PP giai phuong trinh nghiem nguyen

A MT S PHNG PHP GII PHNG TRèNH NGHIM NGUYấN & I PHNG PHP DNG TNH CHIA HấT Cụng nhn: chng minh c rng : Mt phng trỡnh bc nht n n ( sau chia hai v ca phng trỡnh cho UCLN ca cỏc h s ca nú) cú nghim nguyờn v ch cỏc h s ca n nguyờn t cựng Vớ d 1: Gii phng trỡnh 2x 5y 6z = Gii : Phng trỡnh cú nghim nguyờn vỡ (2,5,6) = Ta cú ( 2, 5) = nờn a phng trỡnh v dng : 2x 5y = + 6z Ly z= u vi u tựy ý Z , t c = + 6u ta cú p/trỡnh: 2x 5y = c Phng trỡnh ny cú nghim riờng l x0 = 3c , y0 = c v nghim tng quỏt l x = 3c 5t , y = c 2t vi t Z Thay c = + 6u vo nghim tng quỏt ca 2x 5y = c ta cú nghim tng quỏt ca x = 12 18u 5t phng trỡnh 2x 5y 6z = l y = + 6u 2t z = u Trong ú u ,t Z Vớ d : Phng trỡnh cú h s ca 1n bng Gii phng trỡnh 6x + y +3z = 15 Nhn xột : x , z ly giỏ tr nghuyờn bt kỡ thỡ ú ta cng cú giỏ tr y nguyờn tng ng Vy phng trỡnh cú nghim tng quỏt : x = u y = 15 6u 3t z = t Trong ú u ,t Z Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 6x + 15y + 10 z = (1) Hng dn gii 2) (1) 3(2x +5y +3 z-1) = - z => z M3 => z = 3t (t Z ) 3) Thay vo phng trỡnh ta cú: 2x + 5y + 10t = (t Z ) Gii phng trỡnh ny vi hai n x; y (t l tham s) ta c: Nghim ca phng trỡnh: (5t 5k 2; 2t; 3k) Vi t; k nguyờn tu ý Dng 2: Phng trỡnh bc hai hai n Dng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = (a, b, c, d, e, f l cỏc s nguyờn) Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 5x 3y = 2xy 11 (1) Hng dn gii x + 11 x+5 = 2+ 2x + Cỏch 1: Rỳt y theo x: y = x + (Do x nguyờn nờn 2x + khỏc 0) Vỡ y nguyờn => x + M2x + => M2x + Lp bng ta cú: cỏc cp (x; y) l: (-1;6); (-1; -2); (2; 3); (-5; 2) Th li cỏc giỏ tr ú u ỳng Cỏch a v phng trỡnh c s: Cỏch 3: Coi ú l phng trỡnh bc hai n x, y l s ó bit t K cú x nguyờn Vớ d Tỡm cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh x + 2y2 +3xy x y + =0 (1) Hng dn gii S dng cỏch th nh vớ d trờn Dng 3: Phng trỡnh bc ba tr lờn cú hai n Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1) Hng dn gii 2 Phng trỡnh (1) (x + 3x)(x + 3x + 2) = y2 t a = x2 + 3x (K: a (*) Ta cú: a2 = y2 GiI phng trỡnh ny bng cỏch a v phng trỡnh c s: => nghim phng trỡnh (1) Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x3 - y3 = xy + (1) Hng dn gii Ta cú: x y x + xy + y = 2 x y Ta cú x khỏc y vỡ nu x = y => x2 + = Vụ lý x + xy + y xy + Vỡ x; y nguyờn => => => x2 + xy + y2 xy + (2) Nu xy + < 0=> (2) (x + y)2 -8 Vụ nghim N u xy +8 > => (2) x2 + y2 => x2 , y2 { 0;1; 4} T ú tỡm c Hai nghim nguyờn ca (1) l: (0; - 2); (2; 0) b)Tỡm x, y nguyờn cho: b) x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 (1) ( x + y ) P = xy vi P nguyờn t Hng dn: Gii: (1) x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + 1- y2 = T ( x + y ) P = xy (1) xy Px Py = (x+1)4 y2 = x(y P) (Py P2) = P2 ( y- P ) ( x- P ) = P2 M P nguyờn t P2 =1.P2 = P.P = (-1)(-P2) = (-P)(-P) Cỏc cp s (x,y ) l: (P+1, P(P+1) ); ( P-1, P (P-1) ); (2p, 2p); (0,0) v cỏc hoỏn v ca chỳng a)x2- 656xy 657y2=1983.(1) Lời giải: (1) x2-657xy+xy-657y2=1983 x(x-657y)+y(x-657y)=1983 (x-657y)(x+y)=1983 Do 1983 = 1.1983 = 3.661 =(-1).(-1983) =(-3).(-661) Vì hiệu (x+y)-(x-657y)=658y chia hết cho 658 nên 1983 phải phân tích thành tích hai thừa số có hiệu chia hết cho 685.Vậy ta có hệ phơng trình: x + y = 661 x + y = x 657 y = x 657 y = 661 x + y = 661 x + y = x 657 y = x 657 y = 661 Giải ta đợc cặp nghiệm là: (x;y)=(660;1);(4;-1);(-660;-1);(-4;1) [(x+1)2 y] [(x+1)2+y]= ( x +1) y =1 ( x +1) + y =1 ( x +1) y =1 ( x +1) + y =1 + y = y + y = y y = (x+1)2 = x+1 = x = hoc x = -2 Vy ( x, y ) = ( 0, ); ( - 2, ) Thí dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x3+xy=7(1) Lời giải: (1) x(2x2+y)=7 x = x = ; x = ; x + y = x + y = x + y = x = ; x + y = x = x = x = x = ; ; ; y = y = 97 y = y = 99 2 Vậy mghiệm nguyên phơng trình là: (x;y)=(1;5); (7;-97); (-1;-9); (-7;-99)