Sang kien kinh nghiem mot so phuong phap giai phuong trinh nghiem nguyen

ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn A - PHN M U I- T VN Trong quỏ trỡnh hc toỏn trng THCS hc sinh cn bit cỏch t chc cụng vic ca mỡnh mt cỏch sỏng to Ngi thy cn rốn luyn cho hc sinh k nng, c lp suy ngh mt cỏch sõu sc, sỏng to Vỡ vy ũi hi ngi thy mt s lao ng sỏng to bit tỡm tũi nhng phng phỏp dy cho hc sinh trau di t logic gii cỏc bi toỏn L mt giỏo viờn dy toỏn trng THCS trc tip bi dng i tuyn hc sinh gii nhiu nm tụi nhn thy vic gii cỏc bi toỏn chng trỡnh THCS khụng ch n gin l m bo kin thc SGK, ú mi ch l nhng iu kin cn nhng cha Mun gii toỏn cn phi luyn nhiu thụng qua vic gii cỏc bi toỏn a dng, gii cỏc bi toỏn mt cỏch khoa hc, kiờn nhn, t m, t tỡm ỏp s ca chỳng Mun vy ngi thy phi bit dng linh hot kin thc nhiu tỡnh khỏc to hng thỳ cho hc sinh Mt bi toỏn cú th cú nhiu cỏch gii, mi bi toỏn thng nm mi dng toỏn khỏc nú ũi hi phi bit dng kin thc nhiu lnh vc nhiu mt mt cỏch sỏng to vỡ vy hc sinh phi bit s dng phng phỏp no cho phự hp Cỏc dng toỏn v s hc chng trỡnh THCS tht a dng phong phỳ nh: Toỏn v chia ht, phộp chia cú d, s nguyờn t, s chớnh phng, phng trỡnh nghim nguyờn õy l mt dng toỏn cú SGK lp nhng cha a phng phỏp gii chung Hn na phng trỡnh nghim nguyờn cú rt nhiu cỏc thi:Tt nghip THCS ;Trong cỏc thi hc sinh gii huyờn, hc sinh gii tnh Song gii cỏc bi toỏn ny khụng ớt khú khn phc T thc tin ging dy tụi thy hc sinh hay b tc, lỳng tỳng v cỏch xỏc nh dng toỏn v cha cú nhiu phng phỏp gii hay T nhng thun li, khú khn v yờu cu thc tin ging dy.Tụi chn ti: Rốn luyn t sỏng to qua mt s dng toỏn phng trỡnh nghim nguyờn Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn Trong quỏ trỡnh vit ti iu kin v kinh nghim khụng trỏnh khim khuyt Rt mong c s úng gúp, ch o ca thy cụ giỏo v cỏc bn ng nghip II IU TRA THC TRNG TRC KHI NGHIấN CU ỏnh giỏ c kh nng ca cỏc em i vi dng toỏn trờn v cú phng ỏn ti u truyn t ti hc sinh, tụi ó mt toỏn cho 10 em hc sinh i tuyn ca trng nh sau: Bi 1: ( ) a)Tỡm x, y Z bit x y + 2xy = b) Gii phng trỡnh nghim nguyờn: 5x 7y = Bi 2: (4 ) Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh : + x + x + x3 = 2y Kt qu thu c nh sau: Di im im - SL % SL % 60 40 im - 10 SL % 0 im - 10 SL % 40 Qua vic kim tra ỏnh giỏ tụi thy hc sinh khụng cú bin phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn t hiu qu Li gii thng di dũng, khụng chớnh xỏc, ụi cũn ng nhn Cng vi bi toỏn trờn nu hc sinh c trang b cỏc phng phỏp Gii phng trỡnh nghim nguyờn thỡ chc chn s cú hiu qu cao hn III-MC CH - ti nhm rốn luyn cho hc sinh t sỏng to hc v gii toỏn - Bit cỏch nh hng v gii bi ngn gn - Phỏt huy trớ lc ca hc sinh tỡm nhiu cỏch gii hay phỏt trin bi toỏn mi - Giỳp hc sinh t tin gii toỏn hoc thi c IV-PHM VI P DNG: Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn - p dng vo vic ging dy cỏc chuyờn trng hc hoc bi dng i tuyn hc sinh gii Toỏn lp 9, ụn cho hc sinh chun b thi vo cỏc lp chn, lp chuyờn PTTH - Thi gian nghiờn cu cú hn mc dự c s gúp ý chõn thnh ca