Vậy a2 + b2 chia hết cho a b a2 + b2 chia hết cho Bài 1.16: Giả sử c cạnh nhỏ tam giác Không tínhư tổng qt, giả sử a £ c Þ a £ c (1) Theo bất đẳng thức tam giác, ta có b < a + c Þ b < (a + c ) (2) Do a £ c Þ (a + c ) £ 4c (3) Từ (2) (3) suy b £ 4c (4) Cộng vế với vế (1) (4) ta có a + b £ 5c mâu thuẫn với giả thiết Vậy c cạnh nhỏ tam giác Bài 1.17 Giả sử ba bất đẳng thức đúng, Khi đó, nhân theo vế bất đẳng thức ta được: æ1ö a ( – b ) b ( - c ) c ( – a ) > ỗỗ ữữữ hay a ( a ) b ( - b ) c ( – c ) > (*) 64 ốỗ ứ æ 1ö Mặt khác a ( – a ) = -a + a = - ỗỗa - ữữ Ê ỗố ữứ 2 Do < a < Þ < a ( – a ) £ 1 Tương tự < b ( – b ) £ , < c ( – c ) £ 4 Nhân theo vế ta a ( – a ) b ( - b ) c ( – c ) £ (**) 64 Bất đẳng thức (**) mâu thuẫn (*), Vậy có bất đẳng thức cho sai (đpcm) Bài 1.18: Giả sử hai phương trình vơ nghiệm Khi D1 = a12 – 4b1 < 0, D1 = a22 – 4b2 < Þ a12 – 4b1 + a22 – 4b2 < Û a12 + a22 < (b1 + b2 ) Mà (a1 – a2 ) ³ Û a12 + a22 ³ 2a1a2 (2) (1) Từ (1) (2) suy 2a1a2 < (b1 + b2 ) hay a1a2 < (b1 + b2 ) trái giả thiết Vậy phải có hai số 1, 2 lớn đo phương trình x + a1x + b1 = 0, x + a2x + b2 = có nghiệm Bài 1.19: Dễ dàng chứng minh n số chẵn n số chẵn 29 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Giả sử Từ số hữu tỉ, tức 2= 2= CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP m , m, n  *, ( m, n ) = n m Þ m = 2n Þ m số chẵn n  m số chẵn  m = 2k, k Ỵ N * Từ m = 2n Þ 4k = 2n Þ n = 2k Þ n số chẵn  n số chẵn Do m chẵn, n chẵn, mâu thuẫn với ( m, n ) = Vậy số vô tỉ Bài 1.20: Giả sử ba số a, b, c khơng đồng thời số dương Vậy có số khơng dương Do a, b, c có vai trị bình đẳng nên ta giả sử: a £ + Nếu a = mâu thuẫn với (3) + Nếu a < từ (3)  bc < Ta có (2)  a(b + c) > -bc  a(b + c) >  b + c <  a + b + c < mâu thuẫn (1) Vậy ba số a, b, c dương  >C  ta dựng hình bình Bài 1.21: • Nếu B hành BEDF hình vẽ Ta có:  > C Þ D  > C (1)  >C  ÞB B 2 Ngoài ra, BE = CF Þ DF = CE     Þ D1 + D2 = C + C (2) A D F E 2 B C Từ (1) (2) suy  < C D Þ EC < FB Þ EC < ED Xét tam giác BCE CBF, ta thấy:    >B  Mâu thuẫn BC chung, BE = CF, BF > CE nên C > B1 Þ C  >B  , chứng minh hồn tồn tương tự • Trường hợp C   Do B = C Vậy tam giác ABC cân A Bài 1.22: Trước hết xếp đoạn cho theo thứ tự tăng dần độ dài a1, a2 , , a chứng minh dãy xếp tìm đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu lớn đoạn cuối (vì điều kiện để đoạn ghép