Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 20 F14. ( ) 6 6 2 sin os sinx.cosx 0 2 2sin x c x x + − = − ðH 06 Khối A ðS: 5 2 4 x k π π = + G. CÔNG THỨC NHÂN 3. G1. 3 2 4cos 2 6sin 3 x x + = ðH DL Hải Phòng 2000 ðS: 12 6 k x π π = + G2. 6 3 4 8 2 os 2 2 sin .sin3 6 2 os 1 0 c x x x c x + − − = HV Chính Trị Quốc Gia TPHCM 99 ðS: 8 x k π π = ± + H. PHƯƠNG TRÌNH BẬC 3: H1. 1 3tan 2sin2 x x + = H2. sin2 2tan 3 x x + = H3. 3 sin ( ) 2 sin 4 x x π − = Hướng dẫn: 2 2 2tan sin2 2sin cos 2tan . os 1 tan x x x x x c x x = = = + Tài liệu tham khảo : 1. Trần Công Phúc, Phương trình lượng giác- Chuyên Trần ðại Nghĩa, 2009. 2. Lê Hồng ðức-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán Lượng giác , NXB Hà Nội, 2008. ☺ Người có học không phải là người biết nhiều mà là người biết rõ những gì mình phải biết và hiểu rõ những gì mình ñã biết. Marius Grout ☺ Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 1 Chuyên ñề ôn thi ðại học: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Nhớ: 2 sin sin ( ) 2 u v k u v k Z u v k π π π = + = ⇔ ∈ = − + 2 cos cos ( ) 2 u v k u v k Z u v k π π = + = ⇔ ∈ = − + tan tan ( ) u v u v k k Z π = ⇔ = + ∈ cot cot ( ) u v u v k k Z π = ⇔ = + ∈ Giải các phương trình sau: 1.1. sin sin 6 x π = ; 1.2. 2cos2 3 0 x − = ; 1.3. cot 1 0 x − = 1.4. sin cos2 0 x x + = ; 1.5. sin cos2 0 x x − = ; 1.6. sin sin2 0 x x + = ; 1.7. 2cos( ) 3 0 3 x π − + = ; 1.8. 3 tan2 1 0 x − = ; 1.9. sin3 os3 0 x c x − = ; 1.10. 171 os2 sin(3 ) 0 2 c x x π + − = ; 1.11. ( ) ( ) tan 1 cot 3 0 x x + − = . II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ðỐI VỚI MỘT HSLG 2.1. cos 4 9sin 2 5 0 x x + − = ; 2.2. cos 2 9cos 5 0 x x + + = 2.3. − − − + = 2 2cos sin cos2 3 0 x x x 2.4. 2 4sin 2( 3 1)sin + 3 0 − + = x x 2.5. 2 2 3 sin 2 2cos 0 4 x x − + = ; 2.6. 2 6cos 5sin 2 0 x x + − = 2.7. 3 tan 6 cot 2 3 3 0 x x − + − = ; 2.8. 2 cos2 cos 3cos 3 0 x x x − − + = 2.9. 2 2cos sin 2cos2 0 x x x + − = Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 2 2.10. 2 3sin cos2 2 0 x x + − = III. PHƯƠNG TRÌNH dạng: asin cos u b u c + = hoặc asin cos sin u b u c v + = hoặc asin cos cos u b u c v + = hoặc asin cos sin cos u b u c v d v + = + với 2 2 2 2 a b c d + = + Cách giải: Chia 2 vế cho 2 2 a b + . 3.1. − = sin 3 cos 2 x x ; 3.2 . − = cos2 3sin2 3 x x . 3.3. sin2 3 cos2 2 x x − = ; 3.4. + = − sin3 3 cos3 3 x x . 3.5. − = 3sin 4cos 5 x x ; 3.6. − = 4sin 3cos 5 x x . 3.7. π π + − + = sin( ) 3 cos( ) 2 3 3 x x . 3.8. sin( ) 3 cos( ) 2sin108 3 3 x x x π π + − + = . 3.9. sin2 3 cos2 2cos3 x x x − = . 3.10. sin5 3 cos5 2sin 0 x x x − + = . 3.11. 2sin3 sin2 3 os2 0 x x c x − + = . 3.12. 