-Chứng minh định lí dạng 1 là dùng các suy luận và các kiến thức đã biết để khẳng định rằng mệnh đề 1 là mệnh đề đúng, nghĩa là chứng minh rằng với mọi x thuộc X, nếu Px đúng thì Qx đúng[r]
(1)Bài 1: Mệnh đề - Mệnh đề chứa biến I - Mệnh đề - Mệnh đề chứa biến Mệnh đề:Một Mệnh đề lôgic(gọi tắt là mệnh đề)là câu khẳng định đúng câu khẳng định sai Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai -Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai - Câu không phải là câu khẳng định câu khẳng định mà không có tính đúng - sai thì không phải là mệnh đề Ví dụ 1: 1) Hãy nhanh lên ( không là mệnh đề) 2) “5 + + = 15” (mệnh đề sai) 3) Năm 2002 là năm nhuận (mệnh đề sai) 4) Góc vuông có số đo 800 (là mệnh đề sai) 5) Số là số nguyên tố (là mệnh đúng) 6) Hôm trời đẹp quá ! (không là mệnh đề) 7) Bạn có khỏe không ? (không là mệnh đề) -Mệnh đề thường kí các chữ cái in hoa: Mệnh đề A, mệnh dề B,… Mệnh đề chứa biến: Những câu mà tính đúng sai nó phụ thuộc vào biến ta gọi là mệnh đề chứa biến Ví dụ 2: 1) “Số n chia hết cho 5” với n thuộc N 2) “ a = b + 1” với a, b thuộc R II Mệnh đề phủ định: Để phủ định mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ "không" (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ từ đó -Mệnh đề phủ định mệnh đề P kí hiệu hiệu là P + P đúng thì P sai + P sai thì P đúng Ví dụ 3: i P: " là số hữu tỉ" P : " không phải là số hửu tỉ" ii Q: " 3" Q : " > 3" III-Mệnh đề kéo theo: Lop12.net (2) Mệnh đề kéo theo: Mệnh đề “Nếu P thì Q” gọi là mệnh đề kéo theo Kí hiệu: P Q Đôi người ta còn nói “P kéo theo Q” hay “P suy Q” -Mệnh đề P Q sai P đúng Q sai Ta thường gặp các tình sau Cả hai mệnh đề P và Q đúng, đó P Q là mệnh đề đúng Mệnh đề P đúng và mệnh đề Q sai, đó P Q là mệnh đề sai Ví dụ 4: Cho tứ giác ABCD Xét hai mệnh đề P:“Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” Q:“Tứ giác ABCD là hình bình hành” PQ:“Nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì tứ giác ABCD là hình bình hành” QP “Nếu tứ giác ABCD là hình bình hành thì tứ giác ABCD là hình chữ nhật” Định lý toán học: Trong toán học, định lí là mệnh đề đúng, thường có dạng: PQ -P gọi là giả thiết, Q gọi là kết luận Hoặc P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) -Q(x) là điều kiện cần để có P(x) -Hoặc điều kiện đủ để có Q(x) là P(x) điều kiện cần để có P(x) là Q(x) Ví dụ 5: P “Tam giác ABC có hai góc 600” Q"Tam giác ABC là tam giác đều" Giải -"Nếu tam giác ABC có hai góc 600 thì tam giác đó lìà tam giác đều" "Tam giác ABC có hai góc 600 là điều kiện đủ để tam giác đó là tam giác đều" -"Tam giác ABC là tam giác là điều kiện cần để am giác ABC có hai góc 600" IV-Mệnh đề đảo - Hai mệnh đề tương đương Mệnh đề đảo: Mệnh đề Q P gọi là mệnh đề đảo mệnh đề P Q - Khi P Q là mệnh đề đúng thì mệnh đề Q P chưa hẳn là mệnh đề đúng Hai mệnh đề tương đương: Mệnh đề có dạng “ P và Q” gọi là mệnh đề tương đương Kí hiệu: P Q -Đôi người ta còn phát biểu mệnh đề tương đương là “P và Q” Mệnh đề P Q đúng hai mệnh đề P và Q cùng đúng cùng sai Mệnh đề P Q đúng hai mệnh đề kéo theo P Q và Q P đúng Lop12.net (3) Ví dụ 6: Mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác có ba góc và tam giác có ba cạnh nhau” là mệnh đề gì? Mệnh đề đúng hay sai? Giải thích Xét P: “ Tam giác ABC là tam giác có ba góc nhau” Q: “Tam giác có ba cạnh nhau” Khi đó P Q đúng; QP đúng Vậy PQ Ví dụ 7: Cho tứ giác ABCD, các mệnh đề sau: P: “ABCD là hình bình hành” Q: “ABCD có các cặp cạnh đối song song” P và Q là các mệnh đề tương đương Ví dụ : Xét các mệnh đề A: “36 chia hết cho và chia hết cho 3”; B: “36 chia hết 12” Khi đó: A đúng; B đúng AB: “36 chia hết cho và chia hết cho và 36 chia hết 12” đúng V-Kí hiệu , : Kí hiệu : - " x X , P( x )" có ý nghĩa “với phần tử x thuộc tập hợp X, x có tính chất P” -Ví dụ 9: x N : n (Mọi số tự nhiên lớn không) Kí hiệu : - " x X , P( x )" có ý nghĩa “tồn ít phần tử x thuộc tập hợp X, x có tính chất P” hay “có ít một” (tồn ít một) -Ví dụ 10: x R : x x (tồn số thực mà bình phương nó nhỏ chính nó) 3.Phủ định mệnh đề chứa kí hiệu , : - Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x thuộc X Mệnh đề phủ định mệnh đề " x X , P( x )" là " x X , P( x )" - Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x thuộc X Mệnh đề phủ định mệnh đề " x X , P( x )" là " x X , P( x )" Ví dụ 11: Lập mệnh đề phủ định các mệnh đề sau: 1, P: x R : x 1 x P : x R : x 1 x 2, Q: xZ : x 3x Q : x Z : x x -hết Bài 2: Áp dụng mệnh đề vào suy luận toán học I Định lý và chứng minh định lý: Lop12.net (4) -Trong toán học, định lý là mệnh đề đúng -Nhiều định lí phát biểu dạng: " x X , P( x ) Q ( x )"(1) -Trong đó P(x) và Q(x) là các mệnh đề chứa biến, X là tập hợp nào đó -Chứng minh định lí dạng (1) là dùng các suy luận và các kiến thức đã biết để khẳng định mệnh đề (1) là mệnh đề đúng, nghĩa là chứng minh với x thuộc X, P(x) đúng thì Q(x) đúng -Định lí (1) có thể chứng minh trực tiếp gián tiếp -Phép chứng minh trực tiếp gồm các bước sau: +Giả thiết x thuộc X và mệnh đề P(x) đúng +Dùng các suy luận và các kiến thức toán học đã biết để mệnh đề Q(x) là đúng -Đôi việc chứng minh trực tiếp định lý gặp khó khăn, đó ta dùng cách chứng minh gián tiếp -Một cách chứng minh gián tiếp thương dùng là chứng minh phản chứng -Cách chứng minh phản chứng tiến hành sau: Giả sử tồn x thuộc X cho P(x) đúng và Q(x) sai Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết để đến mâu thuẫn II Điều kiện cần – Điều kiện đủ: Cho định lí " x X , P( x ) Q ( x )"(1) - P(x) gọi