chuyên đề lượng giác 11

GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 1 CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I. GÓC LƢỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1. Giá trị lƣợng giác của góc lƣợng giác 1.1.Các định nghĩa: sin  = OK cos  = OH tan  = AT cot  = BU 1.2. Tính chất: a) sin (  + k2  ) = sin  cos (  + k2  ) = cos  ; k  Z tan (  + k  ) = tan  cot (  + k  ) = cot  ; k  Z b) Với   ta có : - 1  sin   1 ; - 1  cos   1 c) cos 2  + sin 2  = 1 tan  .cot  = 1 1 + tan 2  =  2 cos 1 ( cos   0 ) 1 + cot 2  =  2 sin 1 ( sin   0 ) 1.3. Bảng dấu các giá trị lƣợng giác 1.4 Bảng giá trị của cung (góc) lƣợng giác đặc biệt  0 6  4  3  2  2 3  3 4  5 6   sin  0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 Góc phần tư Điểm cuối của cung (góc) lượng giác sin  cos  tan  cot  I 0 / 2   + + + + II /2     + - - - III 3 / 2     - - + + IV 3 / 2 2     - + - - GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 2 cos  4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 1 2  2 2  3 2  4 2  tan  0 1 3 1 3 3 -1 1 3  0 cot  3 1 1 3 0 1 3  -1 3 Chú ý : +) sin  = 0   = k  ; k  Z +) sin  = 1   =  /2 + k2  ; k  Z +) sin  = - 1   = -  /2 + k2  ; k  Z +) cos  = 0   =  /2 + k  ; k  Z +) cos  = 1   = k2  ; k  Z +) cos  = - 1   =  + k2  ; k  Z 1.5. Giá trị lƣợng giác của các góc có liên quan đặc biệt: a) Cung đối nhau: cos ( -  ) = cos  sin ( -  ) = - sin  tan ( -  ) = - tan  cot ( -  ) = - cot  b) Cung hơn kém  : sin (  +  ) = - sin  cos(  +  ) = - cos  tan(  +  ) = tan  cot(  +  ) = cot  c) Cung bù nhau : sin (  -  ) = sin  cos (  -  ) = - cos  tan(  -  ) = - tan  cot(  -  ) = - cot  d) Cung phụ nhau : sin (  /2 -  ) = cos  cos (  /2 -  ) = sin  tan (  /2 -  ) = cot  cot(  /2 -  ) = tan  e) Cung hơn kém  /2 : sin (  /2 +  ) = cos  cos (  /2 +  ) = - sin  tan (  /2 +  ) = - cot  cot(  /2 +  ) = - cot  2. Công thức lƣợng giác: 2.1. Công thức cộng cos( x – y ) = cosx.cosy + sinx.siny ( 1) cos( x + y ) = cosx.cosy – sinx.siny ( 2 ) sin( x – y ) = sinx.cosy – cosx.siny ( 3) sin( x + y) = sinx.cosy + cosx.siny ( 4 ) tan( x – y ) = tan tan 1 tan .tan   xy xy ( 5 ) GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 3 tan( x + y ) = tan tan 1 tan .tan   xy xy ( 6 ) 2.2. Công thức nhân đôi: sin 2x = 2sinx.cosx ( 7) cos 2x = cos 2 x – sin 2 x ( 8 ) tan 2x = x x 2 tan1 tan2  ( 9 ) 2.3. Công thức nhân ba: sin3x = 3sinx – 4sin 3 x ( 10 ) cos3x = 4cos 3 x – 3cosx 2.4. Công thức hạ bậc: sin 2 x = 2 2cos1 x ( 11 ) cos 2 x = 2 2cos1 x ( 12 ) tan 2 x = x x 2cos1 2cos1   ( 13 ) 2.5. Công thức tính theo tan(x/2): Đặt t = tan(x/2) sin x = 2 1 2 t t  ( 14 ) cos x = 2 2 1 1 t t   ( 15 ) tan x = 2 1 2 t t  ( 16 ) 2.6. Công thức biến đổi tích thành tổng: cosx.cosy = 2 1 [ cos ( x - y ) + cos ( x + y ) ] ( 16 ) sinx.siny = 2 1 [ cos ( x - y ) - cos ( x + y ) ] ( 17 ) sinx.cosy = 2 1 [ sin( x - y ) + sin ( x + y ) ] ( 18 ) 2.7. Công