PP giải phương trình nghiệm nguyên

Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Phơng pháp 1. đa phơng trình ớc số Biến đổi phơng trình về dạng: vế trái là tích của các đa thức chứa ẩn, vế phải là tích của các số nguyên. VD. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: y 3 -x 3 = 91 (1) Lời Giải. (1) <=> (y - x)(x 2 + xy + y 2 ) = 91 vì x 2 + xy + y 2 > 0 với mọi x, y. Nên =>y - x > 0. Mặt khác 91 = 1.91 = 7.13 và (y - x); (x 2 + xy + y 2 ) đều nguyên dơng nên ta có 4 khả năng sau: 1) (y - x) = 91 và (x 2 + xy + y 2 ) = 1 2) (y - x) = 1 và (x 2 + xy + y 2 ) = 91 3) (y - x) = 7 và (x 2 + xy + y 2 ) = 13 4) (y - x) = 13 và (x 2 + xy + y 2 ) = 7 Giải các hệ trên ta sẽ tìm đợc x, y. Phơng pháp 2. Sắp thứ tự các ẩn Nếu các ẩn x; y; z có vai trò bình đẳng. Ta có thể giả sử x < y < z < .Để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó dùng phép hoán vị để suy ra các nghiệm của phơng trình đã cho. VD. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: x + y + z = x.y.z (2) Lời Giải Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình nên ta giả sử x < y < z. Vì x, y, z nguyên dơng nên x.y.z # 0 Do x < y < z nên x + y + z = x.y.z < 3.z => x.y < 3 => x.y {1; 2; 3}. - Nếu x.y = 1 => x = y =1, Thay vào (2) ta đợc 2 + z = z vô lí. - Nếu x.y = 2 => x = 1; y = 2 . Thay vào (2) ta đợc x = 3. - Nếu x.y = 3 => x = 1; y = 3 . Thay vào (2) ta đợc x = 2. Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng trình là các hoán vị của {1; 2; 3} VD. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình 2 111 =++ zyx (3) Lời Giải. Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phơng trình nên ta giả sử x < y < z Ta có 2 = zyx 111 ++ < 3. x 1 => x < 2 3 => x = 1. Thay vào (3) ta có 21 11 =++ zy => 1 11 =+ zy < y 2 suy ra y < 2. y = 1 => 1/z = 0 Vô lí y = 2 => 1/z = 1/2 => z = 2 Suy ra x = 1; y = 2; z = 2 Vậy nghiệm của phơng trình là các hoán vị của {1; 2; 2} Phơng pháp 3. Sử dụng tính chất chia hết Sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phơng trình vô nghiệm hoặc để tìm nghiệm nguyên của phơng trình VD. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình. x 2 - 2y 2 = 5 (4) Lời Giải Từ phơng trình (4) ta suy ra x 2 là số lẻ => x là số lẻ, vậy x có dạng x = 2.k + 1 ( k Z) Thay vào (4) ta đợc: 4k 2 + 4k + 1 - 2y 2 = 5 => c y 2 => y 2 là số chẵn => y là số chẵn. Đặt y = 2.t ( t Z), ta có: 2( k 2 + k - 1) = 4.t 2 k(k + 1) = 2t 2 + 1. Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn 2t 2 + 1 là số lẻ. Vậy phơng trình (4) vô nghiệm. VD. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x; y; z thỏa mãn: x 3 + y 3 + z 3 = x + y + z + 2000 (5) Lời Giải Ta có: x 3 - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích ba số nguyên liên tiếp. Do đó x 3 - x chia hết cho 3. Từ đó ta có: (x 3 + y 3 + z 3 -x - y - z) 3. Vì 2000 không chia hết cho 3. Do đó x 3 + y 3 + z 3 -x - y - z 2000 với mọi x; y; z Z. Vậy phơng trình (5) vô nghiệm. VD. Tìm nghiệm nguyen của phơng trình: xy + x - 2y = 3 (6) Lời Giải Ta có xy + x - 2y = 3 <=> y(x - 2) = -x +3. Vì x = 2 không phải là nghiệm của phơng trình nên (6) <=> y = 2 3 + x x <=> y = -1 + 2 1 x . Ta thấy y là số nguyên nên x - 2 là ớc của 1 => x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 => x = 3 hoặc x = 1 Từ đó ta có nghiệm (x; y) của phơng trình là: (1; -2) và (3; 0) Chú ý: Ta có thể dùng phơng pháp 1 để giải bài toán này Phơng pháp 4. Sử dụng bất đẳng thức Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá đó để suy ra các giá trị nguyên của ẩn đó. VD. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 - xy + y 2 = 3 (7) Lời Giải x 2 - xy + y 2 = 3 <=> (x - 2 y ) 2 = 3 - 4 3 2 y . Vì (x - 2 y ) 2 > 0 => 3 - 4 3 2 y > 0 suy ra -2 < y < 2. Lần lợt thay các giá trị: y = {-2; -1; 0; 1; 2} vào (7) ta lần lợt tìm đợc các nghiệm là: (x; y) = {(-1; -2), (1; 2), (-2; -1), (2; 1), (-1; 1), (1; -1). Phơng pháp 5. đa về dạng tổng Biến đổi phơng trình về dạng vế trái là tổng các bình phơng, vế phải là tổng các số chính phơng. VD. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 + y 2 - x - y = 8 (8) Lời Giải x 2 + y 2 - x - y = 8 <=> 4x 2 + 4y 2 -4x - 4y = 32 <=> (4x 2 - 4x + 1).(4y 2 - 4y + 1) = 34 <=> |2x - 1| 2 + |2y - 1| 2 = 3 2 + 5 2 . Bằng phơng pháp thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất một dạng phân tích thành tổng hai số chính phơng là 3 2 và 5 2 . Do đó phơng trình thỏa mãn chỉ trong hai khả năng: * | 2x - 1| = 3 và | 2y - 1| =5 *| 2x - 1| = 5 và | 2y - 1| =3 Giải các hệ trên ta suy ra phơng trình (8) có 4 nghiệm nguyên là: (x; y) = {( 2; 3); (3; 2); (-1; -2); (-2; -1)}. Phơng pháp 6. Lùi vô hạn VD. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 - 5y 2 = 0 (9) Lời Giải Giả sử (x 0 ; y 0 ) là nghiệm của phơng trình x 2 - 5y 2 = 0 thì ta có x 0 2 - 5y 0 2 = 0 suy ra x 0 chia hết cho 5. Đặt x 0 = 5x 1 ( x 1 Z). Ta có 25 x1 2 - 5y 0 2 = 0 => y 0 chia hết cho 5. Đặt y 0 = 5y 1 từ đó ta có: 5x 1 2 - 25 y 1 2 = 0 => x 1 2 - 5 y 1 2 = 0. Vậy nếu (x 0 ; y 0 ) là nghiệm của (9) thì ) 5 ; 5 ( k o k o yx với k nguyên dơng cũng là nghiệm của (9). Hay x 0 ; y 0 đều chia hết cho 5 k . Điều này chỉ xẩy ra khi x 0 = y 0 = 0. Vậy phơng trình x 2 - 5y 2 = 0 có nghiệm duy nhất là x = 0; y = 0 Phơng pháp 7. xét chữ số tận cùng VD. Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình: 1! +2! +3! +4! + + x! = y 2 (10) Lời Giải Cho x lần lợt bằng 1; 2; 3; 4 ta có ngay hai nghiệm nguyên dơng của phơng trình (10) là: ( 1; 1) và (3; 3). Nếu x > 4 thì dễ thấy k! (k > 4) đều có chữ số tận cùng bằng 0 =>1! +2! +3! +4! + + x! có chữ số tận cùng bằng 3 vì: 1! +2! +3! +4! + + x! = 33 + 5! + . + x!. Mặt khác vế phải là số chính phơng nên không thể có chữ số tận cùng bằng 3. Vậy phơng trình (10) chỉ có hai nghiệm nguyên dơng: (x; y) {(1; 1); (3; 3)} VD. Tìm x; y nguyên dơng thỏa mãn phơng trình x 2 + x - 1 = 3 2y+1 (11) Lời Giải Ch x các giá trị từ 0 đến 9 dễ dàng xác định đợc chữ số tận cùng của x 2 + x - 1 là các giá trị 1; 5; 9. Mặt khác ta thấy 3 2y+1 là lũy thừa bậc lẻ của 3, nên chữ số tận cùng của nó chỉ có thể là 3 hoặc 7, khác với 1; 5; 9. Vậy phơng trình: x 2 + x - 1 = 3 2y+1 không có nghiệm nguyên dơng Phơng pháp 8. sử dụng tính chất nghiệm của phơng trình bậc hai Biến đổi phơng trình về dạng phơng trình bậc hai của ẩn, coi các ẩn khác là tham số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phơng trình bậc hai để xác định giá trị của các tham số. VD. Giải phơng trình nghiệm nguyên 3x 2 + y 2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 (12) Lời Giải 3x 2 + y 2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0 <=> y 2 + (4x + 2).y + 3x 2 + 4x + 5 = 0 Ta thấy nếu phơng trình có ngghiệm thì y nguyên suy ra (- 4x - 2 + x' ) nguyên. Mà x nguyên x' nguyên => 'y = x 2 - 4 = n 2 với n Z. Dùng phơng pháp 1 đa về dạng tích: (x + n)(x - n) = 4. Ta xác định đợc x = + 2 Vậy phơng trình (12) có hai nghiệm nguyên (x; y) {(2; -5); (-2; 3)}. VD. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x 2 - (y + 5).x + 5.y + 2 = 0 (13) Lời Giải Giả sử phơng trình nghiệm nguyên ẩn x có các nghiệm x 1 ; x 2 . Thì theo định lí Vi-ét ta có: += +=+ 25 2 . 1 5 21 yxx yxx => += +=+ 25 2 . 1 255 2 5 1 5 yxx yxx => (x 1 - 2)(x 2 - 5) = 2 = 1.2 = (-1).(-2) => 21 xx + = 13 hoặc 21 xx + = 7 => y = 8 hoặc y = 2. Thay vào (13) phơng trình này có 4 nghiệm: (x; y) {(7; 8),(6; 8),(4; 2),(3; 2)}. Một số bài toán tìm nghiệm nguyên Bài 1. Tìm x; y nguyên thỏa mãn các phơng trình sau. a) 5x 2 - 4xy + y 2 = 169 b) 3 x = 4y + 1 Bài 2. Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau. a) 5 x + 12 x = 13 x b) y 4 = x 6 + 3x 3 + 1. Bài 3. Chứng minh rằng phơng trình. 2 5 .t = 2.t 5 + 1997 không có nghiệm nguyên. Bài 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình. x 3 - 3y 3 - 9z 3 = 0 Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình . 2x 2 + 2y 2 - 2xy + x + y - 10 = 0 Bµi 6. Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn sau. a) x 2 - 4xy = 23 b) 3x - 3y + 2 = 0 c) 19x 2 + 28y 2 = 729 d) 3x 2 + 10xy + 8y 2 = 96 Bµi 7. T×m x; y nguyªn d¬ng tháa m·n a) 4xy - 3(x + y) = 59 b) 5.(xy + yz + zx) = 4xyz c) z xy + x yz + y zx = 3 d) 1995 1111 =++ zyx . vô nghiệm hoặc để tìm nghiệm nguyên của phơng trình VD. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình. x 2 - 2y 2 = 5 (4) Lời Giải Từ phơng trình (4) ta suy ra x 2. 5 + 1997 không có nghiệm nguyên. Bài 4. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình. x 3 - 3y 3 - 9z 3 = 0 Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình . 2x 2 + 2y