SKKN toan 9 bài tập rèn tư duy sáng tạo

Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4... lần tổng số đấu thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ... BÀI HỌC KINH NGHIỆM

CHƯƠNG II: BÀI TẬP RÈN TƯ DUY SÁNG TẠO

Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2x + 3y = 11 Hướng dẫn

Cách 1 : Ta thấy phương trình có cặp nghiệm đặc biệt là x0 = 4, y0 = 1

Vì 2.4 + 3.1 = 11

( 2x + 3y) – (2.4 + 3.1) = 0

 2(x-4) + 3(y-1) = 0

 2(x-4) = - 3(y-1) mà (2,3) = 1

Đặt x – 4 = 3k và y – 1 = 2k với ( k  Z)

*Nhận xét: Theo cách giải này phải tìm ra 1 cặp nghiệm nguyên đặc

biệt (x0, y0) của phương trình vô định ax + by = c

Nếu phương trình có hệ số a, b, c lớn thì cách giải khó khăn

Cách 2: Dùng tính chất chia hết.

Ta có 2x + 3y = 11

 x=

2

3

11  y

= 5-

y-2

1



y

Do x, y nguyên  y2 1 nguyên

đặt y2 1 = k  y = 2k +1  x = 4- 3k (k  Z)

y = 2k +1 (k  Z)

Vậy nghiệm tổng quát x = 4- 3k

Bài 2: Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thoả mãn phương trình

6x 2 + 5y 2 = 74 Hướng dẫn:

Cách 1 : Ta có 6x2 + 5y2 = 74

 6x2 –24 = 50 – 5y2

 6(x2 – 4) = 5(10 – y2)

 6(x2 – 4)  5  x2 – 4 5

(6, 5) = 1

 x2 = 5t + 4 (t N)

Thay x2 – 4 = 5t vào phương trình  y2 = 10 – 6t

5

4



y2 > 0 t < 35

 t = 0 hoặc t = 1

với t = 0 ta có x2 = 4, y2 = 10 (loại)

Với t = 1 ta có x2 = 9  x =  3

mà x, y  Z  x = 3, y = 2 thoả mãn

Cách 2 : Sử dụng tính chẵn lẻ và phương pháp chặn

Ta có 6x2 + 5y2 = 74 là số chẵn  y chẵn

lại có 0< 6x2  0< 5y2 < 74

 0 < y2 < 14  y2 = 4  x2 = 9

Cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2)

Cách 3: Ta có 6x2 + 5y2 = 74

 5x2 + 5y2 + x2 + 1 = 75

 x2 + 1  5

mà 0 < x2  12  x2 = 4 hoặc x2 = 9

Với x2 = 4  y2 = 10 loại

Với x2 = 9  y2 = 4 thoả mãn

cặp số (x,y) cần tìm là (3, 2)

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x 2 + y 2 = 2x 2 y 2

Hướng dẫn:

Cách 1: Đặt x2 = a, y2 = b

b a Nếu a = b  2a = 2a2  a= a2  a= 0, a= 1

 (a,b) = (0, 0); (1, 1)

Nếu a = - b  2 b2 = 0  a = b = 0

 (x2, y2) = (0, 0); (1, 1)

 (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1)

Cách 2:

Ta có x2 + y2 = 2x2y2

Do x2, y2  0

Ta giả sử x2  y2  x2 + y2  2 y2

 2x2 y2  2y2

Nếu y = 0 phương trình có nghiệm (0;0)

Nếu y  0 x2  1  x2= 0 hoặc x2 = 1

 y2 = 0 (loại) hoặc y2 = 1  (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1)

Vậy phương trình có nghiệm (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1); (1, 1)

Cách 3:

Có x2 + y2 = 2x2y2

 2x2 + 2y2 = 4 x2y2

 4 x2y2 –2x2 – 2y2 + 1 = 1

2x2 (2y2 - 1) – (2y2 - 1)= 1

 (2x2 – 1) (2y2 - 1) = 1

Mà 1 = 1.1 = (-1)(-1)  (x2, y2) = (1, 1); (0, 0)