nhiu giỏo viờn cú chuyờn mụn cao, song cũn nhiu iu b ng tip tc khai thỏc v i sõu ht dng toỏn ny B- NI DUNG Phng trỡnh nghim nguyờn rt a dng v phong phỳ nú cú th l phng trỡnh mt n, nhiu n Nú cú th l phng trỡnh bc nht hoc bc cao Khụng cú cỏch gii chung cho mi phng trỡnh, gii cỏc phng trỡnh ú thng da vo cỏch gii mt s phng trỡnh c bn v mt s phng phỏp gii nh sau: Cỏc dng phng trỡnh vi nghim nguyờn VN I : Bc 3: Tớnh a0 + a1 + a2 + = + ak m n Bc 4: Ly nghim riờng (x0; y0) ca phng trỡnh a1x + b1y = cho : x0 =m x0 =n y0 =m hoc y0 =n Xỏc nh du bng cỏch th trc tip c (x0, y0) Bc 5: x0 = c1 x0; y0 = c1y0 l nghim riờng ca phng trỡnh a1x + b1y = c1 nghim tng quỏt ca phng trỡnh l: x = x0 + b1 t Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn y = y0 a1t (vi t Z ) Vớ d 1: Gii phng trỡnh nghim nguyờn 5x 7y = Hng dn: Ta nhn thy (5, 7) = (7, 3) = Vy phng trỡnh cú nghim nguyờn gii ta tin hnh cỏc bc: - Vit thut toỏn clit cho s v 7 = 5.1 + m =1+ = n 2 = 2.2 + - Vớ d 2: Gii phng trỡnh nghim nguyờn 6x 14 y = 12 Hng dn: Ta nhn thy (6 ,14) = (6 ,12) = pt cú nghim ta tin hnh gii nh sau: Bc 1: 6x 14 y = 12 3x 7y = Bc 2: Vit thut toỏn clit cho v 7 = 3.2 + Bc 3: Tớnh m = q0 = = n Bc 4: Tỡm nghim riờng ca phng trỡnh 3x 7y = l (x0, y0) = (-2; -1) Bc 5: Xỏc nh nghim riờng ca pt 3x 7y = l (x0; y0) = (-12; -6) Nghim tng quỏt ca phng trỡnh 6x 14 y = 12 l x = -12 7t hay y = -6 3t x = 7t + y = 3t (t Z ) Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn * Nhn xột: Trờn õy l phng phỏp chung gii phng trỡnh nghim nguyờn dng ax + by = c Tuy nhiờn i vo bi toỏn c th bng cỏc kin thc v chia ht bit khộo lộo s dng s cho li gii ngn gn b.Cỏch gii thụng thng khỏc (3 bc) Bc 1: Rỳt n ny theo n (gi s rỳt x theo y) Bc 2: Da vo iu kin nguyờn ca x, tớnh cht chia ht suy lun tỡm y Bc 3: Thay y vo x s tỡm c nghim nguyờn Vớ d 1: Gii phng trỡnh nghim nguyờn: 2x + 5y =7 Hng dn: Ta cú 2x + 5y =7 x = x = 2y + 5y y Do x, y nguyờn y nguyờn t y =t vi (t Z ) y = 2t x = 2(1- 2t) + t = 5t + Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh l: x = 5t + y = -2t +1 (t Z ) Vớ d 2: Gii phng trỡnh nghim nguyờn 6x 15 y = 25 Hng dn: Ta thy( 6,15 ) = m 3/25 Vy khụng tn ti x,y nguyờn cho 6x- 15y = 25 Vớ d 3: Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh 5x + 7y = 112 Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn II Phng trỡnh nghim nguyờn dng a1x1 + a2x2 + + anxn= c (2) Vi a, c Z (i = 1,2n); n 1.nh lý: iu kin cn v phng trỡnh (2) cú nghim l (a1, a2,an) \ c 2.Cỏch gii: a phng trỡnh v dng sau: a Cú mt h s ca mt n bng Gi s a1 = Khi ú x1 = c a2x2 a3x3 - - anxn vi x1, x2,., xn Z Nghim ca phng trỡnh l: (c - a2x2 a3x3 - - anxn , x2,., xn) vi x2,., xn nguyờn bt k b Cú hai h s l hai s nguyờn t cựng Gi s ( a1, a2 ) = Khi ú pt (2) a1x1 + a2x2 = c - a3x3 - - anxn Gii phng trỡnh theo n x1, x2 Vớ d 4: Gii phng trỡnh trờn s nguyờn 6x + 15y + 10 z = Hng dn: Phng trỡnh 6x + 15y + 10 z = cú nghim nguyờn vỡ (6 ,15, 10) = v 1/3 Cỏch 1: Ta bin i 6x + 15y + 10 z = x + 10(y + z) + ( x+ y) = t t = y + z, k = x + y vi( t, k Z) Ta cú: x + 10 t + 5k = Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh x = 3- 10 t 5k y = - + 10 t + 6k ( t, k Z) z = t 6k Cỏch 2: 6x + 15y + 10 z = (x + z) + 15 y + z = t x + z = t ta cú 6t +15 y + 4z = Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn 15 y + 4z = 6t Ta cú cp s (-1; 4) l nghim riờng ca pt 15 y + 4z = nờn (-3 + 6t; 12 24 t) l nghim riờng ca phng trỡnh 15 y + 4z = 6t Do ú nghim tng quỏt l: y = -3 + 6t + 4k (k Z) z = 12 24t 15 k li cú t = x + z x = t z x = -12 = 25t + 15 k Vy nghim tng quỏt ca phng trỡnh 6x + 15y + 10 z = l: x = -12 = 25t + 15 k y = -3 + 6t + 4k vi ( t, k Z) z = 12 24t 15 k III Phng trỡnh nghim nguyờn a v dng g (x1, x2,., xn) h (x1, x2,., xn) = a (3) Vi a Z 1.Cỏch gii: t g (x1, x2,., xn) = m h(x1, x2,., xn) = Gii h: (vi m l c ca a) m a g (x1, x2,., xn) = m h(x1, x2,., xn) = m a tỡm c x1, x2,., xn th vo (3) ta c nghim ca phng trỡnh 2.Chỳ ý: -Nu a = ta cú g (x1, x2,., xn) = h(x1, x2,., xn) = -Nu a = p vi p nguyờn t thỡ t pt (3) ta cú: g (x1, x2,., xn) = p1 h(x1, x2,., xn) = p2 Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn Vi + = a Vớ d 5: Tỡm x, y Z bit x y + 2xy = Hng dn: Ta cú x y + 2xy = x 2y + xy = 12 x 2y + xy = 11 (2x 1) + 2y(2x-1) = 11 (2x 1) (2y + 1) = 11 Ta cú 11 = 1.11= (-1)(-11) = 11.1 = (-11)(-1) Ta cú (x; y) = (6; 0) 2y + = 2x = 11 (x; y) = (-5; -1) 2y + = -1 2x = -11 (x; y) = (1, 5) 2y + = 11 2x = (x; y) = ( 0; -6) 2y + = -11 2x = -1 Vớ d 6: Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh + x + x2 + x3 = 2y Hng dn: Ta cú + x + x2 + x3 = 2y (1 + x) (1 + x2) = 2y + x = m v + x2 = 2y m (m nguyờn dng) x=2m1 x2 = 2y m - x2 = 22m m +1 + x2 = 2y m Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn 22m 2m + + = y m - y m 22m + 2m +1 = Nu m = x = ; y = (t/m) Nu m > y m 22m + 2m = m 22m 1v 2m u l s chn nờn: y m l y m = y m = y = m + m - 22m = m = 22m m = 2m m = y=2;x=1 Vy (x, y) = (0; 0); (1; 2) IV Phng trỡnh nghim nguyờn a v dng [g1 (x1, x2,., xn)]2 + [g2 (x1, x2,., xn)]2 + + [gn (x1, x2,., xn)]2 = 1.Cỏch gii:Ta thy v trỏi ca phng trỡnh l cỏc s hng khụng õm, tng ca chỳng bng nờn mi s hng phi bng g1 (x1, x2,., xn) = Do vy cú: g2 (x1, x2,., xn) = gn (x1, x2,., xn) = Gii h ny ta c x1 , x2 ,, xn Vớ d 7: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 2x2 + y 2xy + 2y 6x + = Hng dn: (Dựng phng phỏp phõn tớch thnh nhõn t ta bin i v trỏi ca phng trỡnh) 2x2 + y 2xy + 2y 6x + = Ta cú Vy y 2y (x - 1) + (x-1)2 + x2 4x + = (y x + 1)2 + (x )2 = yx+1=0 hay x2=0 x=2 y=1 Trang s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l x = ; y = Vớ d 8: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh : (x 1) (y+1) = (x+ y)2 Hng dn: (x-1) (y+1) = (x+ y)2 Ta cú (x-1) (y+1) = [(x-1) + (y+1)]2 [(x-1) + (y+1)]2 - (x-1) (y+1) = (x-1)2 + (y+1)2 + (x-1) (y+1) = [(x-1) + y+1=0 (x-1) + (y+1)]2 + (y+1)2 = y = -1 (y+1) = x=1 Vy nghim ca phng trỡnh l ( x = ; y = -1) V- Phng trỡnh nghim nguyờn m cỏc n cú vai trũ bỡnh ng Khi lm toỏn ta thng gp mt s bi