Sáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trình

Sáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trình Sáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trìnhSáng tạo và giải phương trình hệ phương trình bất phương trình

AdST~ NGUYEN TAI CHUNG gmi # ? PHO fI DG TRiHH HE PHIfOnC TRn iH BAT PHIDnG TR P H l J d N G PHAP XAY DL/NG B E CAC TDAN DANG TCAN, CAC PHLfdNG PHAP GIAI C A C O E T H I H O C S I N H G I C I GJUCC E I A , O L Y M P I C / T A I LIEU B D I DL/QNG H O C S I N H K H A GICI fx T A I L I E U O N L U Y E N T H I B A I HOC T A I LIEU T H A M K H A C C H D GIAO VIEN N H A X U A T e X N T r a N G H d P T H A N H P H D HO CHI M I N H LMnoidau SANG T A O V A GIAI P H U O N G T R I N H , HE PHLfdNG T R I N H , B A T PHaONG T R I N H HQC sinh hoc toan xong roi lam cac bai tap Vay cac bai tap dau ma ra? Ai la nguai dau tien nghi cac bai tap do? Nghl nhu the nao? Ngay ca nhieu N G U Y I N TAI C H U N G Chiu trach nhiem xuS't ban giao vien cung chi biet suti tarn cac bai tap c6 sach giao khoa, sach tham ; N G U Y E N THI THANH HlJdNG Bien tap : QUOC NHAN Si^abanin : HOANG NHlTX Trinh bay : C6ng ty K H A N G V I E T Bia : C6ng ty K H A N G V I E T khao khac nhau, chua biet sang tac cac de bai tap Mpt nhimg each la tim nhirng hinh thiic khac de dien ta ciing mpt npi dung roi lay mpt hinh thiic nao phii hop vai trinh dp hpc sinh va yeu cau hp chiing minh tinh diing dan ciia no ' • Nhu chiing ta da biet phuong trinh, h$ phuong trinh c6 rat nhieu dang va phuong phap giai khac va rat thuong gap cac ky thi gioi toan ciing nhu cac ky thi tuyen sinh Dai hpc Nguoi giao vien ngoai nam dupe cac dang phuong trinh va each giai chiing de huong dan hpc sinh can phai biet each xay NHA XUAT BAN TONG H0P TP HO CHf MINH NHA SACH TONG HOP 62 Nguyen ThI Minh Khai, Q l D T : 38225340 - 38296764 - 38247225 Fax: 84.8.38222726 Email: tonghop@nxbhcm.com.vn Website: www.nxbhcm.com.vn/ www.fiditour.com Tong phdt hanh dung nen cac de toan de lam tai li^u cho vi|c giang day Tai lifu dua mpt so phuong phap sang tac, quy trinh xay dimg nen cac phuong trinh, he phuong trinh Qua cac phuong phap sang tac ta ciing rut dupe cac phuong phap giai tu nhien cho cac dang phuong trinh, hf phuong trinh tuong ling Cac quy trinh xay dyng de toan dupe tnnh bay thong qua nhiing vi du, cac bai toan dupe xay dung len dupe dat sau cac vi du Da so cac bai toan dupe xay dung deu c6 loi giai hoac huong dan Quan trpng hon niia la mpt so luu y sau loi giai se giiip chiing ta giai thich dupe "vi lai nghl loi giai nay" Nhu vay cuon sach se trinh bay song song hai van de: Phuong phap CONG T Y TNHH MTV DjCH V g VAN HOA KHANG V I E T ( ^ D i a chi- 71 Oinh Tien Hoang - P.Da Kao - Q.1 - T P H C M Dien thoai:'08 39115694 - 39105797 - 39111969 - 39111968 Fax: 08 3911 0880 Email: khangvietbookstore ©yahoo.com.vn Website: www.nhasachkhangviet.vn In ian thLT i, so lUdng 2.000 cuon, kho 6x24cm Tai: C O N G T Y C O P H A N T H L / O N G M A I N H A T N A M Dia chi: 006 L6 F, KCN Tan Binh, P Tay Thanh, Q Tan Phu, Tp Ho Chi Minh So DKKHXB: 55-1 3/CXB/45-24ArHTPHCM 31/01/201 Quyet dinh xuat ban so: 296/QD-THTPHCM-2013 NXB Tong Hop Thanh Pho H Chi Minh cap 19/03/2013 In xong va nop luU chieu Quy II nam 201 sang tac eae de toan va Cac phuong phap giai ciing nhu phan loai cac dang toan ve phuong trinh, hf phuong trinh Diem moi la va khac bi?t ciia cuon sach la quy trinh sang tac mpt de toan moi (dupe trinh bay thong qua cac vi du) va each thiie chiing ta suy nghl, tim loi giai mpt bai toan (dupe trinh bay thong qua eae luu y, chii y, nhan xet sau loi giai cac