Chuyên đề phương trình nghiệm nguyên

CHƯƠNG I - Các dạng phương trình I-Phương trình nghiệm nguyên dạng: ax + by = c (1) với a, b, c є Z Cách giải thông thường khác (3 bước) Bước 1: Rút ẩn theo ẩn (giả sử rút x theo y) Bước 2: Dựa vào điều kiện nguyên x, tính chất chia hết suy luận để tìm y Bước 3: Thay y vào x tìm nghiệm ngun Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x + 5y =7 Hướng dẫn: Ta có 2x + 5y =7 ⇔ x = Do x, y nguyên ⇒ 1− y nguyên Đặt − 5y 1− y ⇔ x = – 2y + =t với (t є Z ) ⇒ y = – 2t ⇒ x = – 2(1- 2t) + t = 5t + Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: x = 5t + y = -2t +1 (t є Z ) Ví dụ 2: Giải phương trình nghiệm nguyên 6x – 15 y = 25 Hướng dẫn: Ta thấy( 6,15 ) = mà 3/25 Vậy không tồn x,y nguyên cho 6x- 15y = 25 Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 5x + 7y = 112 1− y Hướng dẫn: Ta có 5x + 7y = 112 ⇒x= 112 − y = 22 - y + Do x, y nguyên ⇒ − 2y − 2y nguyên hay (2 – 2y) 5 ⇔ 2(1-y)  5; (2 , 5) = ⇒ (1-y)  hay (y-1) 5 Đặt y-1 = 5t (t є Z ) ⇒ y = 5t +1 thay y vào x ta có x = 21 – 7t lại có x > 0; y > ⇒ 5t + > 21 – 7t > ⇒ t > -5 t ⇒ y – m – – 22m – + 2m = mà 22m – 1và 2m số chẵn nên: ⇒ y – m – lẻ ⇒ y – m – = ⇒ y – m – = ⇒ y = m + ⇒ m - 22m – = ⇒ m = 22m – ⇒ m = 2m – ⇒ m = ⇒y=2;x=1 Vậy (x, y) = (0; 0); (1; 2) IV Phương trình nghiệm nguyên đưa dạng [g1 (x1, x2,…., xn)]2 + [g2 (x1, x2,…., xn)]2 + …+ [gn (x1, x2,…., xn)]2 = 1.Cách giải:Ta thấy vế trái phương trình số hạng khơng âm, tổng chúng nên số hạng phải g1 (x1, x2,…., xn) = Do có: g2 (x1, x2,…., xn) = ………………… gn (x1, x2,…., xn) = Giải hệ ta x1 , x2 ,…, xn Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2 + y –2xy + 2y – 6x + = Hướng dẫn: (Dùng phương pháp phân tích thành nhân tử ta biến đổi vế trái phương trình) 2x2 + y –2xy + 2y – 6x + = Ta có Vậy ⇔ y – 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 – 4x + = ⇔ (y – x + 1)2 + (x – )2 = y–x+1=0 hay x=2 x–2=0 y=1 Vậy nghiệm nguyên phương trình x = ; y = Ví dụ 8: Tìm nghiệm ngun phương trình : (x –1) (y+1) = (x+ y)2 Hướng dẫn: (x-1) (y+1) = (x+ y)2 Ta có ⇔ (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2 ⇔ [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = ⇔ (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = ⇔ [(x-1) + ⇔ y+1=0 (x-1) + (y+1)]2 + (y+1)2 = ⇔ (y+1) = y = -1 x=1 Vậy nghiệm phương trình ( x = ; y = -1) V- Phương trình nghiệm ngun mà ẩn có vai trị bình đẳng Khi làm tốn ta thường gặp số tốn mà ẩn bình đẳng với Để giải tốn có nhiều cách giải khác tuỳ thuộc vào loại cụ thể Ở ta nghiên cứu đến phương pháp giải toán này: Ta giả sử ẩn xảy theo trật tự tăng dần tiến hành giải Ví dụ 9: Tìm nghiệm ngun dương phương trình 1 + + + =1 xy yz xz xyz Hướng dẫn: Giả sử 1≤ x ≤ y ≤ z ⇒ x2 ≤ xy ≤ xz ≤ yz ≤ xyz ⇒ ⇔ 1 1 1 = xy + yz + xz + xyz ≤ x + x + x + x 1≤ 12 x2 ⇒ x2 ≤ 12 ⇒ x є 1 Nếu x = ⇒ y + yz + z + yz = 1, 2,3 ⇒ z + + y + = yz ⇒ yz – z – y + = 11 (y- 1) (z - 1) = 11 ⇒ y = ; z = 12 z =2 ; y = 12 Nếu x = ⇒ y + + + yz yz = 2z ⇒ (2y - 1) (2z-1) = 23 ⇒ y = 1; z = 12 y = 12; z = Nếu x = ⇒ (3y – 1) (3z - 1) = 37 vô nghiệm Vậy (x, y, z) = (1; 2, 12) hốn vị Ví dụ 10: Tìm x, y, z nguyên phương trình xz xy yz + + y =3 z x Hướng dẫn: Vì x, y, z bình đẳng nên ta giả sử < x ≤ y ≤ z ⇒3= xz z xy yz y yz + + = x ( + ) + ≥ 2x + x y y z x z x ⇒ 3x ≤ ⇒ x≤ ⇒ x = Với x = ta có = z y + yz + y ≥ + yz z ⇒ yz ≤ ⇒ y = ; z = Vậy nghiệm pt (1,1,1) Ví dụ 11: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm tự nhiên 1 + = (x,y ≠ 0) + y2 xy x Hướng dẫn: Vì x, y có vai trị bình đẳng Ta giả sử 1≤ x ≤ y Ta có x2 ≤ xy ≤ y2 (giả sử phương trình có nghiệm tự nhiên) ⇒1= 1 + ≤ + y xy x x2 ⇒ x2 ≤ ⇒ x = 1( x є N* ) ⇒ 1+ y + y = (vơ nghiệm) ⇒ phương trình khơng có nghiệm số tự nhiên CHƯƠNG II: Một số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Khơng có phương pháp chung để giải phương trình nghiệm nguyên để giải người ta thường áp dụng số phương pháp sau kết hợp phương pháp tuỳ theo cụ thể Sau số phương pháp thường dùng I- Phương pháp : Sử dụng tính chẵn lẻ Ví dụ 12: Tìm x, y ngun tố thoả mãn y2 – 2x2 = Hướng dẫn: Ta có y2 – 2x2 = ⇒ y2 = 2x2 +1 ⇒ y số lẻ Đặt y = 2k + (với k nguyên).Ta có (2k + 1)2 = 2x2 + ⇔ x2 = k2 + 2k ⇒ x chẵn , mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Hướng dẫn: Ta có: (2x + 5y + 1)( x + y + x2 + x) = 105 Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2x + 5y + lẻ ⇒ 5y chẵn ⇒ y chẵn x x + y + x + x = + y + x(x+ 1) lẻ có x(x+ 1) chẵn, y chẵn ⇒ x lẻ ⇒ x = ⇒ x = Thay x = vào phương trình ta (5y + 1) ( y + 1) = 105 5y2 + 6y – 104 = ⇒ y = y = − 26 ( loại) Thử lại ta có x = 0; y = nghiệm phương trình II Phương pháp : Phương pháp phân tích Thực chất biến đổi phương trình dạng: g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x2,…., xn) = a Ví dụ 14: Tìm nghiệm ngun phương trình x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 ⇔ x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 ⇔ (x+1)4 – y2 = ⇔ [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= (x+1)2 – y = ⇔ + y = 1- y ⇔ (x+1)2 + y = (x+1)2 – y = -1 -1 + y = -1 - y (x+1)2 + y = -1 ⇒ y = ⇒ (x+1)2 = ⇔ x+1 = ±1 ⇒ x = x = -2 Vậy ( x, y ) = ( 0, ); ( - 2, ) Ví dụ 15: Tìm x, y nguyên cho ( x + y ) P = xy với P nguyên tố Giải Ta có ( x + y ) P = xy với xy – Px – Py = ⇔ x ( y – P ) – ( Py – P2) = P2 ⇔ ( y- P ) ( x- P ) = P2 Mà P nguyên tố ⇒ P2 = 1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = ( -P ) (-P) ⇒ Các cặp số (x,y ) là: (P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) hoán vị chúng