thành tam giác tổng đoạn lớn đoạn thứ ba) Giả sử điều cần chứng minh không xảy ra, nghĩa đồng thời xảy bất đẳng thức sau: a1 + a2 £ a ; a2 + a £ a ; ; a + a £ a Từ giả thiết a1, a2 có giá trị lớn 10, ta nhận a > 20 Từ a2 > 10 a > 20 ta nhận a > 30, a > 50, a > 80 a > 130 Điều a > 130 mâu thuẩn với giả thiết độ dài nhỏ 100 Có mâu thuẩn giả sử điểu cần chứng minh không xảy Vậy, tồn đoạn liên tiếp cho tổng đoạn đầu lớn đoạn cuối Hay nói cách khác đoạn ghép thành tam giác Bài 1.23: a) Trong mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ điều kiện đủ để hai đường thẳng song song với Trong mặt phẳng, hai đường thẳng song song với điều kiện cần để hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ 30 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP b) Số nguyên dương có chữ số tận điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương chia hết cho điều kiện cần để có chữ số tận c) Tứ giác hình thoi điều kiện đủ để có đường chéo vng góc với Tứ giác có hai đường chéo vng góc với điều kiện cần để hình thoi d) Hai tam giác điều kiện đủ để chúng có góc tương ứng Hai tam giác có góc tương ứng điều kiện cần để chúng e) Số nguyên dương a chia hết cho 24 điều kiện đủ để chia hết cho Số nguyên dương a chia hết cho điều kiện cần để chia hết cho 24 Bài 1.24: a) Một tam giác tam giác cân điều kiện cần đủ để có hai góc b) Tứ giác hình bình hành điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo cắt trung điểm đường c) x ³ y điều kiện cần đủ để x ³ y   d) Điều kiện cần đủ để tứ giác MNPQ hình bình hành MN = QP Bài 1.25:a) Một tứ giác hình vng điều kiện đủ để có cạnh Một tứ giác có cạnh điều kiện cần để hình vng Khơng có định lí đảo tứ giác có cạnh hình thoi b) Một tứ giác hình thoi điều kiện đủ để có hai đường chéo vng góc Một tứ giác có hai đường chéo vng góc điều kiện cần để hình thoi Khơng có định lí đảo tứ giác có hai đường chéo vng góc hình vng hoăc đa giác có hai đường chéo vng góc Bài 1.26: a) M thuộc đường trịn đường kính AB điều kiện cần để MA vng góc MB Hoặc phát biểu: Điều kiện cần để MA ^ MB M thuộc đường tròn đường kính AB b) a + b > điều kiện cần để a ≠ b ≠ Bài 1.27: Ta có tập hợp A, B,C viết dạng nêu tính chất đặc trưng A = { x Ỵ N | x £ } , B = {x Ỵ N | x số lẻ nhỏ 10}, C = {n | n số tự nhiên nhỏ 6} Bài 1.28: a) A Ì B, A Ì C, D ÌC