bai toan) Ngoai cuon sach danh mpt ehuong (ehuong 5) de trinh bai cac bai toan phuong trinh, he phuong trinh, bat phuong trinh cac de thi Dai hpc nhiing nam gan day Tot nhat, doe gia tu minh giai cac bai toan eo sach Tuy nhien, de thay va lam chii eae ky xao tinh vi khac, cac bai toan deu dupe giai san (tham chi la nhieu each giai) voi nhiing miie dp chi tiet khac Npi dung sach da c6' gang tuan theo y chii dao xuyen suo't: Biet dupe loi giai ciia bai toan chi la yeu cau dau tien - ma hon the - lam the nao de giai dupe no, each ta xir ly no, nhiing suy lu^n nao to "c6 ly", cac ket lu^n, nhan xet va luu y tir bai toan dua Hy vong cuon sach la tai li§u tham khao c6 ich cho cac em hpc sinh kha gioi, hoc sinh cac lop chuyen toan Trung hpc thong, cac em hpc sinh dang luypn thi Dai hpc, giao vien toan, sinh vien toan cua cac tmong DHSP, D H K H T N cung nhu la tai phyc v\ cho cac ky thi tuyen sinh D ^ i hpc, thi hpc sinh gioi toan THPT, thi Olympic 30/04 Cac ban hpc sinh, sinh vien, giao vien va nhirng nguoi quan tarn khac se c6 the a m tha'y thieu sot a cuon sach qua trinh su dung Do vay, su gop y va chi trich tren tinh than khoa hpc va huang thien t u phia cac ban la dieu chiing toi luon mong dpi H y vpng rang tren buoc duang tim toi , sang tao toan hpc, ban dpc se tim dupe nhiing y tuong tot hon, mai hon, nham bo sung cho cac y tuong sang tao va loi giai dupe trinh bay quyen sach ChiMng PhUcfng phdp sang tdc va giai phUcfng trinh, hf phUOng trinh, bd 1.1 PhiTdng phdp he so bat djnh 1.2 Phifdng phdp duTa ve h$ 1.3 Phufdng phap diTa phiTdng trinh ve phifdng trinh ham 15 1.4 Mot so phep dSt an phu cd ban giai h$ phufdng trinh 26 1.5 PhiTdng phdp cpng, phufdng phdp the 35 1.6 PhiTdng phdp dao an Phifdng phap hiing so bien thien 54 1.7 PhiTdng phdp sijf dung dinh l i Lagrange 63 Nha sach Khang Viet xin trdn trgng gi&i thi?u tai Quy dgc gia va xin 1.8 Phu'dng phdp hinh hpc 69 idng nghe moi y kieh dong gop, de cuon sach ngdy cang hay hem, bo ich hon 1.9 PhiTdng phap ba't dang thtfc 82 1.10 PhiTdng phap tham bien 95 Tac gia Thac sy: NGUYEN T A I CHUNG Thuxingici ve: Cty T N H H M p t Thanh Vien - Dich V u Van Hoa Khang Vi?t 71, D i n h Tien Hoang, P Dakao Quan 1, TP H C M ChUcfng PhUcfng phdp da thiic va phUcfng trinh phdn thitc hOu ti 11 Tel: (08) 39115694 - 39111969 - 39111968 - 39105797 - Fax: (08) 39110880 2.1 Cdc dong nha't thiJc bo sung 116 Hoac Email: 2.2 PhiTdng trinh bac ba 117 2.3 Phu'dng trinh bac bon 127 2.4 PhiTdng phdp sdng tdc cdc phiTdng trinh da thiJc bac cac 137 2.5 PhiTdng trinh phan thiJc hi?u ti 149 khangvietbookstore@yahoo.com.vn ChUcfng PhUcfng trinh, bdtphUcfng trinh chiia can thiic 158 3.1 Phep the doi vdi phiTdng trinh 3/A(X) ± }JB{X) = 3^C(x) 158 3.2 PhiTdng trinh (ax + b)" = pJ^a'x + b' + qx + r 160 3.3 PhiTdng trinh [ f ( x ) ] " + b ( x ) = a(x)!i/a(x).f ( x ) - b ( x ) 168 3.4 PhiTdng trinh d i n g cap d6'i vdi ^ P ( x ) v^ ^ Q ( x ) 174 3.5 Phu'dng trinh doi xiJng d6'i vdi ^ P ( x ) vd ^ Q ( x ) 179 3.6 Mpt so hiTdng sdng tac phiTdng trinh v6 ti 184 ChiMng //# phUcmg trinh, h? bat phUOng trinh 231 4.1 He phiTdng trinh doi xuTng 231 4.2 He c6 yeu to d^ng cap 253 4.3 H$ bac hai tdng qu^t 266 4.4 Phi/dng phdp dilng tinh ddn dieu cua ham so' 271 4.5 He lap ba an (hodn vi vong quanh) 277 4.6 SuT dung can bac n cua so phuTc de sang tac va giai he phiTdng trinh 4.7 Phi/dng phap bien doi ding thiJc 314 4.8 MotsohekhongmaumiTc 317 307 ChUctng Cdc bai todn phUcmg trinh, h^ phUcfng trinh, bat phUcfng trinh dethidt^ihQc Chi:fc?ng Phi:fdng phap sang tac va giai phifcfng trinh, he phi:fcfng trinh, bat