toỏn m ú cỏc n bỡnh ng vi gii cỏc bi toỏn ú cú nhiu cỏch gii khỏc tu thuc vo tng loi c th õy ta nghiờn cu n phng phỏp gii toỏn ny: Ta gi s cỏc n xy theo mt trt t tng dn ri tin hnh gii Vớ d 9: Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh 1 + + + =1 xy yz xz xyz Hng dn: Gi s x y z x2 xy xz yz xyz 1 1 1 = xy + yz + xz + xyz x + x + x + x 12 x2 x2 12 x 1 1, 2,3 Nu x = y + yz + z + yz = Trang 10 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn Nu x, y u l s l x2 , y2 chia cho u d x2y2 chia cho d x2 + y2 chia cho d z2 chia cho d (loi) m x2 + y2 + z2 = x2 y2 x chn hoc y chn * Gi s x chn hoc y chn * Gi s x chn x2 , x2y2 chn x2 x2 y2 (y2 + z2) y v z phi ng thi chn t x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1 ta cú x 12 + y 12 +z 12 = x 12 y 12 lp lun tng t ta cú x 22 + y 22 + z 22 = 16 x 22 y 22 Quỏ trỡnh ny c tip tc ta thy (x1, y1, z1 ) l nghim ca phng trỡnh thỡ ( x1 y1 z1 , , 2k 2k 2k ) l nghim ca phng trỡnh vi k nguyờn dng x1 = y1 = z1 = Vy pt cú nghim l (0, 0, 0) IX Phng phỏp 9: S dng tớnh cht nghim ca phng trỡnh bc Bin i phng trỡnh v dng phng trỡnh bc ca n coi cỏc n khỏc l tham s, s dng cỏc tớnh cht v nghim ca phng trỡnh bc xỏc nh giỏ tr ca tham s Vớ d 28: Gii phng trỡnh nghim nguyờn 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Hng dn: Ta cú pt 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = Trang 20 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn y2 + (4x + 2)y + x2 + 4x + = ) (*) coi x l tham s gii phng trỡnh bc pt (*) n y ta cú y = -(2x + 1) ' x Do y nguyờn, x nguyờn M ' x ' x nguyờn = (2x + 1)2 (3x2 + 4x + 5) = x2 x2 = n2 (n Z) (x- n) (x+ n) = x=2 xn=x+n=2 Vy phng trỡnh cú nghim nguyờn (x, y) = (2; -5); (-2, 3) Vớ d 29: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh x2 (y+5)x + 5y + = Hng dn: Ta cú x2 (y+5)x + 5y + = coi y l tham s ta cú phng trỡnh bc n x Gi s phng trỡnh bc cú nghim x1, x2 Ta cú x1 + x2 = y + x1 x2 = 5y + Theo nh lý Viet 5x1 + 5x2 = 5y + 25 x1x2 = 5y + x1 + 5x2 x1x2 = 23 (x1 -5) (x2 -5) = M = 1.2 = (-1)(-2) x1 + x2 = 13 hoc x1 + x2 = y = hoc y = thay vo phng trỡnh ta tỡm c cỏc cp s (x,y ) = (7, 8); (6, 8); (4, 2); (3, 2); l nghim ca phng trỡnh X- Phng phỏp 10 : Dựng bt ng thc Vớ d 30: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh x2 xy + y2 = Hng dn: Trang 21 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn y 3y2 ) =32 y 3y Ta thy (x- )2 -2 y 2 Ta cú x2 xy + y2 = (x- y= 2; 1; thay vo phng trỡnh tỡm x Ta c cỏc nghim nguyờn ca phng trỡnh l : (x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1) Vớ d 31: Chng minh rng phng trỡnh x y z + + = b khụng cú nghim t nhiờn b = hoc b = nhng cú vụ y z x s nghim t nhiờn b = Hng dn: x y z Ta thy x, y, z Z + y , z , x > Theo bt ng thc Cụsi ta cú x x y z y z + ) 27 ( y )= 27 z x z x x y z y + z + x ng thc xy x = y = z x y z Vy phng trỡnh y + + = b khụng cú nghim l s t nhiờn b = hoc z x (y + b = v cú vụ s nghim b = chng hn ( x = a, y = a, z = a) vi a l s t nhiờn bt k CHNG III: Bi luyn rốn t sỏng to