 (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1)

Bài 4: Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình

x 2 –3xy + 2y 2 + 6 = 0 Hướng dẫn:

Ta thấy(x, y) = (0, 0) không phải là nghiệm của phương trình

Ta coi phương trình x2 – 3xy + 2y2 + 6 = 0 ẩn x ta tính y = y2 – 24 Phương trình có nghiệm tự nhiên thì y là số chính phương

mà 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k và y – k cùng chẵn

y – k = 4 y – k = 2

Thay vào ta tìm được (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5)

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2x 2 + 2y 2 – 2xy + y + x – 10 = 0

Hướng dẫn:

Cách 1 :

Ta có phương trình đã cho  2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0

Coi x là ẩn y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x

Xét y = (2y – 1)2 – 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 – 12y+ 81

Để nghiệm x nguyên thì y là số chính phương

Đặt k2= -12y2 – 12 y + 81  k2 + 3(2y + 1) = 84

 (2y + 1)2 = 28 -

3

2

k

 28; (2y + 1)2 lẻ  (2y + 1)2 = 1, 9, 25

 y = 0, 1, -2, 2, -3 thử trực tiếp vào phương trình ta tìm được các cặp

số (x, y) = (2, 0); (0, 2) thoả mãn

Cách 2:

Đặt x + y = a, xy = b ta có x, y  Z  a, b  Z

phương trình 2x2 – (2y-1) x + 2y2 + y – 10 = 0

 2a2 – 4b + a – 10 = 0

 4a2 – 8b + 2a – 20 = 0

 (a+ 1)2 + 3a2 – 8b – 21 = 0

 (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21

lại có (x+ y)2 4 xy  a2  4b

 8b + 21  2a2 + 21

 (a+ 1)2 + 3a2  2a2 + 21

 (a+ 1)2  21

mà (a+ 1)2 là số chính phương  (a+ 1)2  {1, 4, 9, 16}

 a  {0, 1, 2, 3}

Với a = 0  12 + 3 0 = 8b + 21  8b = 20 loại

Với a = 1  (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21  8b = -14 loại

Với a = 2  (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21  8b = 0  b = 0

Với a = 3  (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21  8b = 22 loại

Vậy được a = 2, b = 0 

xy = 0

x + y = 2

 (x, y ) = (0, 2); (2, 0) thoả mãn

Bài 6: Hai đội cờ thi đấu với nhau mỗi đấu thủ của đội này phải đấu 1 ván với mỗi đấu thủ của đội kia Biết rằng tổng số ván cờ đã đấu bằng 4

lần tổng số đấu thủ của hai đội và biết rằng số đấu thủ của ít nhất trong 2 đội là số lẻ hỏi mỗi đội có bao nhiêu đấu thủ.

Hướng dẫn:

Gọi x, y lần lượt là số đấu thủ của đội 1 và đội 2 (x, y nguyên dương )

Theo bài ra ta có xy = 4 (x + y)

Đây là phương trình nghiệm nguyên ta có thể giải bằng các cách sau

Cách 1 : Có xy = 4(x + y)

 xy – 4x – 4y + 16 = 16

 (x-4) (y - 4) = 16

mà 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4

lại có ít nhất 1 đội có số đấu thủ lẻ

 x – 4 = 1  x = 5 hoặc x = 20

y-4 = 16 y = 20 y = 5

Cách 2: Ta thấy x, y bình đẳng.Không mất tính tổng quát ta giả sử x y

Ta có x, y nguyên dương xy = 4 (x + y)

 4x + 4y = 1

lại có 4x  4y  4x + 4y  8x  8x  1

 x  8  x= 5, 6, 7, 8

Mà 4x  1  x > 4

Thử trực tiếp ta được x = 5, y = 20 (thoả mãn)

Vậy 1 đội có 5 đấu thủ còn đội kia có 20 đấu thủ

Bài 7: Tìm năm sinh của Bác Hồ biết rằng năm 1911 khi Bác ra đi tìm đường cứu nước thì tuổi Bác bằng tổng các chữ số của năm Bác sinh cộng thêm 3.