phi:^dng trinh 328 5.1 Phtfdng trinh, bat phi/dng trinh chiJa can 328 5.2 He phiTdng trinh dai so 332 5.3 PhiTdng trinh liTdng gidc 337 5.4 Phi/dng trinh, bat phi/dng trmh c6 chlJa cdc so n!,Pn, A^, C\5 5.5 PhiTdng trinh, ba't phiTdng trmh mu 5.6 PhuTdng trinh, ba't phifdng trinh logarit 373 5.7 H? mu va logarit 387 5.8 Phtfdng phap dilng dap ham 392 368 Trong chitcJng ta se trinh bay nipt so phUdiig phap cO ban va mot so phUdng phap dac biet di giai va sang tac phitdug tiinh, lie phUdng trinh, bat phUdng trinh Co mot so vi du, bai toan c6 sii dung den kien thi'tc cua plntdug trinh da thi'tc bac ba, ban doc c6 the xcni bai i)liitdiig tiiiih bac ba d chUdng (chi can c6 kign thv'tc ve lUdng giac la co the hieu bai phUdng trinh bac ba) trudc xem cac bai toan, vi du - , • 1.1 PhifcTng phap he so bat dinh PhUdng ])hap he so bat djnh la chia khoa giup ta i)han tich, tim dudc l a i giai cho nhieu locii phUdiig trinh Chung ta se Ian lUdt tini hieu phUdng phap thong qua cac bai toan va cac km y sau Bai toan Giai phiCdng trinh 2^^ - l l x + 21 - 3^4.x- - = Giai Tap xac dinh D = E Plntdug trinh da cho tu'diig ditdng vdi •^ikf •'A/nh 6" ^ ( x - ) - I ( x - ) + - x / : r : ^ = • ^, (1) Dat t = ^4x - 4, thay vao (1) ta dUdc f - Ut^ - 2-it + 96 = 0, hay (f - 2)2(t'' + 4i^ + 12/2 ^ ^ 24) = (2) Neu t < thi f' - Ut^ - 24f + 9G > 0, neu t > t hi + 4r* + 12*2 + 18( + 24 > wid ;:,v»fb im V > D o (2) i = => X = L U L U y De c6 (1) ta can t i i i i a, (3,7 cho B a i t o a n Gidi phuang trinh 2x2 - l l x + 21 = IGrtx^ + (4/^ - 32rv);r + (16^ - / ^ + 7) f 16a = ^ { 4/3-32a = -11 I a - / + = 21 , , fl ^{a;(i\-i) = Dap so X = - - — - J \ B a i t o a n dung phuong phap he so bat dinh cho t a 15i giai bai toan m o t each rat tijt nhien va ro rang Gidi phuang trinh + 2\/l - x = - x D a p so PhUdng t r i n h c6 tap nghiem S — I 0; — ; — 25 B a i t o a n Giai phiCcfng trinh - x + = 2\/r^-/m^+3\/r^ (i) Dat u = ^/^+x,V 2v^r^ + \/l + = Vl - X {u >0,v>0), - + 1) = ^ 3\/l- x2 = 10x2 + x + (2) Thay vac (*) : • Vdi w - ^ • ^/3^ [ « Z I tah s v , ;: i; j lOx^ + x + = ( x + l ) V x + = i(6x (*) + 1)2 + (x^ + 3) - - = — + ^2 _ t a duoc {u^ - 2uv) + [u - 2v) - {uv - 2^^) = + 2^2 - 2u + It - u v = ^ ( • a - 2v){u T - B a i t o a n Gidi phuang trinh + SVxTT + V l - x^ G i a i Dat u = x + 1, ?; = \/.x2 + Ta c6 G i a i Tap xac d i n h D = [ - ; 1] PhUdng t r i n h (1) viet lai n h u sau : (1 + x ) + 2(1 - x) - 5s/TTx V3 X - l l x + 21 = a(4x - 4)^ +/3(4a; - 4) + \ / l - x = x + - \ / l - x^ + 2D = 4 5, + 1,2 _ = ^ i K : ^ (u - 2t;)2 = ^ , x2 + = ( x - l ) ^x^l -'^'^i'l'S • Vdi u - 2t; = - , t a c6 L u ^ i y D l CO ( ) , t a t i m a, f3 cho - x + = a ( l + x) + / ( l - x ) o { ^ ; ^ ^ ^ ^ { g = i Vay p h i M n g t r i n h c6 tap nghiem = < 1; ——^ Doi v i bai toan t o n g quat : Giai phvfdng t r i n h p{x) = as/1 Ta bieu dien p{x) - X + bVl + X + cVl - x^, X (u > 0, i; > ) K h i dirdc phitdng t r i n h doi v d i u, v c6 thg phan t i c h ditdc V i d u , Lvfu y Phudng phap he so b a t dinh de giai he phudng t r i n h se ditdc de cap phan phan t i c h t i m Idi giai cac bai toan c i i a bai 1.5 : PhUdng phap cong, phiTdng phap the (d trang 35) theo - x , + x va dat u = - / I + X, i; = \ / l - I 1.2 Phifcfng phap difa ve he Ta sc sang tdc mM phUdng trinh duclc gidi hhng phiMng phdp he Dg giai phUdng t r i n h b a n g each dua ve he phUdng t r i n h t a thutdng dat an so bat dinh nhu sau : Ta c6 {a-b+ l ) ( a - + 3) = ^ 20^ + 6^ - 3a6 + a - 46 + = Tii day lay a — ^Jl + x vd b = \/l - x ta diidc 2x + + - X - \ / l - x2 + 5VI+X Rut gon ta duac bai toan sau p h u , p h