SANG KIEN KINH NGHIEM một số dạng toán cực ttrị đại số doc

Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS CHƯƠNG I 1.Lời nói đầu: Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn trường THCS Tơi nhận thấy, phát bồi dưỡng nhân tài vấn đề quan trọng dạy học, mơn Khoa học tự nhiên đặc biệt mơn Tốn Nhằm phát huy lực tư học sinh q trình giải Tốn phát học sinh có lực Tốn Ai thấy rằng: học thuộc học hồn tồn khơng đủ, mà phải biết vận dụng kiến thức rèn luyện kĩ việc giải Tốn Chuẩn bị cho việc vận dụng kiến thức Tốn vào thực tiễn cơng tác sau Số tốn nhiều khơng kể xiết, mỗi vẻ, thời gian học tập lại hạn chế, cần rèn luyện óc phân tích tốn nắm vững tính đặc thù dạng Hơn việc đổi phương pháp dạy học trường Phổ thơng nhằm đào tạo nguồn nhân lực, bồi dưỡng nhân tài đáp ứng u cầu xã hội thời kỳ hội nhập quốc tế, đòi hỏi người giáo viên phải trọng đến việc thiết kế hướng dẫn học sinh thực dạng tập phát triển tư rèn luyện kỹ năng, động viên khuyến khích, tạo hội điều kiện cho học sinh tham gia cách tích cực, chủ động, sáng tạo vào q trình khám phá lĩnh hội nội dung học, ý khai thác vốn kiến thức, kinh nghiệm kĩ có học sinh, bồi dưỡng hứng thú, nhu cầu hành động thái độ tự tin học tập học sinh, góp phần phát triển tối đa tiềm thân Với thực tế u cầu chung việc nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng giáo viên cần thiết Trong tài liệu tơi xin giới thiệu đề tài “Một vài phương pháp tìm cực trị đại số Tốn THCS” Trong q trình thực đề tài với kiến thức kinh nghiệm khiêm tốn nội dung sáng kiến chưa phong phú khơng thể tránh khỏi sai sót Rất mong nhận đóng góp chân thành đồng nghiệp để sáng kiến hồn thiện giúp ích cho việc dạy học tốn Xin trân trọng cảm ơn! 2.Lý chọn đề tài: Từ sở nhận thức để đáp ứng nhu cầu tìm hiểu, học tập giáo viên nhiều học sinh q trình bồi dưỡng học sinh giỏi Phương pháp giải dạng tốn khó xây dựng Một dạng tốn là: phương pháp tìm cực trị đại số tốn Trung học sở Tuy nhiên việc biên soạn tốn sách chưa hồn chỉnh hạn chế phương pháp giải Bài tốn tìm giá trị lớn giá trị nhỏ có ý nghĩa quan trọng chương trình tốn phổ thơng Chun đề trình bày số phương pháp thường gặp để tìm giá GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang1 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS trị lớn nhỏ phương pháp quan trọng đưa tổng bình phương, phương pháp sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc … Do q trình dạy học thân ln cố gắng tìm tòi nghiên cứu tài liệu, tích lũy kinh nghiệm nhiều năm để viết nên sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Tìm cực trị đại số Tốn Trung học sở” 3.Mục đích nghiên cứu: Khi viết sáng kiến kinh nghiệm tơi ln cố gắng hệ thống, xây dựng đọng đầy đủ phương pháp giải, phát triển tốn nhằm nâng cao lực tự học học sinh, ứng dụng kết tốn vào giải số tốn thực tế khác Từ rèn luyện cho học sinh khả tư duy, phân tích tốn, tránh sai lầm, ngộ nhận suy luận logic, phát bồi dưỡng học sinh có khiếu tốn Hơn kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, thường có tốn tìm cực trị đại số nên tài liệu cho giáo viên tham khảo giúp ích cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi, đáp ứng nhu cầu học hỏi tìm hiểu học sinh làm cho em u thích mơn Tốn 4.Đối tượng phạm vi nghiên cứu: a.Đối tượng nghiên cứu: Học sinh khối lớp 6,7,8,9 Trường trung học sở Bình Khương b.Phạm vi nghiên cứu: +Các tiết dạy lớp, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi tốn 6,7,8,9 từ năm 2005 đến 2010 +Tham khảo tài liệu, chuẩn kiến thức GD&ĐT, tài liệu bồi dưỡng thường xun, loại sách tham khảo +Các tiết sinh hoạt chun đề tổ chun mơn 5.Nhiệm vụ nghiên cứu: -Nắm định nghĩa, tính chất phân thức, giá trị tuyệt đối số số bất đẳng thức bản… -Hệ thống hóa kiến thức phương pháp giải tốn tìm cực trị đại số tốn trung học sở -Đưa kó cần thiết biến đổi tìm GTLN, GTNN -Tạo đam mê tìm hiểu, nghiên cứu, sáng tạo việc dạy học tốn 6.Phương pháp nghiên cứu: Để thực đề tài tơi nghiên cứu tài liệu từ thực tế a.Nghiên cứu tài