thức biến đổi tổng thành tích: cosx + cosy = 2cos 2 yx  . cos 2 yx  ( 19 ) cosx - cosy = - 2sin 2 yx  . sin 2 yx  ( 20 ) sinx + siny = 2sin 2 yx  . cos 2 yx  ( 21 ) sinx - siny = 2cos 2 yx  . sin 2 yx  ( 22 ) tanx + tany = yx yx cos.cos )sin(  ( 23 ) GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 4 tanx - tany = yx yx cos.cos )sin(  ( 24 ) **) Chú ý một số công thức sau: sinx + cosx = 2 .sin( x +  /4 ) ( 25) sinx - cosx = 2 .sin( x -  /4 ) ( 26 ) cosx + sinx = 2 .cos( x -  /4 ) ( 27 ) cosx - sinx = 2 .cos( x +  /4 ) ( 28 ) II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Chủ đề 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình: sinx m +) Nếu 1m  phương trình vô nghiệm Ví dụ: Các phương trình sinx=2, sinx= -7, sinx=  , là các phương trình vô nghiệm. +) Nếu 1m  , xét 2 khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử  khi đó phương trình có dạng: 2 sinx sin 2            xk k xk      Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt, khi đó đặt sinm   , ta được: 2 sinx sin 2            xk k xk      Ngoài ra ta còn cách biểu diễn khác nếu 1m  : arcsin 2 sinx arcsin 2            x m k mk x m k   Kí hiệu arcsin m  là góc mà sin =m  Trường hợp góc x và  được đo bằng đơn vị độ thì ta cố công thức: 0 00 360 sinx sin 180 360            xk k xk    Chú ý: Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác, ta phải thống nhất một đơn vị đo. Dạng tổng quát: Đối với trường hợp 1m  , hiển nhiên phương trình vô nghiệm khi 1m  +) ( ) 2 sin f(x) = m sin f(x) = sin ( ) 2            f x k k f x k      +) ( ) ( ) 2 sin f(x) = sin g(x) ( ) ( ) 2          f x g x k k f x g x k   Kí hiệu f(x), g(x) là các biểu thức chứa biến “x” GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 5 Ví dụ 1: Giải phương trình a) sinx= 1 2 b) 3 sin 32     x  c) sin 2011x = 2011 d) sin3x = 4 5  Ví dụ 2: Giải phương trình: 1) sin2 sin 2) sin sin 2 0 3) sinx os3 0 3 4 4                           x x x x c x    Ví dụ 3: 1) Giải phương trình: sin(π.sin2x)=1 2) Tìm các nghiệm của phương trình: 1 sin 32       x  trên đoạn 17 ; 34      Ví dụ 4: Giải phương trình: sin4 sinx 1) 0 2) 0 cos 1 os 4       x x cx  Ví dụ 5: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm, tìm các nghiệm đó?   2 1 1) sin 1 2) sinx 2 1      xm m BÀI TẬP Bài 1: Giải các phương trình sau: 2 22 1) sinx 2) sin 1 3) sin3 1 4) sin 2 2 4 2 3 5) sin 3 6) sin3 6 2 5                 x x x xx   Bài 2: Giải các phương trình sau: 1) sin 3 sin 5 2) sin sin 3 0 3 6 4 6 35 3) sin os 0 4) sin 2 os 0 4 4 4 12                                                         x x x x x c x x c         Bài 3: Tìm các nghiệm của phương trình sau trên đoạn, khoảng đã chỉ ra: 1) 1 sin 2 62     x  trên đoạn 11 ; 23      2) sin 2 sinx 0 3       x  trên khoảng 3 ; 2       .Bài 4: Giải các phương trình sau: sin 2 sinx 3 1) 0 2) 0 1 cos os 3           x x cx   Bài 