b) {1;2}, {1;2;3}, {1;2;4}, {1;2;5}, {1;2;3;4}, {1;2;3;5}, {1;2;4;5}, {1;2;3;4;5} Bài 1.29: a) Ta có Mặt khác 14 x +6 x ³ suy < Î Z nên 64 x = 9 ìï 64 üï Vậy A = ïí ; ïý ùợù 9 ùỵù 14 x +6 14 x +6 = £ 14 14 x +6 =2 Hay x = ïì ïü ïì 64 ïü ïì 64 ïü b) Tất tập tập hợp A Ỉ, ïí ïý , ïí ïý , ïí ; ïý ïỵï ùỵù ùợù ùỵù ùợù 9 ùỵù Bi 1.30:: Ta có A = { -2; -1;1;2 } B = { 0;1;2; 3; } a) Ta có A \ B = { 0; 3; } Suy X Ì A \ B tập hợp X Ỉ, { } , { } , { } , { 0; } , { 0; } , { 3; } , { 0; 3; } b) Ta có A \ B = { -2; -1} với X có hai phần tử X = { -2; -1} 31 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Bài 1.31: a) Ta có A = { x Ỵ  ( x + )( x - )( x - )( x - ) = } B = {1; 2; 4; 8; 16 } b) Ta có A Ç B = {1; 8}, A È B = { - 1; 1; 2; 4; 5; 8; 16}, A \ B = { - 1; 5} Bài 1.32: a) Ta có E = {1;2; 3; 4;5;6 } A = { 3;6 } B = { 2; 3;5 } Suy A Ì E B Ì E b) Ta có C E A = E \ A = {1;2; 4;5 } ; C E B = E \ B = {1; 4;6 } A È B = { 2; 3;5; } Þ C E (A È B ) = E \ ( A È B ) = {1; } c) Ta có A Ç B = { } ị C E (A ầ B ) = E \ ( A Ç B ) = {1;2; 4; 5;6 } E \ A = {1;2; 4;5 } ; E \ B = {1; 4;6 } Þ ( E \ A ) È ( E \ B ) = {1;2; 4;5;6 } Suy E \ (A Ç B ) = ( E \ A ) È ( E \ B ) Bài 1.33: Ký hiệu A tập hợp học sinh giỏi Anh, T tập hợp học sinh giỏi toán, V tập hợp học sinh giỏi Văn Theo giả thiết ta có: n (V ) = 8, n ( A ) = 10 , n (T ) = 12, n(V Ç T ) = 3, n(T Ç A) = 4, n(V Ç A) = 5, n(A Ç B Ç C ) = n(V È A È T ) = n (V ) + n ( A ) + n (T ) - n(V Ç A) - n(A Ç T ) - n(T Ç V ) + n (V Ç A Ç T ) + 10 + 12 - - - + = 20 Vậy nhóm có 20 em Bài 1.34: Ký hiệu A tập hợp học sinh giỏi Anh, T tập hợp học sinh giỏi toán, V tập hợp học sinh giỏi Văn Theo giả thiết ta có: n (V ) = 22, n (T ) = 25 , n ( A ) = 20, n(V Ç T ) = 8, n(T Ç A) = 7, n(V Ç A) = 6, n(A È B È C ) = 40 n(V È A È T ) = n (V ) + n ( A ) + n (T ) - n(V Ç A) - n(A Ç T ) - n(T Ç V ) + n (V ầ A ầ T ) ị n (V ầ A Ç T ) = n(V È A È T ) - n (V ) - n ( A ) - n (T ) + n(V Ç A) + n(A Ç T ) + n(T Ç V ) 40 - 22 - 25 - 20 + + + = 14 Vậy có 14 em học giỏi ba môn Bài 1.35: Gọi A, B, C tập hợp học sinh xuất sắc mơn Tốn, mơn Vật Lý, mơn Văn Gọi a, b, c số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn mơn Tốn, mơn Vật Lý, môn Văn Gọi x, y, z số học sinh đạt danh hiệu xuất sắc hai môn mơn Tốn mơn Vật Lý, mơn Vật Lý mơn Văn, mơn Văn mơn Tốn Dùng biểu đồ Ven đưa hệ phương trình ẩn sau: B(37) ìïa + x + z + = 48 ìïa = 28 ïï ïï ïïb + x + y + = 37 ïïb = 18 b ïï ïï x ïïc + y + z + = 42 ïc = 19 y Û ïí A(48) í ïïa + b + x + y + z = 71 ïï x = a ïï ïï ïïa + c + x + y + z = 72 ïï y = C(42) z ïïb + c + x + y + z = 62 ïï z = 10 ïỵ ïỵ c ĐS: a) 65 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn b) 25 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn c) 94 thí sinh đạt danh hiệu xuất sắc mơn 32 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP éx Î A éx 4 Û êê Û x 12 Û x Ỵ C Bài 1.36 · "x Ỵ A È B Û êê x ỴB x 6 ëê ëê Suy A È B = C A Ì C B Ì C · Ta có x = ị x ẻ A nhng 46 Þ x = Ï B A Ë B Bài 1.37: a) · Ta có "x Ỵ A Þ $k Ỵ Z : x = - p + k 2p suy p 11p + 2p + ( k - ) 2p = + ( k - ) 2p 6 Vỡ k ẻ Z ị k - Ỵ Z x Ỵ B suy A Ì B (1) x =- · "x Ỵ B Þ $k Ỵ Z : x = 11p + k 2p suy 11p p - 2p + ( k + ) 2p = - + ( k + ) 2p 6 Vỡ k ẻ Z ị k + Ỵ Z x Ỵ A suy B Ì A (2) x = Từ (1) (2) suy A = B b) Ta có "x Î A Þ $k Î Z : x = - p + k 2p suy p p p p ( 4k - ) p + - + k 2p = + 2 Vỡ k ẻ Z ị 4k - Ỵ Z x Ỵ C x =- Suy A Ì C éx Î A Bài 1.38: a) Ta có "x , x Î A È C Û êê êë x Î C Vi x ẻ A vỡ A è B ị x Î B Þ x Î B È D Suy A È C Ì B È D ìï x Ỵ A Þx ỴA b) Ta có "x , x Ỵ A Ç C Û ï í ïï x Ỵ C ợ Vỡ A è B ị x ẻ B Suy A Ç C Ì B éìï x Î B ê ïí é x Î C BA Û ờờ ùùợ x ẽ A x ẻ B c) "x , x Ỵ C B A È A Û êê x ỴA ê x ỴA ëê êë Suy C B A È A = B éx Bài 1.39: a) Ta có "x , x Ỵ ( A \ B ) È ( B \ A ) Û êê êë x ìï é x ïï ê ïï ê x Û ïí êë ïï é x ïï êê ïïỵ êë x ỴA ỴB ïì x Ỵ A È B Û ïí Û (A È B ) \ (A Ç B ) ùù x ẽ A ầ B ẽA ợ ẽB éìï x ê ïí ê ïx Ỵ A\B Û êê ỵï ì Ỵ B \A ê ïï x ê íï x ởờ ợù 33 ẻA ẽB ÎB ÏA CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Suy ( A \ B ) È ( B \ A ) = ( A È B ) \ ( A Ç B ) ìï x Ỵ A ïï ìï x Î A Û ïí éê x Ï B b) "x , x ẻ A \ ( B ầ C ) ùớ ùù x ẽ B ầ C ùù ợ ùùợ ờởờ x ẽ C ộỡù x ẻ A ïí ê ïx Ï B éx Ỵ A \ B ờờ ùợ ờờ x ẻ (A \ B ) È (A \ C ) ì êx Ỵ A \C ê ïï x Ỵ A ë ê íï x ẽ C ờởợù ùỡù x ẻ A ỡù x Î A ï Û ïí x Ï B c) "x , x Ỵ A \ ( B È C ) Û ï í ïï x Ï B È C ïï ỵ ïïỵ x Ï C ìì x Ỵ A ïï ïï ïí ïï ï x Ï B ìï x Ỵ A \ B Û ïí ỵï Û ïí Û x Î (A \ B ) Ç (A \ C ) ïï ïìï x Ỵ A ïï x Ỵ A \ C ỵ ïï í ïïỵ ïỵï x Ï C Bài 1.40: a) Có A = éë -1; ùû B = éë 1; +¥ ) A È B = éë -1; +¥ ) , A \ C = éë 1; ùû , A Ç B Ç C = f b) Có A = éë -2;2 ùû B = éë 3; +¥ ) A È B = éë -2;2 ùû È éë 3; +¥ ) , A \ C = éë 0;2 ùû , A Ç B Ç C = f Bài 1.41: a) Ta có: A = [-1; 2) = {x -1 £ x < 2}, B = (-3; 