Hướng dẫn:

Ta thấy nếu Bác Hồ sinh vào thể kỷ 20 thì năm 1911 Bác nhiều nhất

là 11 tuổi (1+ 9 + 0 + 0 + 3) loại

Suy ra Bác sinh ra ở thế kỷ 19

Gọi năm sinh của Bác là 18 xy

(x, y nguyên dương, x, y  9)

Theo bài ra ta có

1911 - 18 xy = 1 + 8 + x + y = 3

 11x + 2y = 99

 2y  11 mà (2, 11) = 1  y 11

mà 0 y  9

 y = 0  x = 9

Vậy năm sinh của Bác Hồ là 1890

Bài 8: Hãy dựng một tam giác vuông có số đo 3 cạnh là a, b, c là những số nguyên và có cạnh đo được 7 đơn vị

Hướng dẫn:

Giả sử cạnh đo được 7 đơn vị là cạnh huyền (a = 7)

 b2 + c2 = 72  b2 + c2  7  b 7; c 7

(vì số chính phương chia hết cho 7 dư 0, 1, 4, 2)

lại có 0<b, c< 7 loại

 Cạnh đo được là cạnh góc vuông giả sử b = 7

Ta có a2 – c2 = 49  (a+c)(a-c) = 49

 a+ c = 49  a = 25 Vậy tam giác cần dựng có số đo 3 cạnh

a – c = 1 c = 24 là 7, 25, 24

C – KẾT LUẬN

Đề tài này đã nhận được thử nghiệm qua nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi tôi thấy học sinh nắm được bài và rất hứng thú học tập Tôi nghĩ rằng tôi cần phải cố gắng đọc thêm tài liệu, học hỏi thầy cô và các bạn đồng nghiệp để tiếp tục xây dựng đề tài ngày càng phong phú hơn

I KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU.

1) Kết quả chung

Sau khi áp dụng đề tài vào giảng dạy đa số học sinh không những nắm vững cách giải phương trình nghiệm nguyên mà còn vận dụng linh hoạt trong các dạng toán khác

2) kết quả cụ thể

Kiểm tra 10 học sinh lớp 9 theo các đợt khác nhau dưới dạng phiếu học tậpthu được kết quả sau:

Đề bài Bài 1:Tìm nghiệm nguyên của phương trình

a, x2 – 4x- y2 = 1

b, 2x2 + 2y2 – 2xy + y + x = 10

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

5x + 7y = 56

Dưới điểm 5 Điểm 5 - 7 Điểm 8 - 10 Điểm 5 - 10

II BÀI HỌC KINH NGHIỆM:

kiến thức, , giúp học sinh hiểu bài sâu sắc và học sinh hứng thú, thích học, ham học và muốn học Có như vậy mới đáp ứng được lòng tin yêu của học sinh và yêu cầu của xã hội như hiện nay

Bên cạnh việc tự học, tự nghiên cứu để nâng cao hiểu biết cho bản thân mỗi giáo viên thì việc học hỏi thêm qua việc dự giờ đồng nghiệp, qua việc lắng nghe ý kiến rút kinh nghiệm của đồng nghiệp và Ban giám hiệu trong từng giờ dạy cũng là bài học vô giá đối với bản thân giáo viên

Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên là phương pháp được ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán dạng toán Song vì thời gian eo hẹp nên đề tài này không thể tránh được những sai sót,mong đồng nghiệp góp ý

để đề tài được hoàn thiện hon

III ĐỀ XUẤT

Đề tài có giá trị nên áp dụng rộng rãi để đồng nghiệp có thể tham khảo

và đóng góp ý kiến Trong quá trình thực hiện đề tài không tránh khỏi những thiếu sót nhất định, rất mong quý thầy cô tham khảo, đóng góp ý kiến để giúp tôi rút ra kinh nghiệm và hoàn chỉnh hơn cho đề tài của mình Tôi xin chân thành cảm ơn

Bỉm Sơn, ngày 05 tháng 4 năm 2011

Nguyễn Thị Nguyệt