TỰ LUẬN đại số 10 đs10 CĐII hàm số bậc NHẤT và bậc HAI image marked

CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI MỤC LỤC MỤC LỤC CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI .2 CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ DẠNG TOÁN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH .2 DẠNG TOÁN 2: XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ DẠNG TOÁN XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN(ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG DẠNG TOÁN 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 12 CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ BẬC NHẤT 14 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ 15 DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT 17 DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI y = ax + b .19 DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT 22 CHỦ ĐỀ 3: HÀM SỐ BẬC HAI .24 DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI .24 DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI 26 DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI 28 DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT 30 CHỦ ĐỀ 4: ÔN TẬP 32 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP 33 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa  Cho D è , D ặ Hm s f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x Ỵ D với số y Ỵ   x gọi biến số (đối số), y gọi giá trị hàm số f x Kí hiệu: y = f ( x )  D gọi tập xác định hàm số f Cách cho hàm số  Cho bảng  Cho biểu đồ  Cho công thức y = f ( x ) Tập xác định hàm số y = f ( x ) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f ( x ) có nghĩa Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định tập D tập hợp tất điểm M ( x ; f (x ) ) mặt phẳng toạ độ với x Ỵ D Chú ý: Ta thường gặp đồ thị hàm số y = f ( x ) đường Khi ta nói y = f ( x ) phương trình đường Sư biến thiên hàm số Cho hàm số f xác định K  Hàm số y = f ( x ) đồng biến (tăng) K "x 1, x Ỵ K : x < x Þ f (x ) < f (x )  Hàm số y = f ( x ) nghịch biến (giảm) K "x 1, x Ỵ K : x < x Þ f (x ) > f (x ) Tính chẵn lẻ hàm số Cho hàm số y = f ( x ) có tập xác định D  Hàm số f gọi hàm số chẵn với "x Ỵ D -x Ỵ D f ( –x ) = f ( x )  Hàm số f gọi hàm số lẻ với "x Ỵ D -x Ỵ D f ( –x ) = -f ( x ) Chú ý: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng 6: Tịnh tiến đồ thị song song với trục tọa độ Định lý: Cho (G ) đồ thị y = f ( x ) p > 0, q > ; ta có Tịnh tiến (G ) lên q đơn vị đồ thị y = f ( x ) + q Tịnh tiến (G ) xuống q đơn vị đồ thị y = f ( x ) – q Tịnh tiến (G ) sang trái p đơn vị đồ thị y = f ( x + p ) Tịnh tiến (G ) sang phải p đơn vị đồ thị y = f ( x – p ) B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TỐN 1: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp giải Tập xác định hàm số y = f (x ) tập giá trị x cho biểu thức f (x ) có nghĩa Chú ý : Nếu P (x ) đa thức thì: * có nghĩa Û P (x ) ¹ P (x ) CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 * * CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI P (x ) có nghĩa Û P (x ) ³ P (x ) có nghĩa Û P (x ) > Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm tập xác định hàm số sau x2 + a) y = x + 3x - b) y = 2x + x + c) y = x + x - 5x - d) y  x +1 ( x + )( x + 3x + ) x x  1  x 2 Lời giải:  x 1 a) ĐKXĐ: x  x      x  4 Suy tập xác định hàm số D   \ 1; 4 b) ĐKXĐ:  x  1  x  x     x  1 Suy tập xác định hàm số D   \ 1  x2  c) ĐKXĐ: x  x  x     3  x    3  3   ; Suy tập xác định hàm số D   \ 2;  2      d) ĐKXĐ:  x  1  x   x  x  x  x    2  x  x  x      x     x  x    Suy tập xác định hàm số         D\ ; ; ;  2 2   Ví dụ 2: Tìm tập xác định hàm số sau a) y = c) y = x +1 (x - 3) 2x - 5-3 x x + 4x + Lời giải: b) y = d) y = x +2 x x - 4x + x +4 x - 16 x 3  x3  a) ĐKXĐ:   2 x    x  1  Suy tập xác định hàm số D   ;   \ 3 2  CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI  x0 x0   x0    b) ĐKXĐ:  x  x     x      x  x     x  2    x  2 Suy tập xác định hàm số D   2;   \ 0; 2  5   x  3   x 3   53 x     x  c) ĐKXĐ:    x  1  3 x  1  x  4x     x  3  x  1  x  3    5 Suy tập xác định hàm số D    ;  \ 1  3  x4 d) ĐKXĐ: x  16   x     x  4 Suy tập xác định hàm số D   ; 4    4;   Ví dụ 