2sin (cos 1) 3 os2 x x c x − = . 3.13. cos7 cos5 3 sin2 1 sin7 .sin5 x x x x x − = − . 3.14. 3 3sin 3 os3 4sin 1 x c x x − = − . 3.15. 3 3sin3 3 os9 1 4sin 3 x c x x − = + . 3.16. 3sin4 os4 sin 3 cos x c x x x − = − . IV. PHƯƠNG TRÌNH dạng: 2 2 asin sin cos cos 0 x b x x c x d + + + = hoặc 3 2 2 3 asin sin cos sin cos cos 0 x b x x c x x d x + + + = Cách giải: Xét 2 trường hợp: TH1: cos 0 x = : Ta có 2 sin 1 x = . Thay vào phương trình. TH2: cos 0 x ≠ : Chia 2 vế cho 2 cos x hoặc 3 cos x 4.1. 2 2 8sin 3sin .cos 11cos 8 x x x x + + = . 4.2. 2 5sin 3 sin .cos cos 2 4 x x x x − + − = − . 4.3. 2 2 5sin sin .cos 2 cos 3 x x x x − + − = − . 4.4. 2 2 2sin 3sin 2 10 cos 1 x x x + − = − . 4.5. 2 2sin sin 2 cos 2 0 x x x + + = . Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 19 ðS: , , 4 2 2 6 3 k k x x k x π π π π π π= + = + = + F6. 2 2 2 sin sin 3 3cos 2 0 x x x + − = ðH Tài Chính Kế Toán 01 ðS: 1 5 1 , arccos 3 2 2 x k x k π π π − = ± + = ± + F7. 2 2 2 2 sin sin 3 os 2 os 4 x x c x c x + = + ðH Kinh Tế Quốc Dân ðS: , 4 2 10 5 k k x x π π π π = + = + F8. 2 2 21 sin 4 os 6 sin 10 2 x c x x π − = + ðH Dược Hà Nội 99 ðS , 2 20 10 k x k x π π π π= + = + F9. 2 2 2 2 sin 3 os 4 sin 5 os 6 x c x x c x − = − ðH 02 KHối B ðS: , 2 9 k k x x π π = = F10. ( ) 2 2 2 2cos 2cos 2 2cos 3 3 cos4 2sin2 1 x x s x x x + + − = + ðH SP TPHCM 2000 ðS: 8 4 k x π π = + F11. 2 2 2 2 2 2 2 sin sin 2 sin 3 os os 2 os 3 os 4 x x x c x c x c x c x + + = + + + CðSP Thái Bình 99 Khối A ðS: , , 8 4 4 2 2 k k x x x k π π π π π π = + = + = + F12. 4 4 3sin 5cos 3 0 x x + − = ðH AN ND 01 ðS : , 2 6 x k x k π π π π = + = ± + F13. ( ) 4 4 4 sin os 3sin4 2 x c x x + + = ðH SP TPHCM 01 ðS: , 4 2 12 2 k k x x π π π π = + = − + Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 18 ðH An Ninh 2000 ðS: 2 x k π π = + E6. ( ) ( ) 2 sin tan 1 3sin cos sin 3 x x x x x + = − + ðH Nông Nghiệp I 99 ðS: , 4 3 x k x k π π π π = − + = ± + E7. 2 os2x 1 cot 1 sin sin2 1+tanx 2 c x x x − = + − Hướng dẫn: ( ) 2 cos sin VT x x = − ðH 03 Khối A ðS: 4 x k π π = + F. CÔNG THỨC HẠ BẬC F1. 4 4 os sin sin2 2 2 x x c x − = ðH Thủy Sản 97 ðS: 5 , 2 , 2 2 6 6 x k x k x k π π π π π π = + = + = + F2. ( ) 4 4 sin cos 1 tan cot sin2 2 x x x x x + = + ðH BK HN 2000 ðS: Vô nghiệm F3. 2 2 2 sin .tan os 0 2 4 2 x x x c π − − = ðH 03 Khối D ðS: 2 , 4 x k x k π π π π = + = − + F4. 2 2 7 sin .sin4 sin 2 4sin 4 2 2 x x x x π − = − − ðHSP Hà Nội 2000 ðS: 7 2 , 2 6 6 x k x k π π π π = − + = + F5. 2 2 2 sin sin 2 sin 3 2 x s x + + = ðH Sư phạm Kĩ thuật TPHCM 01 Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 3 4.6. 2 2sin sin 2 cos 2 0 x x x − + = . 4.7. 2 2 sin 3 sin .cos 2cos 1 x x x x + + = . 4.8. 2 2 100sin 3 sin .cos 87 cos 100 x x x x + + = . 4.9. 2 13sin 3 3 sin .cos cos 2 12 x x x x − + = . 4.10. 2 2 15sin 2 7sin 2 .cos 2 2 cos 2 5 x x x x − + = . 4.11. 3 2 3 4sin sin cos 3sin 3cos 0 x x x x x − − + = . 4.12. 3 2 2 3 4sin 10sin cos 6sin cos cos 0 x x x x x x − − − = . 4.13. 3 3 2sin 3sin 4cos 0 x x x − + = . 4.14. 3 2 sin ( ) 2sin 4 x x π + = . V. PHƯƠNG TRÌNH ðỐI XỨNG Dạng: (sin cos ) sin .cos 0 a x x b x x c ± + + = Cách giải: ðặt sin cos t x x = ± suy ra 2 1 2sin cos t x x = ± Nên 2 1 sin cos 2 t x x − = ± . Sau ñó thay vào phương trình. 5.1. sin cos 2sin .cos 1 0 x x x x + − + = . 5.2. ( ) 3 sin cos 4sin .cos 0 x x x x + − = . 5.3. ( ) 12 sin cos 2sin .cos 12 0 x x x x − − − = . 5.4. ( ) ( ) 1 sin 1 cos 2 x x + + = . VI. CÔNG THỨC HẠ BẬC Lưu ý: 2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 cos 2 x x x x − = + = , 3 3 3sin sin3 sin 4 3cos cos3 cos 4 x x x x x x − = + = 6.1. 2 2 5 sin 2 os 8 sin(10 ) 2 x c x x π − = + 6.2. 2 2 3 sin os 2 os 3 x c x c x = + 6.3. 3 3 3 sin .cos3 sin3 .cos sin 4 x x x x x + = Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 4 6.4. 2 4 cos cos 3 x x = (Hướng dẫn: 2 4 2 2 3 , 2 3 3 3 x x x x x→ → → ) 6.5. 4 4 1 sin os ( ) 4 4 x c x π + + = 6.6. 2 2 2 2 3 os os 2 os 3 os 4 2 c x c x c x c x + + + = 6.7. 3 3 4sin .cos3 4sin3 .cos 3 3 os4 3 x x x x c x + + = 6.8. 2 3 4 1 2cos 3cos 5 5 x x + = Gợi ý: 3 2.3 2 3. 5 5 5 x x x → → . 6.9. 4 4 4 9 sin sin ( ) sin ( ) 4 4 8 x x x π π + + + − = 6.10. 2 2 1 sin sin sin .cos 2cos ( ) 2 2 4 2 x x x x x π + − = − 6.11. 2 2 21 sin 4 os 6 sin(10 ) 2 x c x x π − = + 6.12. 2 2 2 2 sin sin 3 os 2 cos 4 x x c x x + = + 6.13. 2 2 2 3 sin 3 sin 2 sin 2 x x x + + = 6.14. 2 2 2 sin 3 sin 2 sin 0 x x x − − = 6.15. 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 os 6 x x x c x − = − 6.16. 3 3 2 sin .sin3 cos cos3 4 x x x x+ = 6.17. 3 3 3 sin .sin3 cos cos3 cos 4 x x x x x + = 6.18. 3 3 3 1 cos cos3 sin .sin3 cos 4 4 x x x x x − = + 6.19. 3 3 3 sin 2 .cos6 sin6 .cos 2 8 x x x x + = 6.20. 6 32cos 1 cos6 x x = + 6.21. 2 2 17 sin 2 cos 8 sin 10 2 x x x − = + Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 17 D20. 3 3 2sin sin 2cos cos cos2 x x x x x − = − + HV Kĩ thuật Quân sự 99 ðS: , 2 , 2 4 2 2 k x x k x k π π π π π π = + = − + = + D21. 3 2 2 3(1 sin ) 3tan tan 8cos ( ) 0 cos 4 2 x x x x x π + − + − − = (Hướng dẫn: Nhân tử chung 2 3tan 1 x − ). ðH Kiến Trúc 99 ðS: 2 1 , arccos 2 6 4 2 x k x k π π π π − = ± + = ± + D22. 2 2 2 3 sin( ) os x 2cos 8 8 8 3 4 sin os( ). os( ) 3 3 x c x x c x c x π π π π π − − + − = + + − + ðH Y Thái Bình ðS: 5 3 , 24 8 x k x l π π π π = + = + E. PHƯƠNG TRÌNH ðẲNG CẤP 2 2 asin sin cos cos 0 x b x x c x d + + + = E1. 