TỰ LUẬN đại số 10 đs10 CĐVI góc và CUNG LƯỢNG GIÁC image marked

CHUYÊN ĐỀ I MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP MỤC LỤC MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC .2 DẠNG TOÁN: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC DẠNG TỐN 1: BIỂU DIỄN GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC, CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHƠNG PHỤ THUỘC GĨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC 11 DẠNG TỐN 4: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHI BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 15 CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC .18 DẠNG TỐN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 19 DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN .24 DẠNG TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ CHỨNG MINH BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO BIẾN 27 DẠNG TOÁN 4: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC .33 DẠNG TOÁN 5: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC 35 CHỦ ĐỀ 4: ÔN TẬP 42 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP 44 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CHUN ĐỀ VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung trịn, độ dài cung trịn a) Đơn vị rađian: Cung trịn có độ dài bán kính gọi cung có số đo rađian, gọi tắt cung rađian Góc tâm chắn cung rađian gọi góc có số đo rađian, gọi tắt góc rađian rađian cịn viết tắt rad Vì tính thơng dụng đơn vị rađian người ta thường không viết rađian hay rad sau số đo cung góc b) Độ dài cung tròn Quan hệ độ rađian: Cung tròn bán kính R có số đo a ( £ a £ 2p ) , có số đo a ( £ a £ 360 ) có độ dài l thì: l = Ra = pa a a R = 180 p 180 ỉ 180 ư÷ p rad c bit: rad = ỗỗ ữữ , = 180 ốỗ p ứ Góc cung lượng giác a) Đường trịn định hướng: Đường trịn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ gọi chiều dương(cùng chiều kim đồng hồ chiều âm) b) Khái niệm góc, cung lượng giác số đo chúng v Cho đường tròn định hướng tâm O hai tia Ou,Ov cắt + V đường tròn U V Tia Om cắt đường tròn M , tia Om chuyển động theo chiều(âm dương) quay quanh O điểm M chuyển động theo chiều đường tròn Tia Om chuyển động theo chiều từ Ou đến trùng với tia Ov ta nói tia Om quét góc lượng giác tia đầu Ou , tia cuối Ov Kí hiệu (Ou,Ov ) M O - U m u Điểm M chuyển động theo từ điểm U đến trùng với điểm V ta nói điểm M vạch nên cung ỵ lng giỏc im u U , im cui V Kí hiệu UV Tia Om quay vịng theo chiều dương ta nói tia Om quay góc 3600 (hay 2p ), quay hai vịng ta nói quay góc 2.3600 = 7200 (hay 4p ), quay theo chiều âm phần tư vòng ta nói quay góc p 25 25 -900 (hay - ), quay theo chiều âm ba vòng bốn phần bảy( vịng) nói quay góc - 3600 (hay 7 50p ) ỵ Ta coi s o góc lượng giác (Ou,Ov ) số đo cung lượng giác UV c) Hệ thức Sa-lơ Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý ta có: Sđ (Ou,Ov ) + Sđ (Ov,Ow ) = Sđ (Ou,Ow ) + k 2p ( k Ỵ Z ) Sđ (Ou,Ov ) - Sđ (Ou,Ow ) = Sđ (Ow,Ov ) + k 2p ( k Ỵ Z ) Với ba điểm tùy ý U ,V ,W đường tròn định hướng ta có : CHUYÊN ĐỀ TỰ LUN I S 10 ỵ ỵ ỵ ỵ ỵ ỵ CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC SđUV + SđVW = SđUW + k 2p ( k Ỵ Z ) SđUV - SđUW = SđWV + k 2p ( k Ỵ Z ) B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN: XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ LIÊN QUAN ĐẾN CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Ngồi việc sử dụng định nghĩa góc cung lượng giác, cơng thức tính độ dài cung trịn biết số đo, mối liên hệ đơn vị độ, rađian hệ thức salơ cần lưu ý đến kết sau: Nếu góc(cung) lượng giác có số đo a (hay a rad ) góc(cung) lượng giác tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với có số đo dạng dạng a + k 3600 (hay a + k 2p rad , k Î Z ), góc(cung) ứng với giá trị k Từ hai góc lượng giác có tia đầu tia cuối sai khác bội 2p Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: a) Đổi số đo góc sau rađian: 720 , 6000 , - 37 45 ' 30 '' b) Đổi số đo góc sau độ: Lời giải: a) Vì 10 = 5p 3p , ,- 18 p p 2p p 10p rad nên 720 = 72 = , 6000 = 600 = , 180 180 180 ỉ 45 ỉ 30 ÷ư ỉ 4531 ư÷ 4531 p -37 45 ' 30 '' = -37 - ỗỗ ữữ - ỗỗ ằ 0, 6587 ữ = ỗỗ ữ = ỗố 60 ữứ ỗố 60.60 ữứ ỗố 120 ữứ 120 180 0 ổ 180 ửữ 5p ổỗ 5p 180 ửữ 3p ổỗ 3p 180 ửữ =ỗ =ỗ b) Vỡ 1rad = çç ÷÷ nên ÷ = 50o , ÷ = 108o , ỗố p ứ ỗố 18 p ứữ ỗố p ø÷ 18 0 ỉ 180 ư÷ ổ 720 ửữ -4 = - ỗỗ ữữ = - ỗỗ ữ ằ -22600 48 ' ỗố p ữứ ốỗ p ứ 0 Vớ d 2: Mt đường trịn có bán kính 36m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo 3p Lời giải: b) 510 a) c) Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có l = Ra = a) Ta có l = Ra = 36 b) Ta có l = 3p = 27 p » 84, 8m pa R nên 180 pa p51 51p R = 36 = » 32, 04m 180 180 c) Ta có l = Ra = 36 = 12m Ví dụ 3: Cho hình vng A0A1A2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh A1 O xếp theo chiều ngược chiều quay kim ng h) Tớnh s o ca cỏc ỵ A0 þ i, j = 0,1,2, 3, 4, i ¹ j ) cung lượng giác A0Ai , AA i j ( A2 A3 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LNG GIC Li gii: ỵ Ta cú A0OA0 = nên sđ A0A0 = k 2p , k Ỵ Z ỵ p p A0OA1 = nờn s A0A1 = + k 2p , k Ỵ Z 2 þ  A0OA2 = p nên sđ A0A1 = p + k 2p , k ẻ Z ỵ p p 3p A0OA3 = nên sđ A0A3 = 2p - + k 2p = + k 2p , k Ỵ Z 2 ỵ Nh vy s A0Ai = ip + k 2p , i = 0,1,2, , k ẻ Z ỵ ỵ ỵ p + k 2p , k Ỵ Z Ví dụ 4: Tìm số đo a góc lượng giác (Ou,Ov ) với £ a £ 2p , biết góc lượng giác tia đầu, AA Theo hệ thức salơ ta có sđ AA i j =sđ j - sđ A0Ai + k 2p = ( j - i ) tia cuối với góc có số đo là: 33p Lời giải: b) - a) 291983p a) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo Vì £ a £ 2p nên £ Û- c) 30 33p + k 2p, k Ỵ Z 33p 33 + k 2p £ 2p, k Ỵ Z Û £ + k £ 2, k Î Z 4 33 25 £ k £ - , k Ỵ Z Û k = -4 8 Suy a = 33p p + ( -4 ) 2p = 4 b) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo Vì £ a £ 2p nên £ Û 291983p + k 2p, k Î Z 291983p 291983 + k 2p £ 2p, k Ỵ Z Û £ + k £ 2, k Ỵ Z 3 291983 291989 £k £ ,k ỴZ Ûk = 6 291983p p + 48664.2p = 3 c) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo 30 + k 2p, k Ỵ Z Suy a = - Vì £ a £ 2p nên £ 30 + k 2p £ 2p, k Ỵ Z Û £ 15 p - 15 £k £ , k Ỵ Z Û k = -4 p p Suy a = 30 + ( -4 ) 2p = 30 - 8p » 4, 867 Û- 15 + k £ 1, k Ỵ Z p CHUN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC p 29p 22 6p 41p ; - ; ; Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo - Trong số , số 7 7 số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc cho? Lời giải: Hai góc có tia đầu, tia cuối sai khác bội ca 2p ú 29p ổỗ p ửữ 22 ổỗ p ửữ 6p ổỗ p ửữ 41p ổỗ p ửữ Vỡ - ỗ - ữữ = ( -2 ) 2p , - ỗ - ữữ = -3p , - ỗ - ữữ = p v - ỗ - ữữ = 3.2p nờn ỗố ứ 7 ốỗ ứ 7 ốỗ ứ ốỗ ứ cỏc s - 29p 41p ; số đo góc lượng giác có tia đầu, tia cuối với góc cho 7 Ví dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov ) = a sđ (Ou ', Ov ' ) = b Chứng minh hai góc hình học uOv, u 'Ov ' b - a = k 2p b + a = k 2p với k Ỵ Z Lời giải: Ta có sđ (Ou, Ov ) = a sđ (Ou ', Ov ' ) = b suy tồn a0 , p < a0 £ p , f0 , p < b0 £ p số nguyên k , l cho a = a + k 2p, b = b0 + l 2p   Khi a0 số đo uOv b0 số đo u 'Ov ' é a0 = b0 Hai góc hình học uOv, u 'Ov ' a0 = b0 Û êê êë a0 = -b0 Û b - a = k 2p b + a = k 2p với k Ỵ Z Bài tập luyện tập Bài 6.0: a) Đổi số đo góc sau rađian: 200 , 40025 ', - 27 ( xác đến 0, 001 ) b) Đổi số đo góc sau độ: p 2p ,- ,- 17 Bài 6.1: Hai góc lượng giác có số đo 39p mp ( m số nguyên ) tia đầu, tia cuối không? Bài 6.2: Một đường trịn có bán kính 25m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo a) 3p b) 490 c) Bài 6.3: Tìm số đo a góc lượng giác (Ou,Ov ) với £ a £ 360 , biết góc lượng giác tia đầu, tia cuối với góc có số đo là: a) 3950 b) -10520 c) ( 20p ) Bài 6.4: Cho lục giác A0A1A2A4A5A6 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh c sp xp theo chiu ngc ỵ ỵ i, j = 0,1,2, 3, 4, 5, i ¹ j ) chiều quay kim đồng hồ) Tính số đo cung lng giỏc A0Ai , AA i j ( ỵ þ p p Bài 6.5: Trên đường tròn lượng giác gốc A Cho điểm M , N cho sđ AM = , sđ AN = - Các 5 ỵ ỵ im M ', N ' ln lượt điểm đối xứng M , N qua tâm đường trịn Tìm số đo cung AM ', AN ' ỵ v M ' N ' CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác góc(cung) lượng giác a) Đường trịn lượng giác: Đường tròn lượng giác đường tròn đơn vị, định hướng chọn điểm A làm gốc y b) Tương ứng số thực điểm đường tròn lượng giác B Điểm M đường tròn lượng giác cho (OA,OM ) = a gọi điểm xác định số a (hay cung a , hay góc a ) Điểm M cịn gọi điểm đường tròn lượng giác biểu diễn cung(góc) lượng giác có số đo a Nhận xét: Ứng với số thực a có điểm nằm đường trịn lượng(điểm xác định số đó) tương tự trục số Tuy nhiên, điểm đường trịn lượng giác ứng với vơ số thực Các số thực có dạng a + k 2p, k Î Z H O t T S s M(x;y) K A x d) Giá trị lượng giác sin, côsin, tang côtang: Cho hệ trục tọa độ gắn với đường trịn lượng giác Với góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo a , xác định điểm M ( x ; y ) đường tròn lượng giác cho sđ Khi ta định nghĩa cos a = x , sin a = y tan a = sin a ổỗ p ỗỗ a + k p ÷÷÷ cos a è ø cos a (a ¹ kp ) sin a Ý nghĩa hình học: Gọi K , H hình chiếu M lên trục Ox ,Oy Vẽ trục số At gốc A cot a = hướng với trục Oy vẽ trục số Bs gốc B hướng với trục Ox , gọi T , S giao điểm đường thẳng OM cắt với trục sơ At, Bs Khi ta có: sin a = OH , cos a = OK , tan a = AT , cot a = BS e) Tính chất: sin a, cos a xác định với giá trị a -1 £ sin a £ 1, - £ cos a £ p + k p , cot a xác định a ¹ k p sin a = sin ( a + k 2p ), cos a = cos ( a + k 2p ) tan a xác định a ¹ tan a = tan ( a + k p ), cot a = cot ( a + k p ) f) Dấu giá trị lượng giác: Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm M nằm đường tròn lượng giác Bảng xét dấu Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác + – – + cos + + – – sin + – + – tan + – + – cot CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC g) Giá trị lượng giác góc đặc biệt Góc a sin a