3: Tìm tập xác định hàm số sau a) y = x2 - x + 2x + 3 c) y  x   x  b) y = x x - x -6 ìï ï x ³ d) y = ïí x ïï ïỵ x + x < Lời giải: a) ĐKXĐ: x  x   với x Suy tập xác định hàm số D   x  x0   x  b) ĐKXĐ:    x  2    x  x    x   x 3 Suy tập xác định hàm số D   0;   \ 9  x    x  2 c) ĐKXĐ:    x  2  x    x  3 Suy tập xác định hàm số D   2;   d) Khi x  hàm số y  xác định với x  x Khi x  hàm số y  x  xác định  x 1  x 1   1  x   x 1   x  1 Do hàm số cho xác định x  1 Suy tập xác định hàm số D   1;   Ví dụ 4: Cho hàm số: y = mx với m tham số x -m + -1 a) Tìm tập xác định hàm số theo tham số m b) Tìm m để hàm số xác định  0;1 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI Lời giải:  x  m   x  m   a) ĐKXĐ   x  m    x  m  Suy tập xác định hàm số D   m  2;   \ m  1 b) Hàm số xác định  0;1   0;1   m  2; m  1   m  1;    0;1   m  2; m  1  m2 m     m   m 1   0;1   m  1;   Vậy m   ;1  2 giá trị cần tìm Ví dụ 5: Cho hàm số y = 2x - 3m + + x với m tham số x +m -1 a) Tìm tập xác định hàm số m  b) Tìm m để hàm số có tập xác định  0;   Lời giải: 3m   2 x  3m   x  ĐKXĐ:    x  m 1   x   m  x   a) Khi m  ta có ĐKXĐ :   x    Suy tập xác định hàm số D    ;   \ 0   3m  6  3m   ;   \ 1  m Do m   m  tập xác định hàm số D   b) Với  m  5   không thỏa mãn yêu cầu toán  3m   ;   Với m  tập xác định hàm số D     Do để hàm số có tập xác định  0;    3m  4   m  (thỏa mãn) giá trị cần tìm 3 Bài tập luyện tập Bài 2.0 Tìm tập xác định hàm số sau: Vậy m  a) y = x -1 x -2 b) y = c) y = x -1 x +x +1 d) y = x + x - 4x + x +2- x -1 ìï ï x ³ f) y = f (x ) = ïí - x ïï ïỵ - x x < Bài 2.1: Tìm tập xác định hàm số sau: x +1 e) y = x -x -6 a) y = - 3x - x - b) y = 2-x + x +2 x CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 c) y = e) y = 3x - + 6x d) y = - 3x 2x + (x + ) g) f (x ) = x +3 f) y = CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI 6-x + 2x + 1+ x -1 x - 2x + x -3 x +2 2x h) y = x - 3x + - + 4x Bài 2.2: Tìm giá trị tham số m để: a) Hàm số y = x + 2m + xác định ( -1; ) x -m x có tập xác định  0;   x -m +1 Bài 2.3: Tìm giá trị tham số m để: b) Hàm số y = 2x xác định ( -1; ) a) Hàm số y = x -m +1 + b) Hàm số y = x + m + 2x - m + xác định ( 0;+¥ ) -x + 2m xác định ( -1; ) x +m DẠNG TOÁN 2: XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ Phương pháp giải * Sử dụng định nghĩa Hàm số y = f (x ) xác định D : c) Hàm số y = -x - 2m + - ïì "x Î D Þ -x Î D · Hàm số chẵn Û ïí ïï f (-x ) = f (x ) ợ ỡù "x ẻ D ị -x ẻ D · Hàm số lẻ Û ïí ïï f (-x ) = -f (x ) ỵ Chú ý : Một hàm số khơng chẵn khơng lẻ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục Oy làm trục đối xứng Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng * Quy trình xét hàm số chẵn, lẻ B1: Tìm tập xác định hàm s B2: Kim tra Nu "x ẻ D ị -x Î D Chuyển qua bước ba Nếu $x Î D Þ -x Ï D kết luận hàm khơng chẵn không lẻ B3: xác định f   x  so sánh với f  x  Nếu kết luận hàm số chẵn Nếu đối kết luận hàm số lẻ Nếu tồn giá trị $x Ỵ D mà f ( -x ) ¹ f ( x ), f ( -x ) ¹ -f ( x ) kết luận hàm số không chẵn khơng lẻ Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) f (x ) = 3x + x b) f (x ) = x + x + CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 c) f ( x ) = x +5 + 5-x CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI d) f (x ) = Lời giải: a) Ta có TXĐ: D   2+x + 2-x ( ) Với x   ta có  x   f (-x ) = ( -x ) + -x = - 3x + x = -f (x ) Do f (x ) = 3x + x hàm số lẻ b) Ta có TXĐ: D   Với x   ta có  x   f (-x ) = ( -x ) + ( -x ) + = x + x + = f (x ) Do f (x ) = x + x + hàm số chẵn x    x  5 c) ĐKXĐ:    5  x  5  x   x5 Suy TXĐ: D   5;5 Với x   5;5 ta có  x   5;5 f (-x ) = Do f ( x ) = ( -x ) + + - ( -x ) = x + + - x = f (x ) x + + - x hàm số chẵn 2  x   x  2 d) ĐKXĐ:    2  x  2  x   x2 Suy TXĐ: D   2;  Ta có x0  2   2;   x0    2;  Vậy hàm số f (x ) = 2+x + không chẵn khơng lẻ 2-x Ví dụ 2: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: b) f ( x ) = x + - x - a) f (x ) = x - 4x + c) f (x ) = x + x +1 x +1-x Lời giải: a) Ta có TXĐ: D   - 2x - ì ï -1 Khi x < ï ï d) f (x ) = ïí Khi x = ï ï Khi x > ï ï ỵ  f  1  f 1 Ta có f  1  7, f 1  1    f  1   f 1 Vậy hàm số không chẵn khơng lẻ b) Ta có TXĐ: D   Với x   ta có  x   f (-x ) = ( -x ) + - ( -x ) - = x - - x + Suy f   x   f  x  Do f ( x ) = x + - x - hàm số chẵn c) Ta có x   x  x  x  x   x  với x Suy TXĐ: D   Mặt khác x   x  x   x  x   x  CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 f (x ) = ( (x + x +1 +x x2 + )( ) x +1-x CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI ) - 2x - = 2x x + Với x   ta có  x   f (-x ) = ( -x ) Do f (x ) = x + x2 + ( -x ) + = -2x x + = -f ( x ) - 2x - hàm số lẻ x +1-x d) Ta có TXĐ: D   Dễ thấy x   ta có  x   Với x  ta có  x  suy f   x   1, f  x    f   x    f  x  Với x  ta có  x  suy f   x   1, f  x   1  f   x    f  x  Và f  0    f    Do với x   ta có f   x    f  x  ì ï -1 Khi x < ï ï ï Vậy hàm số f (x ) = í Khi x = hàm số lẻ ï ï Khi x > ï ï ỵ Ví dụ 3: Tìm m để hàm số: f ( x ) = x ( x - ) + ( 2m - ) x x2 + - m hàm số chẵn Lời giải: ĐKXĐ: x   m (*) Giả sử hàm số chẵn suy f   x   f  x  với x thỏa mãn điều kiện (*) Ta có f   x   x  x     2m   x x2   m Suy f   x   f  x  với x thỏa mãn điều kiện (*)  x  x     2m   x x2   m  x  x     2m   x x2   m với x thỏa mãn điều kiện (*)   2m   x  với x thỏa mãn điều kiện (*)  2m    m  1 * Với m  ta có hàm số f ( x ) = ĐKXĐ : x (x - 2) x2 + - x2    x  Suy TXĐ: D   \ 0 Dễ thấy với x   \ 0 ta có  x   \ 0 f   x   f  x  Do f ( x ) = x (x - 2) x2 + - hàm số chẵn * Với m  1 ta có hàm số f ( x ) = x (x - 2) x2 + + TXĐ: D   Dễ thấy với x   ta có  x   f   x   f  x  CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Do f ( x ) = CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI x (x - 2) hàm số chẵn x2 + + Vậy m  1 giá trị cần tìm Bài tập luyện tập Bài 2.4:: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau: a) f ( x ) = d) f ( x ) = g) f (x ) = x + 5x x2 + b) f ( x ) = x -5 x -1 x2 + x2 - c) f ( x ) = e) f ( x ) = 3x - 2x + f) f ( x ) = x -1 + x +1 h) f (x ) = 2x - + 2x + Bài 2.5: Tìm m để hàm số: y = f ( x ) = x +1- 1-x x3 x -1 x +2 + x -2 x -1 - x +1 x ( x - ) + 2m - x - 2m + hàm số chẵn Bài 2.6: Cho hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) có tập xác định D Chứng minh a) Nếu hai hàm số lẻ hàm số y = f ( x ) + g ( x ) hàm số lẻ b) Nếu hai hàm số chẵn lẻ hàm số y = f ( x ) g ( x ) hàm số lẻ Bài 2.7: a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng y = x - (m - 9)x + (m + 3)x + m - b) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng y = x - (m - 3m + 2)x + m - Bài 2.8: Chứng minh đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng: y = x + 3-x + 3+x DẠNG TỐN XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN(ĐƠN ĐIỆU) CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG Phương pháp giải C1: Cho hàm số y = f (x ) xác định K Lấy x 1, x Ỵ K ; x < x , đặt T = f (x ) - f (x ) · Hàm số đồng biến K Û T > · Hàm số nghịch biến K Û T < C2: Cho hàm số y = f (x ) xác định K Lấy x 1, x ẻ K ; x x , đặt T = · Hàm số đồng biến K Û T > · Hàm số nghịch biến K Û T < Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Xét biến thiên hàm số sau khoảng ( 1;+¥ ) x -1 Lời giải: a) y = b) y  x  x a) Với x1 , x2  1;   , x1  x2 ta có f  x2   f  x1   Suy f (x ) - f (x ) x - x1  x1  x2  3   x2  x1   x2  1 x1  1 f  x2   f  x1   x2  x1  x2  1 x1  1 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Vì x1  1, x2   CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI f  x2   f  x1  nghịch biến khoảng ( 1;+¥ )  nên hàm số y = x2  x1 x -1 b) Với x1 , x2  1;   , x1  x2 ta có   1  1  f  x2   f  x1    x2     x1     x2  x1  1   x2   x1    x1 x2  Suy f  x2   f  x1   1 x2  x1 x1 x2 Vì x1  1, x2   f  x2   f  x1   nên hàm số y  x  đồng biến khoảng ( 1;+¥ ) x x2  x1 Ví dụ 2: Cho hàm số y = x - a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số ( -¥; ) ( 0;+¥ ) b) Lập bảng biến thiên hàm số éë -1; ùû từ xác định giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số é -1; ù ë û Lời giải: TXĐ: D = R a) "x 1, x ẻ , x < x ị x - x > Ta có T = f ( x ) - f ( x ) = ( x 22 - ) - ( x 12 - ) = x 22 - x 12 = ( x - x ) ( x + x ) Nếu x 1, x ẻ ( -Ơ; ) ị T < Vậy hàm số y = f ( x ) nghịch biến ( -¥; ) Nu x 1, x ẻ ( 0; +Ơ ) Þ T > Vậy hàm số y = f ( x ) đồng biến ( 0;+¥ ) b) Bảng biến thiên hàm số y = x - éë -1; ùû x 1 3 y  x2  4 Dựa vào bảng biến thiên ta có max y  x  , y  