2 2(sin cos ).cos 3 cos2 x x x x + = + ðH Giao Thông Vận Tải HN 2000 ðS: Vô nghiệm E2. 3 sin 4sin cos 0 x x x − + = ðH Y Hà Nội 99 ðS: 4 x k π π = + E3. 2 2 tan .sin 2sin 3(cos2 sin cos ) x x x x x x − = + Chia cho cos 2 x ðH Mỏ ðịa Chất 99 ðS: , 4 3 x k x k π π π π = − + = ± + E4. 3 3 4cos 2sin 3sin 0 x x x + − = Cð Sư Phạm Mẫu Giáo TW 1 01 ðS: 4 x k π π = + E5. 3 3 cos sin sin cos x x x x + = − Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 16 D12. 3 3 sin cos sin2 sin cos x x x x x + = + + ðH CSND 2000 ðS: 2 k x π = D13. 3 3 1 sin os sin2 x c x x − + = ðH Nông Nghiệp I 2000 ðS: , 2 , 2 4 2 x k x k x k π π π π π π = + = + = + D14. ( ) cos2 5 2(2 cos ) sin cos x x x x + = − − ðH Hàng Hải 99 ðS: 2 , 2 2 x k x k π π π π = + = + D15. sin2 2cos2 1 sin 4cos x x x x + = + − (Lưu ý 2 4 os 4cos 3 0 c x x − − + = có nghiệm là 1/2) ðH An Ninh 01 Khối D ðS: 2 3 x k π π = ± + D16. 2sin2 cos2 7sin 2cos 4 x x x x − = + − Lấy 2cosx chuyển vế làm nhân tử ðH Quốc Gia Hà Nội 01 Khối A ðS: 5 2 , 2 6 6 x k x k π π π π = + = + D17. sin 2cos cos2 2sin cos 0 x x x x x + + − = ðH Văn Hóa Hà Nội 2000 khối D ðS: 2 3 2 2 , arcsin 2 , arcsin 2 2 4 4 4 4 x k x k x k π π π π π π = + = − − + = + + D18. 2sin cot 2sin2 1 x x x + = + Lưu ý: ( ) ( ) 2 1 4sin 1 2sin 1 2sin x x x − = − + ðH QG Hà Nội 2000 Khối A ðS: 5 2 ; 2 ; 6 6 5 1 5 5 1 arcsin 2 ; arcsin 2 4 4 2 2 2 2 x k x k x k x k π π π π π π π π = + = + − − = + + = − + D19. ( ) ( ) 2cos 1 sin cos 1 x x x − + = PV Ngân Hàng TPHCM 2000 ðS: 2 2 ; 6 3 k x k x π π π= = + Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 5 6.22. 3 3 3 cos cos3 sin .sin3 4 x x x x+ = 6.23. 3 3 3 cos cos3 sin .sin3 cos 4 x x x x x + = 6.24. 8 8 2 17 sin cos cos 2 16 x x x + = 2 2 2 ( ( ) 2 ) a b a b ab + = + − 6.25. 4 6 cos cos2 2sin 0 x x x − + = 6.26. 2 2 2 2cos 2cos 2 2cos 3 3 (2sin2 1)cos4 x x x x x + + − = + 6.27. 2 2 5 9 cos3 sin7 2sin ( ) 2cos 2 4 2 x x x x π + = + − 6.28. 6 6 2 sin sin cos 4 4 3sin 2 x x x x + = − VII. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHỨA 2 2N , OS N SIN X C X 7.1. 4 4 sin os sin2 2 2 x x c x − = 7.2. 4 4 sin os sin2 0,5 x c x x + = − 7.3. 2 6 6 sin 2 sin os 4 x x c x+ = 7.4. 8 8 17 sin os 32 x c x+ = (phương trình trùng phương theo sin2x) Lưu ý: 2 2 2 2 2 2 -2 (sin cos ) (sin cos ) (1 sin )sin (1 cos )cos sin 2 (sin cos ) 4 n n n n n n n n a x x a x x a x x a x x a x x x + + − + − + = − + − = + 7.5. ( ) 4 4 6 6 2(sin os ) 2 sin os sin2 x c x x c x x + − + = Lưu ý: 2 2 2 2 2 -2 (sin cos ) 2 (sin cos ) (1 2sin )sin (1 2cos )cos cos2 (sin cos ) n n n n n n n n a x x a x x a x x a x x a x x x + + − + − + = − + − = − 7.6. 3 3 2sin sin 2cos cos cos2 x x x x x − = − + 7.7. 8 8 10 10 7 sin cos 2(sin cos ) cos2 3 x x x x x + − + = Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 6 7.8. 6 6 os sin sin2 c x x x + = 7.9. 4 4 6 6 2 4(sin os ) 4(sin os ) sin 4 1 x c x x c x x + − + − = 7.10 4 4 4(sin os ) 3 sin4 2 x c x x + + = 7.11. 4 4 sin os 1 2sin2 2 2 x x c x + = − 7.12. 4 7 sin os4x= cot( )cot( ) 8 3 6 x c x x π π + + − 7.13. 6 6 sin cos cos4 x x x + = 7.14. 6 6 7 sin cos 6 x x + = 7.15. 8 8 1 sin cos 8 x x + = 7.16. 8 8 10 10 5 sin cos 2(sin cos ) cos2 4 x x x x x + = + + 7.17. 3 3 5 5 sin os 2(sin os ) x c x x c x + = + . VIII. PHƯƠNG TRÌNH ðƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Sử dụng ñẳng thức ( ) ( ) 1 1 1 0 u v uv u v + = + ⇔ − − = ( ) ( ) 0 au bv ab vu u b v a + = + ⇔ − − = Lưu ý: ( ) 2 sin5 sin 4 sin cos4 4cos cos2 .sin x x x x x x x x = + = + ( ) 3 *sin3 sin 2 3sin 4sin x x x x x = + = − * 3 cos3 4cos 3cos x x x = − 8.1. sin2 2cos 0 x x + = 8.2. 3 3 sin cos cos2 x x x + = 8.3. 3 3 sin cos sin2 sin cos x x x x x + = + + 8.4. 3 os2 sin 4 0 c x x − = 8.5. cos4 5sin2 5cos2 0 x x x + − = 8.6. sin cos2 1 sin .cos2 x x x x + = + 8.7. 2sin .cos2 3 cos2 2sin 3 0 x x x x − − + = Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 15 D4. 1 1 7 4sin 3 sinx 4 sin 2 x x π π + = − − ðH 08 Khối A ðS: 5 , , 4 2 8 8 k x x k x k π π π π π π = − + = − + = + D5. cos sin cos2 x x x + = ðH ðà Lạt ðS: , 2 , 2 4 2 x k x k x k π π π π π = − + = = − + D6. ( ) ( ) 1 sin2 cos sin cos2 x x x x + − = ðH DL Ngoại Ngữ Tin Học 98 ðS: , 2 , 2 4 2 2 k x x k x k π π π π π = + = = + D7. 3 3 2 2 os sin os sin c x x c x x − = − ðH ðà Lạt 01 ðS: , 2 , 2 4 2 x k x k x k π π π π π = + = = + D8. a) 3 3 2 2 os sin os sin c x x c x x + = − b) sin4 tan x x = ðH Y Hà Nội 2000 ðS: ) , 2 , 2 4 2 1 1 3 ) , arccos 2 2 2 a x k x k x k b x k x k π π π π π π π = − + = − + = − + = = ± + D9. sin cos 2sin 2cos 2 x x x x + + = ðH Hồng ðức 99 ðS: ; 2 2 x k x k π π π π = + = + D10. sin .cos 2sin 2cos 2 x x x x + + = ðH Huế 2000 ðS: 2 ; 2 2 x k x k π π π = + = D11. 3 3 3 1 sin os sin2 2 x c x x + + = ðH Giao Thông Vận Tải 99 ðS: 2 ; 2 2 x k x k π π π π = − + = + Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 14 C22.Tìm nghiệm trên khoảng ( ) 0;2 π của phương trình cos3 sin3 5(sin ) cos2 3 1 sin2 x x x x x + + = + + ðH 02 Khối A ðS: 5 ; 3 3 x π π = C23. 2 2 2 11 tan cot cot 2 3 x x x+ + = PV Ngân Hàng TPHCM 2000 ðS: 6 2 k x π π = ± + C24. 2 2 2 2tan 5tan 5cot 4 0 sin x x x x + + + + = ðH Thương Mại 01 ðS: 4 x k π π = − + C25. sin3 cos3 2cos 0 x x x + + = (ñưa về pt bậc 3 theo tanx) HV Ngân Hàng 2000 ðS: , 4 3 x k x k π π π π = − + = ± + D. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO sin ,cos : sin cos u u a u b u c + = Hoặc sin cos sin a u b u c v + = hoặc sin cos cos a u b u c v + = hoặc 2 2 2 2 sin cos sin cos ( ) a u b u c v d v a b c d + = + + = + D1. 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x + + = ðH KHối D 07 ðS: 2 , 2 2 6 x k x k π π π π = + = − + D2. ( ) ( ) 2 2 1 sin cos 1 cos sin 1 sin2 x x x x x + + + = + ðH 07 Khối A ðS: 2 , 2 , 2 4 2 x k x l x k π π π π π = − + = + = D3. 3 3 2 2 sin 3 cos sin cos 3sin .cos x x x x x x − = = ðH 08 Khối B ðS: , 4 2 3 k x x k π π π π = + = − + Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 7 8.8. 1 3 3 1 3( sin cos ) cos2 sin2 2 2 2 2 x x x x + = − 8.9. 1 3 3 1 2( sin cos ) cos2 sin2 2 2 2 2 x x x x + = − 8.10. 3(sin 3 cos ) 3 cos2 sin2 x x x x + = − 8.11. 2 2 sin cos sin cos sin 2 os x x x x x c x + + = − 8.12. 2 2 3 os sin sin cos ( 3 1)sin cos 0 c x x x x x x − − − + + + = 8.13. 2 2 3cot 2 2 sin (2 3 2)cos x x x + = + 8.14. 1 cos cos2 cos3 0 x x x + + + = 8.15. 2 3 4 2 3 4 sin sin sin sin cos cos cos cos x x x x x x x x + + + = + + + 8.16. 1 cos cos2 cos3 4 x x x + + + = 8.17. cos os2 os3 os4 0 x c x c x c x + + + = 8.18. 1 sin cos3 cos sin2 cos2 x x x x x + + = + + 8.19. 2cos .cos2 .cos3 7 7cos2 x x x x − = (ñưa về phương trình bậc 3 theo cos2x) 8.20. 3 2cos cos2 sin 0 x x x + + = (nhân tử chung là 1-sinx) 8.21. 3 2sin cos2 os 0 x x c x − + = IX. ðỔI BIẾN VỀ CUNG 2x, 3x 9.1. sin(2 ) 5sin( ) cos3 3 6 6 x x x ñaët u x π π π − = − + = − 9.2. 6 32cos ( ) sin6 1, 4 4 x x ñaët u x π π + − = = + 9.3. 3 2cos ( ) cos3 3 3 x x ñaët u x π π + = = + 9.4. 2cos sin3 cos3 6 6 x x x ñaët u x π π + = − = + 9.5. sin 3 sin2 .sin 4 4 4 x x x ñaëtu x π π π − = + = + 9.6. sin3 2cos 6 6 x x ñaët u x π π = − = − Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 8 9.7. 5 cos3 2sin 6 x x π = + 9.8. 3 3 sin 3sin 2 10 10 2 x x π π + = − 9.9. 3 sin 3sin 2 4 4 2 4 2 x x x ñaët u π π π + = − = − 9.10. 2 cos9 2cos 6 2 0 3 3 3 x x ñaët u x π π + + + = = + 9.11. 6 8 2 2cos 1 3cos 5 5 5 x x x ñaët u+ = = X. PHƯƠNG TRÌNH LG CÓ ðIỀU KIỆN: Loại nghiệm không thích hợp 10.1. 5 7 sin 2 cos 1 sin2 2 2 x x x π π + − − = + . Tìm nghiệm trên ( ;3 ) 2 π π 10.2. cos3 sin3 5(sin ) cos2 3 1 2sin2 x x x x x + + = + + 10.3. 1 1 2 cos sin2 sin 4 x x x + = 10.4. sin .cot 5 1 cos9 x x x = (khó lấy nghiệm) 10.5. 4 4 4 sin 2 os 2 os 2 tan tan 4 4 x c x c x x x π π + = − + XI. Tuyển tập các ñề thi ðại học, Cao ñẳng theo từng phương pháp. Giải các phương trình: Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 13 ðH QG 98 ðS: 2 , , 4 2 3 3 k x x k x k π π π π π π = + = + = + C14. 2 2 cos7 sin 2 cos 2 cos x x x x + = − ðH Hàng Hải 98 ðS: 2 , 8 4 9 3 k k x x π π π π = + = ± + C15. 5 5 2 4cos sin 4sin .cos sin x x x x x m − = + Giải PT biết x π = là một nghiệm. ðH QG Tp.HCM 97 ðS: , 4 8 2 k k x x π π π = = + C16. 2 3 2 2 cos cos 1 cos2 -tan cos x x x x x − − = ðH Thái Nguyên 99 ðS: 2 , 2 3 x k x k π π π π = + = ± + C17. 3 tan2 sin2 cot 2 x x x + = ðH Thủy Lợi 99 ðS: , 2 6 x k x k π π π π = + = ± + C18. 2 2 4sin 3tan 1 x x + = ðH DL Hồng ðức 99 ðS: 1 arcos( 3 1) 2 x k π = − − + C19. cos .cos4 cos2 .cos3 0 x x x x + = ðH Ngoại Thương 98 ðS: 1 1 17 ; arccos 2 2 8 x k x k π π π ± = + = ± + C20. cos (cos 2sin ) 3sin (sin 2) 1 sin2 1 x x x x x x + + + = − ðH Thủy Sản 01 ðS: 2 4 x k π π = − + C21. sin3 sin5 3 5 x x = ðH Thủy Lợi ðS: 1 2 , arcos 2 3 x k x k π π = = ± − + Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 12 C4. 3(tan cot ) 2(2 sin2 ) x x x + = + ðH Cần Thơ 99 khối D ðS: 4 x k π π = + C5. 2 cot tan 4sin2 sin2 x x x x − + = ðH 03 B ðS: 3 x k π π = ± + C6. sin3 sin2 5sin x x x + = ðH Hồng ðức 99 ðS: x k π = C7. 2 5sin 2 3(1 sin )tan x x x − = − ðH 04 Khối B ðS: 5 2 , 2 6 6 x k x k π π π π = + = + C8. 2 2 cos 3 .cos2 -cos x x x o = ðH 05 Khối A ðS: 2 k x π = C9. 3 4cos 3 2 sin2 8cos x x x + = ðHSP Hà Nội 2000 ðS: 3 , 2 , 2 2 4 4 x k x k x k π π π π π π = + = + = + C10. cos 2 cos 2 - sin 2 2(1 sin ) 4 4 x x x x π π + + + = + − ðH Hàng hải 01 ðS: 5 2 , 2 6 6 x k x k π π π π = + = + C11. 1 2cos2 8cos 7 cos x x x − + = ðH Ngoại ngữ 2000 ðS: 2 , 2 3 x k x k π π π = = ± + C12. ( ) ( ) 4 sin3 cos2 5 sin 1 x x x − = − ðH luật HN 99 ðS: 1 1 2 , arsin 2 , arcsin 2 2 4 4 x k x k x k π π π π π = + = − + = + + C13. 4 2 2 4 3cos 4cos .sin sin 0 x x x x − + = Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 9 A. ðƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH. A1. sin2 3sin x x = ðS: , 2 6 x k x k π π π = = ± + ðH Mở TPHCM 99 A2. sin2 .sin 3sin2 .cos x x x x = ðS: , 2 3 k x x k π π π = = + ðHDL Duy Tân 01 A3. tan cot 4 x x + = ðS: 5 , 12 12 x k x k π π π π = + = + ðH An ninh 97 A4. cot sin (1 tan tan ) 4 2 x x x x + + = ðS: 5 , 12 12 x k x k π π π π = + = + ðH 06 (khối B) A5. 2 sin2 (cot tan2 ) 4cos x x x x + = ðS: , 2 6 x k x k π π π π = + = ± + ðH Mỏ-ðịa chất Hà Nội 2000 A6. 2 1 cos tan cos x x x + = ðS: 2 , 2 3 x k x k π π π π = + = ± + ðH ðà Nẵng 01 A7. 3sin 2cos 2 3tan x x x + = + ðS: 2 2 , arctan 3 x k x k π π = = − + HV Quân Y 01 A8. sin .cot 5 1 os9 x x c x = ðS: 20 10 k x π π = + ðH Huế 99 A9. Tìm x thuộc ñoạn [0; 14] nghiệm ñúng phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x − + − = ðS: 3 5 7 , , , 2 2 2 2 x π π π π = ðH 02 ( khối D) Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 10 A10. 