là giả thiết định lí và Q(x) là kết luận định lí Hoặc P(x) là điều kiện đủ để có Q(x) Hoặc Q(x) là điều kiện cần để có P(x) III Định lí đảo – Điều kiện cần và Đủ -Mệnh đề " x X , Q ( x ) P( x )"(2) gọi là mệnh đề đảo mệnh đề (1) Mệnh đề (2) có thể đúng, có thể sai Nếu mệnh đề (2) đúng thì (2) gọi là định lí đảo định lí (1) Lúc đó định lí (1) gọi là định lí thuận Định lí thuận và đảo có thể viết gộp thành định lí : " x X , P( x ) Q ( x )" và ta nói P(x) là điều kiện cần và đủ để có Q(x) -Ngoài ta còn nói “ P(x) và Q(x)” “P(x) và Q(x)” “Điều kiện cần và đủ để có P(x) là có Q(x)” -hết Bài 3: Tập hợp - các phép toán trên tập hợp I Khái niệm tập hợp: 1-Tập hợp: là khái niệm Toán học Thông thường, Tập hợp gồm các phần tử cùng có chung một vài tính chất nào đó Nếu a là phần tử tập hợp X, kí hiệu a X Lop12.net (5) Nếu a không phải là phần tử tập hợp X, kí hiệu a X -Ví dụ 1: +Tập hợp các học sinh lớp học +Tập hợp các số tự nhiên lẻ nhỏ 10 -Nếu a là phần tử tập hợp A, ta kí hiệu là: a A (và a A a không phải là phần tử A) Cách xác định tập hợp: -Ta có thể xác định tập hợp các cách sau: +Liệt kê các phần tử nó +Chỉ các tính chất đặc trưng cho các phần tử nó -Ví dụ 2: 1,Tập hợp các ước số tự nhiên 20 {1;2;4;5;10} 2,Tập hợp các số tự nhiên nhỏ 100 chia hết cho {x| x = 5k,-1< k < 20, k N} -Người ta thường minh hoạ tập hợp hình phẳng bao quanh đường kín, gọi là biểu đồ Ven A 3.Tập hợp rỗng: -Tập hợp rỗng kí hiệu là , là tập hợp không chứa phần tử nào -Ví dụ: {x R/ x2 < 0} - A x A II-Tập hợp con: -Nếu phần tử tập hợp A là phần tử tập hợp B ta nói A là tập hợp B Kí hiệu A B - A B x (x A x B) B -Minh hoạ biểu đồ Ven: A -Ta có các tính chất sau: i,A A với tập A ii,Nếu A B và B C thì A C iii, A với tập A III-Tập hợp nhau: -Khi A B và B A ta nói tập hợp A tập hợp B Kí hiệu A = B -A = B x (x A x B) -Ví dụ: A={2;3} B={x R| x2-5x+6=0} Ta có A=B Lop12.net (6) IV-Giao hai tập hợp: -Tập hợp C gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi là giao A và B Kí hiệu C=A B -A B ={x| x A và x B} - x A B {x A và x B} A B V-Hợp hai tập hợp: -Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A thuộc B gọi là hợp A và B Kí hiệu C = A B -A B={x| x A x B} - x A B {x A x B} A B -Ví dụ: Cho hai tập hợp A={3;4;6;8;9} B={1;2;3;4;5;6;7} i,A B={3;4;6} ii,A B={1;2;3;4;5;6;7;8;9} VI-Hiệu và phần bù hai tập hợp: -Tập hợp C gồm các phần tử thuộc A không thuộc B gọi là hiệu A và B Kí hiệu C=A\B + A\B= {x| x A và x B } + x A\B { x A và x B } -Minh hoạ hiệu hai tập hợp A A B A\B Khi B A thì A\B gọi là phần bù B A Kí hiệu CAB Lop12.net (7) VII-Các tập hợp số đã học: N * N Z Q R 1.Tập hợp các số tự nhiên: - N = {0, 1, 2, 3, 4, } - N* = {1, 2, 3, 4, } 2.Tập hợp các số nguyên: - Z = { -3,-2,-1, 0,1,2,3, .