SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM_ “Một số phương pháp giải toán cực trị”.

MỞ ĐẦU I - CƠ SỞ THƯC TIỄN Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượttrội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lụcnào đó mà không ai v

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

“Một số phương pháp giải toán cực trị”.

MỞ ĐẦU

I - CƠ SỞ THƯC TIỄN

Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượttrội, những cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lụcnào đó mà không ai vượt qua đó là cái "nhất".Trong toán học cũng vậytrong mỗi lĩnh vực lại có những đại lượng "lớn nhất" hay "hỏ nhất" người

ta thường gọi là các bài toán cực trị, các bài toán này rất phổ biến trong các

đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường Cao đẳng, Đại học cũngnhư các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm… Nội dung các bài toán cực trịrất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý, nhiều khikhá độc đáo và bất ngờ

Ở bậc THCS (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với loạitoán này với dạng chuyên đề Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm một số đồngnghiệp thì thấy nó cũng không dễ dàng với học sinh

Với những lí do như vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số

phương pháp giải toán cực trị” Với mong muốn được trình bày một vài kinh

nghiệm giảng dạy của mình để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sựđóng góp chân thành để đề tài được phát huy hiệu quả

II - NHIỆM VỤ CỦA SÁNG KIẾN:

1/ Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Học sinh THCS (chủ yếu là học sinh lớp 8, 9)

- Phương pháp nghiên cứu:

+ Điều tra, thực nghiệm, khảo sát kết quả học tập của học sinh

+ Thực nghiệm giảng dạy chuyên đề cho các lớp bồi dưỡng học sinhgiỏi toán lớp 8, 9 cùng với nhóm chuyên môn thực hiện

+ Điều tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi thực nghiệmgiảng dạy chuyên đề

+ Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp

2/ Nhiệm vụ của sáng kiến:

- Đưa ra những kiến thức cơ bản nhất của giá trị cực trị, chỉ ra được sailầm thường mắc phải

- Đề xuất một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trịnhỏ nhất, đồng thời rèn cho học sinh tìm tòi lời giải

- Lựa chọn phương pháp giải hợp lý Muốn vậy, phải rèn cho học sinhkhả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác,cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải cho một bài tập để học sinh pháthuy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạođược lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùngđối với bài toán cực trị

III - NỘI DUNG SÁNG KIẾN:

Chương I: Một số kiến thức cơ bản về giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất Những sai lầm thường mắc phải khi giải toán cực trị.

Chương II: Một số phương pháp tìm cực trị

1/ Phương pháp tam thức bậc hai

2/ Phương pháp miền giá trị

i) Với x , y thuộc D thì f(x,y, ) M với M là hằng số

ii) Tồn tại x0,y0 thuộc D sao cho f(x,y, ) M

2/ Định nghĩa 2:

Cho biểu thức f ( y x, , )xác định trên miền D, ta nói m là giá trị nhỏnhất của f ( y x, , ) trên D nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:

i) Với mọix , y thuộc D thì f(x,y, ) m với m là hằng số

ii) Tồn tại x0,y0 thuộc D sao cho f(x,y, ) m

Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải khi làm loại bài toán này,

ta cần nhấn mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản

xạ sau:

+ Chứng tỏ f(x,y, ) M hoặc f(x,y, ) m) với mọi x , y, thuộcD

+ Chỉ ra sự tồn tại x0,y0 thuộc D để f ( y x, , ) đạt cực trị

Chú y đến miền giá trị của biến

Ta ký hiệu MaxA là giá trị lớn nhất của A, MinA là giá trị nhỏ nhấtcủa A

II - MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ:

a/ Max xA f(x) maxxB f(x)b/ Min f(x) min f(x)

B x A

x  

2/ Tính chất 2: Nếu f(x,y)0 với mọi xthuộc D, ta có:

a/ Max xD f(x) maxxD f 2(x) Min xD f(x) minxD f 2(x)

3/ Tính chất 3:

) ( )

( ))

( ) ( /

2 1

x f Max x

f Max x

g x f Max

a

D x D

x D

) ( )