Bi 1:Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 2x + 3y = 11 Hng dn Cỏch 1: Ta thy phng trỡnh cú cp nghim c bit l x0 = 4, y0 = Vỡ 2.4 + 3.1 = 11 ( 2x + 3y) (2.4 + 3.1) = 2(x-4) + 3(y-1) = 2(x-4) = - 3(y-1) m (2,3) = t x = 3k v y = 2k vi ( k Z) Trang 22 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn Vy nghim tng quỏt ca pt l : x = 3k y = 1+ 2k ( k Z) *Nhn xột: Theo cỏch gii ny phi tỡm cp nghim nguyờn c bit (x0, y0) ca phng trỡnh vụ nh ax + by = c Nu phng trỡnh cú h s a, b, c ln thỡ cỏch gii khú khn Cỏch 2: Dựng tớnh cht chia ht Ta cú 2x + 3y = 11 11 y y = 5y2 y Do x, y nguyờn nguyờn y t = k y = 2k +1 x = 4- 3k x= Vy nghim tng quỏt: (k Z) y = 2k +1 (k Z) x = 4- 3k Bi 2: Tỡm cp s nguyờn dng (x,y) tho phng trỡnh 6x2 + 5y2 = 74 Hng dn: Cỏch 1: Ta cú 6x2 + 5y2 = 74 6x2 24 = 50 5y2 6(x2 4) = 5(10 y2) 6(x2 4) x2 (6, 5) = x2 = 5t + (t N) Thay x = 5t vo phng trỡnh y2 = 10 6t li cú x2 > y2 > t = hoc t = vi t = ta cú x2 = 4, y2 = 10 (loi) Vi t = ta cú x2 = y2 = 4 5 t< t> x=3 y=2 Trang 23 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn m x, y Z + x = 3, y = tho Cỏch 2: S dng tớnh chn l v phng phỏp chn Ta cú 6x2 + 5y2 = 74 l s chn y chn li cú 0< 6x2 0< 5y2 < 74 < y2 < 14 y2 = x2 = Cp s (x,y) cn tỡm l (3, 2) Cỏch 3: Ta cú 6x2 + 5y2 = 74 5x2 + 5y2 + x2 + = 75 x2 + m < x2 12 x2 = hoc x2 = Vi x2 = y2 = 10 loi Vi x2 = y2 = tho cp s (x,y) cn tỡm l (3, 2) Bi 3: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: x2 + y2 = 2x2y2 Hng dn: Cỏch 1: t x2 = a, y2 = b Ta cú a + b = ab a b a = b a=b b a Nu a = b 2a = 2a a= a2 a= 0, a= (a,b) = (0, 0); (1, 1) Nu a = - b b2 = a = b = (x2, y2) = (0, 0); (1, 1) (x, y ) = (0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cỏch 2: Ta cú x2 + y2 = 2x2y2 Do x2, y2 Ta gi s x2 y2 x2 + y2 y2 2x2 y2 2y2 Nu y = phng trỡnh cú nghim (0;0) Nu y x2 x2= hoc x2 = Trang 24 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn y2 = (loi) hoc y2 = (x, y) = (1, 1); (1, -1) ; (-1, 1) Vy phng trỡnh cú nghim (x;y) =(0, 0); (-1, -1); (-1, 1); (1, -1) ; (1, 1) Cỏch 3: Cú x2 + y2 = 2x2y2 2x2 + 2y2 = x2y2 x2y2 2x2 2y2 + = 2x2 (2y2 - 1) (2y2 - 1)= (2x2 1) (2y2 - 1) = M = 1.1 = (-1)(-1) (x2, y2) = (1, 1); (0, 0) (x, y) = (1, 1); (0, 0) ; (1, -1); (-1; -1); (-1, 1) Bi 4: Tỡm nghim t nhiờn ca phng trỡnh x2 3xy + 2y2+ = Hng dn: Ta thy(x, y) = (0, 0) khụng phi l nghim ca phng trỡnh Ta coi phng trỡnh x2 3xy + 2y2 + = n x ta tớnh y = y2 24 Phng trỡnh cú nghim t nhiờn thỡ y l s chớnh phng y2 24 = k2 (y k)(y + k) = 24 (kN) m 24 = 24.1 = 12.2 = 6.4 = 3.8 ; y+k v y k cựng chn y+ k = yk=4 y=5 hoc y+ k = 12 yk=2 y=7 Thay vo ta tỡm c (x,y) = (8, 7); (13, 7); (7, 5); (8,5) Bi 5: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh 2x2 + 2y2 2xy + y + x 10 = Hng dn: Cỏch 1: Ta cú phng trỡnh ó cho 2x2 (2y-1) x + 2y2 + y 10 = Coi x l n y l tham s ta cú phng trỡnh bc n x Xột y = (2y 1)2 4.2 (2y2 + y -10) = -12y2 12y+ 81 nghim x nguyờn thỡ y l s chớnh phng t k2= -12y2 12 y + 81 k2 + 3(2y + 1) = 84 Trang 25 