e p dat an p h u n a y c i m g vdi phUdng t r i n h gia thiet c h o t a m p t h$ phitdng t r i n h Sau day t a se t r i n h bay phuldng p h a p s a n g t a c (thong q u a cac V I d u ) , phUdng p h a p giai (thong q u a Idi giai c a c b a i toan va q u a n h d n - 4s/l-x + = n i i a la cac hru y s a u Idi giai) Cac p h u d n g p h a p s a n g t a c c i i n g nhiT phifdng p h a p giai cac phUdng t r i n h b a n g each dUa ve he dildc de c a p r a t n h i i u s a u b a i n a y ( c h a n g h a n b a i 3.2 d t r a n g 160) Lay (1) tru' (2) tlico ve ta du'dc V i d u Xet I y ~ ^ 3^^ ^ x = - (2 - 3x•'^)^ Ta c6 hdi todn sau 2(y - x ) B a i t o a n Gidi phUdng trlnh Giai D a t , = - x ^ ^ CO 5(.T2 - y2) ^ x + (2 - 3x^)^ = ^[^ZlZ^ he Vdi y = X , thay vao (1) ta dUdc 5x2 _2x y = X 5x + ^ -\=i) ± \/6 ^ x = — thay vao (1) ta du'dc • Vdi y = (1) t n r (2) t a fhrac y - X = = - ( x + y) >;V;!; o • y = X x - y = 3{x'^ - y^) ^ X - y = Q 3(x + y) = l ^ y = x G |~^' Vc'ri y = x, thay vao (1) ta diWc Sx^ + x - = Vdi y = - 3x - 3x —^—• , thay vao (2) ta dudc - 3x = - 3x^ phuong trinh ta lai, trinh thu dtWc he doi xtCng loai liai x^ + x - 45 = ay a'Uj^ + Slay = 1215 + S i x ^ ; | xj^ + x — 45 = ay_ \ + Slay - 1215 = x , , «3 81« 1215 81 „ „ Vay can chon a thoa m a n dieu kien — = — = — - = — => a = J U o cto ••' • 45 a d a t x^ + x ~ 45 - y , t a so t h u ducJc m o t ho d o i x i ' m g l o a i h a i V i d u Chon mot phMng phiCOng trinh trmh trmh chi c6 hai nghiem / d v d IdlV = ^ - 10 quay 4x = l o g , , ( l O r + 1) logiiuux+ij Ta CO bdi todn Bai I F = l O l o g n ( x + 1) + ^ - v / a M ^ 4x= -v/^r+30 ^/30+ Zi the ta thu diMc phuang trmh = \ sau t o a n 12 ( D e n g h i O l y m p i c / / ) Gidi phuang I F = o g i i ( x + 1)^ + Ta c6 bdi sau t o a n 11 Gidi phuang trinh IV = o g i i ( l O x + 1)^ + 10 nst,- lOx+1 ta thiel lap mot he doi xvCng loai hai, sau lai ^ I y = l o g n ( l O x + 1) ^ \ l F = y + l 4M = ^ / + Tir he niiy, ticp tuc s'li dung phcp nhu sau : f l l ' - = lOy + \ i r y = 10x + l Bai du phuang x^ + x - 45 = ay ( v d i a t i n i s a u ) todn n g h i e m c i i a ( ) N g h i e m c i i a p h U d n g t r i n h d a cho l a x = v a x = LuTu y P h c p d a t x^ + x - 45 = 3y dittfc t u n r a u h u s a u : T a d a t Suy J h a m g v a t r u e h o a n h co v d i n h a u k h o n g q u a h a i d i e m c h u n g , s u y r a (4) k h o n g q u a n g h i e m M a g{l) P h i l d n g t i i i i h d a c h o c6 n g h i e m d u y n h a t x = Tii T a c6 10 = l F ( l n l l ) > V a y h a m so g c6 d o t h i l u o n 16m t r e n k h o a n g x^ + x - 45 = x ( x - 3) (x^ + x + 15) = ^ ve phuang 10, g'\x) / T h a y vao (2) t a d i W c Khi = ll-^nll - + ( x - ?y) = + 12) = Dat u = 30 + ^x + 30, t i t phitdng t n n h da cho t a c6 ho 4u = J + -y/xT3Q (1) 4x = A / + - v / w + SO Gia s\t X > u (2) Dat = \V^FT30, t i t (2) ta c6 he | ^J I (3) V Nhit vay dang la j)hn'dng t r i n h vo t i , infi san k h i dat an phu dita ve he, r o i dimg phep the dan t d i phudng t r i n h da thitc, do k h i sang tac de toan t a phai dac biet chii y cac chi so can Chang han d v i d n t h i m = n = nen t a yen tam rang se dan tdi phitdng t r i n h da thite bac co i t nhat m o t nghiem dep B a i t o a n 14 Gtdi phiMng trinh + 30 > ^ + - \ / u + 30 = 4x =^ u > x =^ x = ?i Vay t i t he (1) t a c6 a; = u va 4x = ^ + - y x T S O Gia sii x> - JJx) + "\/b + / ( x ) = c, t a co each giai : Dat u = 'ija - fix), v = '^h + f(x), dan den he { ^ H ^+,n"s'^['^ V i d u Vd'i x = - thi 2 VtTTSO = 4a: 4u > 4a: =^ V > a; =^ u = X , f T> Vay r = x va 4.T = ^ | J g p ^ ^ ^, ^ 30 + 71921 t r i