Phương pháp : Phương pháp cực hạn Sử dụng số toán vai trị ẩn bình đẳng nhau: Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ Ta có: ( x + y + z + t ) + 10 = xyzt 5 5 10 30 ⇔ = yzt + + xyt + xyz + xyzt ≤ xzt t ⇒ t ≤ 15 ⇒ t = t = * Với t = ta có 5 (x+ y + z + 1) + 10 = xyz 15 30 ⇔ = yz + + xy + xyz ≤ z xz ⇒ z 2 ≤ 15 ⇒ z = {1;2;3} Nếu z = có (x+ y ) + 20 = 2xy ⇔ (2x – 5) (2y - 5) = 65 ⇒ x = 35 x=9 y=3 y= Ta nghiệm ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị chúng Với z = 2; z = phương trình khơng có nghiệm ngun * Với t = 5 (x+ y + z ) + 20 = xyz 20 35 ⇔ = xy + yz + + xyz ≤ xz z ⇒ z 35 ≤ ≤ ⇒ z = (vì z≥ t≥ 2) ⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 Do x≥ y≥ z ≥ nên 8x – ≥ 8y – ≥ 11 ⇒ (8x – 5) (8y – 5) = 265 vơ nghiệm nghiệm phương trình (x, y, z) = ( 35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hốn vị Ví dụ 17: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x + y + z +t = xyzt Hướng dẫn: Ta giả sử 1≤ x≤ y ≤ z ≤ t có xyzt = x + y + z +t ≤ 4t Vì t nguyên dương ⇒ xyz ≤ ⇒ xyz ∈{1,2,3,4} Nếu xyz = ⇒ x = y = z = ⇒ 3+t = t ( loại) Nếu xyz = mà x ≤ y ≤ z ⇒ x = 1; y=1; z = ⇒ t = Nếu xyz = mà x ≤ y ≤ z ⇒ x = 1; y=1; z = ⇒ t = 5/2 ( loại ) Nếu xyz = mà x ≤ y ≤ z ⇒ x = 1; y=1; z = x = 1; y=2; z = ⇒ t = ( loại t ≥ z) t = 5/4 ( loại ) Vậy nghiệm phương trình ( x;y;z) = (1;1;2;4) hoán vị chúng IV- Phương pháp loại trừ ( phương pháp ) Khẳng định nghiệm loại trừ giá trị cịn lại ẩn Ví dụ 18: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình 1! + 2! + … + x! = y Hướng dẫn: Với x≥ x! có tận 1! + 2! + 3! + 4! Có tận ⇒ 1! + 2! + … + x! có tận 3, khơng số phương (loại) Vậy x < mà x nguyên dương nên: x = {1;2;3;4} Thử vào phương trình ta (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) thoả mãn Ví dụ 19: Tìm tất nghiệm nguyên phương trình y2 + y = x4 + x3 + x2 + x y2 chia cho có số dư ⇒ 2y2 chia cho dư ⇒ x2 – y2 chia cho dư ±1 ± 2(loại) Vậy phương trình x2 – 2y2 = vơ nghiệm Ví dụ 21: Tìm x, y số tự nhiên thoả mãn y x2 + = 3026 Hướng dẫn: Xét y = ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025 mà x є N ⇒ x = 55 Xét y > ⇒ ⇒ x2 + y y  3, x2 chia cho dư chia cho dư mà 3026 chia cho dư (loại) Vậy nghiệm (x,y) = (55,0) VI Phương pháp : Sử dụng tính chất số ngun tố Ví dụ 22: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn xy + = z Hướng dẫn: Ta có x, y nguyên tố xy + = z ⇒ z > Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒x=2 Xét y = ⇒ 22 + = nguyên tố ⇒ z = (thoả mãn) Xét y> ⇒ y = 2k + (k є N) ⇒ 22k+1 + = z ⇒ 4k + = z Có chia cho dư ⇒ (2.4k+1)  ⇒ z (loại) Vậy x = 2, y = 2, z = thoả mãn Ví dụ 23 : Tìm số nguyên tố p để 4p + số phương Hướng dẫn: đặt 4p + = x2 (x є N) ⇒ x lẻ đặt x = 2k + (k є N) ⇒ 4p + = (2k + 1)2 ⇔ 4p + = 4k2 + 