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn (2y + 1)2 = 28 - k2 28; (2y + 1)2 l (2y + 1)2 = 1, 9, 25 y = 0, 1, -2, 2, -3 th trc tip vo phng trỡnh ta tỡm c cỏc cp s (x, y) = (2, 0); (0, 2) tho Cỏch 2: t x + y = a, xy = b ta cú x, y Z a, b Z phng trỡnh 2x2 (2y-1) x + 2y2 + y 10 = 2a2 4b + a 10 = 4a2 8b + 2a 20 = (a+ 1)2 + 3a2 8b 21 = (a+ 1)2 + 3a2 = 8b + 21 li cú (x+ y)2 xy a2 4b 8b + 21 2a2 + 21 (a+ 1)2 + 3a2 2a2 + 21 (a+ 1)2 21 m (a+ 1)2 l s chớnh phng (a+ 1)2 {1, 4, 9, 16} a {0, 1, 2, 3} Vi a = 12 + = 8b + 21 8b = 20 loi Vi a = (1+1)2 + 3.12 = 8b + 21 8b = -14 loi Vi a = (1+ 2)2 + 3.22 = 8b + 21 8b = b = Vi a = (1+ 3)2 + 3.32 = 8b + 21 8b = 22 loi Vy c a = 2, b = xy = x+y=2 (x, y ) = (0, 2); (2, 0) tho Bi :Tỡm tt c cỏc nghim nguyờn dng x, y cho x2 + 4x y2 = Hng dn: Cỏch 1: Ta cú x2 + 4x y2 = (x + 2)2 - y2 = (x + 2+ y)(x+ 2-y) = m x, y nguyờn dng (x + 2+ y) > (x+ 2-y) Trang 26 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn x+ + y = x = 1, y = x+2y=1 Vy nghim ca phng trỡnh l x = 1, y = Cỏch 2: Ta cú x2 + x y2 = x2 + x (y2 + 1) = ' y = + y2 + x = ' y phng trỡnh cú nghim thỡ y l s chớnh phng + y2 + = k2 (k- y) (k+ y) = y = thay vo phng trỡnh tỡm c x = Vy nghim nguyờn dng ca phng trỡnh l x = 1; y = Bi 7: Hai i c thi u vi mi u th ca i ny phi u vỏn vi mi u th ca i Bit rng tng s vỏn c ó u bng ln tng s u th ca hai i v bit rng s u th ca ớt nht i l s l hi mi i cú bao nhiờu u th ' Hng dn: Gi x, y ln lt l s u th ca i v i (x, y nguyờn dng ) Theo bi ta cú xy = (x + y) õy l phng trỡnh nghim nguyờn ta cú th gii bng cỏc cỏch sau Cỏch 1: Cú xy = 4(x + y) xy 4x 4y + 16 = 16 (x-4) (y - 4) = 16 m 16 = 1.16 = 2.8 = 4.4 li cú ớt nht i cú s u th l x4=1 y-4 = 16 x=5 y = 20 hoc x = 20 y=5 Cỏch 2: Ta thy x, y bỡnh ng.Khụng mt tớnh tng quỏt ta gi s x y Ta cú x, y nguyờn dng xy = (x + y) 4 + y x =1 Trang 27 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn li cú x y 4 + y x x8 M x x x x= 5, 6, 7, 1x>4 Th trc tip ta c x = 5, y = 20 (tho món) Vy i cú u th cũn i cú 20 u th Bi 8: Tỡm nm sinh ca Bỏc H bit rng nm 1911 Bỏc i tỡm ng cu nc thỡ tui Bỏc bng tng cỏc ch s ca nm Bỏc sinh cng thờm Hng dn: Ta thy nu Bỏc H sinh vo th k 20 thỡ nm 1911 Bỏc nhiu nht l 11 tui (1+ + + + 3) loi Suy Bỏc sinh th k 19 Gi nm sinh ca Bỏc l 18 xy (x, y nguyờn dng, x, y 9) Theo bi ta cú 1911 - 18 xy = + + x + y = 11x + 2y = 99 2y 11 m (2, 11) = y 11 m y y=0x=9 Vy nm sinh ca Bỏc H l 1890 Bi 9: Tỡm tt c cỏc s nguyyờn x, y tho phng trỡnh x+ y x xy + y 2 = Hng dn: Ta cú x+ y x xy + y 2 = (x+ y) = (x2 xy + y2) t x + y = p , x y = q p, q nguyờn x= p+q ; y= pq thay vo phng trỡnh cú dng 28 p = (q2 + q2) p > v p t p = 3k (k Z ) 28k = 3(3k2+ q2) k v k cú dng 3m (m Z+) 28 m = 27m2 + q + Trang 28 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn m( 28 27m) = q2 m = hoc m = Vi m = k = q = x = y = (loi) Vi m = thỡ k = 3; p = 28 = 27 + q2 q = Khi p = 9, q = thỡ x = 5, y= p = 9, q = 1- thỡ x = 4, y= Vy nghim ca phng trỡnh l (x, y) = (4, 5); (5, 4) Bi 10: Hóy dng mt tam giỏc vuụng