n h da cho co nghiem d n y nhat x = 32 + \/l921 — PhUdng {^t +'fv= 8^ =^ + ( ^ ^ ) ' = ^ 15 ^ + 4^2 - 32z + 40 = Phu'dng t r i n h c6 nghiem d u y nhat u = - nen v'Sx - = - B a i t o a n Giai phiMng X- = -2 trinh V i d u Vdi X = thi ^/x-\-8-\- \ J x - l — 3, ia c6 bai todn {ch&c chan co mot nghiem + \ / l - x [ V ( l + :r)-* - ^ ( - x)'A^ =2+ dep x = 8) sau B a i t o a n Giai phUdng trinh y/x + + \/x - = G i a i Dieu kien - < x < D a t ^l + x = a, \ / r ^ G i a i Dieu kien x > D a t u = ^x + > va u = v ' x - > T a c6 he u + r = {V = — u ^ i 0/2 ,,2)(„2 [u,(;>0 U.,V>{) { 2) u4-t;'*-15 u = 3- u < u2 + (3 - uf ^ \ u ^ - 18u2 + 36u - 32 = T i t t a t h u dudc = ^ ro < ^ \ {^ u< = - + f=p ^ x = (thoa m a n dieu kien) Vay phitdng t r i n h da cho co nghiem d u y nhat x = 12 s/lT^=-^{a vdi a > 0, > S "" ' (2) , + b) [do a,b>0) V2 Ket-hop (2) t a co ft; = - u = K h i a' + l? = T a co he sau ( \ \l + ab{a-^ -b^) = + ab (1) =^ {a + bf = 2+ 2ab^ ,,2)^15 < i< < ^ ' ( u - ) ( u _ u + 9) = = ^ ro < 1/- < + ffif, t uM yjl - xK ' ,| 1 ' ( -7= (a + b){a - b){a^ + b^ + ab) = + ah => ^ ( a ^ ~ h'-) = I v2 v2 T i t t a c6 he | ~ ^2 ! l ^ ' Cong hai phitdng t r i n h ve theo ve t a co a - - = + y ^ a = l + = ^ l + a ; = l + ^ ^ x = 4=V2 s/2 V2 , Vay phitdng t r i n h co nghiem d u y nhat x = — 13 vj / j B a i t o a n 16 Gidi phuang irinh -x + \/\/2 = n + J' = v2 G i a i D i n i kien < x < \/2 - Dfit \/\/2 - - x = u va ^ < u < \/s/2-l va - N h i t vay t a c6 u = —^ ( u:^ + v^ = v/2 - 1 - < - vfei 8+ h"^^ 18 he Vay w, f la nghiem ciia V + Ttr phudng t r i i i h thi'i: hai, ta co - vfei 18 •, yi94 18_ 3' 18 nen nghiem nhat ciia phudng t r i n h la + 7-4 = v / - V ^ = v K h i 71 + 7) = - !i i = (1) = (2) Do (2) v6 nghiem / -2 + ^ ( - ) + ^ ^ / 2v \ v/2 v/2 + i ; ' = \/2 - + 1.3 1.3.1 Phifcfng phap difa phifdng trinh ve phifdng t r i n h ham Phu'dng phap giai Dita vao ket ciua : Neu ham so y = f{x) - ± ,72 B a i t o a n 17 G'jdv phifdng trmh G i a i Dieii kien | « > 0, v < - v / l - -x^ = Q r - x^ = - « Do 1(1 \2 2u v Ta CO he I [(i7,+ r ) - n r W+ U= - 2u2.,;2 ^ 14 - t a CO the sang tac va giai dUdc nhien phitdng t r i n h hay va kho, thudng gap cac k}' t h i hoc sinh gioi D6 van dung dildc phitdng phap nay, t a thirdng bien ddi phiWng t i i n h da cho phitdng t r i n h ham f {{x) = tpix) De giai dUdc cac bai toan bang phitdng phap t h i nhftng kien thifc ve ham so nlut dao ham, xet sit bien thien va k l nang doan nghiem la cite k i ciuan trong, c6 nhitng bai doan dUdc dap so la da hoan t h a n h den hdn 90% Idi giai Phitdng phap ditdc si't dung nhien, chang han d muc 3.6.3 d trang 191 M o t so tritdng hdp dac biet thitdng gap : • Neu / la ham ddn dieu tren khoang (a; 6) t h i plutdng t r i n h / ( x ) = k {k la hang so) CO khong qua nghiem tren khoang {n; h) B a i t o a n 18 ( H S G Q u a n g N i n h 1 ) Gidi phieang tnnh u.v 2u^.i)-^ vdi a; = 7^ • Neu f yk g \h hai ham ddn dieu ngitdc chieu tren khoang (a; b) t h i phitdng t r i n h / ( x ) = g{x) c6 khong qua nghiem tren khoang (o;6) • Neu t a thay cum t i t " / la ham ddn dieu tren khoang (a; 6)" bdi cum t i t " / la ham ddn dieu tren m5i khoang (a; 6), {c]d)" t h i hai ket qua d tren se khong dung, ti'tc la plutdng t r i n h co thc^ sc c6 nhien hdn mot nghiem Ban doc hay xein bai toan 20 d trang 16 - («2+t.^)^-2»^.7>2^1 - - - ddn dieu tron khoang (a; b) va (a; b) t h i /(^) = /(y) - ^' V i nioi t a m giac dUdc tao thaiih ling vdi m o t t hop chap ciia n + p h i n t i i , neu t r o n g n + diem khong CO ba diem nao tha,ng hang N h u i i g tren canh CD c6 b a d i e m , tren canh DA CO n diem nen so t a m giac tao la C^+g -C^ - C^ • T h e o gia t h i e t t a co C'+6 - Cl - C l - 439 ^ (n + ) ( n + 5)(n + ) _ ^ ; ^ - - n! 3!