cosa tan a cot a 00 p 300 p 450 p 600 2 3 3 || 1 2 2 Các hệ thức lượng giác p 900 2p 1200 3p 1350 2 1800 3p 2700 3600 –1 –1 p 2p - - || - –1 || 3 - 3 –1 || || 2 1) sin2 a + cos2 a = 1 p 2) + tan2 a = (a ¹ + k p) 2 cos a 3) + cot2 a = (a ¹ k p) sin2 a kp 4) tan a.cot a = (a ¹ ) Giá trị lượng giác góc(cung) có liên quan đặc biệt Góc đối ( a -a ) Góc bù nhau( a p - a ) Góc phụ nhau( a cos(-a) = cos a sin(p - a) = sin a ổp sin ỗỗ - a ữữữ = cos a ỗố ứ sin(-a) = - sin a cos(p - a) = - cos a tan(-a) = - tan a tan(p - a) = - tan a cot(-a) = - cot a cot(p - a) = - cot a ổp cos ỗỗ - a ữữ = sin a ữứ ỗố ổp tan çç - a ÷÷ = cot a ÷ø çè ổp cot ỗỗ - a ữữữ = tan a çè ø p p ( a + a ) 2 Góc p ( a p + a ) Góc sin(p + a) = - sin a ổp sin ỗỗ + a ữữ = cos a ỗố ứữ cos(p + a) = - cos a tan(p + a) = tan a cot(p + a) = cot a ổp cos ỗỗ + a ữữữ = - sin a ỗố ứ ổp tan ỗỗ + a ữữữ = - cot a ỗố ứ ổp cot ỗỗ + a ữữ = - tan a ữứ ỗố p -a) CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Chú ý: Để nhớ nhanh công thức ta nhớ câu: " cos đối sin bù phụ chéo p tang côtang, p chéo sin" Với ngun tắc nhắc đến giá trị cịn khơng nhắc đối B CÁC DẠNG TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: BIỂU DIỄN GĨC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Để biểu diễn góc lượng giác đường trịn lượng giác ta thường sử dụng kết sau Góc a góc a + k 2p, k Ỵ Z có điểm biểu diễn đường tròn lượng giác k 2p ( với k số nguyên m số m nguyên dương) m Từ để biểu diễn góc lượng giác ta cho k từ tới ( m - ) biểu Số điểm đường tròn lượng giác biểu diễn số đo có dạng a + diễn góc Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường trịn lượng giác có số đo sau: p Lời giải b) - a) 11p c) 1200 d) -7650 y p a) Ta có = Ta chia đường tròn thành tám phần 2p Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo p 13p p = - + ( -3 ) 2p điểm biểu diễn b) Ta có 2 góc - A' 11p p trùng với góc - điểm B ' 2 c) Ta có B M2 M1 A O x M3 B' 120 = Ta chia đường tròn thành ba phần 360 Khi điểm M điểm biểu diễn góc có số đo 1200 d) Ta có -7650 = -450 + ( -2 ) 3600 điểm biểu diễn góc -7650 trùng với góc -450 45 = Ta chia đường tròn làm tám phần (chú ý góc âm ) 360 ' ) điểm biểu diễn góc có số đo -7650 Khi điểm M (điểm cung nhỏ AB Ví dụ : Trên đường trịn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số nguyên tùy ý) p + kp ; Các góc lượng giác viết dạng cơng thức nào? Lời giải x = kp ; x2 = k 2p có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x = kp Với k = Þ x = biểu diễn điêm A Ta có x = x3 = - p + kp CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC k = Þ x = p biểu diễn A ' x2 = y p 2k p + có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x = M1 p + kp k = Þ x2 = p biểu diễn M A' A O x 4p biểu diễn M k =1Þx = x3 = - B M4 p k 2p + có hai điểm biểu diễn góc có số đo dạng x = - M2 B' M3 p + kp k = Þ x3 = - p biểu diễn M 3 2p biểu diễn M Do góc lượng giác x 1, x , x biểu diễn đỉnh đa giác AM 1M 4A ' M 2M nên góc k = Þ x6 = kp lượng giác viết dạng cơng thức x = Bài tập luyện tập Bài 6.6: Biểu diễn góc(cung) lượng giác đường trịn lượng giác có số đo sau: a) p b) - 17 p c) -450 d) 7650 Bài 6.7: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo x = p p + k ( k số nguyên tùy ý) Bài 6.8: Trên đường tròn lượng giác gốc A Biểu diễn góc lượng giác có số đo sau (với k số nguyên p + kp Các góc lượng giác viết dạng công thức nào? DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA GÓC ĐẶC BIỆT, GÓC LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT VÀ DẤU CỦA GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC Phương pháp giải Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác Sử dụng tính chất bảng giá trị lượng giác đặc biệt Sử dụng hệ thức lượng giác giá trị lượng giác góc liên quan đặc biệt Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu giá trị lượng giác Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính giá trị biểu thức sau: tùy ý) a) A = sin x = kp ; x2 = 7p 5p 7p + cos 9p + tan(- ) + cot b) B = sin 2550° cos(-188°) + tan 368° cos 638° + cos 98° d) D = tan2 c) C = sin2 25° + sin2 45° + sin2 60° + sin2 65° p 3p 5p tan tan 8 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Lời giải: ỉ ỉ ỉp pư pư a) Ta cú A = sin ỗỗ p + ữữữ + cos ( p + 4.2p ) - tan ỗỗ p + ữữữ + cot ỗỗ + 3p ữữữ 6ứ 4ứ ốỗ ốỗ ốỗ ứ ị A = - sin p p p + cos p - tan + cot = - - - + = 2 2 sin ( 300 + 7.360° ) cos(8 + 180°) + b) Ta có B = tan ( + 360° ) cos ( -900 + + 2.360° ) + cos ( 900 + 8° ) ( - cos 80 ) 1 B = + = + = tan cos ( - 900 ) - sin tan cos ( 900 - ) - sin cos cos = = =0 tan sin - sin tan sin sin 300 ( - cos ) c) Vì 250 + 650 = 900 Þ sin 650 = cos 250 C = ( sin 25° + cos 25 ) 2 Suy C = ỉ ư÷ ỉ ÷ư ç ç ÷ +ç ÷ + sin 45° + sin 60 = + ỗỗ ỗố ữứ ỗố ÷÷ø 2 ỉ ỉ pư p 3p ö é 5p ù d) D = - çç tan tan ÷÷÷ ê tan çç - ữữữ tan ỳ 8 ứ ờở ỳỷ ốỗ ốỗ ứ M ổ pử p 3p p p 5p p 3p p 5p + = ,- + = ị tan = cot , tan = cot ỗỗ - ữữữ ỗố ứ 8 8 8 ỉ ỉ p ỉ p ứ p pử ộ Nờn D = - ỗỗ tan cot ữữữ tan ỗỗ - ữữữ cot ỗỗ - ữữữ ỳ = -1 8 ứ ờở ốỗ ốỗ ứ ốỗ ứ ỳỷ p < a < p Xác định dấu biểu thức sau: ổp ổ 3p a) sin ỗỗ + a ữữữ b) tan ỗỗ - a ữữữ ỗố ỗố ứ ứ Vớ d 2: Cho ổ p c) cos ỗỗ - + a ữữữ tan ( p - a ) ỗố ứ Li giải: a) Ta có 14p cot ( p + a ) ỉp p p 3p -a > -p Þ > - a > - suy tan ỗỗ - a ữữ < 2 ốỗ ứữ æ p ö p p p < a < p Þ < - + a < suy cos çç - + a ÷÷ > ÷ø çè 2 2 p suy tan ( p + a ) > ỉ p Vậy cos çç - + a ÷÷÷ tan ( p + a ) > ỗố ứ V < p - a < 10 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Bài 6.22: a) tan2 x + cot2 x = m - CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC b) Ta có tan x + cot4 x = ( tan2 x + cot2 x ) - = ( m - ) - = m - 4m + Þ 2 2 4 2 tan6 x + cot6 x ( tan x + cot x )( tan x + cot x - tan x cot x ) ( m - 2)( m - 4m + 1) = = tan4 x + cot4 x m4 - 4m2 + m4 - 4m2 + Bài 6.23: ( sin a + cos a ) = + 24 Þ sin a + cos a = (do cos a > ) 25 Suy sin a + cos3 a = ( sin a + cos a ) ( sin2 a - sin a cos a + cos2 a ) = b) ± 13 Bài 6.24: a) 11 Bài 6.26: Sử dụng công thức hạ bậc ta tính c) ±33 13 91 125 Bài 6.25: A = sin2 p p 2- p = - cos = Þ sin = 8 2- 2 sin2 p p 2+ p = - cos = Þ sin = 16 16 2- 2+ 2 p p + tan tan ỉ 11p p p p = - + = -2 - cot = - cot = - cot ỗỗ - ữữữ = ỗ 12 12 p p ố3 4ứ -1 tan - tan Bài 6.27:a) sin 450 cos120 cos 30 - sin540 - sin 360 = 2sin 450 ( cos150 + cos90 ) - 2sin 450 cos90 sin 450 cos150 = sin 300 + sin 600 = 1+ æ cos 230 ửổ ữữ ỗỗ - cos 22 ửữữ = b) C1: B = ỗỗ sin 230 ữứốỗ sin 220 ứữ ốỗ sin ( 230 - 450 ) sin ( 220 - 450 ) sin 230 sin 220 =2 cot220 cot230 - ÞB=2 C2: = cot 45 = cot ( 22 + 23 ) = cot220 + cot230 c) C = cos 0 3p 2p 7p 2p 7p cos + cos = cos + cos =0 9 9 p p p p 3p p p p + sin cos sin + sin - sin sin cos 20 = 10 = 10 = d) D = p p p p 3p p p p cos - sin sin cos + cos - cos cos cos 20 10 10 sin Bài 6.28: a) cos Tương tự sin b) cos4 ỉp pư p p p p p = cos ỗỗ - ữữữ = cos cos + sin sin = ỗ 12 4 è3 4ø p = 12 6- p p , tan = - 3, cot =2+ 12 12 2+ æ p p p p ửổ p pử p - sin = ỗỗ cos2 + sin2 ữữ ỗỗ cos2 - sin2 ữữ = cos = ữ ữ ỗ ỗ 24 24 ố 24 24 øè 24 24 ø 12 c) cos 360 - cos 720 = ( cos 360 - cos 720 )( cos 360 + cos 720 ) ( cos 360 + cos 720 ) 49 = 2+ CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC cos2 360 - cos2 720 cos 720 - cos144 = = 0 0 ( cos 36 + cos 72 ) ( cos 36 + cos 72 ) d) sin 200 sin 100 sin 500 sin 700 = sin 200 cos 200 cos 400 cos 800 = sin 400 cos 400 cos 800 = sin 800 cos 800 = sin1600 = sin 200 Þ sin 100 sin 500 sin 700 = Bài 6.29: a) A = ( cos730 + cos470 ) - cos730 cos470 = ( 2cos600 cos180 ) = + cos 360 cos 360 + = 4 b) B = sin 60 cos 48 cos 24 cos120 = ( cos1200 + cos360 ) sin 120 sin 24 sin 48 sin 960 = 0 0 16 cos sin 12 sin 24 cos 48 2p 4p 8p sin sin =1 p 2p 4p sin sin sin 7 0 0 + ( cos 80 - cos 60 ) - sin 70 sin 10 d) D = = =2 sin 100 sin 100 p 4p 2p cos =c) C = - cos cos 7 sin Bài 6.30: + Ta có ( sin a + sin b ) + ( cos a + cos b ) = m + n 2 Û sin2 a + sin2 b + cos2 a + cos2 b + sin a sin b + cos a cos b = m + n Û cos ( a - b ) = m2 + n2 -1 + ( cos a + cos b ) - ( sin a + sin b ) = n - m Û cos 2a + cos 2b + cos ( a + b ) = n - m 2 Û cos ( a + b ) cos ( a - b ) + cos ( a + b ) = n - m Û cos ( a + b ) éë cos ( a - b ) + ùû = n - m m2 + n2 n2 - m2 = n - m Þ cos ( a + b ) = 2 m + n2 + ( sin a + sin b )( cos a + cos b ) = mn Suy cos ( a + b ) Û sin a cos a + sin a cos b + sin b cos a + sin b cos b = mn Û ( sin 2a + sin 2b ) + sin ( a + b ) = mn Û sin ( a + b ) cos ( a - b ) + sin ( a + b ) = mn m2 + n2 2mn sin ( a + b ) = mn Þ sin ( a + b ) = 2 m + n2 Bài 6.31: a) Bài 6.32: a) 32 b) b) Bài 6.33: + tan k = c) c) 16 cos ( 450 - k ) cos k d) 32 e) 512 Þ ( + tan k ) ( + tan ( 450 - k ) ) = Do A = 223 Bài 6.34: Đặt B = sin a sin 2a sin 3a sin 999a 50 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 2999 A.B = sin 2a sin 4a sin 1998a = (sin 2a sin 4a sin 998a) éë - sin ( 2p - 1002a ) ùû éë - sin ( 2p - 1998a ) ùû = B Suy A = 2999 3p < x < p nên sin x > 0, cos x < Bài 6.35: Vì Áp dụng cơng thức hạ bậc, ta có : - cos 2x 1 sin2 x = = Þ sin x = 5 cos2 x = + cos 2x = Þ cos x = 5 Bài 6.36: a) 21 140 ; ; 221 221 21 (5 - 12 3) b) 220 26 c) 38 - 25 11 Bài 6.37: Từ giả thiết ta có ( cos a cos b - sin a sin b ) = - cos a cos b Þ tan b = + tan2 a + tan2 b + tan2 a + = + Khi ta có: A = tan2 a + tan2 b + tan2 a + A= + tan2 a tan2 a + 10 tan2 a + 15 + = = 2 tan a + ( tan a + ) ( tan a + ) Bài 6.38: a) A = m sin 2a + n cos 2a = m tan2 a +3 tan2 a 1+ tan a - tan2 a + n + tan2 a + tan2 a b) Áp dụng công thức cộng ta có cos a cos b - sin a sin b m - tan a tan b m n -m = Û = Û tan a tan b = cos a cos b + sin a sin b n + tan a tan b n m +n tan ( a + b ) + tan ( a - b ) m +n = c) tan 2a = tan éë ( a + b ) + ( a - b ) ùû = - tan ( a + b ) tan ( a - b ) - mn 2t - t2 a , cos a = ta có sin a = từ giả thiết ta có + t2 + t2 é êt = - 2t - t2 ê + = Û + t t + = Û ê + t2 + t2 êt = - ë Bài 6.39: Đặt t = tan ( ) p a -2 nên t = tan = ỉa ỉa pư 2a + 2015p pư Ta có tan = tan ỗỗ + 504p - ữữữ = tan çç - ÷÷÷ çè çè ø 4ø Do < a < a p -2 - tan -1 = = = a p + tan tan 1+ tan 51 -5 +1 tan a CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC ỉ1 - cos2÷ -2cos2a + cos2 2a -2cos2a + Bi 6.40: a) sin4 a = ỗỗ = ữ = ỗố 4 ứữ b) Theo câu a ta có: 1ỉ p 3p 5p 7p VT = - ỗỗ cos + cos + cos + cos ữữữ + ốỗ 8 8 ø + cos4a 1 = - cos2a + cos4a 8 ổỗ p 3p 5p 7p + cos + cos ÷÷÷ çç cos + cos 8è 4 4 ø 3p 5p p 7p p 3p 5p 7p + cos = cos + cos = cos + cos = cos + cos = nên VT = = VP 8 8 4 4 Bài 6.41: sin x = sin éë ( x + y ) - y ùû = sin ( x + y ) cos y - cos ( x + y ) sin y Mà cos Þ sin ( x + y ) cos y - cos ( x + y ) sin y = sin ( x + y ) Þ ( cos y - ) sin ( x + y ) = cos ( x + y ) sin y sin y Þ tan ( x + y ) = cos y - Bài 6.42: a) VT = sin a cos a ( cos2 a - sin2 a ) = sin 2a cos 2a = sin 4a = VP b) VP = c) VP = ( sin x cos y + sin y cos x ) cos x cos y = tan x + tan y = VT ( tan 2x + tan x )( tan 2x - tan x ) = tan ( 2x + x ) tan ( 2x - x ) = VT ( - tan 2x tan x )( + tan 2x tan x )  cos   cos    cot  Bài 6.44: a) A  sin   cos   1 b) Vì      sin B   0, cos   nên 1  1     cos   cos  sin  sin 2 2 2 2 5a a sin 2sin 4a sin  3a   2sin 4a sin 2a sin 3a  sin 2a 2   cot 5a c) C    2sin 4a cos 3a  2sin 4a cos 2a cos 3a  cos 2a 2sin 5a sin a 2 2 cos   cos a  2sin 2a sin       cos a  4sin a cos a  cos a  2sin a d) D  cos a cos a Bài 6.45: a) tan a = tan(a + b) Þ tan a = tan(a + b) - tan a Þ tan a = sin b  sin a cos(a  b)  sin b cos(a + b)cos a b) tan a = tan(a + b) Þ tan a = tan(a + b) + tan a =  3sin a cos  a  b   sin  2a  b  sin ( 2a + b ) cos(a + b)cos a Theo câu a) ta có sin b = sin a.cos(a + b) suy sin b = sin(2a + b) c) tan(a + b) tan b = -3 Þ sin (a + b ) sin b = -3 cos (a + b ) cos b 52 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC  cos  a  b  cos b  sin  a  b  sin b  2 cos  a  b  cos b  cos a   cos  2a  b   cos a   cos(a  2b)  cos a  d) Từ giả thiết ta có 9sin  a  b   cos  a  b   cos  a  b   cos  a  b   2  1  cos  a  b    cos  a  b   cos  a  b    16sin  a  b   cos 2a cos 2b Hay 8sin  a  b   cos 2a cos 2b ĐPCM ỉp ỉp ỉp ỉp ö Bài 6.46: Ta có sin 3a = sin a.sin ỗỗ - a ữữữ sin ỗỗ + a ữữữ , cos 3a = cos a.cos ỗỗ - a ữữữ cos ỗỗ + a ữữữ ỗố ỗố çè çè ø ø ø ø 2 4   5 7   sin  sin  cos  cos  cos  ; cos cos 9 18 18 18 18 sin 2x Bài 6.47: a) Ta có sin 2x = sin x cos x Þ cos x = sin x b) Áp dụng câu a ta có x x x sin sin sin n 1 x x x sin x  sin x  VP VT  cos cos cos n  2 2sin x 2sin x 2sin x 2sin x 2n sin x 22 23 2n 2n Suy sin  sin x Bài 6.48: a) VP = cot - cot x = b) Áp dụng câu a ta có x x x x sin x cos - cos x sin sin cos x 22 2= = = VP = x sin x x x sin x sin sin x sin sin x sin 2 cos     VT   cot  cot     cot   cot 2     cot 2n    cot 2n 1   cot  cot 2n 1  VP 2   cos x cos2x cos2 x - cos2x cos2 x - 2cos2 x + sin2 x -2 = = = = tan x = VT sin x sin2x sin x cos x sin x cos x sin x cos x b) Áp dụng câu a) ta có 1ỉ 1ỉ a a 1ỉ a a VT = çç cot - cot a ÷÷÷ + çç cot - cot ÷÷÷ + + n çç cot n - cot n -1 ÷÷÷ ốỗ 2ứ ứ ốỗ 2 ốỗ 2 ø Bài 6.49: a) VP = = a cot n - cot a = VP n 2 Bài 6.50: tan 3x = = - tan x 1+ A= tan x ( - tan x tan x - tan x = tan x - tan2 x - tan x tan x ( )( + tan x ) )(1 + tan x ) ỉp ổp = tan ỗỗ - x ữữữ tan x tan ỗỗ + x ữữữ ỗố ỗố ø ø - tan x + tan x -1 10 + 0 Bài 6.51: Ta có sin10 = sin éê ( k + ) - k ùú = sin ( k + ) cos k - cos ( k + ) sin k ë û 53 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 sin 10 = cot k - cot ( k + ) sin k sin ( k + ) Do CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC sin 10 sin 10 sin 10 + + + sin 10 sin 20 sin 20 sin 30 sin(n - 1)0 sin n = cot10 - cot20 + cot20 - cot 30 + + cot ( n - ) - cot n 0 Suy 1 + + + = cot10 - cot n 0 0 sin sin sin sin sin(n - 1)0 sin n 0 Bài 6.52: sin 20.sin10 + ( sin 0.sin10 ) + + 89 ( sin178 0.sin10 ) = 90 cos10 Vì sin 2k sin 10 = cos ( 2k - ) - cos ( 2k + ) nên VT = cos10 - cos 30 + ( cos 30 - cos 50 ) + + 89 ( cos177 - cos1790 ) = cos10 + cos 30 + + cos177 - 89 cos1790 = cos10 + ( cos 30 + cos177 ) + + ( cos 890 + cos 910 ) + 89 cos10 = 90 cot10 = VP   tan x  Bài 6.53:  x    cot x  Theo bất đẳng thức Cơsi ta có tan x  cot x  tan x.cot x  Bài 6.54: Ta có B = cos 2x + + - cos 2x = cos 2x + - cos 2x Đặt t = - cos 2x Þ cos 2x = - t , -1 £ cos 2x £ Þ £ t £ Biểu thức trở thành B = - t + t Xét hàm số y = -t + t + với £ t £ Bảng biến thiên t y 3 -1 Từ bảng biến thiên suy max B = t = hay cos 2x = A = - t = hay cos 2x = -1 3sin2 x  cos2 x 3cos2 x  sin2 x  Bài 6.55: Ta có: 3P  3sin x.cos x  cos x sin x    3 2 Vậy: P  Bài 6.56: Ta có P = sin x + sin x cos x = sin x ( + cos x ) Suy P = sin2 x ( + cos x ) = sin2 x ( + cos x + cos2 x ) æ 1ử Ta cú ỗỗ cos x - ữữữ Þ cos2 x + ³ cos x suy 2ứ ốỗ ổ ổ3 P Ê sin2 x ỗỗ + cos2 x + + cos2 x ữữ = sin2 x ỗỗ + cos2 x ữữ ỗố ỗố 2 ứữ ứữ ổ x + y ư÷ Mặt khác theo