4 x   1;3  1;3 Ví dụ 3: Xét biến thiên hàm số y = 4x + + x - tập xác định Áp dụng giải phương trình a) 4x + + x - = b) 4x + + x - = Lời giải: 4x + + x  4 x   x   * ĐKXĐ:    x 1  x 1   x  Suy TXĐ: D  1;   Với x1 , x2  1;   , x1  x2 ta có 10 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI CHỦ ĐỀ 4: ÔN TẬP  x   Bài 2.39: Cho hàm số f  x    x   2 x x   a) Tính f  2  ; f   b) Tìm x , cho f  x   Bài 2.40: Tìm tập xác định hàm số sau x2  x2  b) y  x  7x  2 x x 5 Bài 2.41: Xét tính chẵn lẻ hàm số a) y  x x a) y  x  x4  x2 1 b) y  1 x  1 x x 1  1 x Bài 2.42 : Xác định a b để đồ thị hàm số y  ax  b cắt trục hồnh điểm có hồnh độ qua điểm A  2;1 Bài 2.43: Cho hàm số y   x  mx  (m tham số) a) Với m  , vẽ đồ thị hàm số b) Tìm m cho đồ thị hàm số nói parabol nhận đường thẳng x  làm trục đối xứng 3x  Bài 2.44: Tìm giá trị m để hàm số y  xác định R x  2x  m  Bài 2.45: Dây truyền đỡ cầu treo có dạng Parabol A B ACB hình vẽ Đầu cuối dây gắn chặt vào điểm A B trục AA' BB' với độ cao 30m Chiều dài nhịp A ' B '  200m Độ cao ngắn dây truyền cầu OC  5m Xác định chiều dài C dây cáp treo (thanh thẳng đứng nối cầu với dây truyền)? O B' A' Bài 2.46: Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x x - điểm điểm Bài 2.47: Cho f hàm số lẻ đồng biến  a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Chứng minh f (a ).f (b) + f (b).f (c) + f (c).f (a ) £ HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ PHẦN BÀI TẬP LUYỆN TẬP  x 1  x 1  x 1 Bài 2.0: a) ĐKXĐ:     TXĐ: D  1;   \ 2  x  2 x  x 2 x    x  2 b) ĐKXĐ:    x   TXĐ: D  1;    x 1   x 1 1  c) ĐKXĐ: x  x     x     (đúng x )  TXĐ: D   2   x  1  x 1   x  1    x  2    TXĐ: D   1;   \ 3 e) ĐKXĐ:  x  x    x3 x   f) TXĐ: D   \ 2 33 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Bài 2.1: a) D  1; 2 b) D   2; 2 \ 0 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI 2  c) D   ;  3    x  x    f) ĐKXĐ:     x  x   e) D   3;    d) D  1;6  x  1  x 1 20 x 1  x 2  x   Suy D   \ 1; 4 1   4x 1   x     g) ĐKXĐ:      x   D    ;0      x   x   h) TXĐ: D   ;1   2;   Bài 2.2: a) ĐKXĐ: x  m é m³0 Hàm số xác định ( -1; ) Û m Ï ( -1; ) Û êê êë m £ -1 x0 b) ĐKXĐ:  (*) x  m Nếu m  (*)  x  m  D   m;   nên m  khơng thỏa mãn Nếu m  (*)  x   D   0;   Vậy m  giá trị cần tìm Bài 2.3: a) m ³ , b) m Î éë 0;1 ùû c) m Î éë 1; ùû Bài 2.4: a) Hàm số lẻ b) Hàm số chẵn c) TXĐ: D   1;1 nên x  D   x  D f   x    x   x   f  x  , x  D Vậy hàm số cho hàm số lẻ d) TXĐ: D   \ 1 Ta có x  1  D  x   D Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ e) TXĐ: D   Ta có f 1  2, f  1  Suy f  1  f 1 , f  1   f 1 Do hàm số khơng chẵn khơng lẻ f) TXĐ: D     1   1;1  1;   nên x  D   x  D ( -x ) x3 f ( -x ) = == -f ( x ) , " x Ỵ D -x - x -1 Vậy hàm số cho hàm số lẻ g) TXĐ: D    x  D   x  D f (-x ) = -x - + -x + -2x - + -2x + = f ( x ) , "x Ỵ D Vậy hàm số cho hàm số chẵn ìï x - ¹ x + Ûx ¹0 h) ĐKXĐ: x - ¹ x + Û ïí ïï x - ¹ - ( x + ) ỵ TXĐ: D   \ 0  x  D   x  D 34 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 f (-x ) = -x + + -x - -x - - -x + CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI = -f ( x ) , " x Ỵ D Vậy hàm số cho hàm số lẻ Bài 2.5: m  Bài 2.6: a) Ta có hàm số y = f ( x ) + g ( x ) có tập xác định D Do hàm số y = f ( x ), y = g ( x ) lẻ nên x  D   x  D f   x    f  x  , g   x    g  x  suy y ( -x ) = f ( -x ) + g ( -x ) = - éë f ( x ) + g ( x ) ùû = -y ( x ) Suy hàm số y = f ( x ) + g ( x ) hàm số lẻ b) Giả sử hàm số y = f ( x ) chẵn, y = g ( x ) lẻ Khi hàm số y = f ( x ) g ( x ) có tập xác định D nên x  D   x  D Ta có y ( -x ) = f ( -x ) g ( -x ) = f ( x ) éë -g ( x ) ùû = -f ( x ) g ( x ) = -y ( x ) Do hàm số y = f ( x ) g ( x ) lẻ Bài 2.7: a) Ta có TXĐ: D    x  D   x  D Đồ thị hàm số cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng hàm số lẻ  f   x    f  x  , x      x   (m  9)   x   (m  3)   x   m  3    x3  (m  9) x  (m  3) x  m  3 , x    2(m  9) x   m  3  0, x   m    m3  m3  b) Ta có TXĐ: D    x  D   x  D Đồ thị hàm số cho nhận trục tung làm trục đối xứng hàm số chẵn  f   x   f  x  , x      x   (m  3m  2)   x   m   x  (m  3m  2) x3  m  1, x   m 1  2(m  3m  2) x3  0, x    m  3m     m  4  Bài 2.9: a) Hàm số đồng biến  ;  nghịch biến khoảng 3  