2 2tan cot 3 sin2 x x x + = + ðS: 3 x k π π = + ðH Ngoại thương 97 A11. ( ) ( ) 2cos 1 2sin cos sin2 sin x x x x x − + = − ðH khối D 04 ðS: 2 , 2 , 4 3 x k x k k π π π π = − + = ± + ∈ ℤ A12. ( ) ( ) 2 2sin 1 2sin2 1 3 4cos x x x − + = − TH Kĩ thuật Y tế 3 97, ðS: 5 , 2 , 2 , 2 6 6 3 x k x k x k x k π π π π π π π = = + = + = ± + A13. ( ) ( ) 2 2sin 1 3cos4 2sin 4 4 os 3 x x x c x + + − + = ðH Hàng Hải 2000 ðS: 7 , 2 , 2 2 6 6 k x x k x k π π π π π = = − + = + A14. ( ) 2sin 1 cos2 sin2 1 2cos x x x x + + = + ðH 08 khối D ðS: 2 , 2 , 4 3 x k x k k π π π π = + = ± + ∈ ℤ B. BIẾN ðỔI TỔNG THÀNH TÍCH. B1. 51 sin(2 50 ) cos 3 sin 2 x x x π π + + + = CðSP Thái Bình ðS: , 2 3 x k x k π π π = = ± + B2. sin cos2 -cos4 0 x x x + = ðH Mĩ thuật Công nghiệp ðS: 2 7 2 , , 18 3 18 3 k k x k x x π π π π π= = − + = + B3. sin sin2 sin3 0 x x x + + = PV Ngân hàng Tp.HCM 01 ðS: 2 , 2 2 3 k x x k π π π = = ± + B4. 1 cos cos2 cos3 0 x x x + + + = Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 11 ðH Nông Lâm Tp.HCM 01 ðS: , 2 , 2 2 3 x k x k x k π π π π π π = + = + = ± + B5. cos3 cos2 cos 1 0 x x x + − − = ðH 06 Khối D ðS: 2 , 3 k x k x π π= = B6. 2 2sin 2 sin7 1 sin x x x + − = ðH 07 Khối B, ðS: 2 5 2 , , 8 4 18 3 18 3 k k k x x x π π π π π π = + = + = + B7. 1 cos2 cos3 2cos .cos2 x x x x + + = ðH ðà Nẵng 99 ðS: , 2 2 3 x k x k π π π π = + = ± + B8. 1 sin cos sin2 cos2 0 x x x x + + + + = ðH 05 khối B ðS: 2 , 2 4 3 x k x k π π π π = − + = ± + B9. 3 2cos sin cos 1 2(sin cos ) x x x x x + + = + ðH DL Phương ðông 2000 ðS: 5 2 , 2 6 6 x k x k π π π π = + = + C. ðƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2. C1. cos4 5sin2 3 0 x x + − = Cð Maketting 99 ðS: 5 , 12 12 x k x k π π π π = + = + C2. 3(sin tan ) 2cos 2 tan -sin x x x x x + − = ðH Tài chính Kế toán Hà Nội 2000 ðS: 2 2 3 x k π π = ± + C3. 2 2 cot 2 2 sin (2 3 2).cos x x x + = + HV Kĩ thuật Quân sự 01 ðS: 2 , 2 . 4 3 x k x k π π π π = ± + = ± + . Grout ☺ Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148 1 Chuyên ñề ôn thi ðại học: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ. liệu tham khảo : 1. Trần Công Phúc, Phương trình lượng giác- Chuyên Trần ðại Nghĩa, 2009. 2. Lê Hồng ðức-Lê Bích Ngọc-Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán Lượng giác , NXB Hà Nội, 2008. ☺ Người. XI. Tuyển tập các ñề thi ðại học, Cao ñẳng theo từng phương pháp. Giải các phương trình: Phương trình lượng giác Gv:Lê Quốc Huy Email: huy_sunflower@yahoo.com Mobile: 09748.77148