bất đẳng thức xy Ê ỗỗ ữ , "x , y ẻ R ta cú ỗố ữứ 54 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC é ỉ3 ứ ê sin2 x + ỗỗ + cos2 x ữữữ ỳ ỗố ổ3 27 øú ú = + cos2 x ÷÷÷ = sin2 x ỗỗ + cos2 x ữữữ Ê ỗố ỳ 16 ứ ứ ờ ỳ ờở ỳỷ ổ5 sin2 x ỗỗ çè Suy P £ 3 Bài 6.57: Ta có sin A C 1ỉ A +C A - C ư÷ A -C A +C sin = - ỗỗ cos - cos - cos ữữ = cos 2 ỗố 2 ứ 2 2 A +C B A -C A C 1 B = sin cos £ nên sin sin £ - sin 2 2 2 2 1ỉ Bư B Do P £ çç - sin ÷÷÷ sin èç 2ø Vì cos Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta cú ổ ổ ửổ ỗỗ - sin B ữữ sin B = ỗỗ - sin B ữữ ỗỗ - sin B ữữ sin B ữỗ ỗố ữứ 2 ứố ữứ 2 ỗố ổ ỗỗ - sin B + - sin B + sin B ữữ ỗỗ 2 ữữữ = Ê çç ÷÷ ç ÷÷ ççè ø÷ = 27 3 Suy P £ = 9 ì A -C ï ì ï A =C ï cos =1 ï ï ï ï Dấu xảy í Ûí B ï ï B B sin = ï ï - sin = sin ï ï ỵ ï ỵ 2 Vậy max P = ỉA B C Bài 6.58: c) VT = VP = tanAd) Khai triển cos çç + + ÷÷÷ è2 2ø ỉA B C e) Khai trin sin ỗỗ + + ữữữ è2 2ø ỉB C A B C A B C Chỳ ý: T cos ỗỗ + ữữữ = sin  cos cos = sin + sin sin è2 2ø 2 2 2 A B C A A B C cos cos = sin2 + sin sin sin 2 2 2 Bài 6.59: a, b, c) Sử dụng tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C BĐT Cô–si  sin d) Sử dụng a + b + c ³ ab + bc + ca tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 æ A B Cử e) Khai trin ỗỗ tan + tan + tan ÷÷÷ sử dụng câu c) è 2 2ø Bài 6.70: Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: (sin2 A + sin2 B + sin2 C )(sin A + sin B + sin C ) ³ 3 sin2 A sin2 B sin2 C 3 sin A sin B sin C hay (sin2 A + sin2 B + sin2 C )(sin A + sin B + sin C ) ³ sin A sin B sin C 55 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Mặt khác: sin A + sin B + sin C £ (sin2 A + sin2 B + sin2 C ) CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 3 nên 3 ³ sin A sin B sin C Mà theo ví dụ sin2 A + sin2 B + sin2 C = 2(1 + cos A cos B cosC ) 2(1 + cos A cos B cosC ) 3 ³ sin A sin B sin C Do + cos A cos B cosC ³ sin A sin B sin C ĐPCM Cách 2: Theo ví dụ ta có sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C cos 2A + cos 2B + cos 2C = - ( sin2 A + sin2 B + sin2 C ) = - 4(1 + cos A cos B cosC ) = -1 - cos A cos B cosC Do bất đẳng thức tương đương với - - (cos 2A + cos 2B + cos 2C ) ³ Û( 3(sin 2A + sin 2B + sin 2C ) 3 3 sin 2A + cos 2A) + ( sin 2B + cos 2B ) + ( sin 2C + cos 2C ) £ 2 2 2 p p p Û cos(2A - ) + cos(2B - ) + cos(2C - ) £ (*) 3 ỉ pư ỉ pư ổ pử Ta cú ỗỗ 2A - ữữ + ỗỗ 2B - ữữ + ỗỗ 2C - ữữ = ( A + B + C ) - p = p nờn ỗố ứữ ỗố ứữ ỗố ữứ ổ ổ ổ ỗỗ 2A - p ữữ, ỗỗ 2B - p ữữ, ỗỗ 2C - p ÷÷ ba góc tam giác bất đẳng thức (*) theo ví dụ ữ ữ ứ ốỗ ứ ốỗ ữứ ốỗ ị PCM Cỏch 3: Bt ng thc (*) tng đương với - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) 1+ - (1 - cos2 A)(1 - cos2 B )(1 - cos2 C ) ³ (**) áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có: VT(**) ³ æ - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) ư÷ - (cos2 A + cos2 B + cos2 C ) - ỗỗ ữ çè ÷ø 3 đặt t = cos2 A + cos2 B + cos2 C dễ thấy ³ t ³ ỉ - t ÷ư ỉ1 3 -t VT(**) - ỗỗ - t ÷÷÷ ³ từ điều kiện ³ t ³ ÷÷ = (3 - t ) çç çè ø èç ø ta có - t ³ 0, 1 1 3 -t ³ - = Þ ĐPCM 3 A B C , y = tan , z = tan 2 ìï xy + yz + zx = Bài tốn trở thành : cho ïí chứng minh: ïï x , y, z > ỵ 2 - x - y - z2 2x 2y 2z (***) 1+ ³ 2 2 1+x 1+y 1+z + x + y + z2 Cách 4: Đặt x = tan Ta có : (4) Û (1 + x )(1 + y )(1 + z ) + (1 - x )(1 - y )(1 - z ) ³ 3xyz 56 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Khai triển rút gọn ta có: (***) Û x 2y + y 2z + z 2x + ³ 3xyz áp dụng bất đẳng thức bunhiacopxki cơsi ta có x 2y + y 2z + z 2x ³ 1 (xy + yz + zx )2 = 3 xyz = æ xy + yz + zx ửữ ỗỗ ữữ = ỗố ứ xy.yz zx £ Nên x 2y + y 2z + z 2x + ³ + Þ ĐPCM 1 = ³ 3xyz 27 Bài 6.71: Ta có sin A + sin B = sin Tương tự 27 A+B A-B C cos £ cos 2 A B ( sin B + sinC ) £ cos , ( sinC + sin A ) £ cos 2 2 A B C + cos + cos 2 Bài 6.72: Ta thấy VT BĐT tam thức bậc hai có hệ số a = > Do để chứng minh ta cần chứng minh: D £ Ta có: Cộng vế với vế ta sin A + sin B + sin C £ cos D ' = (cos B + cosC )2 - 2(1 - cos A) = cos2 = sin2 B +C B -C A cos2 - sin2 2 A ổỗ B - C A B -C - ÷÷ = -4 sin2 sin2 Ê ỗỗ cos ữ 2ố 2 ø ïìï B - C ìï B = C sin =0 ïí Û Đẳng thức có Û ï í ïï x = cos ï x = cos B ï B + cosC ỵ ỵï Bài 6.73: VT bất đẳng thức tam thức có : a = tan B + tan C = = sin A sin A A ³ = cot > (do DABC nhọn) Nên để chứng minh (1) ta cos(B + C ) + cos(B - C ) - cos A cần chứng minh D ' £ A A A (tan B + tan C ) £ - tan cot = 2 ïìï cos(B - C ) = ïìï B = C ï Û ïí Đẳng thức xảy Û í ïï x = ïï x = tan B + tan C ỵï tan B îï Ta có: D ' = - tan Bài 6.74: Ta có cos2 a + sin2 a = ỉ 3ư 16 Þ cos2a = - sin2 a = - ỗỗ - ữữữ = ị sin(B + C ) cos B.cosC ỗố ữứ 25 é ê cosa = 4 cos2a = Þ cosa = Þ êê 5 ê cosa = - êë 57 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Vì p < a < CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 3p nên cosa < sin a 4 = = , cot a = = Do cosa = - ; tan a = cos a 4 t ana - 24 sin 2a = sin a.cos a = 2(- ).