4   ;   3  b) Với x1 , x2  , x1  x2 ta có 2 f  x2   f  x1   x2  x2     x1  x1   K   x1  x2  x2  x1 x2  x1 x1 , x2   ; 2   K  suy hàm số nghịch biến  ; 2  x1 , x2   2;    K  suy hàm số đồng biến  2;   c) Với x1 , x2  , x1  x2 ta có f  x2   f  x1    x1  x2  2   K  x2  x1   x2   x1    x2   x1   Với x 1, x Ỵ ( -Ơ;2 ) ị K < ú hm s nghịch biến ( -¥;2 ) 35 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI Với x 1, x ẻ ( 2; +Ơ ) ị K < hàm số nghịch biến ( 2;+¥ ) d) Với x1 , x2   ;1 , x1  x2 ta có f ( x ) - f ( x1 ) = Suy x2 x1 x1 - x = x - x - ( x - )( x - ) f  x2   f  x1  1  0 x2  x1  x2  1 x1  1 Vậy hàm số nghịc biến  ; 1 Bài 2.10:  Với x1 , x2  , x1  x2 ta có 3 f  x2   f  x1   x2  x2    x1  x1    x22  x12  x2 x1   x2  x1 x2  x1 Suy hàm số cho đồng biến   Ta có x3  x  x    x3  x  x   x  Đặt x   y , phương trình trở thành x3  x  y  y Do hàm số f  x   x3  x đồng biến  nên  x  1 x  y  2x 1  x  x  2x 1    x  1  3 Bài 2.11: a) Với x1 , x2  1;   , x1  x2 ta có f ( x ) - f ( x1 ) =  ( ) ( x - + x 22 - 2x - x - + x 12 - 2x x2  x1   x2  x1  x2  x1   x2   x1  Suy f  x2   f  x1   x2  x1 )  x2  x1   x2   x1  Do hàm số cho đồng biến 1;   b) Hàm số cho đồng biến 1;   nên đồng biến  2;5 Vậy max y  y    17  x  , y  y     x   2;5  2;5 Bài 2.12: a) f ( ) = Û m + = Û m = b) Đồ thị hàm số y = f ( x ) qua điểm A ( 1; )  m 1  3  m  m   m  m      m  2 Bài 2.13: a) Ta có y = x + 2(m - 1)x + (m - 4m + 1)x - 2(m + 1)  m2  x    m  x  x   x3  x  x   y  Tọa độ điểm cố định mà họ đồ thị đồ thị qua nghiệm hệ x   x    2 x  x  y   x3  x  x   y   Vậy điểm cần tìm A  2;0  36 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI b) Điểm cố định A  4;3 , B  0;1 Bài 2.14: Điểm M (1; 0) thuộc đồ thị hàm số cho f 1      m  1   m  1   m  3m     3m  5m    m   13  13 giá trị cần tìm Bài 2.15: a) Ta tịnh tiến đồ thị hàm số y   x  sang trái đơn vị ta đồ thị hàm số Vậy m  y    x    tịnh tiến lên 1 đơn vị ta đồ thị hàm số y    x     2 b) Ta có x3  x  x    x  1  Do tịnh tiến đồ thị hàm số y  x3 để đồ thị hàm số y  x  x  x  ta làm sau Tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số y  x3 sang bên trái đơn vị lên đơn vị Bài 2.16: Gọi hàm số cần tìm y = ax + b, a a) Vỡ A ẻ d v B Ỵ d nên ta có hệ phương trình ì ï ï a =ì = a +b ï ï ï ï Þ y = -2 x + Ûí í ï ï 3 ï = -2a + b ï ỵ b= ï ï ỵ ìïa = b) Ta có D : y = x + Vì d / /D nên ùớ ùù b ợ Mt khỏc C ẻ d Þ -2 = 2a + b Þ b = -4 Vậy hàm số cần tìm y = x - ỉ b c) Đường thẳng d cắt trc Ox ti P ỗỗ - ; ữữữ v cắt Oy Q ( 0;b ) với a < 0, b > ỗố a ứ ộ b = 0(l ) b = b Û b (a + ) = Û êê a êë a = -1 Ta cú M ẻ d ị = a + b Þ b = Vậy hàm số cần tìm y = -x + Ta có OP = OQ Û - d) Đường thẳng d qua N ( 1; -1 ) nên -1 = a + b Và d ^ d ' Þ a = suy b = -2 Vậy hàm số cần tìm y = x - Bài 2.17: Tọa độ giao điểm(nếu có) hai đường thẳng d, d ' nghiệm hệ phương trình ïìï y = 2x ïì x = Û ïí suy d, d ' cắt M ( 2; ) í ïï y = -x + ïï y = ỵ ỵ Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên M Ỵ d " ta có = 2m + 5m + Þ 2m + 5m - = Û m = Dễ thấy với m = -5 ± 33 -5 ± 33 ba đường thẳng phân biệt đồng quy 37 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Vậy m = CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI -5 ± 33 giá trị cần tìm ỉ3 Bài 2.18: a) Đồ thị hàm số y = -2x + i qua A ( 0; ), B ỗỗ ; ữữữ ỗố ứ y thị hàm số y = x + qua A ' ( 0;2 ), B ' ( -2; ) Đồ thị hàm số y = ỉ 3ư i qua M ỗỗ 0; ữữữ v song song vi trc honh ốỗ ứ ổ1 7ử b) Giao điểm hai đồ thị hàm số y = -2x + 3, y = x + M çç ; ÷÷÷ çè 3 ø Giao điểm hai đồ thị hàm số y = -2x + 3, y = Giao điểm hai đồ thị hàm số y = x + 2, y = O -2 x ổ3 3ử l M ỗỗ ; ữữữ ốỗ ứ ổ 3ử l M ỗỗ - ; ữữữ ỗố 2 ứ Bài 2.19: a) Bảng biến thiên hàm số éë -3; ùû x y -3 -1 2 -3 b) Dựa vào đồ thị hàm số cho ta có max = x = é ù ë -2;2 û = -2 x = é ù ë -2;2 û Bài 2.20: Đồ thị hàm số y = 2x - qua A ( 0; -3 ), B ( 2;1 ) ta gọi (C ) · Khi đồ thị hàm số (C ) : y = x - phần xác định sau Ta giữ nguyên đồ thị (C ) bên phải trục tung; lấy đối xứng đồ thị (C ) phần bên phải trục tung qua trục tung · (C ) : y = 2x - phần đồ thị (C ) nằm phái trục hoành đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành phần nằm trục hoành (C ) · (C ) : y = x - phần đồ thị (C ) nằm phái