cú s o cnh l a, b, c l nhng s nguyờn v cú cnh o c n v Hng dn: Gi s cnh o c n v l cnh huyn (a = 7) b2 + c2 = 72 b2 + c2 b 7; c (vỡ s chớnh phng chia ht cho d 0, 1, 4, 2) li cú 0 phng trỡnh cú nghim phõn bit x1, = b 2a ?2 Sp xp phng trỡnh bc hai sau HS2: theo n x; theo n y 2 - i vi n y: 3x + y + 4xy + 4x + 2y + = y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + = - i vi n x: ?3.Nờu h qu ca nh lý Viet v 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + = phng trỡnh bc hai HS3: Nu phng trỡnh a x2 + bx + c = (a ) cú hai nghim x1 v x2 thỡ : b x1 + x = a x x = c a Giỏo viờn nhn xột, ỏnh giỏ Hc sinh i chiu kt qu vi bi ca mỡnh, nhn xột Hot ng 2: Cỏc vớ d Giỏo viờn t : Gii phng trỡnh nghim nguyờn 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = (1) Gi ý: - Vit phng trỡnh (1) thnh phng trỡnh bc n y ri tớnh ' x ? - Nu pt bc cú nghim thỡ nghim c tớnh bng cụng thc no? - Do x, y nguyờn cú nhn xột gỡ ' x ? Học sinh nghe ghi chép HS: Ví dụ 1: Giải pt nghiệm nguyên 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = (1) HS: y2 + (4x + 2)y + 3x2 + 4x + = ' x = x2 y1,2 = -(2x + 1) ' x (*) Do x, y nguyên ' x nguyên ' x số phơng Đặt ' x = k2 Trang 30 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn x2 = k2 (x- k)(x+ k) = Ta có = 1.4 = 2.2 = (-1).(-4) = (-2) (-2) - Vit s di dng tớch hai s x k; x + k chẵn x k = x + k = nguyờn? k = 0, x = thay vào (1) tìm y - Em cú nhn xột gỡ v x k v x + k - Vậy nghiệm phơng trình:(x, y) = (2, -5);(-2, 3) HS: Phơng trình (1) tơng đơng với: Thay x v k vo (1) tỡm y? 3x2 + ( 4y +4 )x + 3x2 + 4x + = ' y = y2 + 2y 11 *Em hóy thc hin tng t vi n y? Do x, y nguyên ' y nguyên ' y số phơng Đặt ' y = k2 (y +1- k)( y + + k) = 12 Mà y +1- k y + +k chẵn ó dng kin thc no gii 12 = 2.6 = ( -2) (-6) phng trỡnh ó cho Yờu cu HS y + k = y +1 k = kim tra cỏc bc gii y +1 + k = y + + k = Qua vớ d trờn em hóy nờu li phng phỏp gii? y = y = - Thay vào (1) ( giỏo viờn a lờn mn hỡnh túm tt Vậy nghiệm phơng trình: (x, y)= (2, -5); (-2, 3) HS: Học sinh suy nghĩ, trả lời theo bc ) Bc 1: Vit phng trỡnh bc hai theo n x b Bc 2: Tớnh y x1, = 2a Bc 3: t y = k Bớc 4: Tìm y k Bớc 5: Thay y k vào phơng trình để tìm x Bớc 6: Trả lời ' Trang 31 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn Vớ d 2: Gii pt nghim nguyờn x2 (y + 5)x + 5y + = -yờu cu hc sinh nờu li phng phỏp gii nh vớ d 1? -Ngoi cỏch gii theo vớ d cũn cỏch no khỏc khụng? -Gi s phng trỡnh cú hai nghim x1 v x2 theo nh lớ Viet ta cú iu gỡ? Hc sinh nghe v ghi chộp Hc sinh tr li ming Hc sinh suy ngh tr li HS: Gi x1 v x2 l nghim ca phng trỡnh x2 -(y + 5)x + 5y + = Theo nh lý Viet: - Tỡm biu thc liờn h gia x1 v x2 -Phõn tớch s thnh tớch ca hai s nguyờn -Tỡm x1 v x2 sau ú tỡm tng ca chỳng x1 + x = y + x1 x = y + Ta cú: 5x1 + 5x2 x1x2 = 23 hay ( x1 5)( x2 5) = Nờn: x1 = x2 = hoc x1 = x = x1 + x2 = 13 x1 + x2 = y = y = Vậy (x, y) = (7,8); (6,8); (4, 2); (3, 2) nghiệm phơng trình HS: Học sinh trả lời miệng -Tr li bi toỏn trờn Hóy nờu li cỏc bc lm Bc 1: - Vit h qu