(- ) = 5 25 cos 2a = cos2 a - sin2 a = (- )2 - (- )2 = 5 25   Bài 6.75: a) tan 750  tan 300  450  tan 300  tan 450  tan 300.tan 450 1  1 42 =     2 3 1 1 ( 1) 1 1     b) tan150  tan 450  300  1     1  1 c) A =     tan 450  tan 300  tan 450.tan 300  1  1  1  42  2 1 2p p - cos + - ổỗ cos p - cos p ửữữ ỗ 2 ỗố 18 ÷ø - cos 2p p + cos 9 - + cos p = 12 2 18 p p p = - cos cos + cos = 18 18 cos d) Áp dụng công thức cos 3a = cos3 a - cos a ta có ( cos2 90 - )( cos2 27 - ) = ( cos3 90 - cos 90 )( cos2 27 - cos 27 ) cos 27 cos 81 = tan 90 Þ B = 0 cos cos 27 Bài 6.76: = 0 cos 90 cos 27 a) A = ( sin2 10 + sin2 890 ) + ( sin2 20 + sin2 88 ) + + ( sin2 44 + sin2 460 ) + sin2 450 + sin2 900 = ( sin2 10 + cos2 10 ) + ( sin2 20 + cos2 20 ) + + ( sin2 44 + cos2 44 ) + = 1 + + + + 44 sô 91 +1 = 2 b) B = sin2 450 + cos2 450 - ( sin2 500 + sin2 400 ) + tan 550.cot 550 58 +1 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC ỉ ư÷ ỉ ư÷ ữữ + ỗỗ ữữ - ( sin2 500 + cos2 400 ) + = + - + = Suy C = ỗỗỗ ỗ ữ ữ ỗố ứ 2 ốỗ ứ 2 ổ p 5p ửữ ổỗ 2p 4p ửữ 3p 6p c) C = ỗỗ cos2 + cos2 + cos2 + cos2 ữ + ỗ cos ữ + cos2 ữ ữ ỗố ỗ 12 12 ứ ố 12 12 ứ 12 12 ổ 7p 11p ửữ ổỗ 8p 10p ửữ 9p + ỗỗ cos2 + cos2 + cos2 ữữ + ỗ cos ữữ + cos2 12 12 ứ ốỗ 12 12 ứ 12 ốỗ p p 3p + cos2 + + + cos2 =5 4 = + + cos2 d) D = -1 e) E = 256 f) F = g) G = 128 Bài 6.77: a) A = cos6 x + sin6 x - sin x - cos4 x + sin2 x = ( - sin2 x ) + sin6 x - sin2 x - ( - sin2 x ) + sin2 x = - sin2 x + sin x - sin6 x + sin6 x - sin2 x - + sin2 x - sin x + sin2 x = sin x f) B = + cos x æ + cos2 x + sin2 x ư÷ 1 + sin x + cos4 x Bi 6.78: a) VT = ỗỗ + = ÷ ÷ 2 2 2 çè sin x cos x ø - sin x cos x sin x cos x - sin x cos2 x = + - sin2 x cos2 x = = VP 2 2 sin x cos x - sin x cos x sin x cos2 x b) VT = sin x + c) sin2 x = sin x + sin x = sin x - sin x = VP (do p < x < 2p Þ sin x < ) sin x + cot2 x - cos2 x VT = = sin x (0 < x < p) ỉ sin x + cos2 x çç - ÷÷÷ çè sin x ø = sin x + cos2 x cot2 x Vì < x < p Þ sin x > nên VT = = sin x + cos2 x sin x = sin x = VP sin x + cos2 x sin2 x ổ sin x ỗỗ n n + cos x ÷÷÷ ỉ sin2 x + sin x cos2 x ư÷ ỉ sin x + cos2 x ửữ ỗỗ cos x n ữ ỗ ỗ ữữ = ỗ d) VT = ỗ ữ = tan x ç ÷ = tann x çè sin x cos x + cos3 x ữứ ỗỗ ữữ cos x ốỗ sin x + cos2 x ữứ cos x ữữ ỗỗố + ø sin x n tann x + cosn x tann x + cosn x = tann x = tann x n n tan x + cos x 1+ cosn x n tan x Vậy VT = VP ĐPCM ỉ ỉ p pư sin x - cos x ÷÷÷ Bài 6.79: a) VP = ỗỗ sin x cos - cos x sin ữữ = ỗỗỗ ỗố ữứ 6 ứữ ốỗ VP = = sin x - cos x = VT = cos x - sin x = VT ổ p pử b) VP = ỗỗ cos x cos - sin x sin ÷÷÷ = 6ứ ốỗ ổ ỗỗỗ cos x - sin x ữữữ ỗố 2 ứữ 59 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 c) VP = ổ p pử ỗỗ sin x cos + cos x sin ữữ = ỗố 4 ÷ø = sin x + cos x = VT d) VP = ổ p pử ỗỗ sin x cos - cos x sin ữữ = ỗố 4 ữứ CHUN ĐỀ VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC ỉ 2 ỗỗỗ sin x + cos x ữữữ ữứ ỗố 2 ổ 2 ỗỗỗ sin x cos x ữữữ ốỗ ứữ = sin x - cos x = VT sin a + cos4 a - = Bài 6.80: a) 6 sin a + cos a + cos a - b) Ta biến đổi biểu thức thành tan2 a ( sin2 a - ) + ( sin2 a + cos2 a ) + cos2 a + ( sin2 a - cos2 a )( sin2 a + cos2 a ) = - tan2 a.cos2 a + + cos2 a + sin2 a - cos2 a = ổ pử tan ỗỗ x + ÷÷÷ - tan x éỉ ù p pư 3ø ốỗ c) Ta cú tan = tan ỗỗ x + ữữữ - x ỳ = ờở ỗố ỳỷ ổ 3ứ pử + tan ỗỗ x + ữữữ tan x ỗố 3ứ ị ộ ổ ự ổ pử pử + tan ỗỗ x + ữữữ tan x ỳ = tan ỗỗ x + ữữữ - tan x (1) ỗố ỗố ờở ỳỷ 3ứ 3ứ ộ ỉ ỉ ỉ ỉ 2p ư÷ p ứ 2p ư÷ pử + tan ỗỗ x + ữ tan ỗỗ x + ữữ ỳ = tan ỗỗ x + ữ - tan ỗỗ x + ữữ (2) ỗố çè çè çè êë ÷ø ÷ø úû ữứ ữứ ổ 2p ửữ tan ỗỗ x + ữữ - tan x ỗố ộổ ửữ ự 2p p ứ tan = tan ỗỗ x + ữữ - x ỳ = ỗ ỳ ổ 3 ứ ởố ỷ + tan ỗ x + 2p ửữữ tan x ỗỗ ứữ ố Tng t ta có é ỉ ù é ỉ ù 2p ư÷ 2p ửữ + tan ỗỗ x + ữữ tan x ỳ = - tan ỗỗ x + ữữ - tan x ỳ (3) ỗố ỗố ờở úû êë úû ø ø Cộng vế với vế ta é ỉ ỉ ỉ ỉ ù pư pư 2p ư÷ 2p ư÷ ê + tan x tan ỗỗ x + ữữữ + tan ỗỗ x + ữữữ tan ỗỗ x + ữữ + tan ỗỗ x + ữữ tan x ỳ = è è è è êë úû 3ø 3ø ø ø Þ Þ D = -3 Bài 6.81: a) - 119 144 Bài 6.82: a) VP = = tan x b) 2 - ; tan a = tan b = p æ cos x sin 2x sin x ư÷ cos2 x - cos 2x -2 = sin x ỗỗ = sin x ữ ỗố cos 2x cos x ữứ cos 2x cos x cos x cos 2x cos2 x - ( cos2 x - ) cos 2x b) Áp dụng câu a) ta có VT = tan a - tan = tan a - 2n tan - 1, a = b = = tan x tan 2x sin2 x = tan2 x tan 2x = VT sin 2x æ æ æ a a aö a a ö a a ö + çç tan - tan ÷÷÷ + 22 çç tan - tan ÷÷÷ + + 2n -1 ỗỗ tan n -1 - tan n -1 ữữữ ỗố 2 ốỗ ốỗ ứ 2 ø 2 ø a = VP 2n 60 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUN ĐỀ VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC ỉ ửữ x ỗỗ -cos2 ữ ữ 1 ỗỗ ÷ = -1 = VP ÷÷ = Bi 6.83: a) VT = = ỗỗ1 x x x x x÷ x x x 4.cos2 4sin2 cos2 4.cos2 ççç sin2 ÷÷÷ 4.cos2 sin2 4.sin2 è ø 2 2 2 2 b) Theo câu a) ta có = sin2 x suy x x 4.cos2 4.sin2 2 ư÷ ỉ ư÷ ỉ ửữ ổ ỗỗ ỗỗ ỗỗ ữ ữ ữữ 1ỗỗ 1 ữữ ỗ 1 ữữữ 1 ç ÷÷ + + n-1 çç ÷÷ = ữữ + ỗ VT = ỗỗ ỗỗ sin a a ữ 4ỗ a aữ a ữ sin a n a ỗỗ a 4.sin2 ữữữ ỗỗỗ sin2 4.sin2 ÷÷÷ sin n-1 4.sin2 n ÷÷÷ sin n ỗ ỗỗố ỗ ố 2ứ ố 2ø ø Bài 6.84: VT = sin2 