trục hoành đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành phần nằm trục hoành (C ) y y y 1 O (C) x O x -2 -1 O -3 38 x CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI Bài 2.21: Ta có y = x - - x - ì ï -2x + Khi x ³ ï ï ï = í -4x + Khi £ x < ï ï 2x - Khi x < ï ï ỵ Bảng biến thiên -¥ x y y +¥ x -3 -3 -¥ max y = x = é ù O -1 -¥ ë 0;2 û y = -3 x = é 0;2 ù ë û ì ï -x + Khi x ³ ï ï Bài 2.22: a) Ta có y = - x -2 = ï í x - Khi - < x < ï x +2 ï x - Khi x < -2 ï ù ợ Bng bin thiờn +Ơ -Ơ -2 x +¥ y x +2 -¥ -¥ -¥ b) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = thẳng y = m sau: x + 4x + - x - ta có số giao điểm với đường x +2 Với m > có giao điểm Với m = có hai giao điểm Với m < có ba giao điểm Bài 2.23: Từ giả thiết ta có x , y, z ẻ ộờ 0; ựỳ ị xy + yz + zx - 2xyz = xy + yz (1 - x ) + zx (1 - y ) ³ ë û Củng từ giả thiết ta suy yz £ xy + yz + zx - 2xyz £ Khi ta thấy Nếu x = (y + z )2 (1 - x )2 = Mặt khác ta lại có 4 7 Û f (yz ) = (1 - 2x )yz + x (1 - x ) £ (2) 27 27 1 £ (hiển nhiên đúng) BĐT (2) thành 108 39 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Nếu x ¹ CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI f (yz ) hàm số bậc Do để chứng minh f (yz ) £ ta cần chứng minh ìï f (0) £ ïï ỉ ư÷ ïí é ( - x )2 ự ỗ f (0) = x (1 x ) = x < Dễ thấy ữữ ỗỗ ỳ ùù f ờờ 27 2ứ 108 ố ú£0 ïï ê ú ïỵ ë û 2 é 1-x ù )ú (1 - x ) ê( fê + x (1 - x ) =( 6x + )( 3x - ) £ Vậy hai ú = (1 - 2x ) 4 27 108 ê ú ë û trường hợp ta kết luận f (yz ) £ Ta giải xong toán (y + z )2 (3 - x )2 = Bài 2.24: Từ giả thiết ta có x , y, z Ỵ éê 0; ùú yz £ Mặt khác ta thấy ë û 4 x + y + z + xyz ³ Û x + ( y + z ) - 2yz + xyz - ³ Û x + ( - x ) - 2yz + xyz - ³ Û f (yz ) = (x - 2)yz + 2x - 6x + ³ (3) Nếu x = BĐT (3) sẻ thành ³ (hiển nhiên đúng) Nếu x ¹ f (yz ) hàm số bậc Do để chứng minh f (yz ) ³ ta cần chứng minh ïìï f (0) ³ ïï é ổ ự ửữ ỗ D thấy f (0) = 2x - 6x + = ỗ x - ữữ + > v ờ(3 - x ) ỳ ỗ ùù f 2ứ è ú³0 ïï ê ú ïỵ ë û é 3-x ù )ú (3 - x ) ê( fê + 2x - 6x + = (x + 2) ( x - ) ³ Vậy hai trường hợp ta ú = (x - 2) 4 ê ú ë û kết luận f (yz ) ³ (y + z )2 (1 - x )2 = Bài 2.25: Từ giả thiết ta có x , y, z Î éê 0; ùú yz £ Mặt khác ta thấy ë û 4 1 Û x + (y + z )3 - 3yz (y + z ) + 6xyz - ³ 4 3 Û x + (1 - x ) - 3yz (1 - x ) + +6xyz - ³ x + y + z + 6xyz ³ Û f (yz ) = (3x - 1)yz + x - x + Nếu x = ³0 (4) 1 ³ (hiển nhiên đúng) BĐT (4) sẻ thành 36 f (yz ) hàm số bậc Theo TC2 để chứng minh f (yz ) ³ ta cần chứng minh ìï f (0) ³ ùù ổỗ ửữ ù ộ 1-x ù cho í ê ( Dễ thấy f (0) = x - x + = ỗ x - ữữ v )ỳ ùù f ỗố 2ø ú³0 ïï ê ú ïỵ ë û 2 é 1-x ù )ú (1 - x ) ỉ 1ư ê( fê + x - x + = x ỗỗ x - x + ữữữ ³ (đúng £ x £ ỳ = (3x - 1) 4 4 ỗố 3ø ê ú ë û Nếu x ¹ ỉ 1ử x - x + = ỗỗ x - ÷÷÷ + > ) Vậy hai trường hợp ta kết luận f (yz ) ³ ốỗ 2ứ 12 2 40 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI Bài 2.26: Ta có a + b + c £ a 2b + b 2c + c 2a + Û (b - 1)a + b 2c + c 2a + - b - c ³ Vì £ a £ Þ a ³ a Þ (b - 1)a + b 2c + c 2a + - b - c ³ (b - 1)a + b 2c + c 2a + - b - c = = ( c + b - )a + b 2c + - b - c = f (a ) Ta cần chứng minh f (a ) ³ (5) Nếu c + b - = Þ c = - b BĐT sẻ trở thành b 2c + (b - b ) ³ (đúng £ b, c £ ) Nếu c + b - ¹ ta có f (a ) hàm số bậc Do để chứng minh f (a ) ³ ta cần chứng minh cho ìï f (0) ³ ïí ïï f (1) ³ ỵ Dễ thấy f (0) = b 2c + - b - c = ( - c ) (1 + c - b ) = (1 - c) éë c + ( - b ) ùû ³ (đúng £ b, c £ ) f (1) = b 2c + (b - b ) ³ (đúng £ b, c £ ) Vậy hai trường hợp ta kết luận f (a ) ³ Ta giải xong toán Bài 2.27: Giả sử x = { x , y, z } từ giả thiết toán ta suy £ x £ Mặt khác ta lại có 4 1 Û yx + y 2z + z 2x £ Vì £ x £ Þ x £ x 27 27 3 æ1 ö 4 Þ yx + y 2z + z 2x £ yx + y 2z + z 2x = ỗỗ y + z ữữữ x + y 2z = f (x ) Bây ta s 27 27 ỗố 27 ứ x 2y + y 2z + z 2x £ chứng minh f (x ) £ (6) Nếu y + z = Þ y = z = BĐT (6) thành £ (hiển nhiên đúng) 27 y + z ¹ f (x ) hàm số bậc Theo TC2 để chứng minh f (x ) £ ta cần chứng ìï f (0) Ê ùù minh cho ổỗ ửữ Dễ thấy f (0) = y 2z ; x = nên từ giả thiết Þ y + z = Theo BT Cụsi ùù f ỗ ữữ Ê 27 ùợù ỗố ứ Nu 1 é ( y + z ) ùú = ta có y z = y.y.