5: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm, tìm các nghiệm đó? 2 2 1 1) sinx 2) sinx 3) sin 1 1 1 3          m xm mm  GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 6     2 2 2 4)sin 2 5) 1 sinx 1 6) 2 sinx 2 2         x m m m m Bài toán 2: Giải và biện luận phương trình: cos xm +) Nếu 1m  phương trình vô nghiệm Ví dụ: Các phương trình cosx=3, cosx= -2011, sinx=   , là các phương trình vô nghiệm. +) Nếu 1m  , xét 2 khả năng: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua sin của góc đặc biệt, giả sử  khi đó phương trình có dạng: 2 cosx os 2            xk ck xk    Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua sin của góc đặc biệt, khi đó đặt osmc  , ta được: 2 cosx os 2            xk ck xk    Ngoài ra ta còn cách biểu diễn khác nếu 1m  : arc os 2 cosx arc os 2            x c m k mk x c m k   Kí hiệu arc oscm   là góc mà os =mc  Trường hợp góc x và  được đo bằng đơn vị độ thì ta cố công thức: 0 0 360 cosx os 360            xk ck xk    Chú ý: Trong công thức nghiệm của phương trình lượng giác, ta phải thống nhất một đơn vị đo. Dạng tổng quát: Đối với trường hợp 1m  , hiển nhiên phương trình vô nghiệm khi 1m  +) ( ) 2 cosf(x) = m os f(x) = cos ( ) 2            f x k ck f x k    +) ( ) ( ) 2 cos f(x) = cos g(x) ( ) ( ) 2          f x g x k k f x g x k   Kí hiệu f(x), g(x) là các biểu thức chứa biến “x” Ví dụ 1: Giải các phương trình 2 1 3 1) cos 2) os 2 3) os10 10 4) os3 2 3 2 4           x c x c x c x    00 5) 2 os 2 1 6) os os 2 7) os 3 15 os150 52         x c x c c c x c  22 2 1 3 8) os 9) sin 10) sin 18 5 4 6 4                  c x x x  GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 7 3 4 2 2 1 9 11) sin 12) sin 13) os2 2sin 1 0 3 8 16           x x c x x  Ví dụ 2: Giải các phương trình   0 2 1) os2x = sin3x 2) cos 2 sin 0 3) os3 sin 4 4 3 5 4)sin 3 os 3 0 5) os os 2 30 6 4 2                                            c x x c x x x x c x c c x     Ví dụ 3: Giải phương trình:         2 1) os os 2) sin os2 1 3) os os3 1 2 4 2 1 4) os sinx 1 5) os os 6) sin os 2 4 2                     c c x c x c c x c c c x c x x       7) (ĐHSP II-2000)   2 os 3 9 160 800 1 8        c x x x  Ví dụ 4: Tìm nghiệm trên khoảng, đoạn đã chỉ ra của phương trình:     0 0 0 3 1) os 5 2) os 3 15 os150 0 180 2 13 3) os ; 8 2 2                        c x x c x c x c x x    Bài toán 3: Giải và biện luận phương trình tanx = m (1) và cotx = m (2) Điều kiện xác định (1): cos 0 2    x x k   Điều kiện xác định (2): sinx 0  xk  Công thức nghiệm: Khả năng 1: Nếu m được biểu diễn qua tan hay cot của góc đặc biệt, giả sử  khi đó ta có: (1): tanx tan   xk    (2): cot cot   x x k    Khả năng 2: Nếu m không biểu diễn được qua tan hay cot của góc đặc biệt, khi đó ta có: (1): arctanx m k  (2): ar cotx c m k  Với điều kiện xác định thì mỗi phương trình đều có một họ nghiệm. Ví dụ 1: Giải phương trình   0 3 1) tan3 tan 2) tan 2 1 3 3) cot 20 3 54          