nh lý Viet Bc 2: Tỡm biu thc liờn h ga x1 v x2 Bc 3: Tỡm x1 v x2 sau ú tỡm y Bc 4: Tr li bi toỏn Hot ng 3: Luyn i vi gii nghim nguyờn ca Phng phỏp1: Vn dng cụng thc nghim phng trỡnh bc gm nhng ca phng trỡnh bc phng phỏp no? Phng phỏp2:Dựng h qu ca nh lý Viet Giỏo a bi lờn mn hỡnh: Bi 1: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh Bi 1: Tỡm nghim nguyờn ca sau phng trỡnh sau x2 xy + 2y2 + = (2) x2 xy + 2y2 + = (2) Gii: Trang 32 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn Gi hc sinh lờn bng trỡnh by Tớnh y = y2 24 y l s chớnh phng t y2 24 = k (y-k)(y+ k) = 24 li cú y k; y + k cựng tớnh chn l y + k = Ngim (x,y)= ( 8;5) ; (7;5) y k = y + k = (II) Ngim (x,y)= ( -7;-5) ; (-8; y k = Tỡm nghim cu tng h(I,II,III,IV) (I) thay vo phng trỡnh (2) tỡm x 5) y + k = 12 Ngim (x,y)= ( 8;7) ; (13;7) y k = y + k = 12 (IV) Ngim (x,y)= ( -8;-7) ; ( y k = (III) 13;-7) Vy phng trỡnh cú nghim (x,y)= ( 8;5) ; (7;5) ; ( -7;-5) (-8;-5);( 8;7) ; (13;7) ( -8;-7) ; (13;-7) Hot ng Kiểm tra đánh giá GV phỏt phiu hc yờu cu HS Bi 1:Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh gii sau ú GV thu phiu nhn xột a, x2 4x- y2 = b, 2x2 + 2y2 2xy + y + x = 10 Bi 2: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh : 5x + 7y = 56 Hot ng 5:Hng dn v nh Xem li v ghi 1.Gii phng trỡnh nghim nguyờn sau: x2 + y2 = x + y + Tỡm giỏ tr nguyờn ca m phng trỡnh sau cú ớt nht nghim chung 2x2 + (3m - 1)x = (1) 6x2 (2m 3) x = (2) D KT QU THC HIN 1) Kt qu chung Trang 33 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung ti s phm: Mt s phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn Sau ỏp dng ti vo ging dy a s hc sinh khụng nhng nm vng cỏch gii phng trỡnh nghim nguyờn m cũn dng linh hot cỏc dng toỏn khỏc 2) kt qu c th Kim tra 10 hc sinh lp theo cỏc t khỏc di dng phiu hc tpthu c kt qu sau: bi Bi 1:Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh a, x2 4x- y2 = b, 2x2 + 2y2 2xy + y + x = 10 Bi 2: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh : 5x + 7y = 56 Di im SL % 20 im - SL % 40 im - 10 SL % 40 im - 10 SL % 90 C KT LUN ti ny ó nhn c th nghim qua nhiu nm bi dng hc sinh gii tụi thy hc sinh nm c bi v rt hng thỳ hc Tụi ngh rng tụi cn phi c gng c thờm ti liu, hc hi thy cụ v cỏc bn ng nghip tip tc xõy dng ti ngy cng phong phỳ hn Phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn l phng phỏp c ng dng rng rói nhiu bi toỏn dng toỏn Song vỡ thi gian eo hp nờn ti ny khụng th trỏnh c nhng sai sút Hi Dng, ngy 05 thỏng nm 2006 Ngi thc hin Xỏc nhn ca trng THCS Trng Thnh Ti Lờ Vn Trung liu tham kho Trang 34 s: Ngi thc hin: Lờ Vn Trung [...]... rng tụi cn phi c gng c thờm ti liu, hc hi thy cụ v cỏc bn ng nghip tip tc xõy dng ti ngy cng phong phỳ hn Phng phỏp gii phng trỡnh nghim nguyờn l phng phỏp c ng dng rng rói trong nhiu bi toỏn dng toỏn Song vỡ thi gian eo hp nờn ti ny khụng th trỏnh c nhng sai sút Hi Dng, ngy 05 thỏng 6 nm 2006 Ngi thc hin Xỏc nhn ca trng THCS Trng Thnh Ti Lờ Vn Trung liu tham kho Trang 34 s: Ngi thc hin: Lờ