liệu: -Trong nhiều năm liền tơi tích cực tham khảo nghiên cứu tài liệu liên quan đến chủ đề sáng kiến kinh nghiệm, tích góp nội dung, kinh nghiệm GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang2 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS quan trọng tìm GTLN, GTNN theo trình tự từ lớp 69 cho dạng tốn riêng b.Nghiên cứu từ thực tế: b.1 Điều tra từ thực tế: Trước viết đề tài tơi tiến hành làm kiểm tra 15 em học sinh giỏi Tốn khối trường THCS Bình Khương (Nội dung thuộc số tập dạng 1,2,3) thống kê kết sau: Điểm 12 34 56 78 910 Khối SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL Số lượng 15 53.3% 33.3% 3.4% Phân tích tổng hợp lý luận thực tiễn: -Trên sở lý luận đổi phương pháp dạy học thực tế học sinh trường tơi tiến hành nghiên cứu nội dung tìm cực trị đại số mơn Tốn thiết kế hoạt động dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học sinh giảng dạy tơi kiểm tra, so sánh u cầu sau: +Tích cực suy nghĩ lĩnh hội kiến thức, rèn luyện kĩ +Phát triển tư khái qt hóa, tổng hợp hóa +Sáng tạo cách giải tập, mạnh dạn trình bày bảo vệ ý kiến, quan điểm cá nhân +Rèn luyện kĩ mơn Tốn Cùng kinh nghiệm đồng nghiệp, từ thực tế lên lớp, qua tiết bồi dưỡng học sinh giỏi Bản thân ln có thử nghiệm, so sánh ghi chép điều cần thiết cho tiết dạy sau tốt hơn, hiệu tiết dạy trước -Thực chun đề “Một vài phương pháp tìm cực trị đại số Tốn THCS” tổ chun mơn để tranh thủ tiếp thu ý kiến đóng góp đồng nghiệp tổ 7.Ý nghĩa hiệu thực tiễn: Với phương pháp nghiên cứu thân hồn thành sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy học sinh tiếp thu kiến thức cách nhanh chóng vận dụng kiến thức giải hàng loạt tập tìm GTLN, GTNN cách ngắn gọn, dễ hiểu.Các em đề xuất số tập nâng cao Vì nhiều năm qua với nghiên cứu đề tài khác mơn Tốn Học sinh giỏi trường tơi khơng tăng số lượng mà chất lượng b.2 GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang3 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS NỘI DUNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI I.Cơ sở lý thuyết: Định nghĩa giá trị lớn (GTLN): Cho biểu thức f(x) xác định miền D Ta nói M giá trị lớn f(x) D Kí hiệu M=max f(x), hai điều kiện sau thỏa mãn +Với x thuộc D f(x) ≤ M, M số +Tồn xo thuộc D cho f(xo) = M -Định nghĩa giá trị nhỏ (GTNN): Cho biểu thức f(x) xác định miền D Ta nói m giá trị nhỏ f(x) D, kí hiệu m = f(x), hai điều kiện sau thỏa mãn: +Với x thuộc D f(x) ≥ m, m số +Tồn xo thuộc D cho f(xo) = m Mở rộng khái niệm biểu thức f(x,y…), xác định miền D sau: * Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nói M giá trị lớn (GTLN) biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Max f = M hai điều kiện sau thõa mãn : - Với x , y … để f(x ; y …) xác định f(x ; y …) ≤ M (1) - Tồn xo , yo … cho f(xo ; yo … ) = M (M số) (2) * Cho biểu thức f(x ; y …) Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x ; y …) ký hiệu Min f = m hai điều kiện sau thõa mãn : - Với x , y … để f(x ; y …) xác định f(x ; y …) ≥ m (1)’ - Tồn xo , yo … cho f(xo ; yo … ) = m (m số) (2)’ * Chú ý : Nếu có điều kiện (1) hay (1)’ chưa thể nói cực trị biểu thức Ví dụ : Xét biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Mặc dù ta có A ≥ chưa thể kết luận Min A = khơng tồn giá trị x để A = Cách giải sau : A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2(x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + ≥ A = ⇔ x – = ⇔ x = Vậy Min A = x = 3.Đònh nghóa tính chất giá trò tuyệt đối số a.