1) = {x -3 < x < 1} C = (1; 4] = {x < x £ 4} b) Ta có A Ç B = [ - 1;1), B È C = (-3; 4) \ {1}, A \ B = [1; 2) Bài 1.42: A = éë 0; ), B = éë -2;2 ùû , A È B = éë -2; ) , A Ç B = éë 0;2 ùû , A \ B = ( 2; ) Bài 1.43: a) A Ç B = éë -1; ) È ( 1;5 ) A È C = éë -1; +¥ ) B \ C = ( -2; ) È ( 1;2 ) -3 Bài 1.44: a) Để ( 1; m ùû Ç ( 2; + Ơ ) ặ thỡ m > ìï x £ ïï b) Viết tập A gồm phần tử x thỏa mãn điều kiện ïí x + ³ dạng tập số ïï ïïỵ x < ìï x £ ïìï x Ê ùỡù x ẻ (-Ơ; 3] ùù ù ï Có ïí x + ³ Û ïí x ³ -1 Û ïí x Ỵ [ - 1; + ¥) (biểu diễn trục số) ïï ïï ïï ïïỵ x < ïỵï x < ïỵï x ẻ (-Ơ; 0) x ẻ (-Ơ; 3] ầ [ - 1; + Ơ) ầ (-Ơ; 0) x ẻ [ - 1; 0) b) A È B = R Û 2m + < -2 Û m < Vậy A = éë -1; ) 34 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP é m - n < -2 Bài 1.45: êê êë m - n > Bài 1.46: Điều kiện để tồn tập hợp A m - < m +1 Û m < (*) ém + é A Ì ( -¥; -2 ) é m < -5 ê < -2 Û ê Û êê a) A Ì B Û êê A Ì éë 2; +¥ ) m³3 ê m -1 ³ ëê ëê êë Kết hợp với điều kiện (*) ta có m < -5 giá trị cần tìm ïìï -2 £ m - ìï m ³ -1 Û ïí Û -1 £ m < b) A ầ B = ặ ïí m + ïï ïï m < -2 ïï m > -2 ỵ ỵ Với điều kiện (*), ta có: a) A Ç B ¹ Ỉ Û m – < 2m + Û m > -3 So sánh với (*) ta thấy giá trị m thỏa mãn yêu cầu A ầ B ặ l < m < ïì m - ³ -2 ïì m ³ -1 Û ïí Û m > So sánh (*) ta thấy giá trị m thỏa mãn yêu cầu b) A Ì B Û ï í ïï 2m + > ïï m > ỵ ỵ A Ì B < m < ìï m - £ -2 ìï m £ -1 ïí Û Û m £ -1 So sánh với (*) ta thấy giá trị m thỏa mãn yêu c) B Ì A Û ï í ïï 2m + £ ïï m £ ỵ ỵ cầu B Ì A -2 < m £ -1 ìï m - ³ -1 Û £ m £ (thỏa (*)) d) (A Ç B ) Ì (-1; 3) Û ï í ïï 2m + £ î Bài 1.48: Kq: 79720000 Bài 1.49: Kq: 1373 Bài 1.50: Kq: 347 Bài 1.51: Kq: 3,141592654 Bài 1.52 a) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có = 1, 732050808 Do đó: Giá trị gần đến hàng phần trăm 1,73 Giá trị gần xác xác đến hàng phần nghìn 1,732 b) Sử dụng máy tính bỏ túi ta có giá trị p 9,8696044 Do đó: Giá trị gần p xác đến hàng phần trăm 9,87 Giá trị gần p xác đến hàng phần nghìn 9,870 Bài 1.53 a) Vì 10 < 16 < 100 nên hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng hàng trăm Nên ta phải quy tròn số 17638 đến hàng trăm Vậy số quy tròn 17700 (hay viết a » 17700 ) b) Ta có 0,01 < 0,056 < 0,1 nên hàng cao mà d nhỏ đơn vị hàng hàng phần chục Do phải quy tròn số 15,318 đến hàng phần chục Vậy số quy tròn 15,3 (hay viết a » 15, ) Bài 1.55: Ta có sai số tuyệt đối là: Da = - 0, 