} 3.Tập hợp các số hữu tỉ -Tập số hữu tỉ kí hiệu là Q a b -Số hữu tỉ biểu diễn dạng phân số , dạng số thập phân hữu hạn, số thập phân vô hạn không tuần hoàn 4.Tập hợp số thực: -Tập hợp số thực gồm số thập phân hữu hạn và vô hạn không tuần hoàn, kí hiệu là R -Mỗi số thực biểu diễn điểm trên trục số VIII-Các tập hợp thường dùng R ( ; ) : 1.Khoảng: (a;b) = {x R | a < x < b} (a;+∞) = {x R | a < x} (-∞;a) = {x R | x < b} Ví dụ1: 1, (1; ) = {x R | 1< x < 2} 2,( -5 ; +∞) = {x R | -5 < x} 2.Đoạn: [ a; b ] = {x R | a ≤ x ≤ b} Ví dụ2: [-2; ] = { x R | -2 ≤ x ≤ 3} 3.Nữa khoảng: [ a; b) = {x R | a ≤ x < b} ( a; b] = {x R | a < x ≤ b} [ a; +∞ ) = {x R | a ≤ x} (-∞ ; b ) = {x R | x < b} -hết Bài 4: Số gần đúng – sai số I-Số gần đúng: Trong nhiều trường hợp ta không thể biết giá trị đúng đại lượng mà ta biết số gần đúng nó Trong đo đạc, tính toán ta thường nhận các số gần đúng Lop12.net (8) Ví dụ: Tính diện tích hình tròn bán kính r = cm Giải -Diện tích hình tròn là S = 22 = -Nếu lấy giá trị gần đúng là 3,1 thì diện tích hình tròn là: S1= 3,1 = 12,4 (cm2) -Nếu lấy giá trị gần đúng là 3,14 thì diện tích hình tròn là: S2 = 3,14 = 12,56 (cm2) Các giá trị S1 ,S2 là các giá trị gần đúng vì là số gần đúng Nhận xét: Trong thực tế, đo đạc, tính toán ta thường nhận các số gần đúng II-Sai số tuyệt đối: 1.Sai số tuyệt đối: -Giả sử a là giá trị đúng đại lượng và a’ là giá trị gần đúng nó Giá trị | a a ' | phản ánh mức độ sai lệch a và a’, ta gọi | a a ' | là sai số tuyệt đối số gần đúng a’ và kí hiệu a ' , Vậy a ' | a a ' | Ta có thể đánh giá a ' không vượt quá số dương d nào đó - Nếu a ' d thì | a a ' | d d a a ' d a ' d a a ' d Quy ước viết là : a a ' d -Vậy d càng nhỏ thì độ sai lệch số gần đúng a’ so với số đúng a càng ít, đó d gọi là độ chính xác của số gần đúng Ví dụ: Tính đường chéo hình vuông có cạnh 3cm và xác định độ chính xác kết vừa tìm Giải -Độ dài đường chéo hình vuông là cm -Nếu lấy = 1,4 thì độ dài đường chéo là 4,2 cm Khi đó 4,2 < < 1,42 = 4,26 Suy ra: 4,2 < 4,26 4,2 =0,06 Vậy = 4,2 0,06 Sai Số tương đối: -Sai số tương đối số gần đúng a’ là tỉ số sai số tuyêt đối và |a’|, kí hiệu là a ' Ta có: a ' a ' |a'| Nếu a a ' d thì a ' d , đó a ' d |a'| Nếu a ' càng nhỏ thì chất lượng phép đo đạc hay tính toán càng cao Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm III-Quy tròn số gần đúng: 1.Ôn tập quy tắc làm tròn số Lop12.net (9) Ví dụ 1: Quy tròn đến hàng nghìn các số sau x = 3567463; y = 54689543 Ta có: x 3567000 y 54690000 Ví dụ 2: Quy tròn đến hàng phần trăm các số sau x= 23,45268; y =589,4692 Ta có x 23,45 y 58,47 Cách viết quy tròn số gần đúng vào độ chính xác cho trước Quy tròn các số sau: a) 374529 200: 374529 375000 b) 4,1356 0,001: 4,1356 4,14 Lop12.net (10)