( ))

( ) ( /

2 1

x f Min x

f Min x

g x f Min

b

D x D

x D

(

1

x f x

f Max

D x D

f Min

x f Min

D x D

x D

Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh cáctính chất (dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức

và tránh đợc sai lầm khi vận dụng giải bài tập

Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số,

bao giờ cũng phải tìm TXĐ Cùng một hàm số f (x)nhưng xét trên haiTXĐ khác nhau thì nói chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau Để chophù hợp với chương trình các lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bàitoán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị trên một tập hợp nào đó

III - NHỮNG SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊ:

1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

5 4 4

Lời giải sai: Phân thức A có tử số là số không đổi nên A có giá trịlớn nhất khi mẫu nhỏ nhất

Ta có:

x x

x

x  4  5  ( 2  1 )  4  4 , 

x x

x    

4

3 5 4 4

3

2

2

1 4

có tử số là số không đổi nên A có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” màchưa đưa ra nhận xét tử mẫu là các số dương

Với lập luận “phân thức Bcó tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khimẫu nhỏ nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng  4khi x 0, ta sẽ đi đến: maxB  41

không

phải là giá trị lớn nhất của B, chẳng hạn với x 3 thì 51   41

Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức:

Đã máy móc áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tựnhiên sang hai phân số có tử và mẫu là số nguyên

Lời giải sai:

Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai

lầm Ta mới chứng minh được f(x,y)g(x,y), chứ chưa chứng minh được

1 4

1 4

Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh ,

4

1 ) (x  

f chưa chỉ ratrường hợp

xẩy ra dấu đẳng thức .

4

1 ) (x  

f Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi

) (

) (

) (

Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp

xẩy ra dấu đẳng thức Điều kiện để A641 là:

Cách giải đúng:

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:

3

3

3 ( )( )( )

3 ) ( ) ( ) (

2  xy  yz  zx  xy yz zx (2)Nhân từng vế (1) với (2)do 2 vế đều không âm)

3 3

9

2

,

1

z y

x

z y

x

y x

z

x z

y

z y

,

1 0

z y x

z y

x

z y

x



mâu thuẩn

Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thứcbậc hai về dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tựdo.

4/ Cho tam thức bậc hai Pax2 bxc

Tìm giá trị nhỏ nhất của Pnếu a 0

Tìm giá trị lớn nhất của Pnếu a 0

min    

2 2

b x a c bx ax P

4

4 2

2 2 2

P a

2 4

4 min

:



+ Nếu x b a

a

ac b

P a

2 4

4 max

HD: Dùng phương pháp đổi biến

Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là

hằng số, có mẫu là tam thức bậc hai.

Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là

bình phương nhị thức:

VD: Tìm giá trị nhỏ nhất của 2

2

) 1 (

1 1

1 1

1 4

1 4

3 )

1 ( 4

4 4

x x P

1 4

Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ

giữa các biến:

VD: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

160 4

6400 59

80 4

1600 59

80 4

80 4

59 59

125 max

y

x A

III - MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI:

1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:

ab b a

Q 3  3  với ab 1

IV - TIỂU KẾT:

Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thứcbậc hai là cơ bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị Rèn kỹnăng giải toán, đổi biến một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán đểbiến đổi các bài toán dạng khác về dạng tam thức bậc hai

2/ Phương pháp miền giá trị của hàm số:

I - NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP:

Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f (x)với x  D. Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức

là hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

Min ( )  và Max f(x) b trong đó x  D.

Như vậy thực chât của phương pháp này là đưa về phương trình bậc

hai và sử dụng điều kiện   0

x x

2 2 1

0 ) 3 )(

1 3

) 1 ( 3 3

) 1 ( ) 1 ( 2

) 1 (

a

a a

a x

) 1 ( 2 3 1

2 4 2 3 3 3

2

2 2

2 2

x x

x

x x x

x

A

1 3

max    

3

1 ) 1 (

3

) 1 ( 2 3

1 ) 1 (

3

) 1 2 ( 2 ) 1 (

3

1 3

3 3

3 3 3

2

2 2

2 2

2 2

x x

x

x x x

x

x x x

x

x x

A

1 3

x x

2/ Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm (vô nghiệm):

0 1

x

x x

nghiệm x1,x2.Tìm giá trị lớn nhất của tổng x 1 x2.