(n-3)! = 439 + 3/1^ - n = } D a n g D i / a v e c u n g m o t c d so 10! n! rang S JMTCO tren G i a i So t a i n giac co m o t dinh tliuoc d\a liai d i n h t h u o c ^2 la lOC^ So tarn giac c6 m o t d i n h thuoc d2 va hai d i n h thuoc d\a n C f o ' Theo gia thiet ta C O lOC^ + nC^o = 2800 ^ 10 thiet : (a6)" = a " " ; X > 2^-^ > + 4x - 16 > 4x - x < 2^'^+4x-16 •>x-l > X < 2i~i < X > X - > < ? „ X - 1< Vay tap nghiem ciia bat phitong t r i n h la ( - 0 ; ) U ( ; + 0 ) 369 ; :fhoA'.i.o D a n g D a t a n p h u n ^ X G ^ I f ^ n PhU'dng p h a p M u c dich cua viec dat an p h u la d u a ve phudng t r i n h m6i dcfu gian hdn K h i dat u = (vdi < a ^ 1) t i n phai c6 dicu k i c n w > C h u y Doi vdi nhung phuang trinh mu c6 ca so {hoac nhiiu han), chdng han chtia a^, , (f thi ta chia cd hai ve cua phuang trinh cho hoac 6^ hoac r^, dt gidrii xuong hai ca so Doi vdi nhUng phuang trinh viu c6 hai r.a so thi ta dun, tic cimq mot ca so hoac Idqari.t hai vc B a i t o a n 75 ( C a u a l a d e D H - 0 D ; c a u b l a d e D H - 0 B ) Gidi cdc phuang trinh sau : {0,-1,1,-2} Tap nghiein ciia (*) la = { , - , , - } , , f ( i ) B a i t o a n 77 (DvT b i D H - 0 B ) Gidi bat phuang X + I _ 22X+1 _ 5^gx < trinh : G i a i Tap xac d i n h D = E T a c6 /gA'^ fey ( l ) ^ ^ - ^ - - ^ < 4=>3 ' - ] - - ^ a vh x < a • Co k h i t a phai khao sat hain so, lap bang bien t h i e n ni6i suy l a dildc k§t qua tren C h i i y dung cdc cong iJiHc sau: (1) Vdi a Id hhng so vdQ < a^l ta c6 (2) Vdi a la hang so vda> \ cd < a" ^ x < y x > y (3) Vdi a la hang so vd < a < I ta c6 a"" < a" B a i t o a n 80 ( D H - 0 A ) nghiem ciia phitdng t r i n h da cho la x = 1, x = / ^ U > V { { 11 < V { u > B a i to»m 82 (Duf bi D H - 0 A ) Giai phUdng ;vi , + ; log3 X ' f Q f / =logi 9x\ log^ trinh - (1) 3x^ = i - X 4=> x2 = l x2 = - ^) ^ (loai) (loai) (nhan) (loai) 374 16 log(3^)3 - log2 (x + 3) + log2 |x - 4^ X Gidi phuang (x - x + 3>0 + 3) |x - - logg^ X (x + 3) |x - 1| = 4x x^ - 2x - = X < x^ + 6x - = X > XG{3,-1} - 3x2 + = X = X = -1 X = X = ->/2 + 3) ^ X > K h i + log^ = log^ [^x log3^ X = ^x-l|^>0 (*) X (1) ^ ^ < x , ^ i X , log3^ X = (2) Neu a > t h i ( a " > a" < < x ^ - - Iog3^ X 16, log„ x = log„ y x + > x + x"^ + x > loge x + G i a i Difiu k i c n < vTTx + Vl - Ta CO x + x2 + (6x + 24) X - x + B a i t o a n 86 (Du* bi D H 0 A ) Gidi bat phudng 2x + 3\ ^""Hr^^x + lJ X + y X xe G (-00; (-00; x + -1 -2)U(-l;+oo) X € B a i t o a n 87 ( D H - 1 D , ""."j'i phan Chung) X + x/l - X = \/l -x2 2\/l - x = < = » ^ > ^ ^ log2 2^ > log2 ^ ^ > Taco 3^2 I (-00; X > log2 | x + < ( l ) ^ l o g ( ^ + 15.2^ + 27) >0 ^ -2) Gidi phuong (4^ + 15.2"^ + 27) / 1 f = = log2 V4.2^-3 V4.2^-3 \ = l-x>Q ^ { - 13u - = f x > - l x Q ^ x > K l i i ^ ^ x> (x - l)(2x - 1) = ( l ) ^ l o g ( - - l ) ( l + log3(3-^-l)]=6 - < x < ( x - l ) ( x - 1) = -3 Dat w = log3 (3^ - 1), thay vao (2) ta ditdo 2x2 - 3x - = •hi X > v.{l + u) = G - < x < 2x2 _ 3x + = (v6 nghiem) r r X > 1' I 2x2-3x - = B a i t o a n 91 (Du* b i D H - 0 A ) log2 X log., 2x Gidi phuang < ^ X = (thoa d k ) 1 l0g2 X 378 + 1+ log3 (3'- - 1) = log3 (r trinh (1) r X > I ^ ^ ^ ^ ^ l [ i , x ^ 2- logy v/2x + u - G = log^2 + log2^4 = l o g ^ f < X ^ G i a i Di6u kien 0, ta diTdc u > D o ' 2- > loga 2- > 2^ B a i t o a n 99 ( D e du" b i D H - 0 B ) '' i ^ • ' ) Gidi bat phuang trinh log2 ( x + \/2.T2 - T ) 2x2-x>0 X + \/2.T2-X>0 log2 f x + \/2x2 - X j > < Ta CO " *' Gidi bat phuang log2 (^x + \/2.T2 - x^ < logi ^ log2 ( x + \/2x2 - x ) > = log2 Vay tap iighigiu ciia bat phirdiig t r i n h da cho la [2; + o o ) r G i a i D i c u kien ( - o o ; - ] U [4; + o o ) u^-3u-4>0^ue i.?.; ,i, \/2x2 - X > - X trinh X > \e ( - o o ; ] U [ i ; + o o ) f X < \G ( - o o ; - ) U ( l ; + o o ) 2-x - x > (T 2x2 - X > - 4x + 3,2 logix + 21og.(x-l) + log,6 T a c6 (-r — 1) ^^ Jr x r f6i < n l o g i x + l o-.o-, g i (x + ilog2 '- j - + 144 < 20.2^ + 80 ^ (2-)^ - 20.2- + 64 < (log,x)^ - (log,x)^ • Vay -Hi t Dat u = 2- > 0, thay vao t a dutdc - 40u + 64 < < ?/< 16 mil i'^iz (oc Bdi vay /'(a;) < ^°g2^ ^°g2e < ^ log2X - log2e < (log2 X) < 2- < 16 22 < 2- < 2^ 0 Do (16 10g2X2 l0g2X log2 ^ X X < Kot hdp v i dion kiou siiy r a t a p nghiom ci'ia b a t phirong t r i n h d a cho la S' = ( ; ] U [ ; + o o ) Vay 5^ = < ^ X = D o X = la nghiem nhat cua phitdng t r i n h D a n g P h u ' d n g t r i n h , b a t phifdng t r i n h logarit chdra t h a m s6 PhiTdng p h a p Phitdng t r i n h /(x) = m c6 n g h i f m k h i va chi k h i m thuQc tap gia t r i ciia ham so / ( x ) B a i t o a n 105 ( D e D H - 0 A ) C/io p/iu:(?n5 irm/i : log|x + \J\oglx + - 2m - = ( m /d tham s6) iii ' D a n g Phu'dng p h a p h a m so Phtfdng p h a p (tifdng t\i d a n g d t r a n g ) • N h a m nghieni x = a cua phudng t r i n l i • C h i i n g m i n h phudng t r i n h c6 nghiom nhat bang each xet h a i trirdng hdp X > a vk X < a a.) Gidi phuang trinh m = b) Tim m de phuang tnnh dd cho c6 it nhat mot nghiem ^ ^ , G i a i Dieu kien x > a) K h i m = 2, phudng t r i n h da cho trcl t h a n h C h u y 12 Sii dung cdc cong thiic sau : Cho cdc so duong x vd y Khi • Neu a> I thi log^, x > log„ y -i^ x > y • Neu < a < thi log„ x > log„ y u + v/uTT - = m 1;3 0 ^ - l o g (y - x) - log4 ^ 1 ^ ( y - x ) - = -trinh c6 hai nghieinla(x;?y) = ( l ; l ) , (x;y) = (2;2) Bai toan 110 ( D y bi DH-2002B) Giai he ( x-4M+3 = ?og, y > ^ { y 1 Khi ta c6 Khi y = 1, ta CO X = 1, thoa dieu kien Khi y = 3, ta ditdc x = 9, thoa dieu kien Vay he phitdng trinh c6 hai nghiem la (x; y) = (1; 1) va (x; y) = (9; 3) Bai toan 111 (DH-2010D-phan rieng Nang cao) Giai hephUdng trinh / x^ - 4x + y + = { o g ( x - ) - l o g ^ y = (-^.yeR) Giai Dieu kien x > va y > He da cho viet lai x2 - x + y + = ^ f x2 - x + y + = I o g ( x - ) = l o g y ^ \2 = y f x= { x ^ ~ ' ; ' o ^ { f - = 0(loai) 2/ = lx= { Bai toan 112 (DH-2010B-phan rieng Nang cao) Gidi he phKcfng trinh ( log2(3y - 1) = 388 ^' y e m 1) = + 2^ = y _ 2^" + ^ + 2^ = y 2^ + y y= 2^ + X ^|3y-l==2^ 4^ + 2^ = y 2^ + y" = [ ( ^ + 2^) = (2^ + 1)2 2^ + (2^ + l ) ( ^ - - ) =d'1/''''2^ r2^2 I 21^ > 2° \^ ^2^^2V>3 > ys; Do y > khong thoa man (3) Neu < y < tin \ >1 • , ^^^.^ , «(^\^^°, -ir-^^', I > 2' 2^! > la u = => I' = Bdi \-ay he da cho titdng dudiig vdi / x - l = y - l = ^ ( x = l ^ { y ^ l 390 , : -2*+2'>3 Do < ?/ < khong thoa man (3) q., Bcii vay (3) vo nghiom Do (x; y) = ^log2 ^; logg Vay ham so Ii nghich bien tren R, do phUdng trinh (5) chi c6 mot nghieni (3) Neu y > thi De thay u = thoa (5> Xet ham h{u) = 3-"(u + Vu^ + l ) , V u G R Ta c6 h'{u) = - - " ln3(u + \/u2 + 1) + 3-" ( + x = y Thay vao (2) ta dvtdc ta c6 Vi (3) va (4) mau thnan v5i (2) nen khong the c6 u > t; • Tudng ti.r, cung khong the co u < • Vay t-lii kha nSng u = v Khi thay vao u - s/u^ + = 3^ ta ditdc w = u = -2 2^-'+ (4) + (*) 3 2^ + 2^ = g{v) > 0, hay g{v) - g{u) < 0, nghia la u + \/u2 + ^ 3« ^ 3-« s: , Khi n = 1, ta c6 log^ x — ^ logy x = logy X + v/"2 + - [logy x + log„ y) = log^ y , (2) Vay ham so / dong bien tren R De thay ham so ^(x) = 3^ dong bien tren M • Xet u > V Khi