4k + ⇔ p =k(k+1) ⇔ k(k + 1) chẵn ⇒ p chẵn, p nguyên tố ⇒ p = VII Phương pháp 7: Đưa dạng tổng Ví dụ 24: Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y2 – x – y = Hướng dẫn: Ta có x2 + y2 –x – y = ⇔ x2 + y2 – x –4y = 32 ⇔ (4x2 – 4x +1) + (4y2 – 4y + 1) = 34 ⇔ (2x – 1)2 + (2y – 1)2 = 34 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng số phương 32 52 Do ta có 2x − =3 2y −1 =5 2x − =5 2y −1 =3 Giải ta (x,y) = (2,3); (2,-2); (-1, -2); (-1, 3) hốn vị Ví dụ 25: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 – 4xy + 5y2 = 169 Hướng dẫn: Ta có x2 – 4xy + 5y2 = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169 Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122 ⇒ x − 2y =0 y = 13 x − 2y =5 x − 2y y = 13 =0 x − 2y = 12 = 12 y y =5 Giải ta (x, y) = (29, 12);(19, 12); (-19, -12); (22, 5); (-2, 5) ;(2, -5); (-22, -5); (26, 13); (-26, -13); (-13 0); (13, 0) VIII Phương pháp 8: Lùi vô hạn Ví dụ 26: Tìm nghiệm ngum phương trình x2 – 5y2 = Hướng dẫn: Giả sử x0, y0 nghiệm phương trình x2 – 5y2 = ta có x 02 - 5y 02 = ⇒ x0  đặt x0 = x1 Ta có (5x1) – 5y 02 = ⇔ 5x 12 - y 02 = ⇒ y0  đặt y0 = 5y1 ⇒ x 12 - 5y 12 = Vây (x0,,y0) nghiệm phương trình cho ( x0 , y0 ( ) nghiệm phương trình cho Cứ tiếp tục lập luận x0 y , 5k 5k ) với k nguyên dương nghiệm phương trình Điều xảy x0 = y0 = Vậy phương trình có nghiệm x = y = Ví dụ 27: Tìm nghiệm nguyên phương trình x + y2 + z = x y Hướng dẫn: Nếu x, y số lẻ ⇒ x2 , y2 chia cho dư x2y2 chia cho dư x2 + y2 chia cho dư z2 chia cho dư (loại) mà x2 + y2 + z2 = x2 y2 ⇒ x chẵn y chẵn * Giả sử x chẵn ⇒ y chẵn * Giả sử x chẵn ⇒ x2 , x2y2 chẵn ⇒ x2  ⇒ x2 y2  4⇒ (y2 + z2)  ⇒ y z phải đồng thời chẵn Đặt x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ta có x 12 + y 12 +z 12 = x 12 y 12 lập luận tương tự ta có x 22 + y 22 + z 22 = 16 x 22 y 22 Quá trình tiếp tục ta thấy (x1, y1, z1 ) nghiệm phương trình ( x1 y1 z1 , , 2k 2k 2k ) nghiệm phương trình với k nguyên dương ⇒ x1 = y1 = z1 = Vậy pt có nghiệm (0, 0, 0) IX Phương pháp 9: Sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc Biến đổi phương trình dạng phương trình bậc ẩn coi ẩn khác tham số, sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc để xác định giá trị tham số Ví dụ 28: Giải phương trình nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Hướng dẫn: Ta có pt 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = ⇔ y2 + (4x + 2)y + x2 + 4x + = ) (*) coi x tham số giải phương trình bậc pt (*) ẩn y ta có y = -(2x + 1) ± Do y nguyên, x nguyên ⇒ Mà ∆' x ∆' x ∆' x nguyên = (2x + 1)2 – (3x2 + 4x + 5) = x2 – ⇒ x2 – = n (n є Z) ⇒ (x- n) (x+ n) = ⇒x=±2 ⇒x–n=x+n=±2 Vậy phương trình có nghiệm ngun (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Ví dụ 29: Tìm nghiệm