28 = 175 ; Db = - 0, 29 = 700 ; Dc = 35 - 0, 286 = 3500 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Vì c < b < a nên c = 0,286 số gần tốt Bài 1.56: Giả sử x = 43 + u, y = 63 + v Ta có P = 2x + 2y = ( 43 + 63 ) + 2u + 2v = 212 + ( u + v ) Theo giả thiết -0, £ u £ 0, -0, £ v £ 0, nên -2 £ ( u + v ) £ Do P = 212m ± 2m Bài 1.57: Giả sử a = 12 + d1, b = 10,2 + d2 , c = + d3 Ta có P = a + b + c + d1 + d2 + d3 = 30,2 + d1 + d2 + d3 theo giả thiết: -0,2 £ d1 £ 0,2; - 0,2 £ d2 £ 0,2; - 0,1 £ d3 £ 0,1 Suy –0, £ d1 + d2 + d3 £ 0, Do đó: P = 30,2 cm ± 0, cm Sai số tuyệt đối: DP £ 0, Sai số tương đối: dP £ Bài 1.58: Kq: d » 1, 66% P 0, 01 0,1 £ 0, 05 £ Þ 1, 8, 0, chữ số chắn 2 100 1000 = 50 < 300 < 500 = nên chữ số (hàng đơn vị), (hàng chục) 2 (hàng trăm) chữ số khơng Các chữ số cịn lại 1, 0, 3, chữ số Bài 1.59: Ta có: Do cách viết chuẩn số A A » 1034.103 (người) ìïa = 213, d 1,2 Bài 1.60: R = 213, 7m ± 1,2m Þ ïí nên d £ = = 5, 62.10-3 ïïd = 1,2 a 213, ỵ ïìa = 852cm d = 1,174.10-3 Bài 1.61: R = 8, 52m ± 0, 01m Þ ï nên d £ = í ïïd = 1cm a 852 ỵ Bài 1.62: Ta có sai số tuyệt đối số đo chiều dài dốc là: Da = a.da £ 192, 55.0,2% = 0, 3851 Vì 0, 05 < Da < 0, Do chữ số d 1, 9, Vậy cách viết chuẩn a 193 m (quy tròn đến hàng đơn vị) Bài 1.63: a) Vì có chữ số nên số gần p viết dạng chuẩn 3,1416 (hay p » 3,1416 ) Sai số tuyệt đối số gần Dp = 3,1416 - p £ 0, 000008 b) Vì có chữ số nên p » 3,14159 sai số tuyệt đối số gần Dp = 3,14159 - p £ 0, 000003 c) Vì có chữ số nên p » 3,14 Dp 3,14 - p £ 0, 001593 Bài 1.64: P  Q: “Nếu điểm M nằm phân giác góc Oxy M cách hai cạnh Ox, Oy ”: Q  P: “Nếu điểm M cách hai cạnh Ox, Oy M nằm phân giác góc Oxy ”: P  Q: “Điểm M nằm phân giác góc Oxy (khi khi) điểm M cách hai cạnh Ox, Oy”: Hay: P  Q: “Điều kiện cần đủ để điểm M nằm phân giác góc Oxy M cách hai cạnh Ox, Oy”: Bài 1.65: a) P: “n số tự nhiên n5 chia hết cho 5”, Q: “n chia hết cho 5” 36 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP b) Với n số tự nhiên, n chia hết cho điều kiện cần để n5 chia hết cho ; phát biểu cách khác: Với n số tự nhiên, điều kiện cần để n5 chia hết cho n chia hết cho c) Với n số tự nhiên, n5 chia hết cho điều kiện đủ để n chia hết cho d) Định lí đảo: “Cho số tự nhiên n, n chia hết cho n5 chia hết cho 5” Thật vậy, n = 5k n5 = 55 k5: Số chia hết cho Điều kiện cần đủ để n chia hết cho n5 chia hết cho Bài 1.66: a) Các tập X chứa có phần tử 1, 3, 5, thành lập cách thêm vào tập { ; ; ; } phần tử lại tập X Do tất tập X có chứa phần tử 1, 3, 5, là: { ; ; ; } , { ; ; ; ; } , { ; ; ; ; } , { ; ; ; ; } , { ; ; ; ; ; } , { ; ; ; ; ; } , { ; ; ; ; ; } X b) Giả sử tập cần tìm { a ; b }với a ≠ b • Vì X có phần tử nên có cách chọn phần tử a Sau chọn a X cịn phần tử, với cách chọn a, ta có cách chọn phần tử b, có = 42 cặp (a ; b) theo cách chọn Nhưng với cách chọn với hai phần tử a, b ta chọn lặp lại hai lần, hai cặp (a ;b) (b ; a ), có tập { a ;b Do đó, có } 42 = 21 tập X chứa hai phần tử Bài 1.67: a) Giải phương trình: 4x - 1= Û x = ± Ỵ  Vậy mệnh đề cho Mệnh đề phủ định "x Î Q : 4x - ¹ b) Ta có x = Û x = ± Vì ± Ï  nên mệnh đề cho sai Mệnh đề phủ định "x Ỵ , x ¹ c) Với n = 2n + = 35 , số chia hết cho (khơng ngun tố) Do mệnh đề cho sai Mệnh đề phủ định " $n Ỵ N * : 2n + số nguyên tố" d) Mệnh đề x + 4x + = (x + 2)2 + > 0, "x Ỵ  Mệnh đề phủ định $x Ỵ , x + 4x + £ e) x - x + 2x + = ( x - ) + ( x + ) nên mệnh đề cho 2 Mệnh đề phủ định $x Ỵ , x - x + 2x + < Bài 1.68: a) x ẻ , x < ị x + b) Mệnh đề đảo x Ỵ , x + £ -2 x £ -2 Þ x < x 1 x + 2x + ( x + ) Ta có x + + = x + £ -2 Þ x < mệnh đề = x x x x Vậy định lí có định lí đảo Bài 1.69 a) Thuận: Cho n: lẻ, n = 2k + (k  N)  3n + = 3(2k + 1) + = 6k + = 2(3k + 2), với 3k +  N  3n + 1: chẵn Đảo: Cho 3n + 1: chẵn, ta chứng minh n: lẻ Dùng phương pháp phản chứng: 37 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Giả sử n: chẵn, tức n = 2k (k  N)  3n + = 6k +  3n + 1: lẻ: trái với giả thiết Vậy 3n + 1: lẻ Từ hai phần thuận đảo ta được: n: lẻ  3n + 1: chẵn ì ü ï ï Bài 1.70: a) A = { -1; 0; 1; 2; 3; 4; } , B = ï í -1; ;1ï ý ï ù ù ù ợ ỵ ộ x = (1 - 3x )(x - 3x + 2) = Û êê x = ± Ï Q êx = / êë C = {x Ỵ N | x £ 6} b) A Ç B = {-1;1}; A È B = {-1; 0; ;1;2; 3; 4;5}, A \ B = {0;2; 3; 4;5} , C B ÈA (A Ç B ) = {0;1 / 3;2; 3; 4;5} c) B È C = {-1; 0;1 / 3;1;2; 3; 4;5;6}, A Ç (B È C ) = {-1; 0;1;2; 3; 4;5} = A Bài 1.71: a) Ta có: A = { x Ỵ  x < }ị B = { x ẻ (x - x ) ( x - ) = } éx2 - x = 2 ( x - x ) ( x - ) = Û êê x - = Û êë éx = Û êê Þ B = { ; 1} (2) êë x = Từ (1) (2) cho: A = B b) Ta có: 4x - = Û x = ± A = { ; 1} (1) éx = Úx = ê êx = ± Ï ờở ẽịA=ặ (3) x + 4x = Û x = Ú x = -4 Þ B = { ; - } (4) Từ (3) (4) cho: A  B c) Ta có: A = { x Ỵ  < x < } Þ A = { ; } B = { x Ỵ  x - = } Þ B = { -3 ; } Ta thấy:  A mà  B nên A  B; 3  B mà 3  A nên B  A Bài 1.72: a) Ta có A Ç B = { ; } Ì X Do tập X , Y thỏa mãn yêu cầu là: X = { ; } Y = { ; } , X = { ; ; } Y = { } , X = { ; ; } Y = { } b) Ta có A È B = {0 ; ; ; ; 5} , tập P thỏa mãn điều kiện (A Ç B ) Ì P Ì (A È B ) là: { ; }, { ; ; }, { ; ; ; ; } {4 ; ; }, {4 ; ; }, {4 ; ; ; }, { ; ; ; } , Bài 1.73: a) Ta có: A Ç B = éê -3 ; 1) Ç éê -1 ; ùú = éê -1 ; ) ; ë ë û ë A È B = éê -3 ; ) È éê -1 ; ùú = éê -3 ; ùú ; B \ A = éê -1 ; ùú \ éê -3 ; ) = éê ; ùú ë ë û ë û ë û ë ë û C = { x Ỵ  x ³ } = ( -¥ ; - ùú È éê ; + ¥ ) ; ( B \ A ) Ç C = éê ; ùú û ë ë û b) Ta có: C  ( A È B ) = C  éê -3 ; ùú = ( -¥ ; - ) È ( ; + ¥ ) (1) ë û 38 { 4; 6; 5; } CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP C A = C  éê -3 ; ) = ( -¥ ; - ) È éê ; + ¥ ) ; C B = C  éê -1 ; ùú = ( -¥ ; - ) È ( ; + ¥ ) ; ë ë ë ỷ (1) v C A ầ C B = -Ơ ; È ; + ¥ (2) (  ) (  ) ( ) ( ) (2) cho: C  ( A È B ) = (C A ) Ç (C B ) Bài 1.74: a) K Ç Z = { 0}, H = [-3; 3], H \ K = [-3; -1] È [1; 3] C RG = (-¥; -2), C R (H È K ) = (-¥; -3) È (3; +¥) C RG È C R (H È K ) = (-¥; -2) È (3; +¥) b) a £ x £ b Û c £ x £ Û -5 + d £ x £ + d Do a = c = d - b = = d + Þ b = 8, a = c = -2, d = Vậy x Ỵ [-2; 8] Û -2 £ x £ Û| x - |£ Bài 1.75: 2011 » 44, 84, 2012 » 44, 86 Bài 1.76: · Thuận: A  B = A  B, ta chứng minh: A = B "x , x Ỵ A ị x ẻ A ẩ B (vỡ A è A ẩ B ) ị x ẻ A ầ B (vỡ A ẩ B = A ầ B ) ị x ẻ B (vỡ A ầ B è B ) Nh th: "x , x ẻ A ị x ẻ B, nên A Ì B (a ) "x , x Ỵ B Þ x Ỵ A È B (vì B è A ẩ B ) ị x ẻ A ầ B (vì A È B = A Ç B ) ị x ẻ A (vỡ A ầ B è A) Nh th: "x , x ẻ B ị x ẻ A, nên B Ì A (b) (a) (b) cho A = B · Đảo: Cho A = B, ta chứng minh: A È B = A Ç B Ta có A È B = A È A ( B = A) = A (c) (d) A Ç B = A Ç A ( B = A ) = A (c) (d) cho A È B = A Ç B Từ hai phần thuận đảo ta được: A È B = A Ç B  A = B 39 ...CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP CHỦ ĐỀ 1: MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh. .. mệnh đề đúng, B C mệnh đề sai Do đó: a) Mệnh đề A Þ B sai A B sai Mệnh đề A Þ D A D Mệnh đề B Þ C B sai 27 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP b) Mệnh đề A Û B sai mệnh. .. (8) mệnh đề CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP Câu (2) (7) mệnh đề sai Ví dụ 2: Cho ba mệnh đề sau, với n số tự nhiên (1) n + số phương (2) Chữ số tận n (3) n - số phương