f{u) > f{v), hay f{u) - / ( r ) > 0, nghia la 1/ « ,;, Dat u = logy X , thay vao (*), ta dirdc Xet ham so /(x) = x + v/x2 + l , V x G R Ta co /'(x) = l + , [2) i (logy X + 1) = log^ 1/ o logy X + = log^ J/ ^' Lay hai phirong trinh trir ta ditdc u ° ^ ^ ^ ^ ° ^ " ^ ^ ^ i (2) ^ i logj^(xy) = log^ y^^ = 3" j; + s/v^^ | la nghiem nhat cua he Bai toan 116 (Du" bi D H - 0 D ) Gidi he { x^ + y = y^ + x 2^+y_2^-i = x _ y (1) (2) : iiKL ,M>^ ta difdc phifdng trinh tUdng difdiig: X - 392 G D dg • PhUdng trinh fix) = m cd nghiem x G Z) va chi m thuoc tap gia tri ciia ham so / tren D • fix) < m,yx e D m , Vx G D X € D de • Bat phUdng trinh fix) < m c6 nghiem x G D va chi i n i n / ( x ) < m (neu m ^ / ( x ) ton tai) G i a i Dieu kien xy > He da cho dudc viet lai \ e Z? de • Bat phifdng trinh / ( x ) > m c6 nghiem x G Z) va chi nmx/(x) > m 81 log2(x2 + y2) = log2(2xy) , '' ' _ , x + = + ^ / X - l /^N + m = 2{/—— VX + — t a x+ (1) cd < t < Phifdng trinh (1) trd 3/,2 + m = 21 PliUdiig trinh da cho cd nghiem va chi phifdng trinh (2) cd nghiem fit) ' = -3(2 + 2t, vdi ( G [0; 1) Ta cd T + f(t) t thoa man < ( < Xet ham so fit) (2) m = -3(2 + 2t \ ^ = - ( + 2, ^lim /(() = - -1 393 ,, Tfr bang bien thien t a c6 k i t qua - < m < B a i t o a n 119 m., phuang B a i t o a n 121 ( D H - 1 D ) - ( D H - 0 B ) Chring minh vdi moi gid tri duang ciia tham trinh sau c6 hai nghiem thUc phdn biet : x^ + 2x - = y/m.{x G i a i Dion kion x > K h i birih phitrtng hai v6 t a c6 : - r x - ( y + 2)x2 + xy = m X - y = - 2m so G i a i HO da cho vi6t lai { (x - 2f{x + 4)^ = m ( x - 2) x = , V x > (diSu kion w > (^x-^y i u=:2x-y / ' ( x ) = (x + 4)2 + 2(x + ) ( x - ) liin^ / ( x ) (^'^R) \ 2) ' *i Tim m de he phuang trinh sau c6 nghi$m / ~ ) ,j, ^ \ ^" ~ 27n) - u] =m I " ^ f t; = l - m - u (1) ' (*) luon C O diiiig nghieiu x > 2, tiic la ^•1 phuong t r i n h da cho luon c6 diing nghiem Tim cdc gid tri cua tham so m de phUdng B a i t o a n 120 ( D H - 0 A ) trinh sau c6 dung nghiem Dat phdn biet + / 1 V v/2x ^/6~~^ m • f'{x) = 0^ '2V2i + \/2x X - 2y/r^ ^ r(x) 2S + 2^ ' u = B a i t o a n 122 -1 + Dau ciia / ( x ) la dau ci'ia - — = — T i t bang bien thien ciia / ( x ) suy V2x x l a phitdng t r i n h c6 dung nghiem k h i va chi k h i 2\/6 + v ^ < m < 3v/2 + - ^ ^ ^ (loai) — ^nhan^ (2) c6 nghiem u G \ 2-v/3 ;+oo hay m < —-— Tim m de he sau cd nghiem : < ») Hi n ' V2 3x2 - m x v / i + 16 = 2^ G i a i Ta c6 (*)^ 394 • - - v/3 ^ / ^ 3V2 + 6-~_ - u - 2u + Vay he c6 nghiem 1 " f(u) / X 4- 2u + l ' u — 2^2x{G-x) fl[x) 2x = - xx = \/6 X + \ / ~ ^ K h i ham 1 Taco = (2u+l)2 v^+\/2^ + 2^/6^ + 2\/6^=:m G i a i X e t ham so f{x) = ^ + \/2^ + ^ / ^ xac diiih va lien tuc tren [0; 6] Ta c6 /(7/.) x < - + 5x 3x2 _ + 16 = rxG[l;4] \3x2-mxv^+16 = 395 f xG[l;4 3x^ + 16 X\JX Xet ham so fix) = 3.T^ + 16 , v6i a; e [1;4] Ta c6 : -' • = = '^tB S 0, Vx e [1; 4) Nhir vay ham so / nghich bien tren [1; 4], do h? c6 nghiem va chi /(4) < m < / ( I ) < m < 19 ; Bai toan 123 Xdc dinh m di he sau c6 nghiem phdn biet l o g ^ ( r + 1) - l o g ^ ( T - 1) > log34 log2(x2 - 2x + 5) + mlog(^2_2^+5)2 = (1) (2) Giai Dieu kien : x > Tft (1) ta c6 l ° g v / ^ > logv/32 2 0, Vx > 1, suy (x2 - x + 5)ln2 ham so t{x) dong bien tren (1; +oo), do vdi < x < thi < t < va (2) trd Dat / = log2(x2 - 2x + 5) Ta c6 t'{x) = « + y = => - 5( = - m (4) rlj.il Tu; each dat t ta c6: Vdi moi < € (2; 3) thi cho ta dung mot gia t r i x G (1; 3) Suy he c6 nghiem phan biet va chi (4) c6 nghiem phan biet t e (2; 3) Xet ham so hen tuc f{t) = f - 5t vdi t f(t) f(t) t-.3- bien thien ta c6, he phifdng trinh c6 nghifm 25 25 phan biet