ngun phương trình x2 – (y+5)x + 5y + = Hướng dẫn: Ta có x2 – (y+5)x + 5y + = coi y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Giả sử phương trình bậc có nghiệm x1, x2 Ta có x1 + x2 = y + x1 x2 = 5y + ⇒ Theo định lý Viet 5x1 + 5x2 = 5y + 25 x1x2 = 5y + ⇒ x1 + 5x2 – x1x2 = 23 ⇔ (x1 -5) (x2 -5) = Mà = 1.2 = (-1)(-2) ⇒ x1 + x2 = 13 x1 + x2 = ⇒ y = y = thay vào phương trình ta tìm cặp số (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); nghiệm phương trình X- Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức Ví dụ 30: Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 –xy + y2 = Hướng dẫn: Ta có x2 –xy + y2 = ⇔ (xTa thấy (x- y 3y2 ) =32 y 3y2 ) ≥0⇒3≥ ⇒ -2 ≤ y ≤ 2 ⇒ y= ± 2; ±1; thay vào phương trình tìm x Ta nghiệm nguyên phương trình : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) Ví dụ 31: Chứng minh phương trình x y z + + = b khơng có nghiệm tự nhiên b = b = có vơ số y z x nghiệm tự nhiên b = Hướng dẫn: x y z Ta thấy x, y, z є Z + ⇒ y , z , x > Theo bất đẳng thức Cơsi ta có x (y + x x y z y z + ) ≥ 27 ( y )= 27 z x z x ⇒y + y z + ≥ Đẳng thức xảy x = y = z z x x y z Vậy phương trình y + + = b khơng có nghiệm số tự nhiên b = z x b = có vô số nghiệm b = chẳng hạn ( x = a, y = a, z = a) với a số tự nhiên CHƯƠNG III: Bài tập luyện tập rèn tư sáng tạo Bài 1:Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x + 3y = 11 Hướng dẫn Cách 1: Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt x0 = 4, y0 = Vì 2.4 + 3.1 = 11 ⇒( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = ⇔ 2(x-4) + 3(y-1) = ⇒ 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = Đặt x – = 3k y – = 2k với ( k ∈ Z) Vậy nghiệm tổng quát pt : x = – 3k y = 1+ 2k ( k ∈ Z) *Nhận xét: Theo cách giải phải tìm cặp nghiệm ngun đặc biệt (x0, y0) phương trình vơ định ax + by = c Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn cách giải khó khăn Cách 2: Dùng tính chất chia hết Ta có 2x + 3y = 11 11 − y y −1 = 5y2 y −1 Do x, y nguyên ⇒ nguyên y −1 đặt = k ⇒ y = 2k +1 ⇒ x = 4- 3k ⇒ x= (k ∈ Z) y = 2k +1 (k ∈ Z) Vậy nghiệm tổng quát: x = 4- 3k Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn phương trình 6x2 + 5y2 = 74 Hướng dẫn: Cách 1: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 6x2 –24 = 50 – 5y2 ⇔ 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) ⇒ 6(x2 – 4)  ⇒ x2 –  (6, 5) = ⇒ x2 = 5t + (t ∈N) Thay x2 – = 5t vào phương trình ⇒ y2 = 10 – 6t lại có x2 > ⇔ y2 > −4 5 t< t> ⇒ t = t = với t = ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại) Với t = ta có x2 = ⇔ y2 = x=±3 y=±2 mà x, y ∈ Z + ⇒ x = 3, y = thoả mãn Cách 2: Sử dụng tính chẵn lẻ phương pháp chặn Ta có 6x2 + 5y2 = 74 số chẵn ⇒ y chẵn lại có 0< 6x2 ⇒ 0< 5y2 < 74 ⇔ < y2 < 14 ⇒ y2 = ⇒ x2 = Cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74 ⇔ 5x2 + 5y2 + x2 + = 75 ⇒ x2 +  mà < x2 ≤ 12 ⇒ x2 = x2 = Với x2 = ⇒ y2 = 10 loại Với x2 = ⇒ y2 = thoả mãn cặp số (x,y) cần tìm (3, 2) Bài 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + y2 = 2x2y2 Hướng dẫn: Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b Ta có a + b = ab ⇒ a b ⇒ a = b ⇒a=±b b a Nếu a = b ⇒ 2a = 2a2 ⇒ a= a2 ⇒ a= 0, a= ⇒ (a,b) = (0, 0); (1, 1) Nếu a = - b ⇒ b2 = ⇒ a = b = ⇒ (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) ⇒ (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 2: Ta có x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 ≥ Ta giả sử x2 ≤ y2 ⇒ x2 + y2 ≤ y2 ⇒ 2x2 y2 ≤ 2y2 Nếu y = phương trình có nghiệm (0;0) Nếu y ≠ 0⇒ x2 ≤ ⇒ x2= x2 = ⇒ y2 = (loại) y2 = ⇒ (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cách 3: Có x2 + y2 = 2x2y2 ⇔ 2x2 + 2y2 = x2y2 ⇔ x2y2 –2x2 – 2y2 + = 2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= ⇔ (2x2 – 1) (2y2 - 1) = Mà = 1.1 = (-1)(-1) ⇒ (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) ⇒ (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên phương trình x2 –3xy + 2y2+ = Hướng dẫn: Ta thấy(x, y) = (0, 0) khơng phải nghiệm phương trình Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + = ẩn x ta tính ∆ y = y2 – 24 Phương trình có nghiệm tự nhiên ∆ y số phương ⇒ y2 – 24 = k2 ⇒ (y – k)(y + k) = 24 (k∈N) mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k y – k chẵn ⇒ y+ k = y–k=4 ⇒y=5 y+ k = 12 y–k=2 ⇒y=7 Thay vào ta tìm (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bài 5: Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x – 10 = Hướng dẫn: Cách 1: Ta có phương trình cho ⇔ 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = Coi x ẩn y tham số ta có phương trình bậc ẩn x Xét ∆ y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81 Để nghiệm x nguyên ∆y số phương Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81 ⇒ k2 + 3(2y + 1) = 84 ⇒ (2y + 1)2 = 28 - k2 ≤ 28; (2y + 1)2 lẻ ⇒ (2y + 1)2 = 1, 9, 25 ⇒ y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phương trình ta tìm cặp số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn Cách 2: Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y ∈ Z ⇒ a, b ∈ Z phương trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = ⇔ 2a2 – 4b + a – 10 = ⇔ 4a2 – 8b + 2a – 20 = ⇔ (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = ⇔ (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 lại có (x+ y)2≥ xy ⇒ a2 ≥ 4b ⇒ 8b + 21 ≤ 2a2 + 21 ⇒ (a+ 1)2 + 3a2 ≤ 2a2 + 21 ⇒ (a+ 1)2 ≤ 21 mà (a+ 1)2 số phương ⇒ (a+ 1)2 ∈ {1, 4, 9, 16} ⇒ a ∈ {0, 1, 2, 3} Với a = ⇒ 12 + = 8b + 21 ⇒ 8b = 20 loại Với a = ⇒ (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 ⇒ 8b = -14 loại Với a = ⇒ (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 ⇒ 8b = ⇒ b = Với a = ⇒ (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 ⇒ 8b = 22 loại Vậy a = 2, b = ⇒ xy = x+y=2 ⇒ (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mãn Bài :Tìm tất nghiệm nguyên dương x, y cho x2 + 4x – y2 = Hướng dẫn: Cách 1: Ta có x2 + 4x – y2 = ⇔ (x + 2)2 - y2 = ⇔ (x + 2+ y)(x+ 2-y) = mà x, y nguyên dương ⇒ (x + 2+ y) > (x+ 2-y) ⇒ x+ + y = ⇒ x = 1, y = x+2–y=1 Vậy nghiệm phương trình x = 1, y = Cách 2: Ta có x2 + x – y2 = ⇔ x2 + x – (y2 + 1) = ∆' y = + y2 + ⇒ x = − ± ∆' y Để phương trình có nghiệm ∆' y số phương ⇒ + y2 + = k2 ⇔ (k- y) (k+ y) = ⇒ y = thay vào phương trình tìm x = Vậy nghiệm nguyên dương phương trình x = 1; y = Bài 7: Hai đội cờ thi đấu với đấu thủ đội phải đấu ván với đấu thủ đội Biết tổng số ván cờ đấu lần tổng số đấu thủ hai đội biết số đấu thủ đội số lẻ hỏi đội có đấu thủ Hướng dẫn: Gọi x, y số đấu thủ đội đội (x, y nguyên dương ) Theo ta có xy = (x + y) Đây phương trình nghiệm ngun ta giải cách sau  Cách 1: Có xy = 4(x + y) ⇔ xy – 4x – 4y + 16 = 16 ⇔ (x-4) (y - 4) = 16 mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 lại có đội có số đấu thủ lẻ ⇒ x–4=1 y-4 = 16 ⇔ x=5 y = 20 x = 20 y=5 Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Khơng tính tổng qt ta giả sử x≤ y Ta có x, y nguyên dương xy = (x + y) ⇔ 4 + y x =1 x y lại có ⇒x≤8 ≥ ⇔ 4 + y x ≤ x ⇔ x ≤1 ⇒ x= 5, 6, 7, Mà ≤ x 1⇒x>4 Thử trực tiếp ta x = 5, y = 20 (thoả mãn) Vậy đội có đấu thủ cịn đội có 20 đấu thủ Bài 8: Tìm năm sinh Bác Hồ biết năm 1911 Bác tìm đường cứu nước tuổi Bác tổng chữ số năm Bác sinh cộng thêm Hướng dẫn: Ta thấy Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 năm 1911 Bác nhiều 11 tuổi (1+ + + + 3) loại Suy Bác sinh kỷ 19 Gọi năm sinh Bác 18 xy (x, y nguyên dương, x, y ≤ 9) Theo ta có 1911 - 18 xy = + + x + y = ⇔ 11x + 2y = 99 ⇒ 2y  11 mà (2, 11) = ⇒ y  11 mà 0≤ y ≤ ⇒y=0⇒x=9 Vậy năm sinh Bác Hồ 1890 Bài 9: Tìm tất số nguyyên x, y thoả mãn phương trình x+ y x − xy + y 2 = Hướng dẫn: Ta có x+ y x − xy + y 2 = ⇔ (x+ y) = (x2 – xy + y2) Đặt x + y = p , x – y = q ⇒ p, q nguyên ⇒x= p+q ; y= p−q thay vào phương trình có dạng 28 p = (q2 + q2) ⇒ p > p  đặt p = 3k (k ∈Z ) ⇒ 28k = 3(3k2+ q2) ⇒ k  k có dạng 3m (m∈ Z+) ⇒ 28 m = 27m2 + q ⇒ m( 28 – 27m) = q2 ≥ ⇒ m = m = Với m = ⇒ k = ⇒ q = ⇒ x = y = (loại) Với m = k = 3; p = + ⇒ 28 = 27 + q2 ⇒ q = ± Khi p = 9, q = x = 5, y= p = 9, q = 1- x = 4, y= Vậy nghiệm phương trình (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bài 10: Hãy dựng tam giác vng có số đo cạnh a, b, c số nguyên có cạnh đo đơn vị Hướng dẫn: Giả sử cạnh đo đơn vị cạnh huyền (a = 7) ⇒ b2 + c2 = 72 ⇒ b2 + c2  ⇒ b  7; c  (vì số phương chia hết cho dư 0, 1, 4, 2) lại có 0