Định nghĩa: a = a a ≥ a = - a a < b.Tính chất: 1) a ≥ 2) a+b ≤ a + b 3) a − b ≥ a - b ( đẳng thức xảy a ≥ b ≥ a ≤ b ≤ ) đẳng thức xảy ab > GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang4 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS 4)| a | + | b | ≥ | a + b |, 5)| a | – | b | ≥ | a – b | a b b a 6) + ≥ với a > 0, b> b)Chứng minh : Để chứng minh mệnh đề ta dùng bất đẳng thức (a + b)2 ≥ 4ab - Nếu hai số a b có tổng a + b = k (hằng số) từ BĐT (a + b)2 ≥ 4ab k2 k2 ta có a.b ≤ Max (a.b) = a = b 4 - Nếu hai số dương a b có a.b = h (hằng số) (a + b) nhỏ (a + b)2 nhỏ Mà (a + b)2 ≥ 4ab ⇒ Min (a + b)2 = 4h, (khi a = b) ⇒ Min (a + b) = h , (khi a = b) Định lý dấu nhị thức bậc Nhị thức ax + b (a ≠ 0) dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức, trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức x -b/a ax + b Trái dấu với a Cùng dấu với a Việc xét dấu nhị thức bậc có nhiều ứng dụng như: giải bất phương trình tích cách xét dấu nhân tử cổ tích (có dạng 1, ví dụ 4) Nếu số nhân tử âm mà chẳn tích dương, ngược lại tích âm Khử dấu giá trị tuyệt đối nhờ xét khoảng giá trị biến Các đẳng thức đáng nhớ, bất đẳng thức học, quy tắc so sánh phân số… Sử dụng mệnh đề tương đương: * A nhỏ ⇔ – A lớn * B lớn ⇔ B2 lớn (B > 0) * C nhỏ ⇔ lớn (C > 0) C Trong đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau cho ta GTLN tích, GTNN tổng a) Nếu hai số có tổng khơng đổi tích chúng lớn hai số nhau: Chứng minh :Nếu a, b có a + b = k ( k số ) (a + b) ≥ 4ab ta có a.b ≤ k2 k2 max(a.b) = a = b 4 b)Nếu hai số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ hai số nhau: GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang5 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS Chứng minh :Nếu hai số dương a b có a.b = h (hằng số) (a + b) nhỏ (a + b)2 nhỏ Mà (a + b)2 ≥ 4ab ⇒ Min (a + b)2 = 4h, (khi a = b) ⇒ Min (a + b) = h , (khi a = b) II Cơ sở lý luận: -Với mục tiêu phát hiện, bồi dưỡng phát triển học sinh có lực Tốn, từ xây dựng cho học sinh kĩ nhận dạng giải Tốn -Thúc đẩy việc tìm hiểu mở rộng kiến thức thêm giáo viên học sinh -Xây dựng tài liệu hồn chỉnh số dạng Tốn khó cấp học THCS -Với nội dung đề tài học sinh tự học, tự nghiên cứu nội dung khơng giới hạn cấp THCS mà vận dụng nhiều cấp học cao III Cơ sở thực tiễn: -Thực tế chương trình Tốn THCS chưa xây dựng hồn chỉnh nội dung phương pháp số dạng Tốn khó, thường mang tính chất giới thiệu chưa sâu -Nhiều học sinh muốn tìm hiểu thêm lúng túng tài liệu nghiên cứu -Việc tìm hiểu giáo viên số đề tài chưa tập trung tài liệu cụ thể, làm nhiều thời gian -Cần phải phát triển cao hơn, đầy đủ số dạng Tốn để xây dựng chun đề Tốn học làm tài liệu tham khảo cho việc dạy học tốt -Việc viết sáng kiến kinh nghiệm định hướng ngành CHƯƠNG II: NGUN NHÂN - THỰC TRẠNG GIẢI PHÁP I.Ngun nhân-thực trạng Ngày cần phải có hệ thống hồn chỉnh đề tài phương pháp giải dạng tốn khó phục vụ cho việc dạy học.đăc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi Học sinh cần có tài liệu để tự học ,tự nghiên cứu phương pháp tìm cực trị đại số mơn tốn nhiều phương pháp giải khác Từ kết thống kê điểm kiểm tra ban đầu cho thấy chất lượng làm học sinh thấp,học sinh chưa nắm vững kiến thức kĩ giải tập tìm GTLN,GTNN nên tiến hành bước giải thường mắc phải sai lầm khơng có tính sáng tạo cách giải Tiềm học sinh mơn tốn chưa khai thác hết Chất lượng học sinh giỏi cấp trường năm gần có tăng số lượng chất lượng chưa tương xứng với tiềm thực tế II Giải pháp: q trình tiến hành để giải vấn đề: 1.Phương pháp vận dụng định nghĩa tính chất giá trị tuyệt đối số GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang6 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS 1.1 Các dạng bản: 1.1.1 Dạng f(x) = M - A(x) Vì A(x) ≥ nên f(x) ≤ M Do maxf = M Khi A(x) = *Dạng f(x) = A(x) + m , Vì A(x) nên f(x) ≥ m Do minf = m Khi A(x) = Với biểu thức nhiều biến x, y áp dụng tương tự 1.1.2 Dạng f(x) = mx − a + mx − b Áp dụng tính chất ta có mx − a + mx − b = mx − a + b − mx ≥ mx − a + b − mx = b − a Suy minf = b − a (mx – a) (b – mx) ≥ 1.1.3 Dạng M ( x) f(x) = A( x) + b , f(x) = A(x) + B(x) Ta nên xét khoảng giá trị biến, sau so sánh giá trị biểu thức khoản để tìm GTLN, GTNN 1.2Các ví dụ: Ví dụ 1: Với giá trị x biểu thức A = 100 - x + có giá trị lớn Tìm GTLN Giải: Với x ta có x + ≥ nên 100 - x + ≤ 100 Do maxA = 100 x + = hay x = - Vậy maxA = 100 x= -5 Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức B = 3x − - Giải: Với x, ta có 3x − ≥ Suy 3x − ≥ nên 3x − - ≥ - Do