(2z ) £ êê ú 2 êë 27 úû ỉ1ư 1 Þ y 2z £ Þ f (0) Ê v f ỗỗ ữữữ = y 2z + y + z ; x = nờn t gi thit ta ỗố ứ 27 27 suy y + z = ỉ1ư ỉ2 ư 2 1ỉ2 ị z = - y ị f ỗỗ ữữữ = y ỗỗ - y ữữ + y + çç - y ÷÷ = -y + y - y = ữ ữ ỗ ỗ ỗ 3 3è3 27 è3ø è3 ø ø 2 éỉ ỉ ư÷ ÷ư ùú ê ç ç = -y ç y - y + ÷÷ = -y ỗ y - ữ + ỳ Ê (đúng y ³ ) Vậy hai trng hp ta kt lun ỗố 3ứ ữứ 12 ỳ ờở ỗố ỷ f (x ) Ê Ta giải xong toán Bài 2.28: Ta có x - 2(3m - 1)x + m + ³ Û f (m ) = (-6x + 1)m + x + 2x + ³ Ta thấy f (m ) hàm số bậc có hệ số m -6x + < (do x ẻ ộờ 1; + Ơ ) ) Theo TC1 f (m ) hàm ë nghịch biến Þ f (m ) ³ f (1) với "m £ Tức ta có x - 2(3m - 1)x + m + ³ (x - 2)2 ³ (đúng với "x Ỵ éê 1; + ¥ ) ) ë Vậy ta giải xong toán 41 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI ïì = + b + c ïìb + c = -1 ïìb = Û ïí Û ïí Bài 2.29: a) Vì (P) qua A, B nên ï í ïï -6 = - 2b + c ïï 2b - c = 10 ïïc = -4 ỵ ỵ ỵ Vậy (P): y = x + 3x – ì -b ï ï =1 ì ï ï ïb = -2 b) Vì (P) có đỉnh I ( 1; ) nên ï Û í í ï ï c=5 b - 4c ï ï ỵ =4 ï ï ỵ Vậy (P): y = x – 2x + c) (P) cắt Oy điểm có tung độ suy c = ìï b ï= -2 Û (P) có đỉnh S ( -2; -1 ) suy ra: ï í 2a ïï -1 = 4a - 2b + ỵï Bài 2.30: a) y = 4x + 3x - c) y = b) y = -x + 3x - 2 x + 3x - 2 d) y = 3x + 3x - Bài 2.31: a) y = x - 3x + Bài 2.32: a) Ta có Bảng biến thiên x y = x - 3x + 2 b) y = -2x - 8x + c) y = b D = ,=2a 4a -¥ +¥ - y = x - 3x + ìïb = ïí ïïa = ỵ có đỉnh A ( 2; ), B ( 1; ), C ( 0;2 ), D ( 3;2 ) Nhận đường thẳng x = y +¥ +¥ ỉ3 1ư I çç ; - ÷÷÷ , çè ø Suy đồ thị hàm số qua y = -x + 2x O x x y +¥ O -¥ điểm làm trục đối xứng hướng bề lõm lên b D = 1, =2 b) Ta có 2a 4a Bảng biến thiên -¥ x x - 2x + -¥ Suy đồ thị hàm số y = -2x + 4x có đỉnh I ( 1;2 ) , qua điểm O ( 0; ), B ( 2; ) Nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống 42 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Bài 2.33: a) Ta có Bảng biến thiên x y = -x - 2x + y = -x - 2x + CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI b D = -1, =4 2a 4a -¥ +¥ -1 -¥ có -¥ đỉnh A ( 1; ), B ( -3; ) I ( -1; ) , y Suy đồ thị hàm số qua điểm Nhận đường thẳng x = -1 làm trục đối xứng hướng bề lõm xuống b) Đường thẳng y = m song song trùng với trục hồnh dựa -3 x vào đồ thị ta có Với m < đường thẳng y = m parabol y = -x - 2x + cắt hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trục hồnh Do hàm số nhận giá trị âm v ch x ẻ ( -Ơ; -3 ) È ( 1; +¥ ) y = x = -1 d) max é ù ë -3;1 û y = x = -3, x = é ù ë -3;1 û ìï x - x x ³ Bài 2.34: a) Đồ thị hàm số y = ï gồm : í ïï -x + x + x < ỵ ỉ1 1ư + Parabol y = x - x có đỉnh I ỗỗ ; - ữữữ , trc i xng x = , qua điểm O ( 0; ), A ( 1; ) v ly ỗố ø phần đồ thị nằm bên phải đường thẳng x = ỉ1 9ư + Parabol y = -x + x + có đỉnh I ỗỗ ; ữữữ , trc i xng x = , qua điểm B ( -1; ), C ( 2; ) v ỗố ứ lấy phần đồ thị nằm bên trái đường thẳng x = b) Vẽ parabol ( P ) đồ thị hàm số y = -x + 2x + có đỉnh I ( 1; ) , trục đối xứng x = , qua điểm A ( -1; ), B ( 3; ),C ( 0; ), D ( 2; ) Khi đồ thị hàm số y = -x + 2x + gồm phần parabol ( P ) nằm phía trục hồnh phần đối ( P ) nằm trục hoành qua trục hoành Bài 2.35: a) Vẽ đồ thị hàm số ( P ) : y = -x - 2x + xứng có đỉnh I ( -1; -4 ) , trục đối xứng x = -1 , qua điểm A ( 1; ), B ( -3; ),C ( 0; ), D ( -2; ) Bề lõm hướng xuống Khi ( P1 ) đồ thị hàm số y = -x - x + gồm phần bên phải trục tung ( P ) phần lấy đối xứng qua trục tung b) Gọi ( P2 ) phần đồ thị ( P ) nằm trục hoành lấy đối xứng phần nằm trục hoành qua trục Ox 43 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI ìï -x - 2x + x ³ Vậy đồ thị hàm số y = ïí gồm phần bên đồ thị bên phải đường thẳng x = ïï -x - x + x < ỵ ( P2 ) phần đồ thị bên trái đường thẳng x = ( P1 ) Bài 2.36: a) Đặt t  x , x ẻ ộờở-2;1ựỳỷ ị t ẻ ộờở 0; 4ựỳỷ Xét hàm số f  t   t  2t , t   0; 4 Suy max y = Û x = -2, y = -1 Û x = ±1 [-2;1] [-2;1] b) Ta có y = x + 2x - x = (x + x )2 - (x + x ) Đặt t = x + x Xét hàm số t = x + x với x Ỵ [-1;1] b   , bảng biến thiên 2a t -1 2 t = x +x Ta có  t =Suy é ù ë -1;1 û £ t £ max t =2 é -1;1 ù ë û é ù Khi đó, hàm số viết lại : f (t ) = t - t với t Ỵ ê - ;2 ú êë úû Bảng biến thiên t 1 f (t ) = t - t 16 - Từ bảng biến thiên ta có é x =1 ê max y = max f ( t ) = x + x = Û t = hay ê x = -2 é ù [-1;1] ê - ;2 ú êë êë úû y = éminù f (t ) = [-1;1] ê- ; 2ú êë úû 1 -1 ± t = hay x + x = Û 2x + 2x - = Û x = 2 Bài 2.37: Ta có: 7(x + y ) + 4x 2y = éê ( x + y ) - 2x 2y ùú + 4x 2y ë û  