x xx  1 4) cot 5) cos 3sin 6) tan cot 3 0 4 3 6 3                          x x x x x    Ví dụ 2: Tìm nghiệm trong khoảng, đoạn đã chỉ ra của phương trình   0 0 0 1 1) tan 2 15 1 180 90 2) cot3 0 2 3          x x x x  GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 8 Ví dụ 3: Giải phương trình     1) tan cos sinx 1 2) tan cos sinx 1 44                 xx  Chủ đề 2: Phƣơng trình bậc hai và bậc ba đối với hàm số lƣợng giác Phƣơng pháp chung: Bƣớc 1: Tìm điều kiện xác định (nếu có) Bƣớc 2: Đặt ẩn phụ và tìm điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) Bƣớc 3: Giải phương trình ẩn phụ, từ đó suy ra nghiệm x. Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1:Giải phương trình (bậc 2 và 3)   22 22 2 1) 2cos 3cos 1 0 2) os sinx 1 0 3) 3 tan 1 3 tanx 1 0 4) 3sin 2 7cos2 3 0 5) 4cos os3 6cos 2(1 os2 ) 6) os3 os2 cos 1 0                      x x c x x x x x c x x c x c x c x x 4 2 3 7) 4sin 12cos 7 8) 4sin x 3sin2x 8sinx   xx Ví dụ 2: Giải phương trình( quy về bậc 2) 2 2 2 2 3 22 2 1) cos2x sin x 2 cosx 1 0 2) 3cos2x 2(1 2 sinx)sinx 3 20 3) cos 3x.cos2x cos x 0 4)5sin x 2 3(1 sinx)tan x sin x 1 cosx(cosx 2sin x) 3sin x(sinx 2) 5) 2 cos x cot x 5) 1 sin 2x 1 sin x                        Ví dụ 3: 1) Cho phương trình: cos2x (2m 1)cosx m 1 0     a) Giải phương trình với 3 m 2  b) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm x 3 ; 22      ( 1 m 0   ) 2) Cho phương trình: 22 4sin 2x 8cos x 5 3m 0    a) Giải phương trình với m= 4 3  b) Tìm m nguyên dương để phương trình có nghiệm. ( m 1, m 0   ) BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình (phương trình bậc 2 và 3) 2 2 6 4 1) 6cos 5sin 7 0 2) os2 5sin 3 0 3) os2 cos 1 0 4) 6sin 3 os12 14 7) sin x cos x cos2x 8) cos2x 5sinx 2 0                 x x c x x c x x x c x 9) tanx cotx 4 10) 4cosx.cos2x 1 0 13) sin3x 2cos2x 2 0       32 11) 3sin x 3cos x 4sinx cos2x 2 0        2 12) cos x 3cosx sin2x 8sinx 0    Bài 2: Giải phương trình (quy về bậc 2) 22 2 1) cot x t anx 4sin 2x 2) 3cot x 2 2 sin x (2 3 2)cosx sin 2x       GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 9 3) cos 2x cos 2x 4sin x 2 2(1 sinx) 44                     4) 23 2 2 cos x cos x 1 1 cos2x tan x 5) 2cos2x 8cosx 7 cosx cos x       6) Tìm nghiệm (0; 2π) của phương trình: cos3x sin3x 5. s inx cos2x 3 1 2sin 2x         24 5 7 4sin 2x 6sin x 9 3cos2x 7) sin 2x 3cos x 1 2sin x 8) 0 2 2 cosx                        66 4 4 2 22 sin x cos x 1 3 9)sin 2x cos 2x sin2x cos2x 10) tan2x 11) tan x 9 4 cosx cos x sin x        Bài 3: 1 * ) Xác định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng (0; 2π): 22 cos4x cos 3x m sin x 2) Cho phương trình: cos2x 5sinx m 0   a) Giải phương trình với m2 b) Tìm m ngun dương để phương trình có nghiệm. Chủ đề 3: Phƣơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phƣơng pháp chung: Dạng phương trình: a.sinx+b.cosx=c (1) Cách 1: Thực hiện theo các bước Bƣớc 1: Kiểm tra 1. Nếu 2 2 2 a b c phương trình vô nghiệm. 