B = - 3x – = ⇔ x = Vậy minB = - x=2 Ví dụ 3: Với giá trị x, y biểu thức C = x − 100 + y + 20 - có giá trị nhỏ Tìm GTNN Giải: Với x, y ta có x − 100 ≥ 0, y + 20 ≥ Nên x − 100 + y + 20 - ≥ - Do C = - x = 100, y = - 20 Vậy minC = - x = 100, y = -2 Ví dụ 4: Tìm x ∈ Z để biểu thức D = x − + x − đạt GTNN Giải: Ta có D = x − + x − = x − + − x ≥ x − + − x = Dấu “=” xảy (x-2) (8-x) ≥ Lập bảng xét dấu: GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang7 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS x x-2 8-x (x-2)(8-x) + - 0 + + + + - 0 Dựa vào bảng xét dấu ta có(x-2) (8-x) ≥ ⇔ ≤ x ≤ Vậy minD = ≤ x ≤ Ví dụ 5: Tìm GTLN biểu thức C = x+2 x≠0 x Với x+2 ≤ =-1+ −x −x −1+ Nếu x = -1 c = = 1 x+2 2 Nếu x ≥ A = = + Ta thấy C lớn ⇔ lớn x x x Giải: Nếu x ≥ - 2, C = Vì x ≥ nên lớn ⇔ x nhỏ ⇔ x = 1, C = x So sánh trường hợp suy GTLN C = x = 1.3Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: Bài 2: Tìm GTLN cácbiểu thức 1/ 3x − - 1/ - 2x − 2/ − 4x - x+ 3/ x2 + y − - 2/ 4/ -x + x 3/ - x− x−2 +3 5/ x+ 15 19 4/ - 6/ x− 5/ 9- x− 7/ −x + 6/ - x−3 8/ 2009 2010 + x+ 2010 2011 7/ 2011 - x− 2010 9/ x−2 + x−4 8/ x− 10/ x−2 + x−3 + x−4 9/ −x 10 + -x 0, (21) – x - x − 0, (4) GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang8 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS 2.Phương pháp tìm GTLN, GTNN biểu thức ngun có bậc chẳn: 2.1.Các dạng bản: 2.1.1.Dạng thứ nhất: f(x) = ax + bx + c (a, b, c số, a ≠ ) b b2 b2 Ta có: f(x) = ax + bx + c = a ( x + x + ) +c= a 4a 4a 2 = a (x + b − (b − 4ac ) ) + 2a 4a • Nếu a > ,GTNN f(x) −b − (b − 4ac ) ⇔ x= khơng có GTLN 2a 4a • Nếu a < ,GTLN f(x) −b − (b − 4ac ) ⇔ x= khơng có GTNN 2a 4a thứ hai:f(x,y) = ax2 + by2+cxy + dx + ey + f (a,b,c,e,f số a.b ≠ ) Ta có f(x) = ax + by2 + cxy + dx + ey + f = ax2 + (cy + d)x + by2 + ey + f 2.1.2.Dạng  = a  x + (cy + d ) x +  a  = …… = a  x +  1  (cy + d )  (cy + d ) + by + ey + f 4a  4a  (cy + d ) + m( y + q) + p 2a  Suy GTNN, GTLN f(x,y) ( x = − (cy + d ) y = - q.) 2.1.3.Dạng thứ ba: Đa thức bậc cao Ví dụ : Tìm GTNN A = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) Ta có A = (x2 + 5x + 4)( x2 + 5x + 6) Đặt x2 + 5x + = y : A = (y – 1)(y + 1) = y2 – ≥ –  −5+  x1 = Suy Min A = – ⇔ y2 = ⇔ x2 + 5x + = ⇔  x = − −  2 2.2 Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm GTNN A = x2 – 6x + Giải: A = x2 – 6x + = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – ≥ - Nên minA = - x – = hay x = Vậy minA = -1 x = Ví dụ 2: Tìm GTLN B = - 3x2 + 2x + Giải: B = - 3x2 + 2x + = - (x2 - 1 16 16 ≤ x + ) + + = - 3(x - )2 + 3 3 GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang9 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS 16 1 x - = hay x = 3 16 Vậy maxB = x = 3 Nên maxB = Ví dụ 3: Tìm GTNN biểu thức C = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + 2y2 – 2y + 15 = x2 + 2(2 – y)x + (4 – 4y + y2) + (y2 + 2y + 1) + 10 = x2 + 2(2 – y)x + (2 – y)2 + (y + 1)2 + 10 = (x + – y)2 + (y + 1)2 + 10 ≥ 10 x+2–y=0 x=-3 ⇔ Nên minC = 10 y+1 =0 y=-1 Vậy minC = 10 x = -3, y = -1 2.3.Bài tập tự luyện: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức sau: Bài 2: Tìm GTLN biểu thức sau: 1/ x –x+1 1/ - x2 + 3x 2/ 3x2 – 5x – 2/ - 2x2 + x – 3/ x2 + 2y2 – 2xy – 4y + 3/ - x2 – y2 + xy + 2x + 2y 4/ 5x2 + 8xy + 5y2 – 2x + 2y 4/ - 5x2 – 2xy – 2y2 + 14x + 10y – 5/ 2x2 + 4y2 – 4xy – 4x – 4y + 2003 5/ - 8x2 – 3y2 – 26x + 6y + 100 6/ x2 + 5x + 6/ - x2 + 2xy - 4y2 + 2x + 10y – 7/ x(x – 6) 7/ 11 – 10x2 – x2 8/ x2 + 3x + 8/ - x2 – y2 + xy + x + y 9/ (x – 2) (x – 5) (x2 – 7x + 10) 9/ x - x2 10/ 2x2 + 9y – 6xy – 6x – 12y + 2004 2 4 2 10/ -  x −  + 11/ x + y + xy + x + y 15  9 12/ (x – 1) (x + 2) (x + 3) (x + 6) 11/ – 3(2x – 1)2 Giải: C 13/ x2 – x + 14/ 15/ 16/ 17/ 18/ 19/ 20/ 5x2 + 2y2 + 4xy – 2x + 4y + 2005 x2 – 4xy + 5y2 – 2y + x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 3x2 + 2x + x2 + x + x4 + (3 – x)2 xy(x – 2) (y + 6) + 12x2 – 24x + GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang10 