Asin( B +C )cos( B -C ) + sin2 Bsin( A +C )cos(C - A) + sin2 C sin( A + B )cos( A - B ) = éë sin2 A( sinB cos B + sinC cosC ) + sin2 A( sinB cos B + sinC cosC ) + sin2 A( sinB cos B + sinC cosC ) ùû = sin A sin B sin ( A + B ) + sin B sinC sin ( B + C ) + sinC sin A sin (C + A) = 3sin A sin B sinC = VT A-B B -C C -A cos cos Bài 6.85: ĐT 2(3 + cos A + cos B + cosC ) - = cos 2  2(cos A + cos B + cosC - 1) = cos A-B B -C C -A cos cos 2 A B C A-B B -C C -A sin sin = cos cos cos 2 2 2  sin A.sin B.sin C = (sin A + sin B )(sin B + sin C )(sin C + sin A)  sin  sin A = sin B = sin C (dùng BĐT Cô–si cho vế phải) A = B = C Bài 6.86: ĐT Û 4R sin B sin C (sin B cosC + sin C cos B ) = 20 (dùng định lí hàm số sin)  4R sin A sin B sin C = 20 abc 8R = sin A sin B sin C = 2R sin A sin B sin C = 10 4R 4R Vậy S = 10 (đvdt) Mà S = Bài 6.87: = cos 3x + cos 3y + cos 3z = ( cos3 x + cos3 y + cos3 z ) - ( cos x + cos y + cos z ) Þ cos3 x + cos3 y + cos3 z = Ta có cos x + cos y + cos z = Þ cos3 x + cos3 y + cos x cos y ( cos x + cos y ) = - cos3 z Þ cos x cos y cos z = Khơng tính tổng qt giả sử cos x = Þ cos y + cos z = Þ cos y = - cos z Suy cos 2x cos 2y cos 2z = ( cos2 x - )( cos2 y - )( cos2 z - ) = - ( cos2 y - ) £ ĐPCM ïì sin x + sin y = - sin z 2 Þ ( sin x + sin y ) + ( cos x + cos y ) = Bài 6.88: a) Từ giả thiết ta có ï í ïï cos x + cos y = - cos z ỵ Þ + ( sin x sin y + cos x cos y ) = Þ cos ( x - y ) = - (1) 1 Tương tự ta có cos ( y - z ) = - , cos ( z - x ) = - 2 61 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC Ta có ( cos x + cos y + cos z )( sin x + sin y + sin z ) = ( sin 2x + sin 2y + sin 2z ) + sin ( x + y ) + sin ( y + z ) + sin ( z + x ) = (2) Mặt khác sin 2x + sin 2y = sin ( x + y ) cos ( x - y ) = - sin ( x + y ) (do (1)) Û Tương tự sin 2y + sin 2z = - sin ( y + z ), sin 2z + sin 2x = - sin ( z + x ) Thay vào (2) ta suy sin 2x + sin 2y + sin 2z = Mặt khác ta có ( sin x + sin y + sin z ) - ( cos x + cos y + cos z ) = 2 Û cos 2x + cos 2y + cos 2z + éë cos ( x + y ) + cos ( y + z ) + cos ( z + x ) ùû = Kết hợp với cos 2x + cos 2y = cos ( x + y ) cos ( x - y ) = - cos ( x + y ) , tương tự cos 2y + cos 2z = - cos ( y + z ), cos 2z + cos 2x = - cos ( z + x ) nên cos 2x + cos 2y + cos 2z = b) Ta có sin 3x + sin 3y + sin 3z = ( sin x + sin y + sin z ) - ( sin x + sin y + sin z ) Þ sin 3x + sin 3y + sin 3z = -4 ( sin x + sin y + sin z ) Mặt khác sin x + sin y + sin z = Þ sin x + sin y + sin z = sin x sin y sin z Þ sin 3x + sin 3y + sin 3z = -12 sin x sin y sin z Do ta cần chứng minh sin ( x + y + z ) = -4 sin x sin y sin z Ta có sin ( x + y + z ) = sin x cos ( y + z ) + cos x sin ( y + z ) = sin x ( cos y cos z - sin y sin z ) + cos x ( sin y cos z - cos y sin z ) = sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y - sin x sin y sin z Ta cần chứng minh sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y - sin x sin y sin z = -4 sin x sin y sin z Û sin x cos y cos z + sin y cos x cos z + sin z cos x cos y + sin x sin y sin z = Û sin x ( cos y cos z + sin y sin z ) + sin y ( cos x cos z + sin x sin z ) + sin z ( cos x cos y + sin x sin y ) = Û sin x cos ( y - z ) + sin y cos ( z - x ) + sin z cos ( x - y ) = Đẳng thức cuối theo câu a) ta có 1 cos ( x - y ) = - , cos ( y - z ) = - , cos ( z - x ) = - giả thiết sin x + sin y + sin z = 2 Vậy sin ( x + y + z ) = sin 3x + sin 3y + sin 3z p p p - x , b = - y, g = - z kết hợp với giả thiết ta có cos a + cos b + cos g = , 2 sin a + sin b + sin g = Đặt a = sin 3a + sin 3b + sin 3g æp ổp ổp sin ỗỗ - x ữữữ + sin ỗỗ - y ữữữ + sin ỗỗ - z ữữữ ỗố ỗố ỗố ổ 3p ứ ứ ứ ị sin ỗỗ - x - y - z ữữ = ữứ ỗố Do theo chứng minh sin ( a + b + g ) = Þ cos ( x + y + z ) = cos 3x + cos 3y + cos 3z 62 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC Bài 6.89: cos ( x + y ) = cos ( x + y + z - z ) = cos ( x + y + z ) cos z + sin ( x + y + z ) sin z Tương tự cos ( y + z ) = cos ( x + y + z ) cos x + sin ( x + y + z ) sin x cos ( z + x ) = cos ( x + y + z ) cos y + sin ( x + y + z ) sin y Cộng vế với vế ta có cos ( x + y ) + cos ( y + z ) + cos ( z + x ) = cos ( x + y + z )( cos x + cos y + cos z ) + sin ( x + y + z )( sin x + sin y + sin z ) Mặt khác theo giả thiết ta có sin x + sin y + sin z = a sin ( x + y + z ), cos x + cos y + cos z = a cos ( x + y + z ) Nên cos ( x + y ) + cos ( y + z ) + cos ( z + x ) = a cos2 ( x + y + z ) + a sin2 ( x + y + z ) = a 63 ...CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đơn vị đo góc cung trịn,... ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giá trị lượng giác góc( cung) lượng giác a) Đường tròn lượng giác: Đường tròn lượng giác. .. Ỵ Z p CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ VI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC p 29p 22 6p 41p ; - ; ; Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo - Trong số , số 7 7 số đo góc lượng giác có tia đầu,