2. 2 2 2 Nếu a b c ,khi đó để tìm nghiệm phương trình ta thực hiện bước 2 . Bƣớc 2: Chia 2 vế phương trình (1) cho 22 ab ta được: 22 a ab sinx+ 2 2 2 2 bc cosx a b a b   Vì 22 2 2 2 2 ab 1 a b a b                   nên tồn tại góc α sao cho 22 a ab =cosα và 22 b ab =sinα. Khi đó phương trình (1) có dạng: Sin(x+α)= 22 c ab . Đây là phương trình cơ bản của sin. Cách 2: Thực hiện theo các bước: Bƣớc 1: Với x cos 0 x k2 ,kiểm tra vào phương trình. 2       Bƣớc 2: Với x cos 0 x k2 2       . Đặt x t tan 2  , suy ra: 2 22 2t 1 t sinx cosx 1 t 1 t    GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 10 Khi đó phương trình (1) có dạng: 2 2 22 2t 1 t a. b. c (c b)t 2at c b 0 (2) 1 t 1 t           Bước 3: Giải phương trình (2) theo t. Từ đó suy ra nghiệm phương trình. Đặc biệt: 1. sin 3 cos 2sin( ) 2cos( ) 36 x x x x       2. sin cos 2sin( ) 2 cos( ) 44 x x x x       3. sin 3 cos 2sin( ) 2cos( ) 36 x x x x        Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Giải các phương trình (phương trình bậc nhất) 22 3 1) cosx 3 sin x 1 2) 4sin x 3cosx 6 3) sin x 3 cosx 1 4) sin 2x 2 cos x sin x cosx 1 0 5) 2 cos x 3 sin2x 2 6) 3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x 7) 2sin3x sin2x 3 cos2x 0 8) cos7x cos5x 3sin2x 1 sin7xsin 5x                        Ví dụ 2: Giải phương trình (phương trình quy về bậc nhất) 1) 2sinx(cosx 1) 3.cos2x 2) 2(sinx 3 cosx) 3.cos2x sin 2x 1 3) 3.sin 4x cos4x sinx 3 cosx 4) sinx (3 3 cosx) 3           Ví dụ 3: Giải phương trình (phương trình quy về bậc nhất) 44 2 1)4(sin x cos x) 3 sin4x 2 2) t anx 3cot x 4(sinx 3 cosx) cosx sin2x 3(1 cos2x) (1 2sin x)cosx 3) 3 4) cosx 5) 3 2sin x (1 2sin x)(1 sinx) 2cos x sinx-1               Ví dụ 4: Giải phương trình (đặt ẩn phụ) 2 5 1) 12cosx 5sin x 8 0 12cosx 5sin x 14 2) (4sin x 5cosx) 13(4sin x 5cosx) 42 0           Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: 1) y 2sin x 3cosx 1 2) y 3cos2x 2sin x cosx 3) y (3cosx 4sin x)(4 cosx 3sin x) 4) y (cosx sinx)(3cosx 4sin x) sinx cosx 1 sinx cosx 1 5) y 6) y 2sin x 2cosx sinx 3                  BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình 9 1) 4 cos3x 3sin3x 5 0 2) 4sin x 3cosx 10 3) 3cosx 2 3 s inx 2        4) 3sin2x 2cos2x 3 5) cosx 3sinx 2 6) sinx 3 cosx 1      [...]...  cos3 x  sin 2x cos x s inx 3 2 2 3 10) s inx  cos x  1  sin x cos x 11) t anx  cot x  2(sin 2x  cos2x) 3 Ví dụ 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin 2x  4(cosx  sinx)  m BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình 1) s inx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 2) sin 2x  12  s inx - cosx   12  0 8) cos x  3) 5(1  sin 2x)  11( s inx  cos x)  7  0 4) 3(tan 2 x  cot 2 x)  2( 3  1)(t anx-cot x)... 2x  0 8) 3(t anx  cot x)  2(2  sin 2x) 1 3 sin 2x 9) tan 2x  cot x  8cos2 x 5) tan 3 x  cot 3 x  10) 6 tan x  cot 3x  tan 2x 11) 2(cot 2x  cot 3x)  tan 2x  cot 3x Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: y  2(sin x  cosx)  3sin 2x  1 Chủ đề 6: Một số dạng phƣơng trình khác 1 Phƣơng trình biến tồng thành tích và tích thành tổng Ví dụ 1: Giải phương trình (tổng thành tích)... cos3 x 4) 2sin 3 x  cos x   5) 8cos3  x    cos3 x 3  Bài 4: Cho phương trình 2sin 2 x  sin x cos x  cos2 x  m  0 a) Giải phương trình với m =1 b) Giải và biện luận phương trình theo m Chủ đề 5: Phƣơng trình đối xứng đối với sinx và cosx, tanx và cotx 1 Phƣơng trình đối xứng với sinx và cosx Dạng phƣơng trình: a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c = 0 (1) Ta thực hiện theo các bước: t2 1 Bƣớc 1: Đặt... cos  x   3 3   s inx  2 cos x  1 s inx 5) y  6) y  s inx  cos x  2 cos x  3 4) y  sin 6 x  cos 6x  sin 4x 7) y  4sin 2 x   2  sin  2x   6  1  s inx là số nguyên 2  cos x Chủ đề 4: Phƣơng trình đẳng cấp đối với sinx và cosx 1 Đẳng cấp bậc hai: asin2 x  bsin x cosx  c.cos2x  d (1) Cách giải: Ta lựa chọn một trong hai cách sau Cách 1: Thực hiện theo các bước  Bƣớc 1: Với... d(1  tan2 x) Bài 4: Tìm giá trị của x để y  Đặt t = tanx, phương trình có dạng: (a  d)t 2  bt  c  d  0 (2) Bƣớc 3: Giải phương trình (2) theo t, từ đó tìm được ẩn x Cách 2: Sử dụng các công thức 11 GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 1  cos 2 x 1  cos 2 x 1 cos 2 x  sin x cos x  sin 2 x 2 2 2 Ta được: b.sin 2 x  (c  a)cos2 x  d  c  a Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và... 4sin 2 x)  1 cos3x cos x 1  s inx 6) tan 2 x  7) s inx(1  cos x)  1  cos x  cos2 x 1  cos x BÀI TẬP Bài 1: Giải phương trình 1) sin 2x  sin 4x  sin 6x 2) s inx  sin 2x  cos x  cos2x 3) cos11x cos3x  cos17x cos9x 4) sin18x cos13x  sin 9x cos 4x 5) sin 2 x  sin 2x sin 4x  sin 3x sin 9x  sin 4x sin16x  1 6) sin 3 x  cos3 x  s inx  cos x Bài 2: Giải phương trình 1) cos2x  cos8x ... cos2x 7) 4 cos3 x  3 2 sin 2x  8cos x 8) 9sin x  6 cos x  3sin 2x  cos2x  8 9) sinx  sin 2 x  sin 3 x  sin 4 x  cosx  cos2 x  cos3 x  cos 4 x  x x 10) cos  sin 4  sin 2x 2 2 4 1  s inx 11) cot x  1  cos x 2 1  cos3x 12) tan x  1  sin 3 x 2 15 GV: TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 2 Sử dụng công thức hạ bậc Công thức hạ bậc 2 Công thức hạ bậc 3 1  cos 2 x 3cos x  cos 3x 3sin . TRƯƠNG THANH TÙNG SĐT: 0972 399 281 1 CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC I. GÓC LƢỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC 1. Giá trị lƣợng giác của góc lƣợng giác 1.1.Các định nghĩa: sin  . ) ( 27 ) cosx - sinx = 2 .cos( x +  /4 ) ( 28 ) II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC Chủ đề 1: Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản Bài toán 1: Giải và biện luận phương trình: sinx m +) Nếu 1m. 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 3 2 2 2 1 2 0 2 Góc phần tư Điểm cuối của cung (góc) lượng giác sin  cos  tan  cot  I 0 / 2   + + + + II /2    