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS 3y2 + 18y + 36 21/ (2x – 1)2 + (x – 3)2 22/ (x + 2)2 + (y + 23/ (2x + ) – 10 4 ) –1 24/ x4 + 3x2 + 25/ (x4 + 5)2 26/ (x – 1)2 + (9 + 2)2 Phương pháp tìm GTLN, GTNN biểu thức phân thức: 3.1 Các dạng thường gặp: 3.1.1 Dạng thứ nhất: Phân thức có tử số mẫu tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A = Giải : Ta có A = 6x − − 9x −2 Ta thấy (3x – 1)2 + ≥ ( 3x − 1) + 1 −2 −2 1 ≤ ⇒ ≥ ⇒ A ≥ − Vậy Min A = − x = 2 ( 3x − 1) + 4 ( 3x − 1) + 4 3.1.2 Dạng thứ hai:Phân thức có mẫu bình phương nhị thức : x ( x + a ) − ( x + a ) + 4ax = ( x + a ) − ( x − a ) = Ví dụ 1: f ( x ) = 2 ( x + a) 4a ( x + a ) 4a ( x + a ) 2 2 ( x − a) ≤ = − 4a 4a ( x + a ) 4a (Với a > 0, x > 0) Dấu “=” xảy x = a 3x − x + Ví dụ 2:Tìm giá trị lớn A = x − 2x + Giải Đặt x – = y x = y + 1, (x ≠ ⇔ y ≠ 0) 3( y + 1) − 8( y + 1) + 3y − y + = = 3− + Ta A = 2 y y y y Lại đặt : = z ( z ∈ R) Ta có A = – 2z + z2 = (z – 1)2 + ≥ y Vậy Min A = ⇔ z = 1⇔ y = ⇔ x – = ⇔ x = 3.1.3 Dạng thứ ba:Phân thưc có bậc tử thức bậc mẫu thức A( x ) Tổng qt: f ( x ) = B( x ) = M ± C ( x ) , C ( x ) > Từ suy GTLN, GTNN x ± x + b bx ± 2bx + b ( b − 1) x + x ± 2bx + b = = Đặc biệt f ( x ) = x2 bx bx GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang11 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS b − ( x ± b) b −1 + ≥ ; Dấu “=” xảy x ± b = ⇔ x = ±b b bx b = 3.1.4 Dạng thứ tư: dạng khác thường gặp Ví dụ : Tìm giá trị lớn B = Giải Với x = B = x2 x4 +1 x2 = x4 +1 Với x ≠ x4 + ≥ 2x2 > nên B = Vậy Max B = 3.2 Các ví dụ: x2 x2 ≤ = x + 2x x4 + = 2x2 ⇔ (x2 – 1)2 = ⇔ (x – 1)2(x + 1)2 = ⇔ x − =  x =1 ⇔ ⇔ x + =  x = −1 − x + 2x − −3 −3 −3 Giải: Ta có E = − x + x − = x − x + = x − x + + = ( x − 1) + Ví dụ 1: Tìm GTLN phân thức: E = −3 ≤ ⇔ ≥ −1 Vì ( x − 1) + ≥ nên ( ( x − 1) + x − 1) + 3 Vậy E ≥ −1 ; Dấu “=” xảy x - = ⇔ x = Vậy E = -1 x = x Ví dụ 2: Tìm x để biểu thức sau đạt GTLN: A( x ) = ( , x > x + 1999 ) Tìm GTLN Giải: Đặt a = 1999 Khi đó: A( x ) = x ( x + a ) − ( x + a ) + 4ax = ( x + a ) − ( x + a ) = − ( x − a ) ≤ = 2 4a 4a ( x + a ) 4a ( x + a) 4a ( x + 1) 4a ( x + a ) 2 2 4 a ( x + a ) ≥ ( x − a) ≤ ⇒− (Vì a > nên  Với x) 4a ( x + a ) ( x − a ) ≥ Do A( x ) = x = a 4a Thay a = 1999 Ta có MaxA ( x ) = Ví dụ 3: Tìm GTLN B = , x = 1999 4.1999 3x + x Và giá trị x tương ứng x2 + GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang12 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS 3x + x x + − x + x − ( x − 2) ≤ = = 4− 2 x +1 x +1 x +1 Dấu “=” xảy x - = ⇒ x = 2 Giải: B = Vậy MaxB = x = 3.3.Bài tập tự luyện: Bài Tìm GTLN biểu thức sau: 4x + 1) x +5 x2 + x +1 2) x − x +1 3) x + x +1 x4 +1 4) x + 2x + Bài Tìm GTNN biểu thức sau: x − x + 2004 1) x2 , x≠0 5x − x + 2) x2 , x≠0 x2 + x +1 3) x − x +1 6x − 2x + 4) x2 x + 2x + 5) x2 + x − 4x + 6) x2 7) x4 + x2 + x +1 x − x3 + 2x − x + 8) 9) 2002 x − x + x2 10) 11) , x≠0 , x≠0 x − x + 1995 , x≠0 x2 x + 2x + x − 4x + x4 +1 x + 2x + Phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cơsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm GTLN, GTNN 4.1 Giới thiệu bất đẳng thức Cơsi, bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki a) Bất đẳng thức Cơsi Với a ≥ 0, b ≥ a+b ≥ ab (Dấu “=” xảy ⇔ a = b ) Vài dạng khác bất đẳng thức Cơsi: • Dạng có thức: a + b ≥ ab Với a ≥ 0, b ≥ ab ≥ Với a > 0, b > a+b • Dạng khơng có dấu ( a + b) 2 ≥ ab; ( a + b ) ≥ 4ab; a + b ≥ 2ab b) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Cho hai số ( a1 , a ) ; ( b1 , b2 ) Ta có GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang13 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS ( a1 b1 + a b2 ) ≤ ( a12 + a 22 )( b12 + b22 ) a a Dấu “=” xảy b = b 4.2) Các ví dụ: *Ví dụ 1: Tìm GTLN cảu biểu thức A = 3x − + − 3x Nhận xét: Biểu thức A cho dạng tổng hai thức Hai biểu thức lấy có tổng khơng đổi Vì ta bình phương biểu thức A ta xuất hạng tử hai lần tích hai thức Đến vận dụng bất đẳng thức Cơsi: ab ≤ a + b Giải: ĐKXĐ: ≤x≤ 3 A = ( x − 5) + ( − x ) + ( x − 5)( − 3x ) Mà ( 3x − 5)( − 3x ) ≤ 3x − + − 3x = Nên A ≤ + = , dấu “=” xảy ⇔ 3x − = − 3x ⇔ x = Vậy maxA = x = *Ví dụ 2: Cho x > Tìm GTNN biểu thức A = Nhận xét: 3x 3x + 16 x3 16 có tích khơng phải số Muốn khử x tử phải x3 có x = x.x.x phải biểu diễn 3x = x + x + x dùng bất đẳng thức Cơsi cho số dương 3x + 16 16 16 16 = x + = x + x + x + ≥ 44 x.x.x = 4.2 = x x x x 16 Dấu “=” xảy x = ⇔ x=2 x Giải: A = Vậy minA = x=2 x + y = 10 Tìm GTNN x + y *Ví dụ 3: Cho Nhận xét: ( x) + ( y) 2 = x+ y Giải: Do áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai số (1;2) ( x; y ) Ta được: (1 x +2 y ) ≤ (1 2 ) + 22 ( x + y) 10 ≤ 5( x + y ) ( x + y ) ≥ 20 Dấu “=” xảy y x = ⇔ x = 4, y = 16 Vậy min( x + y) = 20 x = 4, y = 16 4.3) Bài tập tự luyện GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang14 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS 1) Cho x > 0, y > 0, x + y = 2a (a > 0) 1 Tìm GTNN biểu thức A = x + y 2) Tìm GTLN biểu thức A = x − + 23 − x 3) Cho x + y = 15 Tìm GTNN; GTLN biểu thức B = x − + y − 4) Tìm GTNN biểu thức A = 2x − 6x + ,x > 2x 5) Cho a, b, x số dương Tìm GTNN biểu thức P = 6) Cho x ≥ Tìm GTNN Q = 7) Tìm GTNN biểu thức M = ( x + a )( x + b ) x x + x + 17 2( x + 1) x + x + 34 x +3 8) Cho x > Tìm GTNN biểu thức P = x + 2000 x 12 16 9) Cho x > 0, y > 0, x + y ≥ Tìm GTNN thức sau P = x + y + x + y 10) Cho x > y, x.y = Tìm GTNN biểu thức Q = x + 1,2 xy + y x− y 25 x −1 + 12) Cho 0 0, ∀x ) GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang16 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS Gọi yo giá trị hàm Phương trình yo = x + 6x + có nghiệm x2 +1 Suy yo(x2 + 1) = x2 + 6x + có nghiệm ⇔ (yo – 1)x2 – 6x + yo – = có nghiệm Ta xét : - Nếu yo = ⇒ x = (thích hợp) - Nếu yo ≠ 1, lập ∆’ = – (yo – 1)2 ≥ ⇔ (yo – 1)2 ≤ ⇔ | yo – | ≤ ⇔ – ≤ y ≤ Vậy Min y = – Max y = Bài tập áp dụng :tìm Max Min biểu thức D = x2 +y2 biết x2 +y2 –xy = 7.Những sai lầm thường gặp giải Tốn cực trị: Ví dụ 1: Tìm GTLN biểu thức A= x − x + 17 Lời giải sai: Ta có x2 – 6x + 17 = (x – 3)2 + ≥ Min(x2 – 6x + 17) = ⇔ x = Vì A có tử khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ Vậy maxA = x = Phân tích sai lầm: Tuy đáp số khơng sai lập luận sai khẳng định: “A có tử khơng đổi nên A có giá trị lớn mẫu nhỏ nhất” mà chưa nói rõ điều kiện tử mẫu điều dương Chẳng hạn xét biểu thức B = với lập luận “phân thức B có tử khơng đổi x −4 nên có GTLN mẫu nhỏ nhất” mẫu nhỏ -4 x = nên maxB = ⇔ x = Điều khơng B = khơng giá trị lớn B Chẳng hạn x = 1 ≥ Mắc sai lầm khơng nắm vững tính chất bất đẳng thức máy móc áp dụng quy tắc so sánh hai phân số có tử mẫu số tự nhiên sang phân số có tử mẫu số ngun Ví dụ 2: Tìm GTNN biểu thức A = x2 + y2 biết x + y = Lời giải sai: ta có A = A = x2 + y2 ≥ 2xy Do A nhỏ ⇔ x2 + y2 = 2xy ⇔ x = y = Khi minA = 22 + 22 = Phân tích sai lầm: đáp số khơng sai lập luận mắc sai lầm, ta chứng minh f(x,y) ≥ g(x,y) chưa chứng minh f(x,y) ≥ m với m số GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang17 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS Chẳng hạn với lập luận trên, từ bất đẳng thức x ≥ 4x – suy x nhỏ ⇔ x2 = 4x – ⇔ (x – 2)2 = 0, minx2 = ⇔ x = 2, dễ thấy kết phải minx2 = ⇔ x = Cách giải đúng: x + y =4 suy x2 + 2xy + y2 = 16 (1) Ta lại có (x – y)2 suy x2 – 2xy + y2 ≥ (2) Từ (1) (2) suy 2(x2 + y2) ≥ 16 x2 + y2 ≥ Nên minA = x=y=2 Một số tập mở rộng nâng cao: Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a)M = x4 – 6x2 + 10 b)N = x6 – 2x3 + x2 – 2x + c)P =x4 – 4x3 + 6x2 – 4x +5 d)Q=x4 – 4x3 +8x +20 Bài 2: Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a)A = -2x2 – y2 – 2xy + 4x + 2y + b)B = 2x + 12y + 6z - x2 – 4y2 – z2 – 18 Bài 3: Cho biểu thức: A = x y + x (2 − y ) + x y + 2x + y + Tìm giá trị x, y để biểu thức A đạt giá trị lớn Bài 4: Tìm GTLN của: a)P(x) = 3x2 (5 – 3x2) b)Q(x) = x – x2 Bài 5: Cho A(x) = 2x + 3x B(x) = x + 9x Tìm giá trị dương x để biểu thức đạt giá trị nhỏ Bài 6: Cho A = y2 1+ y4 B = – y4 – 4y3 – 4y2 Tìm GTLN A B Bài 7: Với giá trị x y biểu thức sau đạt GTNN Tìm GTNN M = x2 + x2y2 + 6x – 2xy + 2020 Bài 8: Cho biểu thức A = 3x + x + x2 + x +1 a)Tìm giá trị x để A nhận giá trị riêng b)Tìm giá trị lớn A GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang18 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS  a2 b2 Bài 9: Tìm giá trị nhỏ A=  + a b  a b  − 3 +   b a Bài 10: Tìm giá trị nhỏ A= x + x + với x>0 x   Bài 11: Tìm giá trị nhỏ B=  xy +  với x+y=1 xy   x + với < x < Bài 12: Tìm giá trị nhỏ C= 1− x x Bài 13: Tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn a) A= + − x2 b) B= − x + x + Bài 14: Tìm giá trị nhỏ a)A= x- x − 2005 c)C= x − x − + x + x − b)B= x − x + + x − x + d)D= x − + x − + x − + x − 10 Bài 15: Tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn a) A= − x + + x b)B= x − + − x Bài 16: Tìm giá trị nhỏ , giá trị lớn A=x x +y y biết x + y =1 Bài 17: Tìm giá trị nhỏ  1     1 B=(1+x) 1 + ÷+ (1 + y) 1 + ÷ với x>0,y>0 x + y2 = y x  II KẾT LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm đề tài “Một vài phương pháp tìm cực trị đại số Tốn THCS” thử nghiệm áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Bình Khương Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vào giải tập nhanh, khoa học, xác.Nhiều em đề xuất hướng giải khác tổng qt hóa tốn Các em ngày u thích mơn Tốn mà học sinh giỏi mơn Tốn cấp trường tơi ngày tăng số lượng chất lượng Sau giảng dạy đề tài (dạng 1, 2, 3) tơi tiến hành làm kiểm tra kết thống kê sau: Điểm 12 34 56 78 910 Khối SL TL SL TL SL TL SL TL SL TL Số lượng 15 20% 53.3% 26.7% Đặc biệt sáng kiến kinh nghiệm có trình bày sai lầm phân tích tìm GTLN GTNN Bởi sai lầm, ngộ nhận q trình suy luận logic mà em cần phải tránh làm bài.Việc vận dụng bất đẳng thức Cơsi, GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang19 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị khó học sinh THCS Chính giáo viên cần phải quan tâm đầu tư phương pháp nhằm trao dồi, rèn luyện tìm cách suy luận, gợi mở tạo hứng thú học tập cho em, để em học tập hiệu Tuy nhiên bên cạnh số học sinh chưa chịu khó nghiên cứu tài liệu trao dồi học hỏi bạn bè, nên đơi lúng túng việc vận dụng phương pháp trên.Do q trình giảng dạy đề tài tơi ln kiểm tra, đánh giá cụ thể bài, em giai đoạn để việc giảng dạy, bồi dưỡng tốt Kiến nghị đề tài: + Đối với cấp quản lí:Cần tổ chức sinh hoạt chun đề đề tài tìm cực trị đại số nói riêng nhiều đề tài khác nói chung để giáo viên có điều kiện trao đồi, nghiên cứu nhiều + Đối với giáo viên:Phải tự học tự nghiên cứu nắm vững nội dung tìm cực trị đại số tốn THCS để việc giảng dạy áp dụng tốt Với cố gắng thực tích cực tiết dạy tìm GTLN, GTNN Trong nhiều năm qua thân tích góp số kinh nghiệm cần thiết Mong sáng kiến kinh nghiệm tài liệu hữu ích cho đồng nghiệp tham khảo, nhiên q trình thực đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu sót hạn chế Sự đóng góp ý kiến q thầy cho đề tài nguồn khích lệ, động viên lớn lao cho thân ngày cố gắng nữa, cống hiến nhiều cho nghiệp giáo dục Bình Khương, ngày 12 tháng 01 năm 2011 Người trình bày Nguyễn Thị Thu Ngun TÀI LIỆU THAM KHẢO Bài tập nâng cao số chun đề :lớp ,7,8,9 tác giả Bùi Văn Tun 2.Nâng cao phát triển tốn :lớp 7,8,9 tác giả Vũ Hữu Bìmh 2.Lời giải đề thi tốn MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG I 1/Lời nói đầu 2/Lý chọn đề tài 3/Mục đích nghiên cứu 4/Đối tượng nghiên cứu 5/Nhiệm vụ nghiên cứu 6/Phương pháp nghiien cứu trang trang trang trang trang trang GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang20 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số tốn THCS 7/ Gỉa thuyết khoa học trang NỘI DUNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I/Các khái niệm liên quan trang II/Cơ sở lí luận trang III/Cơ sở thực tiẽn trang GV: Nguyễn Thị Thu Ngun - Trường THCS Bình Khương Trang21 [...]