chuyên đề lượng giác 11

GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1... là các phương trình vô nghiệm... là các phương trình vô nghiệm... 8 Ví dụ 3: Giải phương trình Chủ đề 2: Phương trình bậc hai và bậc ba đối

1

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

1 Giá trị lượng giác của góc lượng giác

1.1.Các định nghĩa:

sin = OK cos = OH

tan = AT cot = BU

1.2 Tính chất:

a) sin (  + k2 ) = sin cos (  + k2 ) = cos ; k  Z

tan (  + k ) = tan  cot (  + k ) = cot  ; k  Z

b) Với  ta có : - 1  sin   1 ; - 1  cos   1

c) cos2 + sin2 = 1 tan  cot = 1

1 + tan2 =

 2

cos

1

( cos   0 ) 1 + cot2 =

 2

sin

1

( sin  0 )

1.3 Bảng dấu các giá trị lượng giác

1.4 Bảng giá trị của cung (góc) lượng giác đặc biệt

6



4



3



2

3

4

6

sin 0

2

1 2

2 2

3 2

4 2

3 2

2 2

1 2

0 2

Góc phần tư Điểm cuối của cung

(góc) lượng giác

sin  cos tan cot

I 0     / 2 + + + +

II  / 2     + - - -

III     3 / 2  - - + +

IV 3 / 2     2  - + - -

2

cos 4

2

3 2

2 2

1 2

0 2

1 2

2

2

2



tan 0 1

3

3

 0

3

3

Chú ý :

+) sin  = 0   = k; k  Z

+) sin  = 1   = /2 + k2; k  Z

+) sin  = - 1   = - /2 + k2 ; k  Z

+) cos  = 0   = /2 + k ; k  Z

+) cos = 1   = k2 ; k  Z

+) cos  = - 1   =  + k2 ; k  Z

1.5 Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt:

a) Cung đối nhau:

cos ( -  ) = cos  sin ( -  ) = - sin 

tan ( -  ) = - tan  cot ( -  ) = - cot 

b) Cung hơn kém  :

sin ( + ) = - sin  cos( +  ) = - cos

tan( +  ) = tan  cot( +  ) = cot 

c) Cung bù nhau :

sin ( -  ) = sin  cos ( -  ) = - cos 

tan( -  ) = - tan  cot( -  ) = - cot

d) Cung phụ nhau :

sin (/2 -  ) = cos  cos (/2 -  ) = sin 

tan (/2 -  ) = cot  cot(/2 -  ) = tan 

e) Cung hơn kém/2 :

sin ( /2 +  ) = cos  cos (/2 +  ) = - sin 

tan (/2 +  ) = - cot  cot( /2 +  ) = - cot

2 Công thức lƣợng giác:

2.1 Công thức cộng

cos( x – y ) = cosx.cosy + sinx.siny ( 1)

cos( x + y ) = cosx.cosy – sinx.siny ( 2 )

sin( x – y ) = sinx.cosy – cosx.siny ( 3)

sin( x + y) = sinx.cosy + cosx.siny ( 4 )

tan( x – y ) = tan tan

1 tan tan





x y ( 5 )

3

tan( x + y ) = tan tan

1 tan tan





x y ( 6 )

2.2 Công thức nhân đôi:

sin 2x = 2sinx.cosx ( 7)

cos 2x = cos2x – sin2x ( 8 )

tan 2x =

x

x

2

tan 1

tan 2

 ( 9 )

2.3 Công thức nhân ba:

sin3x = 3sinx – 4sin3x ( 10 )

cos3x = 4cos3x – 3cosx

2.4 Công thức hạ bậc:

sin2x =

2

2 cos

( 11 )

cos2x =

2

2 cos

( 12 )

tan2 x =

x

x

2 cos 1

2 cos 1





( 13 )

2.5 Công thức tính theo tan(x/2):

Đặt t = tan(x/2)

sin x = 2

1

2

t

t

 ( 14 )

cos x = 2

2

1

1

t

t





( 15 )

tan x = 2

1

2

t

t

 ( 16 )

2.6 Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosx.cosy =

2

1 [ cos ( x - y ) + cos ( x + y ) ] ( 16 )

sinx.siny =

2

1 [ cos ( x - y ) - cos ( x + y ) ] ( 17 )

sinx.cosy =

2

1 [ sin( x - y ) + sin ( x + y ) ] ( 18 )

2.7 Công thức biến đổi tổng thành tích:

cosx + cosy = 2cos

2

y

x

cos

2

y

x

( 19 )

cosx - cosy = - 2sin

2

y

x

sin

2

y

x

( 20 )

sinx + siny = 2sin

2

y

x

cos

2

y

x

( 21 )

sinx - siny = 2cos

2

y

x

sin

2

y

x

( 22 )

tanx + tany =

y x

y x

cos cos

) sin( 

( 23 )

4

tanx - tany =

y x

y x

cos cos

) sin( 

( 24 )

**) Chú ý một số công thức sau:

sinx + cosx = 2.sin( x + /4 ) ( 25)

sinx - cosx = 2.sin( x - /4 ) ( 26 )

cosx + sinx = 2.cos( x -  /4 ) ( 27 )

cosx - sinx = 2.cos( x +  /4 ) ( 28 )

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chủ đề 1: Phương trình lượng giác cơ bản Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình: sinx  m +) Nếu m  1 phương trình vô nghiệm Ví dụ: Các phương trình sinx=2, sinx= -7, sinx= , là các phương trình vô nghiệm +) Nếu m  1 , xét 2 khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử  khi đó phương trình có dạng:

2 sinx sin

2

 



 



  

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt, khi đó đặt

sin

m  , ta được:

2 sinx sin

2

 



 



   Ngoài ra ta còn cách biểu diễn khác nếu m  1:

arcsin 2 sinx

arcsin 2





Kí hiệu  arcsinm là góc mà sin =m

Trường hợp góc x và  được đo bằng đơn vị độ thì ta cố công thức:

0

360

s inx sin

  

k







Chú ý: Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác, ta phải thống nhất một

đơn vị đo

Dạng tổng quát: Đối với trường hợp m  1, hiển nhiên phương trình vô nghiệm khi

1

sin f(x) = m sin f(x) = sin

 



  

k

 



  

sin f(x) = sin g(x)



f x g x k

k



Kí hiệu f(x), g(x) là các biểu thức chứa biến “x”

5

Ví dụ 1: Giải phương trình

a) sinx=1

2 b)

3 sin

  



c) sin 2011x = 2011 d) sin3x = 4

5



Ví dụ 2: Giải phương trình:

Ví dụ 3:

1) Giải phương trình: sin(π.sin2x)=1

2) Tìm các nghiệm của phương trình: sin 1

   



trên đoạn 17

;

 

Ví dụ 4: Giải phương trình:

os

4



x

x

c x 

Ví dụ 5: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm, tìm các nghiệm đó?

1



m

BÀI TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau:

2

1) s inx 2) sin 1 3) sin 3 1 4) sin 2

3



Bài 2: Giải các phương trình sau:

Bài 3: Tìm các nghiệm của phương trình sau trên đoạn, khoảng đã chỉ ra:

sin 2



trên đoạn 11

;

 

3



trên khoảng 3

; 2

  

.Bài 4: Giải các phương trình sau:

sin 2

1 cos

os

3

x x

c x





Bài 5: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm, tìm các nghiệm đó?

2 2

1

m



6

2

2

2





m

Bài toán 2: Giải và biện luận phương trình: cosxm

+) Nếu m  1 phương trình vô nghiệm

Ví dụ: Các phương trình cosx=3, cosx= -2011, sinx=  , là các phương trình vô

nghiệm

+) Nếu m  1 , xét 2 khả năng:

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử  khi đó phương trình có dạng:

2 cosx os

2

 



c    x k k

 



 

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt, khi đó đặt

os



m c , ta được:

2 cosx os

2

 



c    x k k

 



  Ngoài ra ta còn cách biểu diễn khác nếu m  1:

cosx







Kí hiệu   arc os c m là góc mà c os =m 

Trường hợp góc x và  được đo bằng đơn vị độ thì ta cố công thức:

0

0

360 cosx os

360

  

  







Chú ý: Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác, ta phải thống nhất một

đơn vị đo

Dạng tổng quát: Đối với trường hợp m  1, hiển nhiên phương trình vô nghiệm khi

1

cos f(x) = m os f(x) = cos

 



  

 



 

cos f(x) = cos g(x)



f x g x k

k

f x g x k





Kí hiệu f(x), g(x) là các biểu thức chứa biến “x”

Ví dụ 1: Giải các phương trình

x

7



Ví dụ 2: Giải các phương trình

 0

2 1) os2x = sin3x 2) cos 2 sin 0 3) os3 sin

5

x

Ví dụ 3: Giải phương trình:

2

1

x

7) (ĐHSP II-2000)

8

Ví dụ 4: Tìm nghiệm trên khoảng, đoạn đã chỉ ra của phương trình:

2

 

Bài toán 3: Giải và biện luận phương trình tanx = m (1) và cotx = m (2)

Điều kiện xác định (1): cos 0

2

Điều kiện xác định (2): sinx 0  x k

Công thức nghiệm:

Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan hay cot của góc đặc biệt, giả sử  khi đó

ta có:

(1): t anxtan   x  k

(2): cotxcot   x  k

Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan hay cot của góc đặc biệt, khi đó ta

có:

(1): xarctanm k 

(2): xar cotc m k 

Với điều kiện xác định thì mỗi phương trình đều có một họ nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình

3

x

1

Ví dụ 2: Tìm nghiệm trong khoảng, đoạn đã chỉ ra của phương trình

2 3

8

Ví dụ 3: Giải phương trình

Chủ đề 2: Phương trình bậc hai và bậc ba đối với hàm số lượng giác

Phương pháp chung:

Bước 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có)

Bước 2: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ (nếu có)

Bước 3: Giải phương trình ẩn phụ, từ đó suy ra nghiệm x

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:Giải phương trình (bậc 2 và 3)

2

7) 4sin x12cos x7 8) 4sin x 3sin2x 8sinx

Ví dụ 2: Giải phương trình( quy về bậc 2)

2

3

2

1) cos2x sin x 2 cosx 1 0 2) 3cos2x 2(1 2 sinx)sinx 3 2 0 3) cos 3x.cos2x cos x 0 4)5sin x 2 3(1 sinx)tan x

sin x 1 cosx(cosx 2sin x) 3sin x(sinx 2)

sin2x 1 sin x



Ví dụ 3:

1) Cho phương trình: cos2x (2m 1)cosx m 1 0    

a) Giải phương trình với m 3

2



b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x ; 3

2 2

 

  ( 1 m 0 )

2) Cho phương trình: 4sin 2x 8cos x 5 3m 02  2   

a) Giải phương trình với m= 4

3



b) Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm ( m 1, m 0 )

BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình (phương trình bậc 2 và 3)

2

4) 6sin 3 os12 14 7) sin x cos x cos2x 8) cos2x 5sinx 2 0

x c x

9) tanxcotx4 10) 4cosx.cos2x 1 0 13) sin3x2cos2x 2 0

11) 3sin x3cos x4sinxcos2x 2 0 2  

12) cos x 3cosx sin2x 8sinx  0

Bài 2: Giải phương trình (quy về bậc 2)

2 1) cot x t anx 4sin2x 2) 3cot x 2 2 sin x (2 3 2)cosx

sin2x

9

4)

2

2

cosx cos x

6) Tìm nghiệm (0; 2π) của phương trình: 5 sinx cos3x sin3x cos2x 3

1 2sin2x

cos x sin x





Bài 3:

1*) Xác định giá trị của m để phương trình sau cĩ nghiệm trong khoảng (0; 2π):

cos4x cos 3x msin x 

2) Cho phương trình: cos2x 5sinx m 0  

a) Giải phương trình với m 2

b) Tìm m nguyên dương để phương trình cĩ nghiệm

Chủ đề 3: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Phương pháp chung: Dạng phương trình: a.sinx+b.cosx=c (1)

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Kiểm tra

1 Nếu a2b2 c phương trình vô nghiệm.2

2 Nếu a b2 2 c ,khi đó để tìm nghiệm phương trình ta thực hiện bước 22

Bước 2: Chia 2 vế phương trình (1) cho a2b2 ta được:

a

Vì

a

a b =cosα và

b

a b =sinα Khi đĩ phương trình (1) cĩ dạng:

Sin(x+α)=

c

a b Đây là phương trình cơ bản của sin

Cách 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Với cosx 0 x k2 ,kiểm tra vào phương trình.

Bước 2: Với cosx 0 x k2

2       Đặt

x

t tan

2

 , suy ra:

2



10

Khi đó phương trình (1) có dạng:

2

2



Bước 3: Giải phương trình (2) theo t Từ đó suy ra nghiệm phương trình

Đặc biệt:

1 sin 3 cos 2sin( ) 2 cos( )

x x x  x

2 sin cos 2 sin( ) 2 cos( )



3 sin 3 cos 2sin( ) 2 cos( )

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải các phương trình (phương trình bậc nhất)

3

1) cosx 3 sin x 1 2) 4sin x 3cosx 6 3) sin x 3 cosx 1

8) cos7x cos5x 3 sin2x 1 sin7xsin5x

Ví dụ 2: Giải phương trình (phương trình quy về bậc nhất)

1) 2sin x(cosx 1) 3.cos2x 2) 2(sinx 3 cosx) 3.cos2x sin2x

1 3) 3.sin 4x cos4x sinx 3 cosx 4) sinx (3 3 cosx)

3

Ví dụ 3: Giải phương trình (phương trình quy về bậc nhất)

2

2cos x sinx-1



Ví dụ 4: Giải phương trình (đặt ẩn phụ)

2

5

12cosx 5sin x 14 2) (4sin x 5cosx) 13(4sin x 5cosx) 42 0

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

3) y (3cosx 4sin x)(4cosx 3sin x) 4) y (cosx sinx)(3cosx 4sin x)

BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình

9 1) 4 cos3x 3sin3x 5 0 2) 4sin x 3cosx 10 3) 3cosx 2 3 s inx

2

4) 3sin2x 2cos2x 3  5) cosx 3sinx 2 6) sinx 3 cosx 1

11

Bài 2: Giải phương trình

2

3

1)cos7x sin5x 3(cos5x sin7x) 2) cos x 2 3 sin x cos x 3sin x 1 3) 4sin x.cos3x 4 cos x.sin3x 3 3.cos4x 3 4) 4sin x sin2x 1

6

6 7) 2sin 4x 3cos2x 16sin x cosx 5

0 8) cos2x 3 sin2x 3 sinx cosx 4 0

3

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:

2

3) y 2sin 2x 4cosx cos x 4) y sin x cos x sin 4x

6

Bài 4: Tìm giá trị của x để y 1 sinx

2 cosx





 là số nguyên

Chủ đề 4: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx

1 Đẳng cấp bậc hai: asin x bsinxcosx c.cos x d (1)2   2 

Cách giải: Ta lựa chọn một trong hai cách sau

Cách 1: Thực hiện theo các bước

Bước 1: Với cos x 0 x k , k

2



      Khi đó phương trình (1) có dạng: a=d

- Nếu a=d thì (1) nhận x k

2



   làm nghiệm

- Nếu a d thì (1) không nhận x k

2



  làm nghiệm

Bước 2: Với cos x 0 x k , k

2



      Ta chia hai vế của phương trình (1) cho

2

cos x , ta được: atan x btanx c d(1 tan x)2     2

Đặt t = tanx, phương trình có dạng: (a d)t 2   bt c d 0 (2)

Bước 3: Giải phương trình (2) theo t, từ đó tìm được ẩn x

Cách 2: Sử dụng các công thức

12

Ta được: b.sin2x (c a c) os2x d c a Đây là phương trình bậc nhất đối với   

sin2x và cos2x

2 Đẳng cấp bậc ba: a.sin3x b sin cos2 x x c sin cosx 2x d cos3x0 (3)

Bước 1: Với cos x 0 x k , k

2



      Khi đó phương trình (2) có dạng: a=0

- Nếu a=0 thì (3) nhận x k

2



   làm nghiệm

- Nếu a 0 thì (3) không nhận x k

2



  làm nghiệm

Bước 2: Với cos x 0 x k , k

2



      Ta chia hai vế của phương trình (3) cho

3

cos x , ta được: atan x btan x ct anx+d =03  2 

Đặt t = tanx, phương trình có dạng: at3bt2  ct d 0 (4)

Bước 3: Giải phương trình (4) theo t, từ đó tìm được ẩn x

Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải phương trình

1

2 5) os 4sin 3cos sin sinx 0 6) sin xsin2 sin3 6cos

Ví dụ 2: Giải phương trình (quy về đẳng cấp)

3

3

3) 2sin 4cos 3sin 4) (t anx 1)sin 3(cos sinx)sinx 3

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Ví dụ 4: Cho phương trình

sin x2(m1)sin x cosx(m1) osc x m

a) Giải phương trình với m= -2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm

BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình

1) 2 2(sinx cos )cos x x  3 cos2x 2) osc x 3sin2x 1 sin x

5) 3sin 2xsin 2 cos2x x4 cos 2x2 4) 3sin xsin 2x c os x0

13

3) 4 3 sin x cos 4 cos 2sin 6) 2sin (3 3)sin x cos ( 3 1) os 1

2

Bài 2: Giải phương trình

1)4sin x 3cos x – 3sinx – sin xcosx 0 2) cos x – 4sin x – 3cosxsin x sinx 0 3) cos x sinx – 3sin xcosx 0 4) cos x – sin x sinx – cosx

5) 4cos x 2sin x – 3sinx 0 7) sinxsin2x sin3x 6cos x

6) 2c

os x sin3x 8) sin x3cosx3sin cosx x2sinx

Bài 3: Giải phương trình

4

3





Bài 4: Cho phương trình

2sin xsinxcosx c os x m 0

a) Giải phương trình với m =1

b) Giải và biện luận phương trình theo m

Chủ đề 5: Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx, tanx và cotx

1 Phương trình đối xứng với sinx và cosx

Dạng phương trình: a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c = 0 (1)

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt sinx cosx t  , điều kiện

2

t 1

2



trình (1) có dạng:

2

2

t 1

2



Bước 2: Giải (2) theo t và chọn nghiệm t thỏa mãn điều kiện t0  2 Với t t 0ta

t

Đây là phương trình cơ bản của sin

Chú ý:

Đối với phương trình dạng: a(sinx-cosx)+bsinxcosx+c = 0 ta cũng có cách giải tương

tự

2 Phương trình đối xứng với tanx và cotx

Dạng phương trình: a(tan x cot x) b(t anx cot x) c 02  2     (3)

Ta thực hiện theo các bước:

Bước 1: Đặt điều kiện

2 cosx 0





Bước 2: Đặt tanx+cotx= t, t 2 tan x cot x t2  2  2 2 Khi đó phương trình (3)

có dạng: a(t2 2) bt c 0   at2bt c 2a 0   (4)

Bước 3: Giải phương trình (4) theo t và chọn nghiệm t thỏa mãn điều kiện 0