III - BÀI TẬP TỰ GIẢI:

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:

3/ Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc

1/ Nôi dung phương pháp:

Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củahàm số

D x M x f x

Maxf M

0

0 : (

, ) ( )

D x M x f x

f Min m

0

0 : (

, ) ( )

5/ ab a  b Xẩy ra dấu đẳng thức  ab0 (a,bcùng dấu)

a b a  b Xẩy ra dấu đẳng thức  ab0 (a,bcùng dấu)

abc a  b  c Xẩy ra dấu đẳng thức  ab0; bc0;ac0;

6/ ab; ab0 1a b1. Xẩy ra dấu đẳng thức  a  b

7/  2

a

b b

a

2 2 1 2

1    

9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:

Nếu (a1,a2, a n)và (b1,b2, b n)là những số tuỳ ý, ta có:

) ,

2 2

2

2

1 , ) ( ) (b b  b n  a b a b  a n b n

Dấu bằng xẩy ra

j

j i

i

b

a b

(a1b1 a2b2 a n b n a1 a2 a n b1 b2 b n

Dấu bằng xẩy ra  a  i a j hoặc b i b j;a i,b j tuỳ ý

+ Nếu a1 a2  a n

2 2 2 2 2

) (

1  xyyzzx  x y z y z x   x y z (1)Mặt khác, đối với ( 1 , 1 , 1 )và x2 ,y2 ,z2 ), ta có:

) (

) 1 1 1 ( ) 1 1

1 1 1 3

1

z x y

x z x y y x MinP

2 a2 b2

b

a  

2 ) 2 1

( 2 2

5 , 1 4

2 1

2

y

x y

x

y x

1 1 ) 1 (

1 1

x x

x

4

2 2 2

2 2 2

2 2

2

) 2 ( 2 2

y y

2

1 1 4

2 2 4

2 2

1

y

x x

x MaxB

Giải:

Ta có: Ax 2 x 3x 23 x 1

3 0

) 3 ( 2 (



bất đẳng thức giá trị tuyệt đối

Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.

2000

1999 )

2000 1

1997 )

1999 2

1 ) 1000 999

1000  x  x   Y   x

Y

Vậy Min y135 199910002 1000000

Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:

1/ Tìm miền giá trị của hàm số:

2004

2/ Chứng minh bất đẳng thức:

6

10 2004

III - BÀI TẬP TỰ GIẢI:

1/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A ( 1  x)2( 1  x)3 với x 1

HD: Áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm:

3

1

; 3

1

; 3

3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 51 4x  1

4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: N x  x1

5/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

x x

B  9  6   1  2

IV - TIỂU KẾT:

Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đối với mỗi bài đòi hỏi tính linhhoạt cao, mỗi bài có một nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vậndụng Vì vậy cần cho học sinh làm quen với nhiều loại bài tập này./

KẾT QUẢ ÁP DỤNG

Quá trình nghiên cứu, trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi,

phần chuyên đề “Toán cực trị” đã phát huy tính tích cực sáng tạo của học

sinh - học sinh không còn cảm thấy ngại mà ngược lại còn rất hứng thú khigặp những bài toán về cực trị Kết quả thể hiện như sau:

Khi chưa áp dụng: Đối với 9B năm học 2006 - 2007 số học sinh đạt

điểm giỏi môn toán của 9B chỉ đạt 30% Những khoá học trước HSG huyệnmôn toán lớp 9 chỉ đạt 1 đến 2 em Năm học 2005 - 2006, lớp 9B tôi dạymôn toán có đến 60% số học sinh đạt điểm giỏi và 5 em đạt HSG huyện.Đây là một kết quả đáng ghi nhận trên một địa bàn giáo dân như xã SơnTiến