... đề về đề tài tìm cực trị đại số nói riêng và nhiều đề tài khác nói chung để giáo viên có điều kiện trao đồi, nghiên cứu nhiều hơn + Đối với giáo viên:Phải tự học tự nghiên cứu nắm vững nội dung tìm cực trị đại số toán THCS để việc giảng dạy và áp dụng được tốt hơn Với sự cố gắng thực hiện tích cực các tiết dạy về tìm GTLN, GTNN Trong nhiều năm qua bản thân đã tích góp được một số kinh nghiệm cần thiết... Vài dạng khác của bất đẳng thức Côsi: • Dạng có căn thức: a + b ≥ 2 ab Với a ≥ 0, b ≥ 0 1 ab ≥ 2 Với a > 0, b > 0 a+b • Dạng không có dấu căn ( a + b) 2 2 ≥ ab; ( a + b ) ≥ 4ab; a 2 + b 2 ≥ 2ab 2 b) Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki Cho hai bộ số ( a1 , a 2 ) ; ( b1 , b2 ) Ta có GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương Trang13 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán. .. Bình Khương Trang19 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS Bu-nhi-a-cốp-xki để tìm cực trị còn rất khó đối với học sinh THCS Chính vì thế giáo viên cần phải quan tâm đầu tư hơn về phương pháp này nhằm trao dồi, rèn luyện tìm ra cách suy luận, gợi mở tạo hứng thú học tập cho các em, để các em học tập hiệu quả hơn Tuy nhiên bên cạnh đó một số ít học sinh còn chưa chịu...Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS 3y2 + 18y + 36 21/ (2x – 1)2 + (x – 3)2 22/ (x + 2)2 + (y + 23/ (2x + 1 2 ) – 10 5 4 4 ) –1 3 24/ x4 + 3x2 + 2 25/ (x4 + 5)2 26/ (x – 1)2 + (9 + 2)2 3 Phương pháp tìm GTLN, GTNN của biểu thức là phân thức: 3.1 Các dạng thường gặp: 3.1.1 Dạng thứ nhất: Phân thức có tử là hằng số mẫu là tam thức bậc hai Ví dụ... GTLN, GTNN dựa vào tập giá trị hàm : x 2 + 6x + 1 Ví dụ : Tìm Max và Min của biểu thức E = x2 +1 Hàm số xác định với mọi giá trị của x ∈ R (vì x2 + 1 > 0, ∀x ) GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương Trang16 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS Gọi yo là một giá trị của hàm Phương trình yo = x 2 + 6x + 1 có nghiệm x2 +1 Suy ra yo(x2 + 1) = x2 + 6x + 1 có... LUẬN Sáng kiến kinh nghiệm đề tài Một vài phương pháp tìm cực trị đại số Toán THCS” đã được thử nghiệm và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi của trường THCS Bình Khương Trong thời gian áp dụng đề tài cho thấy học sinh tiếp thu nhanh vận dụng vào giải bài tập nhanh, khoa học, chính xác.Nhiều em còn đề xuất những hướng giải khác và tổng quát hóa bài toán Các em ngày càng yêu thích môn Toán hơn chính... 6/Phương pháp nghiien cứu trang 1 trang 1 trang 2 trang 2 trang 2 trang 2 GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương Trang20 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS 7/ Gỉa thuyết khoa học trang 3 NỘI DUNG NGHIÊN CỨU MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I/Các khái niệm liên quan trang 4 II/Cơ sở lí luận trang 5 III/Cơ sở thực tiẽn trang 5 GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường... đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho hai bộ số (1;2) và ( x; y ) Ta được: (1 x +2 y ) ≤ (1 2 2 ) + 22 ( x + y) 10 2 ≤ 5( x + y ) ( x + y ) ≥ 20 Dấu “=” xảy ra khi y x = ⇔ x = 4, y = 16 1 2 Vậy min( x + y) = 20 khi x = 4, y = 16 4.3) Bài tập tự luyện GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương Trang14 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS 1) Cho x > 0, y > 0, x + y... 1 – x vào biểu thức A GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương Trang15 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS 1 2 1 1 ) + ≥ 2 2 2 1 1 1 Nên minA = khi và chỉ khi x = , y = 2 2 2 A = x2 + (1-x)2 = 2(x2 – x) + 1 = 2(x- +Cách 2: Sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức mới có chứa A x + y = 1 ⇔ x2 + 2xy + y2 = 1 (1) 2 2 2 Mặt khác (x – y) ≥ 0 ⇔ x... = 1 ⇔ x = 2 3.1.3 Dạng thứ ba:Phân thưc có bậc tử thức bằng bậc mẫu thức A( x ) 1 Tổng quát: f ( x ) = B( x ) = M ± C ( x ) , C ( x ) > 0 Từ đó suy ra GTLN, GTNN x 2 ± 2 x + b bx 2 ± 2bx + b 2 ( b − 1) x 2 + x 2 ± 2bx + b 2 = = Đặc biệt f ( x ) = x2 bx 2 bx 2 GV: Nguyễn Thị Thu Nguyên - Trường THCS Bình Khương Trang11 Sáng kiến kinh nghiệm: Một vài phương pháp tìm cực trị đại số toán THCS b − 1 (