xy    1 2 2 2     x y   x y   33  xy   14 xy     33t  14t   , t  xy 4    Ta có xy + = 2(x + y ) ³ 4xy Þ xy £ Mặt khác 2(x + y ) = xy + Û ( x + y ) = 5xy + Þ xy ³ 44 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 Xét hàm số f  t   Ta có max f  t    1  ;    CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI  1 33t  14t   , t    ;    3 70 18  t  , f  t   t 1   33 33  ;  25  3 Bài 2.38: Do x + y = nên : S = 16x 2y + 12 ( x + y ) + 9xy + 25xy = 16x 2y + 12 éê ( x + y ) - 3xy ( x + y ) ùú + 34xy ë û = 26x 2y - 2xy + 12 Đặt t = xy , ta được: S = 16t - 2t + 12; £ xy £ (x + y ) = ộ 1ự ị t ẻ 0; ú êë úû é 1ù Xét hàm số f ( t ) = 16t - 2t + 12 đoạn ê 0; ú ta tìm êë úû 25 Giá trị lớn S ; ìï x + y = ï ổ1 1ử ( x ; y ) = ỗỗ ; ữữữ Khi ùớ ùù xy = ốỗ 2 ø ïỵ ìï x + y = 191 Giá trị nhỏ S ; Khi ïí ïï xy = 16 16 ỵ ỉ + - ÷ư ỉ - + ư÷ ÷÷ ( x ; y ) = ỗỗ ữ ( x ; y ) = ỗỗỗ ; ỗỗ ; ữữ ỗố 4 ÷ø è ø f  2  f  2   ; + Bài 2.39: a) + b) + Khi x  có f  x    3 x ( loai) x3 + Khi x  có f  x     x   x  7 ( nhận)  x  1 Bài 2.40: a) Hàm số xác định khi: x  x     x  TXĐ D   \ 1;8 2  x  x  b) Hàm số xác định   x    x  1 Vậy tập xác định D =  ;2  \  1 Bài 2.41: a) TXĐ: D   \ 1;1 Suy x  D   x  D f x  x  x  x      x 1  x x   f  x  , x  D x6  x4  x2  Vậy hàm số cho lẻ b) TXĐ: D   1;1 \ 0 Suy x  D   x  D 45 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 1 x  1 x f x  x 1  1  x  CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI 1 x  1 x  f  x  , x  D x 1  1 x Vậy hàm số cho chẵn Bài 2.42: Vì đường thẳng y  ax  b cắt trục hồnh điểm có hồnh điểm có hồnh độ nên: 3a  b  (1) Vì A  2; 1 thuộc đường thẳng y  ax  b nên: 2a  b  (2)  a  3a  b    Từ (1)và (2) ta có hệ pt:  2a  b  b   Bài 2.43: a) Với m  ta có hàm số: y   x  x  5 9 Vẽ đồ thị: Đỉnh I  ;  Trục đối xứng: x  2 4 Bảng giá trị x y 2 b) Để đường thẳng x  làm trục đối xứng y O x m 2m4 2.(1) Bài 2.44: Hàm số xác định   x  x  m   0, x   x  1  m   0, x  m    m  Bài 2.45: Chọn trục Oy trùng với trục đối xứng Parabol, trục Ox nằm cầu Hình vẽ Khi ta có A ( 100; 30 ), C ( 0; ) , ta tìm phương trình Parabol có dạng y = ax + bx + c Parabol có B A(100;30) y M3 C M1 M2 đỉnh C qua A nên ta x A' O B' ìï b ïï =0 ïï 2a có hệ phương trình: ïí a.0 + b.0 + c = Û ïï ïïa.100 + b.100 + c = 30 ïïỵ ì ï ï a= ï ï 400 ï ï íb = ï ï c =5 ï ï ï ï ỵ x + Bài toán đưa việc xác định chiều dài dây cáp treo Suy Parabol có phương trình y = 400 tính tung độ điểm M , M , M Parabol Ta dễ dàng tính tung độ điểm có hồnh độ x1  25, x2  50, x3  75 y1  6,56  m  , y2  11, 25  m  , y3  19, 06  m  Đó độ dài dây cáp treo cần tính 46 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI ìï x - 2x x ³ Bài 2.46: Ta có: y = x x - = ïí ïï -x + 2x x < ỵ Lập bảng biến thiên(hoặc vẽ đồ thị) từ ta suy đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số y = x x - điểm m < m > Bài 2.47: Trong ba số a, b, c phải có hai số không trái dấu thêm f hàm số lẻ nên f (a ).f (b) + f (b).f (c) + f (c).f (a ) = f (-a ).f (-b) + f (-b).f (-c) + f (-c).f (-a ) ( -a ) + ( -b ) + ( -c ) = Do khơng tính tổng quát ta giả sử a ³ 0; b ³ Vì nên f (c ) = f ( -a - b ) = -f (a + b ) Do bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( f (a ) + f (b) ) f (a + b) ³ f (a )f (b) (*) f hàm số lẻ Mặt khác = f (0) £ f (a ), = f (0) £ f (b), f (b) £ f (a + b) f hàm số đồng biến  Vì theo bất đẳng thức cơsi ta có f (a + b) ³ f (a ) + f (b) ³ f (a )f (b) Từ đó: ( f (a ) + f (b) ) f (a + b) ³ f (a )f (b) f (a )f (b) = f (a )f (b) ³ f (a )f (b) Do (*) suy điều phải chứng minh 47 ...CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI CHỦ ĐỀ 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT nh ngha Cho D è , D ặ Hàm số f xác... lớn nhỏ hàm số đoạn  2;5 11 CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI DẠNG TOÁN 4: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ VÀ TỊNH TIẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ Phương pháp giải  Cho hàm số y =... TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI Phương pháp giải Để xác định hàm số bậc hai ta sau 24 b 2a +¥ x CHUYÊN ĐỀ TỰ LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHUYÊN ĐỀ II HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI